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浙教版数学九年级下学期第一次月考
真题汇编严选卷
（考试时间：120分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．砚台与笔、墨、纸是中国传统的文房四宝，是中国书法的必备用具．下图是一方寓意“规矩方圆”的砚台，它的俯视图是（ ）
A． B． C． D．
2．在中，若，则的值是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，在平面直角坐标系中，菱形的边在轴上，点，，若反比例函数经过点，则的值是（ ）
A．10 B．12 C．48 D．50
4． 如图，某校教学楼与的水平间距，在教学楼的顶部点测得教学楼的顶部点的仰角为，测得教学楼的底部点的俯角为，则教学楼的高度是（ ）
A． B．
C． D．
5．在平面直角坐标系中，以为圆心，为半径作圆，M为上一点，若点N的坐标为，则线段的最小值为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，在矩形中，以点A为圆心，以长为半径画弧交于点E，将扇形剪下来做成圆锥，若，则该圆锥底面半径为（ ）
A． B． C．3 D．
7．下列命题为真命题的是（ ）
A．同旁内角互补
B．三角形的外心是三条内角平分线的交点
C．平行于同一条直线的两条直线平行
D．若甲、乙两组数据中，，，则乙组数据较稳定
8．如图，某地修建高速公路，要从A地向B地修条隧道(点A、B在同一水平面上)，为了测量A、B两地之间的距离，一架直升飞机从A地出发，垂直上升1000米到达C处，在C处观察点B，俯角为α．则A、B两地之间的距离为（ ）
A．1000sinα B．1000tanα C． D．
9．图1是数学家皮亚特海恩发明的索玛立方块，它由四个及四个以内大小相同的立方体以面相连构成的不规则形状组件组成，图2不可能是下面哪个组件的视图（ ）
A． B． C． D．
10．如图， 中， ， ，它的周长为 若 与 ， ， 三边分别切于 ， ， 点，则 的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．已知的半径是一元二次方程的一个根，圆心O到直线l的距离，则直线l与的位置关系是 .
12．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，点A，B，C均在网格交点上，是的外接圆，则的值是 .
13．如图，四边形为正方形，的平分线交于点E，将绕点B顺时针旋转90°得到，延长交于点G，连接，，与相交于点H．有下列结论：①；②G为的外心；③；④．其中正确结论的序号是 ．
14．如图.某同学为测量宣传牌的高度，他站在距离教学楼底部E处9米远的地面C处，测得宣传牌的底部B的仰角为60°，同时测得教学楼窗户D处的仰角为30°（A、B、D、E在同一直线上）.然后，小明沿坡度的斜坡从C走到F处，此时正好与地面平行.他在F处又测得宣传牌顶部A的仰角为45°，则宣传牌的高度 （结果保留根号）.
15．如图，在 中， ， ， . 绕点B顺时针方向旋转45°得到 ，点A经过的路径为弧 ，点C经过的路径为弧 ，则图中阴影部分的面积为 .（结果保留 ）
16．⊙O的半径为R，点O到直线l的距离为d，R，d是方程 x2 -4x+m=0的两根，当直线l与⊙O相切时，m的值为 ．
三、综合题(本大题有9个小题，每小题8分，共72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．如图，是的直径，点C，D在上，，与相交于点E，点F在的延长线上，且．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求的半径．
18．长嘴壶茶艺表演是一项深受群众喜爱的民俗文化，是我国茶文化的一部分，所用到的长嘴壶更是历史悠久，源远流长.图①是现今使用的某款长嘴壶放置在水平桌面上的照片，图②是其抽象示意图，l是水平桌面，测得壶身AD=BC=3AE=24cm，AB=30cm，CD=22cm，且CD∥AB.壶嘴EF=80cm，∠FED=70°
（1）求FE与水平桌面l的夹角
（2）如图③，若长嘴壶中装有若干茶水，绕点A转动壶身，当恰好倒出茶水时，EF∥l，求此时点F下落的高度.（结果保留一位小数）.
参考数据：sin80°≈0.98，cos80°≈0.17，tan80°≈5.67，sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75.
