(共59张PPT)
三角函数与平面向量
小题考法1
PART
01
小题考法1 三角恒等变换
[核心提炼]
1．和差角公式变形
sin αsin β＋cos (α＋β)＝cos αcos β，
cos αsin β＋sin (α－β)＝sin αcos β，
tan α±tan β＝tan (α±β)·(1 tan αtan β).
√
(1)利用诱导公式进行化简求值的步骤
利用诱导公式化任意角的三角函数为锐角三角函数的步骤为去负—脱周—化锐，特别要注意函数名称和符号的确定．
[注意] “奇变偶不变，符号看象限”．
(2)三角函数恒等变换的“四大策略”
①常数值代换：特别是“1”的代换，1＝sin2θ＋cos2θ＝tan45°等．
②项的拆分与角的配凑：如sin2α＋2cos2α＝(sin2α＋cos2α)＋cos2α，α＝(α－β)＋β等．
③降次与升次：正用二倍角公式升次，逆用二倍角公式降次．
④弦、切互化：一般是切化弦．
√
√
√
小题考法2
PART
02
第二部分
小题考法2 三角函数的图象
[核心提炼]
三角函数图象的两种变换
(1)先平移后伸缩
(2)先伸缩后平移
(3)点坐标定φ：一般运用代入法求解φ值，注意在确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的某一个点为突破口，即“峰点”“谷点”与三个“中心点”．
√
由图可知，这两个图象共有6个交点．
2cos 2x(x∈R)
三角函数图象的平移变换问题类型多、情况复杂、技巧性强，在解题时容易出现错误，破解此类问题的关键如下：
(1)定函数：一定要看准是将哪个函数的图象变换得到哪一个函数的图象．
(2)变同名：变换前后函数的名称要一样．
(3)选方法：选择变换方法要注意对于函数y＝sin ωx(ω＞0)的图象，向左平移φ(φ>0)个单位长度得到的是函数y＝sin [ω(x＋φ)]的图象，而不是函数y＝sin (ωx＋φ)的图象．
√
√
√
小题考法3
PART
03
第三部分
√
求三角函数单调区间的方法
(1)代换法：求形如y＝A sin (ωx＋φ)(或y＝A cos (ωx＋φ))(A，ω，φ为常数，A≠0，ω＞0)的单调区间时，令ωx＋φ＝z，得y＝A sin z(或y＝A cos z)，然后由复合函数的单调性求得；
(2)图象法：画出三角函数的图象，结合图象求其单调区间．
[注意] 求函数y＝A sin (ωx＋φ)的单调区间时，若ω＜0，则要先将ω转化为正数．
√
√
√
√
(1)判断对称中心与对称轴的方法
利用函数y＝A sin (ωx＋φ)的对称轴一定经过图象的最高点或最低点、对称中心的横坐标一定是函数的零点这一性质，通过检验对应函数值进行判断．
√
√
√
√
√
√
√板块一 三角函数与平面向量
微专题1 三角函数的图象与性质
小题考法1 三角恒等变换
[核心提炼]
1．和差角公式变形
sin αsin β＋cos (α＋β)＝cos αcos β，
cos αsin β＋sin (α－β)＝sin αcos β，
tan α±tan β＝tan (α±β)·(1 tan αtan β).
2．倍角公式变形
降幂公式：
cos2α＝，sin2α＝.
升幂公式：
cos α＝2cos2－1，cosα＝1－2sin2.
配方变形：
1±sinα＝(sin ±cos )2.
(1)已知在平面直角坐标系中，角α的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，角α的终边绕原点O逆时针旋转与单位圆交点的纵坐标为，则cos (2α－)＝( A )
A．－ B．
C．－ D．
【解析】 (1)角α的终边绕原点O逆时针旋转后变为α＋.由三角函数的定义可知，sin (α＋)＝，所以cos (2α－)＝cos [2(α＋)－π]＝－cos [2(α＋)]＝2sin2(α＋)－1＝2×()2－1＝－.故选A.
