微专题3 三角函数与解三角形
大题考法1 三角形中的基本量求解
(2024·新课标Ⅰ卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知sin C＝cos B，a2＋b2－c2＝ab.
(1)求B；
(2)若△ABC的面积为3＋，求c.
【解】 (1)由余弦定理得cos C＝＝，
又0
所以cos B＝sin C＝，所以cos B＝，
又0(2)由(1)得A＝π－B－C＝，
由正弦定理＝，得＝，所以a＝c.
所以△ABC的面积S＝ac sin B＝c2×＝3＋，
得c＝2.
INCLUDEPICTURE "方法点拨1.TIF"
三角形中边角互化的基本原则
(1)若式子中含有正弦的齐次式，优先考虑正弦定理“角化边”．
(2)若式子中含有a，b，c的齐次式，优先考虑正弦定理“边化角”．
(3)若式子中含有余弦的齐次式，优先考虑余弦定理“角化边”．
(4)含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理求解．
INCLUDEPICTURE "对点训练.TIF"
(2024·广州模拟)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，△ABC的面积为S.已知S＝－(a2＋c2－b2).
(1)求B；
(2)若点D在边AC上，且∠ABD＝，AD＝2CD＝2，求△ABC的周长．
解：(1)因为cos B＝，所以S＝－(a2＋c2－b2)＝－×2ac cos B＝－ac cos B，
又S＝ac sin B，
所以－ac cos B＝ac sin B，
解得tan B＝－.
又B是△ABC的内角，所以B＝.
(2)依题意得∠CBD＝－＝，
如图，在△ABD中，由正弦定理＝，得＝AD＝2，
同理，在△CBD中，有＝＝2CD＝2，
又∠ADB＋∠CDB＝π，所以sin ∠ADB＝sin ∠CDB，
所以AB＝CB，即c＝a.
在△ABC中，b2＝c2＋a2－2ca·cos ∠ABC，
即32＝c2＋a2＋ca＝3a2，
解得a＝，所以c＝a＝，
所以△ABC的周长为3＋2.
大题考法2 三角形中的证明问题
INCLUDEPICTURE "例2.TIF" (2024·汕头二模)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.
(1)若sin A sin B＋sin B sin C＋cos 2B＝1，C＝，求的值；
(2)求证：＝.
【解】 (1)因为sin A sin B＋sin B sin C＋cos 2B＝1，
所以sin A sin B＋sin B sin C＝1－cos 2B＝2sin 2B，
由正弦定理可得ab＋bc＝2b2，即a＋c＝2b.
由余弦定理可得c2＝a2＋b2－2ab cos C，
所以(2b－a)2＝a2＋b2－2ab cos ，
整理可得3b＝(4＋)a，
所以＝＝.
(2)证明：＝，
由正弦定理可得
＝，
由余弦定理的推论可得
＝＝
＝.
综上，＝.
INCLUDEPICTURE "方法点拨1.TIF"
三角形中的证明问题有两类：一是角的关系，可以利用三角恒等变换转化为同名三角函数，或是某个三角函数值求角；二是边的关系，可以利用正、余弦定理转化为边的关系，证明时可从复杂的一边入手，证明两边相等，也可用比较法：左边－右边＝0.
INCLUDEPICTURE "对点训练.TIF"
△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为(a2－b2)sin C.
(1)证明：sin A＝2sin B；
(2)若a cos C＝b，求cos A.
解：(1)证明：根据题意得ab sin C＝(a2－b2)sin C，因为sin C≠0，所以ab＝a2－b2，
即a2－ab－2b2＝0，得(a－2b)(a＋b)＝0.
因为a＋b≠0，所以a＝2b.
由正弦定理＝，得＝，
由于b≠0，所以sin A＝2sin B.
(2)由(1)知a＝2b.根据余弦定理，结合a cos C＝b，得a·＝b，化简得4b2＋b2－c2＝3b2，解得c＝b，
所以cos A＝＝＝－.
大题考法3 解三角形中的最值、范围问题
在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知c＝2，C＝.
(1)当2sin 2A＋sin (2B＋C)＝sin C时，求△ABC的面积；
(2)求△ABC周长的取值范围．
【解】 (1)由A＋B＋C＝π，得4sin A cos A＋sin (π＋B－A)＝sin (π－A－B)，
即4sin A cos A＋sin (A－B)＝sin (A＋B)，
即2sin A cos A＝cos A sin B，
当cos A＝0时，A＝，B＝，得a＝，b＝；
当cos A≠0时，sin B＝2sin A，由正弦定理得b＝2a，
由余弦定理及已知条件可得a2＋b2－ab＝4，
联立解得
故三角形的面积为S△ABC＝ab sin C＝.
(2)方法一：由余弦定理可得a2＋b2－ab＝4，
由(a＋b)2＝4＋3ab≤4＋，得0所以4＜a＋b＋c≤6，即△ABC周长的取值范围是(4，6].
方法二：因为C＝，所以A＋B＝，
所以B＝－A，A∈(0，).