19．如图，将矩形ABCD沿对角线BD对折，点C落在E处，BE与AD相交于点F．
（1）求证：△BFD是等腰三角形；
（2）若BC=4，CD=2，求∠AFB的余弦值．
20．如图， 是半圆 的直径，过 延长线上一点 作半圆 的切线 ， 为切点，过点 作 于点 ，连接 ．
（1）求证： 平分 ．
（2）若 ， ，则 的长为 （结果保留 ）．
21．如图，已知⊙O的半径为5，△ABC是⊙O的内接三角形，AB=8．过点B作⊙O的切线BD，过点A作AD⊥BD，垂足为D。
（1）求证：∠BAD+∠C=90°；
（2）求线段AD的长。
22．如图，是的弦，C是外一点，交于点P，交于点D，且.
（1）判断直线与的位置关系，并说明理由；
（2）若，求图中阴影部分的面积.
23．如图1是一种纸巾盒，由盒身和圆弧盖组成，通过圆弧盖的旋转来开关纸巾盒.如图2是其侧面简化示意图，已知矩形的长，宽，圆弧盖板侧面 所在圆的圆心O是矩形的中心，绕点D旋转开关（所有结果保留小数点后一位）.
（1）求所在的半径长及所对的圆心角度数；
（2）如图3，当圆弧盖板侧面从起始位置绕点D旋转90°时，求在这个旋转过程中扫过的的面积.
参考数据：，，取3.14.
24．如图，在平面直角坐标系中，抛物线（）与轴分别交于，两点，点的坐标是，点的坐标是，与轴交于点，是抛物线上一动点，且位于第二象限，过点作轴，垂足为，线段与直线相交于点．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）连接，是否存在点，使得？若存在，求出点的横坐标；若不存在，请说明理由．
25．在正方形ABCD中，点M是边AB的中点，点E在线段AM上（不与点A重合），点F在边BC上，且，连接EF，以EF为边在正方形ABCD内作正方形EFGH.
（1）如图1，若，当点E与点M重合时，求正方形EFGH的面积，
（2）如图2，已知直线HG分别与边AD，BC交于点I，J，射线EH与射线AD交于点K.
①求证：；
②设，和四边形AEHI的面积分别为，.求证：.
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浙教版数学九年级下学期第一次月考
真题汇编严选卷
（考试时间：120分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．砚台与笔、墨、纸是中国传统的文房四宝，是中国书法的必备用具．下图是一方寓意“规矩方圆”的砚台，它的俯视图是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】根据从上面看得到的图象是俯视图，可得答案．
故答案为：C
【分析】根据从上面看得到的图象是俯视图，可得答案．
2．在中，若，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】 在中，，
由勾股定理可得
故答案为：A.
【分析】先利用勾股定理求得AC的值，再利用正切的定义即可求解.
3．如图，在平面直角坐标系中，菱形的边在轴上，点，，若反比例函数经过点，则的值是（ ）
A．10 B．12 C．48 D．50
【答案】B
【解析】【解答】解：如图，过点C作CE⊥OA于点E，
∵菱形OABC的边OA在x轴上，点 ，
∴ ，
∵ .
∴ ，
∴
∴点C坐标
∵若反比例函数 经过点C，
∴ ，
故答案为：B.
【分析】过点C作CE⊥OA于点E，根据菱形的性质及点A的坐标得OC=OA=5，由∠COA的正弦函数可得CE=4，进而用勾股定理算出OE，从而得到点C的坐标，最后根据反比例函数图象上的点的坐标特点可求出k.
4． 如图，某校教学楼与的水平间距，在教学楼的顶部点测得教学楼的顶部点的仰角为，测得教学楼的底部点的俯角为，则教学楼的高度是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：过点作，垂足为，
由题意得：
米，
在中，，
米，
在中，，
米，
米，
故答案为：A.
【分析】过点C作CE⊥AB，垂足为E，由题意可得CE=BD=a米，根据三角函数的概念可得BE、AE，然后根据AB=AE+BE进行计算.
5．在平面直角坐标系中，以为圆心，为半径作圆，M为上一点，若点N的坐标为，则线段的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：点的坐标为，
点为直线上任意一点，如下图所示：
直线为函数的图象，则为直线上一点，为上一点，
由图象可知：过点作垂线，当、分别是垂线与、的交点时，的长度最大，
此时：，
把代入得：，
把代入得：，解得：，
∴，，
，
，
，
，
此时，故D正确.
