16.2 一元二次方程的解法 同步练习（含解析）

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16.2一元二次方程的解法
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如果m、n是一元二次方程的两个实数根，那么多项式的值是（　　）
A．2023 B．2027 C．2028 D．2029
2．一元二次方程的根为（　　）
A． B． C． D．
3．解方程最合适的方法是（ ）
A．直接开平方法 B．配方法 C．公式法 D．因式分解法
4．已知实数、满足，则的值为（ ）
A．4 B．-2 C．4或-2 D．4或2
5．把方程x2﹣8x+3＝0化成（x+m）2＝n的形式，则m，n的值是（ ）
A．4，13 B．﹣4，19 C．﹣4，13 D．4，19
6．如果一个数与3的差的算术平方根比这个数的一半小1，则这个数是( )
A．0 B．4 C．-4 D．不存在
7．关于的方程解为( )
A．， B．，
C．， D．，
8．若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是( )
A．k<1 B．k≤1 C．k>-1 D．k>1
9．方程的解是（ ）
A． B． C． D．
10．将一元二次方程x2-4x-6=0化成（x-a）2=b的形式，则b等于（　　）
A．4 B．6 C．8 D．10
11．一元二次方程的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
12．若一元二次方程的根为，则该一元二次方程可以为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．方程中，的值为 ，根是 ．
14．已知，则的值为 ．
15．一元二次方程的解为 ．
16．在实数范围内定义一种运算“*”，其规则为a*b=a2-b2，根据这个规则，方程（x+1）*3=0的解为 ．
17．一元二次方程的解是 ．
三、解答题
18．解下列关于的方程．
(1)；
(2)．
19．定义：若，是方程的两个整数根，且满足，则称此类方程为“差1方程”．例如：是“差方程”．
(1)下列方程是“差方程”的是______；（填序号）
① ② ③；
(2)若方程是“差方程”，求的值．
20．（1）计算：；
（2）解不等式组：；
（3）解方程：；
（4）解方程：x2﹣4x+4＝3x﹣6．
21．解方程：
（1）
（2）
22．任意给定一个矩形．
（1）是否存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的3倍？
（2）是否存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的？
23．用适当的方法解下列方程：
(1)x2－x－1＝0；
(2)3x(x－2)＝x－2；
(3)x2－2x＋1＝0；
(4)(x＋8)(x＋1)＝－12．
24．解下列方程：
(1)
(2)
《16.2一元二次方程的解法》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D A D A C B C A B D
题号 11 12
答案 A A
1．D
【分析】先利用一元二次方程解的定义得到，，再用m表示出，则原式化简为，接着利用根与系数的关系得到m+n＝，mn＝，然后利用整体代入的方法计算．
【详解】解：∵m、n是一元二次方程的两个实数根，
∴，，
∴，，
∴，
∴
＝
＝，
∵m、n是一元二次方程的两个实数根，
∴m+n＝，mn＝，
∴原式＝
＝2029．
故选：D．
【点睛】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程（a≠0）的两根，则．也考查了一元二次方程的解．
2．A
【分析】本题考查接一元二次方程，掌握直接开平方法是解题的关键 .
【详解】解：
开平方得：，
故选A .
3．D
【分析】先移项，再提取公因式即可求解．
【详解】解：，
移项得，，
因式分解得，，即，
∴最合适的方法是因式分解法，
故选：D．
【点睛】本题考查解一元二次方程的应用，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
4．A
【分析】把x2+y2当作一个整体，原式变为（x2+y2）2-2（x2+y2）-8=0，即可求得（x2+y2）的值是-2或4．再根据非负数的性质即可.
【详解】（x2+y2+1）（x2+y2-3）=5，
∴（x2+y2）2-2（x2+y2）-3=5，
∴（x2+y2）2-2（x2+y2）-8=0，
即：[（x2+y2）-1]2=9，
∴（x2+y2）=-2或4．
又∵x2+y2≥0
∴x2+y2=4
故选A．
【点睛】考查了利用换元思想解决方程，关键是把（x2+y2）看成一个整体来计算，即换元法思想．
5．C
【分析】此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用，把左边配成完全平方式，右边化为常数．
【详解】解：∵x2﹣8x+3＝0
∴x2﹣8x＝﹣3
∴x2﹣8x+16＝﹣3+16
∴（x﹣4）2＝13
∴m＝﹣4，n＝13
故选：C．
【点睛】配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．
6．B
【分析】设这个数为x，根据题意列出方程，求出方程的解，把此方程的解代入原方程检验即可得出答案．
【详解】解：设这个数为x，则
，
即，
，
，
解得，
当时．
所以这个数为：4
故选：B．
【点睛】本题考查无理方程，解一元二次方程．能将无理方程转化成一元二次方程是解决此题的关键．需注意：因为一个数的算术平方根是非负的，所以一元二次方程的解中可能有不符合无理方程的解，结果一定要检验．
7．C
【详解】，
，
，
，
故选C．
8．A
【详解】∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴，
解得：.