在△ABC中，由正弦定理可得＝＝＝，
所以a＋b＋c＝2＋(sin A＋sin B)＝2＋[sin A＋sin (－A)]＝2＋4(sin A＋cos A)＝2＋4sin (A＋)，
因为＜A＋＜，所以＜sin (A＋)≤1，
所以4＜a＋b＋c≤6，即△ABC周长的取值范围是(4，6].
INCLUDEPICTURE "方法点拨1.TIF"
解三角形中的最值、范围问题的一般步骤
INCLUDEPICTURE "对点训练.TIF"
(2024·德阳二模)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin B＝2cos2.
(1)求B；
(2)若△ABC为锐角三角形，且c＝1，求△ABC面积的取值范围．
解：(1)因为在△ABC中，sinB＝2cos2，
即2sincos ＝2cos2＝2sin2，
而00，
故cos ＝sin ，故tan ＝，
则＝，所以B＝.
(2)由(1)以及题设可得S△ABC＝ac sin B＝a，
由正弦定理得a＝＝
＝＝
＋，
因为△ABC为锐角三角形，
所以0则0<－C<，所以则tan C>，所以0<<，
则<＋<2，
即即△ABC面积的取值范围为(，).
大题考法4 三角函数与解三角形综合
已知函数f(x)＝2sin x cos x＋sin2x－cos2x.
(1)求f(x)的单调递减区间；
(2)△ABC中内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，f(A)＝2，b＝3，c＝2，求A的内角平分线AD的长．
【解】 (1)因为f(x)＝2sinx cos x＋sin2x－cos2x＝sin2x－cos 2x＝2sin (2x－)，
令2kπ＋≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，
解得kπ＋≤x≤kπ＋，k∈Z，所以f(x)的单调递减区间为[kπ＋，kπ＋](k∈Z).
(2)因为f(∠BAC)＝2sin (2∠BAC－)＝2，
所以sin (2∠BAC－)＝1.
因为∠BAC∈(0，π)，所以2∠BAC－∈(－，)，
所以2∠BAC－＝，所以∠BAC＝.
由题意知，S△ABD＋S△ACD＝S△ABC，
所以AB·AD sin ∠BAD＋AD·AC sin ∠CAD＝AB·AC sin ∠BAC，又∠BAD＝∠CAD＝∠BAC＝，AB＝2，AC＝3，所以AD＝.
INCLUDEPICTURE "方法点拨1.TIF"
解三角形与三角函数综合问题的一般步骤
INCLUDEPICTURE "对点训练.TIF"
在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，设向量m＝(2sin (x－A)，sin A)，n＝(cos x，1)，f(x)＝m·n，且对任意x∈R，都有f(x)≤f().
(1)求f(x)的单调递增区间；
(2)若a＝2，sin B＋sin C＝，求△ABC的面积．
解：(1)由题意可得，
f(x)＝m·n＝2sin (x－A)cos x＋sin A＝2(sin x cos A－cos x sin A)cos x＋sin A＝2sin x cos x cos A－2cos2x sinA＋sin A＝2sin x cos x cos A－(2cos2x－1)sinA＝sin 2x cos A－cos 2x sin A＝sin (2x－A)，
则f()＝sin (－A)＝1，
因为A∈(0，π)，所以－A∈(－，)，
所以－A＝，即A＝，所以f(x)＝sin (2x－)，
令2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，
解得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z，
所以f(x)的单调递增区间为[kπ－，kπ＋](k∈Z).
(2)在△ABC中，由正弦定理＝＝，
得b＋c＝(sin B＋sin C)＝2，
所以(b＋c)2＝b2＋c2＋2bc＝24，①
由余弦定理得b2＋c2－bc＝12，②
由①②解得bc＝4，
所以△ABC的面积为bc sin A＝×4×＝.
INCLUDEPICTURE "专题强化练.TIF"
1．(2024·新课标Ⅱ卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin A＋cos A＝2.
(1)求A；
(2)若a＝2，b sin C＝c sin 2B，求△ABC的周长．
解：(1)由sin A＋cos A＝2，得sin A＋cos A＝1，
所以sin (A＋)＝1.
因为0所以A＋＝，故A＝.
(2)由b sin C＝c sin 2B，
得b sin C＝2c sin B cos B，
由正弦定理，得bc＝2cb cos B，
所以cos B＝，
因为0C＝π－(A＋B)＝，
所以sin C＝sin ＝sin (＋)＝sin cos ＋cos sin ＝×＋×＝.
由正弦定理＝＝，得b＝＝＝2，c＝＝＝＋.
所以△ABC的周长为a＋b＋c＝2＋＋3.
2．已知函数f(x)＝4sin x cos (x＋)＋，x∈[0，].
(1)求函数f(x)的值域；
(2)已知锐角三角形ABC的两边长a，b分别为函数f(x)的最小值与最大值，且△ABC的外接圆半径为，求△ABC的面积．
解：(1)f(x)＝4sin x(cos x－sin x)＋＝2sin x cos x－2sin2x＋＝sin2x＋cos 2x＝2sin (2x＋).
因为0≤x≤，所以≤2x＋≤，
所以≤sin (2x＋)≤1，
所以函数f(x)的值域为[，2].