(2)(2024·新课标Ⅱ卷)已知α为第一象限角，β为第三象限角，tanα＋tan β＝4，tan αtan β＝＋1，则sin (α＋β)＝________．
【解析】 由题知tan (α＋β)＝＝＝－2，
即sin (α＋β)＝－2cos (α＋β)，
又sin2(α＋β)＋cos2(α＋β)＝1，
可得sin2(α＋β)＝.由2kπ＜α＜2kπ＋，k∈Z，2mπ＋π＜β＜2mπ＋，m∈Z，得2(k＋m)π＋π＜α＋β＜2(k＋m)π＋2π，k＋m∈Z.又tan(α＋β)＜0，所以α＋β是第四象限角，故sin (α＋β)＝－.
【答案】 －
INCLUDEPICTURE "方法点拨1.TIF"
(1)利用诱导公式进行化简求值的步骤
利用诱导公式化任意角的三角函数为锐角三角函数的步骤为去负—脱周—化锐，特别要注意函数名称和符号的确定．
[注意] “奇变偶不变，符号看象限”．
(2)三角函数恒等变换的“四大策略”
①常数值代换：特别是“1”的代换，1＝sin2θ＋cos2θ＝tan45°等．
②项的拆分与角的配凑：如sin2α＋2cos2α＝(sin2α＋cos2α)＋cos2α，α＝(α－β)＋β等．
③降次与升次：正用二倍角公式升次，逆用二倍角公式降次．
④弦、切互化：一般是切化弦．
INCLUDEPICTURE "对点训练.TIF"
1．(2024·新课标Ⅰ卷)已知cos(α＋β)＝m，tan αtan β＝2，则cos (α－β)＝( A )
A．－3m B．－
C． D．3m
解析：由cos (α＋β)＝m得cos α·cos β－sin αsin β＝m.①由tan αtan β＝2得＝2，②
由①②得所以cos (α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝－3m.
2．(2024·江西二模)已知α，β∈(0，)，cos (α－β)＝，tan αtan β＝，则α＋β＝( A )
A． B．
C． D．
解析：因为cos (α－β)＝，tan αtan β＝，
所以
解得
所以cos (α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝，又α，β∈(0，)，所以α＋β∈(0，π)，所以α＋β＝.
3．(2024·江苏二模)已知非零向量a＝(cos 2α，sin (α＋))，b＝(sin (α＋)，1)，若a∥b，则sin 2α＝( D )
A．－1 B．
C． D．
解析：因为a，b为非零向量，所以即(k1∈Z，k2∈Z).
因为a∥b，所以sin2(α＋)＝cos2α，则＝cos 2α，
即1＋sin 2α＝2cos 2α，
即sin2α＋cos2α＋2sinαcos α＝2cos2α－2sin2α，
又cos2α＝sin2(α＋)>0，
即cos2α>，故cosα≠0，
所以两边同除以cos2α，
可得3tan2α＋2tanα－1＝0，解得tan α＝或tan α＝－1(舍去)，所以sin 2α＝＝＝＝.
小题考法2 三角函数的图象
[核心提炼]
三角函数图象的两种变换
(1)先平移后伸缩
(2)先伸缩后平移
命题角度 三角函数的图象识别
(2023·新课标Ⅱ卷)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)，如图，A，B是直线y＝与曲线y＝f(x)的两个交点，若|AB|＝，则f(π)＝________．
【解析】 设A(x1，)，B(x2，)，由|AB|＝，可得x2－x1＝，由sin (ωx＋φ)＝，知ωx1＋φ＝＋2kπ，k∈Z，ωx2＋φ＝＋2kπ，k∈Z，
所以(ωx2＋φ)－(ωx1＋φ)＝－＝，
即ω·＝，故ω＝4.
因为f()＝sin (＋φ)＝0，由“五点(画图)法”得，＋φ＝2kπ，k∈Z，即φ＝－＋2kπ，k∈Z，
所以f(x)＝sin (4x－＋2kπ)＝sin (4x－)，
所以f(π)＝sin (4π－)＝－.
【答案】 －
INCLUDEPICTURE "方法点拨1.TIF"
由“图”定“式”找“对应”的方法
对于函数f(x)＝A sin (ωx＋φ)＋B(A>0，ω>0，φ为常数)：
(1)最值定A，B：根据给定的函数图象确定最值，设最大值为M，最小值为m，则M＝A＋B，m＝－A＋B，解得A＝，B＝.
(2)T定ω：由周期的求解公式T＝，可得ω＝.