故答案为：D.
【分析】根据点N的坐标可得点N为直线y=2x+4上任意一点，由图象可知：过点P作AB的垂线，当M、N分别是垂线与AB、⊙P的交点时，MN的长度最大，易得点A、B的坐标，求出AB的值，根据三角函数的概念可得NP，然后利用MN=PN+MP进行计算.
6．如图，在矩形中，以点A为圆心，以长为半径画弧交于点E，将扇形剪下来做成圆锥，若，则该圆锥底面半径为（ ）
A． B． C．3 D．
【答案】B
【解析】【解答】解：∵在矩形中，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，，
∴，
∵扇形的弧长等于围成的圆锥的底面圆的周长
∴设圆锥的底面圆的半径为r
∴，
∴解得．
故答案为：B．
【分析】设圆锥的底面圆的半径为r，再结合“扇形的弧长等于围成的圆锥的底面圆的周长”列出方程，再求出即可。
7．下列命题为真命题的是（ ）
A．同旁内角互补
B．三角形的外心是三条内角平分线的交点
C．平行于同一条直线的两条直线平行
D．若甲、乙两组数据中，，，则乙组数据较稳定
【答案】C
【解析】【解答】解：A、两平行线被第三直线所截，同旁内角互补，原命题是假命题，不符合题意；
B、三角形的外心是三条边垂直平分线的交点，原命题是假命题，不符合题意；
C、平行于同一条直线的两条直线平行，是真命题，符合题意；
D、若甲、乙两组数据的平均数都是3，S甲2=0.8，S乙2=1.4，则甲组数据较稳定，原命题是假命题，不符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据平行线的性质可判断A；根据外心的概念可判断B；根据平行公理可判断C；根据方差的意义可判断D.
8．如图，某地修建高速公路，要从A地向B地修条隧道(点A、B在同一水平面上)，为了测量A、B两地之间的距离，一架直升飞机从A地出发，垂直上升1000米到达C处，在C处观察点B，俯角为α．则A、B两地之间的距离为（ ）
A．1000sinα B．1000tanα C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：∵∠BAC=90°，∠B= α，AC=1000米，
∴AB=（米），
即A、B两地之间的距离为米，
故答案为：D.
【分析】结合所给的图形，先求出∠BAC=90°，∠B= α，AC=1000米，再利用锐角三角函数计算求解即可。
9．图1是数学家皮亚特海恩发明的索玛立方块，它由四个及四个以内大小相同的立方体以面相连构成的不规则形状组件组成，图2不可能是下面哪个组件的视图（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：A、主视图和左视图从左往右2列，正方形的个数依次为2，1，符合所给的视图；
B、主视图和左视图从左往右2列，正方形的个数依次为2，1，符合所给的视图；
C、主视图左往右2列，正方形的个数依次为1，1，不符合所给的视图；
D、主视图和左视图从左往右2列，正方形的个数依次为2，1，符合所给的视图；
故答案为：C.
【分析】根据所给的视图，对每个选项一一判断即可。
10．如图， 中， ， ，它的周长为 若 与 ， ， 三边分别切于 ， ， 点，则 的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】A
【解析】【解答】解： 与 ， ， 三边分别切于 ， ， 点，
， ， ，
，
，
， ，
是等边三角形，
，
， ，
，
，
，
，
，
故答案为：A.
【分析】根据切线长定理可得AD=AF，BE=BD，CE=CF，根据BC=6可得BD+CF=6，推出△ADF是等边三角形，得到AD=AF=DF，根据周长可得AB+AC=10，则AD+AF=4，据此计算.
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．已知的半径是一元二次方程的一个根，圆心O到直线l的距离，则直线l与的位置关系是 .
【答案】相离
【解析】【解答】解：解方程得：，（舍去），
∴的半径为3，
∵圆心O到直线l的距离，，
∴直线l与的位置关系是相离.
故答案为：相离.
【分析】利用因式分解法可求出方程的解，据此可得圆的半径，然后判断出圆心O到直线l的距离与半径的大小关系，进而可确定出直线与圆的位置关系.
12．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，点A，B，C均在网格交点上，是的外接圆，则的值是 .