(2)依题意a＝，b＝2，△ABC的外接圆半径r＝，
所以sin A＝＝＝，
sin B＝＝＝，
因为A，B∈(0，)，
所以cos A＝，cos B＝，
所以sin C＝sin (A＋B)＝sin A cos B＋cos A sin B＝×＋×＝，
所以S△ABC＝ab sin C＝××2×＝.
3.如图，在平面四边形ABCD中，BC＝，BE⊥AC于点E，BE＝，且△ACD的面积为△ABC面积的2倍．
(1)求AD sin ∠DAC的值；
(2)当CD＝3时， 求线段DE的长．
解：(1)因为S△ACD＝AC·AD sin ∠DAC，S△ABC＝AC·BE，S△ACD＝2S△ABC，
所以AC·AD sin ∠DAC＝AC·BE.
所以AD sin ∠DAC＝2BE＝2.
(2)由题意可得CE＝＝1.
在△ACD中，＝，
所以AD sin ∠DAC＝CD sin ∠ACD＝2.
又CD＝3，所以sin ∠ACD＝，
所以cos ∠ACD＝± ＝±.
在△CDE中，DE2＝CE2＋CD2－2CE·CD·cos ∠ACD.
当cos ∠ACD＝时，DE2＝12＋32－2×1×3×＝8，
所以DE＝2；
当cos ∠ACD＝－时，DE2＝12＋32－2×1×3×(－)＝12，所以DE＝2.
综上，DE＝2或DE＝2.
4．(2024·茂名模拟)已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＝b＋2b cos C.
(1)求证：C＝2B；
(2)求的取值范围．
解：(1)证明：在△ABC中，由a＝b＋2b cos C及正弦定理得sin A＝sin B＋2sin B cos C，
又因为A＝π－(B＋C)，
所以sin A＝sin [π－(B＋C)]＝sin (B＋C)＝sin B cos C＋cos B sin C，
即sin B cos C＋cos B sin C＝sin B＋2sin B cos C，
sin B cos C＋cos B sin C－2sin B cos C＝sin B，
sin (C－B)＝sin B，
因为0因为B＋(C－B)＝C<π，
所以B＝C－B，即C＝2B.
(2)解：方法一：由C＝2B，得B＋C＝3B∈(0，π)，
所以0由a＝b＋2b cos C，C＝2B及正弦定理得
＝＝
＝
＝
＝1＋2cos C＋2cos B＝1＋2cos 2B＋2cos B
＝1＋2(2cos2B－1)＋2cosB＝4cos2B＋2cosB－1
＝4(cos B＋)2－.
因为即1<<5，
故的取值范围为(1，5).
方法二：由正弦定理得＝.
因为A＋B＋C＝π，所以A＝π－(B＋C)，
＝＝
.由(1)得C＝2B，故＝
＝
＝
＝
cos 2B＋2cos2B＋2cosB＝2cos2B－1＋2cos2B＋2cosB＝4cos2B＋2cosB－1＝4(cos B＋)2－.
由(1)得C＝2B，则B＋C＝3B∈(0，π)，
所以0所以1<4(cos B＋)2－<5，即1<<5，
故的取值范围为(1，5).(共41张PPT)
微专题3 三角函数与解三角形
大题考法1
PART
01
三角形中边角互化的基本原则
(1)若式子中含有正弦的齐次式，优先考虑正弦定理“角化边”．
(2)若式子中含有a，b，c的齐次式，优先考虑正弦定理“边化角”．
(3)若式子中含有余弦的齐次式，优先考虑余弦定理“角化边”．
(4)含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理求解．
大题考法2
PART
02
第二部分
三角形中的证明问题有两类：一是角的关系，可以利用三角恒等变换转化为同名三角函数，或是某个三角函数值求角；二是边的关系，可以利用正、余弦定理转化为边的关系，证明时可从复杂的一边入手，证明两边相等，也可用比较法：左边－右边＝0.
大题考法3
PART
03
第三部分
(2)求△ABC周长的取值范围．
解三角形中的最值、范围问题的一般步骤
(2)若△ABC为锐角三角形，且c＝1，求△ABC面积的取值范围．
大题考法4
PART
04
第四部分
(2)△ABC中内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，f(A)＝2，b＝3，c＝2，求A的内角平分线AD的长．
解三角形与三角函数综合问题的一般步骤
:
21世织纪教痘
2订世看
,27G2@P
正确分析题意，利用正弦定理、余弦
建立模型
定理将问题转化为代数函数或三角
函数的最值问题
利用基本不等式或函数单调性等求
解代数函数最值，利用辅助角公式
求解模型
或函数单调性求解三角函数最值，
注意函数的定义域
回到要求解的解三角形问题，按题
回归作答
目要求作答
正确分析题意，提炼相关等式，利用等
转化
式的边角关系合理地将问题转化为三角
函数的问题
用定理、
利用正弦定理、余弦定理、二倍角公
公式、
式、辅助角公式等进行三角形中边角
性质
关系的互化
利用二角函数诱导公式、三角形内角和
得结论
定理等知识求函数解析式、角、二角函
数值，或讨论三角函数的基本性质等