(3)点坐标定φ：一般运用代入法求解φ值，注意在确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的某一个点为突破口，即“峰点”“谷点”与三个“中心点”．
命题角度 三角函数的图象变换及应用
(1)(2024·新课标Ⅰ卷)当x∈[0，2π]时，曲线y＝sin x与y＝2sin (3x－)的交点个数为( C )
A.3 B．4
C．6 D．8
【解析】 因为函数y＝2sin (3x－)的最小正周期T＝，所以函数y＝2sin (3x－)在[0，2π]上的图象恰好是三个周期的图象，所以作出函数y＝2sin (3x－)与y＝sin x在[0，2π]上的图象如图所示，
由图可知，这两个图象共有6个交点．
(2)若a，b，c，d为实数，且＝ad－bc，定义函数f(x)＝，现将函数f(x)的图象先向左平移个单位长度，再向上平移 个单位长度后得到函数g(x)的图象，则g(x)＝________．
【解析】 由题意得f(x)＝2sin x cos x－2cos2x＝sin2x－(cos 2x＋1)＝2sin (2x－)－.
因为函数f(x)的图象先向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度后得到函数g(x)的图象，
所以g(x)＝2sin [2(x＋)－]－＋＝2cos 2x，
所以g(x)的解析式为g(x)＝2cos 2x(x∈R).
【答案】 2cos 2x(x∈R)
INCLUDEPICTURE "方法点拨1.TIF"
三角函数图象的平移变换问题类型多、情况复杂、技巧性强，在解题时容易出现错误，破解此类问题的关键如下：
(1)定函数：一定要看准是将哪个函数的图象变换得到哪一个函数的图象．
(2)变同名：变换前后函数的名称要一样．
(3)选方法：选择变换方法要注意对于函数y＝sin ωx(ω＞0)的图象，向左平移φ(φ>0)个单位长度得到的是函数y＝sin [ω(x＋φ)]的图象，而不是函数y＝sin (ωx＋φ)的图象．
INCLUDEPICTURE "对点训练.TIF"
1．(2024·南京二模)为了得到函数y＝sin (2x＋)的图象，只要把函数y＝sin 2x图象上所有的点( A )
A．向左平移个单位长度
B．向左平移个单位长度
C．向右平移个单位长度
D．向右平移个单位长度
解析：y＝sin (2x＋)＝sin [2(x＋)]，
则把函数y＝sin 2x图象上所有的点向左平移个单位长度即可．
2．(多选)(2024·新课标Ⅱ卷)对于函数f(x)＝sin 2x和g(x)＝sin (2x－)，下列说法中正确的有( BC )
A．f(x)与g(x)有相同的零点
B．f(x)与g(x)有相同的最大值
C．f(x)与g(x)有相同的最小正周期
D．f(x)与g(x)的图象有相同的对称轴
解析：对于A，令f(x)＝0，则x＝，k∈Z，又g()≠0，故A错误；
对于B，f(x)与g(x)的最大值都为1，故B正确；
对于C，f(x)与g(x)的最小正周期都为π，故C正确；
对于D，f(x)图象的对称轴方程为2x＝＋kπ，k∈Z，即x＝＋，k∈Z，g(x)图象的对称轴方程为2x－＝＋kπ，k∈Z，即x＝＋，k∈Z，故f(x)与g(x)的图象的对称轴不相同，故D错误．
小题考法3 三角函数的性质
[核心提炼]
函数y＝A sin (ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的性质
(1)单调性：由－＋2kπ≤ωx＋φ≤＋2kπ(k∈Z)可得单调递增区间；由＋2kπ≤ωx＋φ≤＋2kπ(k∈Z)可得单调递减区间．
(2)对称性：由ωx＋φ＝kπ(k∈Z)可得对称中心；由ωx＋φ＝kπ＋(k∈Z)可得对称轴．
(3)奇偶性：φ＝kπ(k∈Z)时，函数y＝A sin (ωx＋φ)为奇函数；φ＝kπ＋(k∈Z)时，函数y＝A sin (ωx＋φ)为偶函数．
命题角度 三角函数的单调性
(1)(2024·湛江二模)函数f(x)＝4sin (5x－)在[0，]上的值域为( B )
A．[－2，2]
B．[－2，4]
C．[－2，4]
D．[－2，2]
【解析】 因为x∈[0，]，所以5x－∈[－，]，所以sin (5x－)∈[－，1]，故f(x)＝4sin (5x－)在[0，]上的值域为[－2，4].