【答案】
【解析】【解答】解：延长交于点D，连接，则，
在中，
，
，
由圆周角定理得：，
∴，
故答案为：.
【分析】延长CO交⊙O于点D，连接BD，根据圆周角定理可得∠BAC=∠BDC，∠CBD=90°，利用勾股定理可得CD的值，然后根据三角函数的概念进行计算.
13．如图，四边形为正方形，的平分线交于点E，将绕点B顺时针旋转90°得到，延长交于点G，连接，，与相交于点H．有下列结论：①；②G为的外心；③；④．其中正确结论的序号是 ．
【答案】①②③
【解析】【解答】解：①由正方形的性质得，
平分，
，
，，
，故①正确；
②，
∴，
∵平分，
∴，
∵是直角三角形，
∴为的外心；故②正确；
③，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，故③正确；
④，
，
，
，
，
，故④错误，
综上，正确的结论是①②③．
故答案为：①②③.
【分析】根据正方形的性质可得∠BAC=∠ACB=45°，由角平分线的概念可得∠BAE=∠BCF=22.5°，则∠ACF=∠ACB+∠BCF=67.5°，根据同角的余角相等可得∠F=∠AEB=90°-∠BAE，据此判断①；由①的结论可得AC=AF，由角平分线的性质可得FG=CG，然后利用内心的概念可判断②；利用SAS证明△ABG≌△DCG，得到∠AGB=∠DGC，则∠AGB+∠DGA=∠DGC+∠DGA=90°，据此判断③；由全等三角形的性质可得∠CDG=∠BAG=∠CAG，由两角对应相等的两个三角形相似可得△DCH∽△ACE，然后根据相似三角形的性质以及三角函数的概念可判断④.
14．如图.某同学为测量宣传牌的高度，他站在距离教学楼底部E处9米远的地面C处，测得宣传牌的底部B的仰角为60°，同时测得教学楼窗户D处的仰角为30°（A、B、D、E在同一直线上）.然后，小明沿坡度的斜坡从C走到F处，此时正好与地面平行.他在F处又测得宣传牌顶部A的仰角为45°，则宣传牌的高度 （结果保留根号）.
【答案】米
【解析】【解答】解：过点F作于G，
依题意知，，，
∴四边形是矩形，
∴，，
在中， （米），
∴，
∵斜坡的坡度为.
∴中，（米），
∴.
∵，，
∴，
在中， （米），
∴（米）.
答：宣传牌的高度为米.
故答案为：米.
【分析】过点F作FG⊥CE于G，则四边形DEGF是矩形， FG=DE，FD=GE，根据三角函数的概念可得DE，然后根据斜坡CF的坡度可求出CG的值，易得△ADF为等腰直角三角形，则AD=DF，由三角函数的概念可得BE，然后根据AB=AD+DE-BE进行计算.
15．如图，在 中， ， ， . 绕点B顺时针方向旋转45°得到 ，点A经过的路径为弧 ，点C经过的路径为弧 ，则图中阴影部分的面积为 .（结果保留 ）
【答案】
【解析】【解答】解：设BA'与AC相交于点D，过点D作 ，垂足为点E，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ 为直角三角形，
∴ ，
∵ 绕点B顺时针方向旋转45°得到 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
，
，
，
，
故答案为： .
【分析】设BA'与AC相交于点D，过点D作DE⊥AB，垂足为点E，利用勾股定理的逆定理可证得△ABC是直角三角形，利用锐角三角函数的定义可得到BC与AC的比值，利用旋转的性质可证得∠ABA′=∠EDB，DE=EB；利用解直角三角形可证得AE=2EB，利用AB=6可求出BE，DE的长；然后根据 ，计算可求解.