(2)设函数f(x)＝sin (x＋α)－cos x，α∈(0，)，f()＝.则函数f(x)的单调递增区间为______________．
【解析】 由题意知sin (＋α)－cos ＝，得sin (＋α)＝1.
因为α∈(0，)，所以＋α∈(，)，
所以＋α＝，所以α＝.
所以f(x)＝sin (x＋)－cos x＝sin x cos ＋cos x sin －cos x＝sin x cos －cos x sin ＝sin (x－).
令θ＝x－，则y＝sin θ的单调递增区间为[－＋2kπ，＋2kπ]，k∈Z，即－＋2kπ≤x－≤＋2kπ，k∈Z，解得－＋2kπ≤x≤＋2kπ，k∈Z，
所以f(x)的单调递增区间为[2kπ－，2kπ＋]，k∈Z.
【答案】 [2kπ－，2kπ＋]，k∈Z
INCLUDEPICTURE "方法点拨1.TIF"
求三角函数单调区间的方法
(1)代换法：求形如y＝A sin (ωx＋φ)(或y＝A cos (ωx＋φ))(A，ω，φ为常数，A≠0，ω＞0)的单调区间时，令ωx＋φ＝z，得y＝A sin z(或y＝A cos z)，然后由复合函数的单调性求得；
(2)图象法：画出三角函数的图象，结合图象求其单调区间．
[注意] 求函数y＝A sin (ωx＋φ)的单调区间时，若ω＜0，则要先将ω转化为正数．
命题角度 三角函数的奇偶性、周期性、对称性
INCLUDEPICTURE "例5.TIF" (1)(多选)若f(x)＝|sin x|＋cos x，则( AD )
A．f(x)是偶函数
B．f(x)在区间(，)上单调递增
C．f(x)的最小正周期为π
D．f(x)在区间(－，)上的最小值为1
【解析】 因为f(x)＝|sin x|＋cos x，定义域为R，所以f(－x)＝|sin (－x)|＋cos (－x)＝|sin x|＋cos x＝f(x)，所以f(x)是偶函数，所以A正确；
当x∈(，)时，f(x)＝|sin x|＋cos x＝sin x＋cos x＝sin (x＋)，因为x∈(，)，所以x＋∈(，)，所以函数f(x)＝sin (x＋)在(，)上单调递减，所以B错误；
因为f(x＋π)＝|sin (x＋π)|＋cos (x＋π)＝|sin x|－cos x，f(x)＝|sin x|＋cos x，所以f(x＋π)＝f(x)不恒成立，所以C错误；
因为函数f(x)是偶函数，所以要求f(x)在区间(－，)上的最小值，只需求f(x)在[0，)上的最小值，当x∈[0，)时，f(x)＝|sin x|＋cos x＝sin x＋cos x＝sin (x＋)，因为x∈[0，)，所以x＋∈[，)，当x＋＝，即x＝0时，函数f(x)取得最小值，最小值为f(0)＝1，所以D正确．故选AD.
(2)(多选)已知函数f(x)＝2sin (ωx＋)＋b(ω>0)的最小正周期T满足A．ω＝2
B．f(x)的值域是[－2，2]
C．直线x＝是f(x)图象的一条对称轴
D．f(x＋)是偶函数
【解析】 由点P(－，1)为函数f(x)图象的一个对称中心，得－ω＋＝kπ(k∈Z)，且b＝1，解得ω＝2－8k(k∈Z).
由0，得<<，解得<ω<4，则ω＝2，故A正确；
f(x)＝2sin (2x＋)＋1，因为sin (2x＋)∈[－1，1]，所以f(x)∈[－1，3]，故B错误；
将x＝代入2x＋，可得2×＋＝，根据正弦函数的对称性，直线x＝是f(x)图象的一条对称轴，故C正确；
f(x＋)＝2sin [2(x＋)＋]＋1＝2sin (2x＋＋)＋1＝2cos (2x＋)＋1，显然该函数不是偶函数，故D错误．故选AC.
INCLUDEPICTURE "方法点拨1.TIF"
(1)判断对称中心与对称轴的方法
利用函数y＝A sin (ωx＋φ)的对称轴一定经过图象的最高点或最低点、对称中心的横坐标一定是函数的零点这一性质，通过检验对应函数值进行判断．
(2)求三角函数周期的常用结论
y＝A sin (ωx＋φ)和y＝A cos (ωx＋φ)的最小正周期均为，y＝tan (ωx＋φ)的最小正周期为.
INCLUDEPICTURE "对点训练.TIF"
1．已知函数f(x)＝sin (2ωx－)(0＜ω＜1)的图象关于点(，0)中心对称，将函数f(x)的图象向左平移个单位长度后得到函数g(x)的图象，则g(x)的一个单调递增区间是( B )
A．[－，] B．[－π，π]
C．[－，] D．[0，2π]
解析：因为函数f(x)＝sin (2ωx－)的图象关于点(，0)中心对称，所以－＝kπ，k∈Z，所以ω＝k＋，k∈Z.因为0＜ω＜1，所以ω＝，所以f(x)＝sin (x－)，所以g(x)＝f(x＋)＝sin x.令2kπ－≤x≤2kπ＋，k∈Z，解得4kπ－π≤x≤4kπ＋π，k∈Z，对比选项可知，只有选项B满足要求．故选B.
2．(多选)已知函数f(x)＝sin ωx＋cos ωx(ω＞0)满足f()＝2，f()＝0，则( ABD )
A．曲线y＝f(x)关于直线x＝对称
B．函数y＝f(x－)是奇函数
C.函数y＝f(x)在(，)上单调递减
D．函数y＝f(x)的值域为[－2，2]
解析：由题意得，f(x)＝2sin (ωx＋)，由f()＝2，得sin (＋)＝1，所以＋＝2k1π＋，k1∈Z，即ω＝12k1＋1，k1∈Z；由f()＝0，得sin (＋)＝0，所以＋＝k2π，k2∈Z，即ω＝，k2∈Z.又ω＞0，所以ω＝12k＋1，k∈N.
选项A，当x＝时，ωx＋＝(12k＋1)＋＝14kπ＋，k∈N，显然曲线y＝f(x)关于直线x＝对称，A正确；
选项B，f(x－)＝2sin [ω(x－)＋]＝
2sin [(12k＋1)·(x－)＋]＝2sin [(12k＋1)x－4kπ]＝2sin [(12k＋1)x]，k∈N，显然y＝f(x－)是奇函数，B正确；
选项C，当k＝1，即ω＝13时，令u＝13x＋，由＜x＜，得＜u＜，y＝2sin u在u∈(，)上不单调，C错误；
选项D，f(x)＝2sin (ωx＋)，x∈R的值域为[－2，2]，D正确．故选ABD.
3.(多选)(2024·安徽模拟)已知函数f(x)＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<)的部分图象如图所示，且阴影部分的面积为4π，则( ACD )
A．函数f(x)的最小正周期为π
B．点(，0)为曲线y＝f(x)的一个对称中心
C．直线x＝为曲线y＝f(x)的一条对称轴
D．函数f(x)在区间[，π]上单调递增
解析：由题图可知，A＝2，因为f(0)＝2sin φ＝1，即sin φ＝，且－<φ<，可得φ＝.对于A，设f(x)的最小正周期为T，则4T＝4π，即T＝π，故A正确；又因为ω>0，可得ω＝＝2，所以f(x)＝2sin (2x＋)，对于B，因为f()＝2sin (＋)＝2sin (π－)＝2sin ≠0，所以点(，0)不为曲线y＝f(x)的一个对称中心，故B错误；对于C，因为f()
＝2sin (＋)＝2sin ＝－2，为最小值，所以直线x＝为曲线y＝f(x)的一条对称轴，故C正确；对于D，因为x∈[，π]，则2x＋∈[，]，且y＝sin x在[，]上单调递增，所以函数f(x)在区间[，π]上单调递增，故D正确．
INCLUDEPICTURE "专题强化练.TIF"
[小题标准练]
1．已知第二象限角α的终边与单位圆交于点P(m，)，则＝( B )
A．－ B．－11
C．－ D．1
解析：因为第二象限角α的终边与单位圆交于点P(m，)(m＜0)，所以 ＝1，解得m＝－，tan α＝－，所以＝＝－11.故选B.