16．⊙O的半径为R，点O到直线l的距离为d，R，d是方程 x2 -4x+m=0的两根，当直线l与⊙O相切时，m的值为 ．
【答案】4
【解析】【解答】 ∵d、R是方程 x2 -4x+m=0的两个根，且直线l与⊙O相切，
∴d=R，
∴方程有两个相等的实根，
∴△=16-4m=0，
解得，m=4，
故答案为：4．
【分析】先根据切线的性质得出方程有且只有一个根，再根据△=0即可求出m的值．
三、综合题(本大题有9个小题，每小题8分，共72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．如图，是的直径，点C，D在上，，与相交于点E，点F在的延长线上，且．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求的半径．
【答案】（1）证明：是的直径，
，
，
，
，
，
，
，
，即，
，
是的直径，
是的切线；
（2）解：，，，
，
，，
，
，
，=，
，
，
，
，解得，
半径是．
【解析】【分析】（1）根据圆周角定理可得∠ACB=∠ACF=90°，由等腰三角形的性质可得∠F=∠AEF，∠B=∠CAD，结合∠EAB+∠B+∠FAC=90°可推出∠BAF=90°，据此证明；
（2）由等腰三角形的性质可得FC=CE=EF=6，由同角的余角相等可得∠F=∠BAC，结合三角函数的概念可得AF的值，由勾股定理可得AC，再利用三角函数的概念进行计算.
18．长嘴壶茶艺表演是一项深受群众喜爱的民俗文化，是我国茶文化的一部分，所用到的长嘴壶更是历史悠久，源远流长.图①是现今使用的某款长嘴壶放置在水平桌面上的照片，图②是其抽象示意图，l是水平桌面，测得壶身AD=BC=3AE=24cm，AB=30cm，CD=22cm，且CD∥AB.壶嘴EF=80cm，∠FED=70°
（1）求FE与水平桌面l的夹角
（2）如图③，若长嘴壶中装有若干茶水，绕点A转动壶身，当恰好倒出茶水时，EF∥l，求此时点F下落的高度.（结果保留一位小数）.
参考数据：sin80°≈0.98，cos80°≈0.17，tan80°≈5.67，sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75.
【答案】（1）解：延长FE交l于点O，分别过点D、C作，垂足为M、N，如图1所示，则，∠AMD=∠BNC = 90°，，
CD//AB，
四边形CDM N是平行四边形，
DM = CN，MN=CD=22cm，
在Rt△ADM和Rt△BCN中，
Rt△ADM≌Rt△BCN，
AM = BN=4 (cm)，
在Rt△ADM中，
cos∠DAM = ，
∠DAM≈80°，
∠AOE= 180°-∠AEO-∠DAM=30°，
即FE与水平桌面l的夹角约为30°；
（2）解：如图2中，分别过点E、F作直线l的垂线段EG、FH， FH交过点E的水平线于点P，则∠EGH =∠FHG = 90°，EG//FH
PE//l，
四边形PEGH是平行四边形，FH⊥PE，∠FEP=∠AOE=30°，
PH = EG，
3AE = 24cm，
AE = 8cm，
在Rt△AEG中，∠EAG = 80° ，
(cm)，
PH = EG = 7.84cm，
在Rt△EFP中，EF= 80cm，∠FEP= 30°，
FP=EF= 40cm，
FH=FP+PH≈40+7.84= 47.84 (cm)
如图3中，过点E作EQ⊥l于点Q，
EF//l，
∠EAQ=∠FED= 70°，
在Rt△AEQ中，AE = 8cm，
= 7.52 (cm)
FH- EQ≈47.84- 7.52 = 40.32≈40.3 (cm)
即此时点F下落的高度约为40.3cm.
【解析】【分析】 （1）延长FE交l于点O，分别过点D、C作DM⊥AB，CN⊥AB，垂足为M、N，如图1所示，则∠AEO=∠FED=70°，∠AMD=∠BNC = 90°，DM∥CN，可得到四边形CDMN是平行四边形，利用平行四边形的性质，可证得DM=CN，同时可求出MN的长；利用HL证明Rt△ADM≌Rt△BCN，利用全等三角形的性质可求出AM的长，利用解直角三角形求出∠DAM的度数，即可求出∠AOE的度数.
（2）分别过点E、F作直线l的垂线段EG、FH， FH交过点E的水平线于点P，则∠EGH =∠FHG = 90°，EG//FH，易证四边形PEGH是平行四边形，利用平行四边形的性质可证得PH=EG，利用已知条件求出AE的长，在Rt△AEG中，利用解直角三角形求出EG的长，可得到PH的长；在Rt△EFP，利用30°角所对的直角边等于斜边的一半，可求出PF的长，由此可求出FH的长；如图3中，过点E作EQ⊥l于点Q，利用平行线的性质可证得∠EAQ=∠FED= 70°，在Rt△AEQ中，利用解直角三角形求出EQ的长，然后求出FH- EQ的值.