2．下列函数中最小正周期为π，且为偶函数的是( C )
A．y＝cos |x| B．y＝tan
C．y＝|cos x| D．y＝sin (4x＋)
解析：选项A，y＝cos |x|＝cos x，所以函数y＝cos |x|是偶函数，且最小正周期为2π，所以A不符合题意；选项B，y＝tan 是奇函数，且最小正周期为2π，所以B不符合题意；选项C，y＝|cos x|是偶函数，且最小正周期为π，所以C符合题意；选项D，y＝sin (4x＋)＝cos 4x，所以函数y＝sin (4x＋)是偶函数，且最小正周期为，所以D不符合题意．故选C.
3．若α∈(，)，且cos2α＋cos(＋2α)＝－，则tan α＝( C )
A． B．2
C．3 D．2
解析：方法一：cos2α＋cos(＋2α)＝cos2α－sin2α＝cos2α－2sinαcos α＝＝＝－，整理得tan2α－4tanα＋3＝0，解得tan α＝3或tan α＝1.又α∈(，)，所以tan α＝3.故选C.
方法二：cos2α＋cos(＋2α)＝cos2α－sin2α＝cos2α－2sinαcos α＝－＝－(cos2α＋sin2α)，所以sin2α－2sinαcos α＋cos2α＝0，所以tan2α－4tanα＋3＝0，解得tan α＝1或tan α＝3.又α∈(，)，所以tan α＝3.故选C.
4．(2023·全国乙卷)已知函数f(x)＝sin (ωx＋φ)在区间(，)单调递增，直线x＝和x＝为函数y＝f(x)的图象的两条相邻对称轴，则f(－)＝( D )
A．－ B．－
C． D．
解析：由题意得×＝－，解得ω＝2，易知x＝是f(x)的最小值点，所以×2＋φ＝＋2kπ，k∈Z，解得φ＝＋2kπ，k∈Z，所以f(x)＝sin (2x＋＋2kπ)＝sin (2x＋)，f(－)＝sin (－×2＋)＝sin ＝.故选D.
5．已知函数f(x)＝a－tan 2x在[－，b]上的最大值为7，最小值为3，则ab的值为( B )
A． B．
C． D．
解析：因为x∈[－，b]，所以b＞－，所以2x∈[－，2b]，根据函数f(x)在[－，b]上的最大值为7，最小值为3，所以2b＜，即b＜，因为正切函数g(x)＝tan x在区间(－，)上单调递增，则函数f(x)＝a－tan 2x在区间[－，b]上单调递减，
所以f(－)＝a＋3＝7，解得a＝4，所以f(b)＝4－tan 2b＝3，则tan 2b＝，又2b∈(－，)，所以2b＝，所以b＝，所以ab＝4×＝.故选B.
6．(2024·梅州二模)若把函数f(x)＝sin x＋a cos x的图象向左平移个单位长度后得到的是一个偶函数的图象，则a＝( C )
A． B．－
C． D．－
解析：把函数f(x)＝sin x＋a cos x的图象向左平移个单位长度后得到的图象对应的函数解析式为g(x)＝sin (x＋)＋a cos (x＋)，
又g(－x)＝g(x)，
则sin (－x＋)＋a cos (－x＋)＝sin (x＋)＋a cos (x＋)，
即cos x－sin x＋a(cos x＋sin x)＝sin x＋cos x＋a(cos x－sin x)，
即(a－)sin x＝(－a)sin x，该方程对任意x∈R恒成立，
则a－＝－a，解得a＝.
7．(2024·广州调研)若α，β∈(，π)，且(1－cos 2α)(1＋sin β)＝sin 2αcos β，则下列结论正确的是( A )
A．2α＋β＝ B．2α－β＝
C．α＋β＝ D．α－β＝
解析：由题意可得[1－(1－2sin2α)](1＋sinβ)＝2sin αcos αcos β，因为sin α≠0，所以sin α＋sin αsin β＝cos αcos β，即sin α＝cos (α＋β).因为α，β∈(，π)，所以α＋β∈(π，2π)，－α∈(，2π)，sin α＞0，所以cos (α＋β)＞0，所以α＋β∈(，2π)，sin α＝cos (α＋β)可变形为cos (－α)＝cos (α＋β).因为y＝cos x在区间(，2π)上单调递增，所以－α＝α＋β，可得2α＋β＝.故选A.
8．(2024·辽宁二模)已知A，B，C是直线y＝m与函数f(x)＝2sin (ωx＋φ)(ω＞0，0＜φ＜π)的图象的三个交点，如图所示．其中，点A(0，)，B，C两点的横坐标分别为x1，x2，若x2－x1＝，则f()＝( A )
A.－ B．－1
C． D．2
解析：由f(0)＝2sin φ＝，可得sin φ＝，因为0＜φ＜π，由题图知，点A在f(x)图象的下降部分，所以φ＝，故f(x)＝2sin (ωx＋)，
因为A(0，)，所以A，B，C是直线y＝与f(x)图象的三个连续交点．
由xA＝0，即ωxA＋＝，
可得ωx1＋＝，ωx2＋＝，
解得x1＝，x2＝，
所以x2－x1＝.
因为x2－x1＝，所以＝，
所以ω＝2，所以f(x)＝2sin (2x＋)，
则f()＝2sin (π＋)＝－2sin ＝－.
9．(多选)设函数f(x)＝sin (x－)，则下列结论正确的是( AD )
A．f(x)的一个周期为－2π
B．f(x)的图象关于直线x＝对称
C．f(x)的图象关于点(－，0)中心对称
D．f(x)在区间(，)上单调递增
解析：A项，因为ω＝1，所以函数f(x)的最小正周期为T＝＝2π，所以－2π是函数f(x)的一个周期，故A正确；B项，当x＝时，f()＝sin (－)＝0，该函数值不是函数的最值，故B错误；C项，当x＝－时，f(－)＝sin (－－)＝－1≠0，故C错误；D项，当x∈(，)时，x－∈(0，)，此时函数f(x)＝sin (x－)单调递增，故D正确．故选AD.
10．(多选)设函数f(x)＝cos 2ωx＋sin 2ωx(ω＞0)的最小正周期为π，则( ACD )
A．ω＝1
B．函数y＝f(x)的图象可由函数y＝2sin 2x的图象向左平移个单位长度得到
C．函数f(x)的图象关于点(，0)中心对称
D．函数f(x)在区间(－，)上单调递增
解析：f(x)＝cos 2ωx＋sin 2ωx＝2sin (2ωx＋)，因为函数f(x)的最小正周期为π，所以＝π，所以ω＝1，所以A正确；因为f(x)＝2sin (2x＋)＝2sin [2(x＋)]，所以函数f(x)的图象可由函数y＝2sin 2x的图象向左平移个单位长度得到，所以B错误；因为f()＝2sin (2×＋)＝2sin π＝0，所以函数f(x)＝2sin (2x＋)的图象关于点(，0)中心对称，所以C正确；当x∈(－，)时，2x＋∈(－，) (－，)，所以函数f(x)＝2sin (2x＋)在(－，)上单调递增，所以D正确．故选ACD.
11．(多选)已知cos (α＋β)＝－，cos 2α＝－，其中α，β为锐角，则以下命题正确的是( AC )
A．sin 2α＝
B．cos (α－β)＝－
C．cos αcos β＝
D．tan αtan β＝
解析：因为α，β∈(0，)，所以2α∈(0，π)，α＋β∈(0，π)，则sin 2α＝＝，故A正确；
sin(α＋β)＝＝，所以cos(α－β)＝cos [2α－(α＋β)]＝cos 2αcos (α＋β)＋sin 2αsin (α＋β)＝(－)×(－)＋×＝，故B错误；
因为cos (α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝，cos (α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝－，故cos αcos β＝[cos (α＋β)＋cos (α－β)]＝×(－＋)＝，故C正确；
又sin αsin β＝[cos (α－β)－cos (α＋β)]＝×[－(－)]＝，所以tan αtan β＝3，故D错误．故选AC.