19．如图，将矩形ABCD沿对角线BD对折，点C落在E处，BE与AD相交于点F．
（1）求证：△BFD是等腰三角形；
（2）若BC=4，CD=2，求∠AFB的余弦值．
【答案】（1）解：如图
依题意，∠1＝∠2，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∴∠2＝∠3，∴∠1＝∠3，
∴△BFD为等腰三角形
（2）解：由（1）可知BF＝DF，设BF＝x，则AF＝4﹣x，
在Rt△BAF中，（4﹣x）2＋22＝x2，解得：x＝ ，
∴AF＝4﹣ ，∴cos∠AFB＝ ．
【解析】【分析】（1）根据折叠的性质得到∠1=∠2，根据矩形的性质得到AD//BC，根据平行线的性质得到∠2=∠3，等量代换得到∠1=∠3，于是得到结论；（2）由（1）可知BF=DF、设BF=x，则AF=4-x，根据勾股定理得到，由三件函数定义即可得到结论。
20．如图， 是半圆 的直径，过 延长线上一点 作半圆 的切线 ， 为切点，过点 作 于点 ，连接 ．
（1）求证： 平分 ．
（2）若 ， ，则 的长为 （结果保留 ）．
【答案】（1）证明：如图，连接 ．
∵ 为半圆O切线，
∴ ．
∴ ，即 ．
∵ ，
∴ ．
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∴ ．
∴ 平分
（2）
【解析】【解答】解：（2）设∠C=x°，则∠DBE=3x°
∵∠DBE=∠C+∠BDC，
∴∠BDC=2x°
∵OD=OB，
∴∠ODB=∠OBD=3x°
∵ 为半圆O切线，
∴ ．
∴ ，即
∴2x+3x=90
解得x=18
∴∠ODB=∠OBD=54°
∴∠DOB=180°-∠ODB-∠OBD=72°
∴∠AOD=180°-∠DOB=108°
∵ 是半圆 的直径， ，
∴半圆 的半径为5．
∴ 的长为
故答案是： ．
【分析】（1）连接OD，由CD是圆0的切线，得到，由得到，然后根据等角的余角相等可得结论；
（2）求出弧AD所对的圆心角，然后利用弧长公式进行计算。
21．如图，已知⊙O的半径为5，△ABC是⊙O的内接三角形，AB=8．过点B作⊙O的切线BD，过点A作AD⊥BD，垂足为D。
（1）求证：∠BAD+∠C=90°；
（2）求线段AD的长。
【答案】（1）证明：BD为O的切线
∴∠C=∠ABD
∵AD⊥BD，
∴∠ADB=90°
∴∠BAD+∠ABD=90°，
∴∠C+∠BAD=90°
（2）解：连接OB，过O作OE⊥AB于E，
∴AE=BE= AB=4，
由勾股定理得
OE= =3，
∵BD为O的切线
∴OB⊥BD
∴∠OBD=90°
∵∠ADB=90°
∴AD∥OB，
∴∠DAB=∠ABO，
∵∠D=∠OEB=90°
∴△OEB∽△BDA，
∴
∴
∴AD=
则线段AD的长为
【解析】【分析】（1）利用弦切角定理可证得∠C=∠DAB，再利用垂直的定义，可得到∠ADB=90°，然后利用三角形内角和定理可证得结论。
（2）连接OB，过O作OE⊥AB于E，利用垂径定理求出BE的长，利用勾股定理求出OE的长，再利用切线的性质去证明AD∥OB， 就可推出∠DAB=∠ABO，然后证明△OEB∽△BDA，利用相似三角形的对应边成比例，由此可求出AD的长。
22．如图，是的弦，C是外一点，交于点P，交于点D，且.
（1）判断直线与的位置关系，并说明理由；
（2）若，求图中阴影部分的面积.
【答案】（1）解：与相切，理由如下：
如图：连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
在中，
∵，
∴，即：，
∴ ，
又∵是半径，
∴与相切.
（2）解：∵，
∴，
∴ ，
∵ ，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴＝，
∴图中阴影部分的面积.
【解析】【分析】（1）连接OB，由等腰三角形的性质可得∠OAB=∠OBA，∠CPB=∠CBP，由对顶角的性质可得∠CPB=∠APO，推出∠CBP=∠APO，结合∠A+∠APO=90°可得∠OBC=90°，据此证明；
（2）利用内角和定理可得∠APO=60°，则∠BPD=∠APO=60°，推出△PBC为等边三角形，得到∠PCB=∠CBP=60°，则∠OBP=∠POB=30°，OP=PB=PC=1，利用勾股定理可得OB的值，然后根据S阴影=S△OBC-S扇形OBD进行计算.
23．如图1是一种纸巾盒，由盒身和圆弧盖组成，通过圆弧盖的旋转来开关纸巾盒.如图2是其侧面简化示意图，已知矩形的长，宽，圆弧盖板侧面 所在圆的圆心O是矩形的中心，绕点D旋转开关（所有结果保留小数点后一位）.
（1）求所在的半径长及所对的圆心角度数；
（2）如图3，当圆弧盖板侧面从起始位置绕点D旋转90°时，求在这个旋转过程中扫过的的面积.
参考数据：，，取3.14.
【答案】（1）解：如图，连接，相交于点O，为矩形的中心，
∵，，，
∴，
∴半径长为：，
∵，
∴，
∴；
（2）解：如图，
∵，
∴扫过的的面积：.
【解析】【分析】（1）连接AC、BD相交于点O，O为矩形ABCD的中心，根据勾股定理可得BD的值，然后求出OD，利用三角函数的概念求出tan∠ADB的值，得到∠ADB的度数，根据圆周角定理可得∠DOC=2∠ADB，据此计算；
（2）根据面积间的和差关系可得S阴影=S扇形CDC′，然后结合扇形的面积公式进行计算.
24．如图，在平面直角坐标系中，抛物线（）与轴分别交于，两点，点的坐标是，点的坐标是，与轴交于点，是抛物线上一动点，且位于第二象限，过点作轴，垂足为，线段与直线相交于点．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）连接，是否存在点，使得？若存在，求出点的横坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：设抛物线的表达式为：，
则，解得：，抛物线的解析式为
（2）解：设存在点，使得，理由如下：
延长到，设，连接，如图：
，，，
，，，
，，
设，则，，
，
，
，
，，
解得（舍去）或（舍去）或，
点的横坐标为
【解析】【分析】本题考查待定系数法求二次函数的解析式，锐角三角函数．
（1）根据题意设抛物线的函数解析式为：，对比题目函数解析式可列出方程，解方程可求出a的值，求出函数解析式；
（2） 延长到，设，连接 ，利用角的运算可证明，则，利用正切的定义可推出，，利用线段的运算可表示出PH和OP，根据，可列出方程，解方程可求出t的值，进而求出点P的横坐标．
25．在正方形ABCD中，点M是边AB的中点，点E在线段AM上（不与点A重合），点F在边BC上，且，连接EF，以EF为边在正方形ABCD内作正方形EFGH.
（1）如图1，若，当点E与点M重合时，求正方形EFGH的面积，
（2）如图2，已知直线HG分别与边AD，BC交于点I，J，射线EH与射线AD交于点K.
①求证：；
②设，和四边形AEHI的面积分别为，.求证：.
【答案】（1）解：∵，点M是边AB的中点，
∴，
∵，
∴，
由勾股定理，得
，
∴正方形EFGH的面积为5.
（2）证明：①由题意知，
∴，
∵四边形EFGH是正方形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴.
∴.
②由①得，
又∵，，
∴，
设的面积为.
∵∠K=∠K， ∠KHI=∠A=90°，
∴，
∴，
∴.
【解析】【分析】（1）根据中点的概念可得AE=BE=2，由AE=2BF可得BF=1，利用勾股定理可求出EF2的值，进而可得正方形EFGH的面积；
（2）①由题意可得∠KAE=∠B=90°，则∠EFB+∠FEB=90°，根据正方形的性质可得∠HEF=90°，由同角的余角相等可得∠KEA=∠EFB，证明△KEA∽△EFB，然后根据相似三角形的性质进行计算；
②由①得HK=HE=GF，证明△KHI≌△FGJ，设△KHI的面积为S1，证明△KHI∽△KAE，根据相似三角形的性质可得，据此解答.
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