12．已知sin α＋cos α＝，则sin (－2α)＝________．
解析：由sin α＋cos α＝，得sin (α＋)＝，
则sin (－2α)＝sin (2α＋)＝sin [2(α＋)－]＝－cos [2(α＋)]＝2sin2(α＋)－1＝2×()2－1＝－.
答案：－
13．已知函数f(x)＝A sin2(ωx＋)(A＞0，ω＞0)的图象关于点(，1)中心对称，其最小正周期为T，且＜T＜，则ω的值为________．
解析：f(x)＝A sin2(ωx＋)＝－cos(2ωx＋)＋，因为f(x)的图象关于点(，1)中心对称，
所以
解得
所以f(x)＝－cos (2ωx＋)＋1，
又因为f(x)的最小正周期为T，且＜T＜，所以可得＜＜，则＜ω＜2，所以当k＝1时，ω的值为.
答案：
14．已知函数f(x)＝2sin x＋sin 2x，则f(x)的最小值是________．
解析：f′(x)＝2cos x＋2cos 2x＝2cos x＋2(2cos2x－1)＝2(2cos2x＋cosx－1)＝2(2cos x－1)(cos x＋1).
因为cos x＋1≥0，所以当cos x＜时，f′(x)≤0，f(x)单调递减；当cos x＞时，f′(x)＞0，f(x)单调递增，所以当cos x＝时，f(x)有最小值．又f(x)＝2sin x＋sin 2x＝2sin x(1＋cos x)，所以当sin x＝－时，f(x)有最小值，即f(x)min＝2×(－)×(1＋)＝－.
答案：－
[小题提升练]
15．(多选)已知函数f(x)＝－sin ωx＋cos ωx(ω＞0)，|f(x1)－f(x2)|＝4，且|x1－x2|的最小值是，则下列结论正确的是( CD )
A.f(x)的图象关于点(－，0)中心对称
B．f(x)在区间[－，]上单调递增
C．若函数g(x)＝f(x＋)，则g(x)是奇函数
D．若函数h(x)＝f(x)＋在[0，m]上恰有2 023个零点，则实数m的取值范围是[，)
解析：由题意可得f(x)＝－2sin (ωx－)(ω＞0)，又|f(x1)－f(x2)|＝4，
故设f(x1)，f(x2)分别为f(x)的最大、最小值，此时|x1－x2|的最小值是，
则＝，即×＝，解得ω＝2，
则f(x)＝－2sin (2x－).
因为f(－)＝－2sin (－)≠0，所以f(x)的图象不关于点(－，0)中心对称，故A错误；
由f(x)＝－2sin (2x－)，令2kπ＋≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，整理得kπ＋≤x≤kπ＋，k∈Z，因为[－，D? [kπ＋，kπ＋](k∈Z)，故B错误；
由题意可得g(x)＝f(x＋)＝－2sin [2(x＋)－]＝－2sin 2x，则g(x)是奇函数，故C正确；
由h(x)＝f(x)＋＝0，得sin (2x－)＝，
若函数h(x)在[0，m]上恰有2 023个零点，
则2 022π＋≤2m－＜2 022π＋，解得≤m＜，故D正确．故选CD.
16．已知函数f(x)＝a sin πx＋b cos πx(b＞0)的图象关于点(，0)对称，若|f(x1)－f(x2)|＝|f(x3)－f(x4)|＝|f(x5)－f(x6)|＝4b(0＜x1＜x2＜x3＜x4＜x5＜x6)，则i的最小值为________．
解析：由f(x)的图象关于点(，0)对称可得f()＝0，得a＋b＝0，
即a＝－b，
所以f(x)＝－b sin πx＋b cos πx＝2b cos (πx＋)，且b＞0，
所以f(x)的最大值为2b，最小值为－2b.
如图所示，作出f(x)的大致图象，令πx＋＝kπ，k∈Z，则f(x)图象的对称轴方程为x＝k－，k∈Z，则由|f(x1)－f(x2)|＝|f(x3)－f(x4)|＝|f(x5)－f(x6)|＝4b可得，
当i最小时，f(x1)＝f(x3)＝f(x5)＝－2b，f(x2)＝f(x4)＝f(x6)＝2b，
且xi是f(x)在y轴右侧连续的最值点，
故i的最小值为(1－)＋(2－)＋(3－)＋(4－)＋(5－)＋(6－)＝19.
答案：19