故选A.
9．B
【分析】本题考查解一元二次方程，利用直接开方法解方程即可．
【详解】解：∵，
∴或，
∴．
故选B．
10．D
【详解】利用配方法即可得出答案.
解：∵，
，
，
，
∴b＝10.
故选D.
11．A
【分析】先计算判别式的值，然后根据判别式的意义判断方程根的情况．
【详解】解：,
方程有两个不相等的两个实数根
故选：A
【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的两个实数根；当时，方程有两个相等的两个实数根；当时，方程无实数根；解题关键是掌握一元二次方程根的判别式．
12．A
【分析】本题主要考查了公式法解一元二次方程，对于一元二次方程，若其有实数根，那么其实数根为，据此结合题意得到，即可得到答案．
【详解】解：∵，
∴，
∴该一元二次方程可以为，
故选：A．
13． 5
【分析】根据公式法解一元二次方程即可．
【详解】解：
a=0.2，b=1，c=-5
∴=
∴x==
∴
故答案为：5；
【点睛】此题考查的是解一元二次方程，掌握利用公式法解一元二次方程是解决此题的关键．
14．1.
【分析】先把化成完全平方式，然后直接开平方，即可求解．
【详解】∵,
∴,
∴,
∴,
∴.
故答案为1.
【点睛】本题考查用直接开平方法解一元二次方程和完全平方公式，本题中对已知等式进行变形时，应把看成一个整体进行计算.
15．，
【分析】先化为一般形式，再用一元二次方程求根公式即可得到答案．
【详解】解：，
化为一般形式得：，
，
∴，
∴，．
故答案为：，．
【点睛】本题考查解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的求根公式．
16．x1=2，x2=-4
【分析】根据新运算规则，将转化为一元二次方程，再根据开平方法求解即可．
【详解】解：根据新运算规则，可化为
∴
∴或
∴，
故答案为，
【点睛】此题考查了开平方法求解一元二次方程，涉及到了新运算规则，理解新运算规则并掌握开平方法求解一元二次方程是解题的关键．
17．，
【分析】先移项，然后两边开平方即可.
【详解】∵，
∴，
所以，．
故答案为，．
【点睛】本题考查了直接开平方法解一元二次方程，主要考查学生的理解能力和计算能力，难度不是很大．其解法是先将一元二次方程整理成，然后系数化为1，再两边开平方即可.
18．(1)，
(2)，
【分析】（1）直接利用开平方的方法解方程即可；
（2）利用公式法求解即可．
【详解】（1）解：移项，得．
开方得：，
解得，．
（2）解：∵
∴，，．
∴．
∴方程有两个不等的实数根
∴，
解得，．
【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解题的关键．
19．(1)②
(2)或
【分析】本题以新定义题型为背景，考查一元二次方程的求解，掌握各类求解方法是解题关键．
（1）分别求出方程的解即可判断；
（2）利用因式分解法解出方程，再根据“差方程”的定义即可求解．
【详解】（1）解：①，
，
∴，
，不是整数根，故①不是“差方程”；
②，
，
∴，
∴，故②是“差方程”；
③，
，
，
∴方程无整数根，故③不是“差方程”；
故答案为：②；
（2）解：方程因式分解得，
解得：，.
∵方程为“差方程”，
∴，
解得：或.
20．（1） ；（2）；（3） ；（4）
【分析】（1）先根据绝对值的性质，二次根式的性质，零指数幂，负整数指数幂化简，再合并，即可求解；
（2）先分别求出两个不等式，即可求解；
（3）先去分母化为整式方程，解出整式方程，然后检验，即可求解；
（4）先将方程整理为一般式，再利用因式分解法解答，即可求解．
【详解】解：（1）
；
（2）
解不等式①，得： ，
解不等式②，得： ，
所以不等式组的解集为；
（3）
两边同时乘以 ，得： ，
解得： ，
检验：当时， ，
所以原方程的解为；
（4）x2﹣4x+4＝3x﹣6
整理得： ，
所以 ，
解得： ．
【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，分式方程，一元一次不等式组，二次根式混合运算等知识，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
21．（1）；（2），．
【分析】（1）先去分母，然后通过移项、合并同类项，化系数为1来解方程．注意需要验根；
（2）利用“十字相乘法”对等式进行因式分解，然后求解即可．
【详解】解：（1）
去分母并整理，得
∴
∴
∴
解得：，；
经检验，是原方程的增根，
∴原方程的根是：；
（2）
由原方程，得，
解得，；
【点睛】本题考查了解一元二次方程和解分式方程．熟悉相关解法是解题的关键．
22．（1）存在，理由见解析；（2）不一定存在，理由见解析
【分析】（1）根据题意假设存在，推导出面积和周长的关系，根据根与系数的关系构建一元二次方程，根据根的判别式确定假设是否成立；
（2）方法同（1）
【详解】给定一个矩形长为,宽为 ()，那么其周长为,面积为
（1）假设存在这样的一个矩形，设长为，宽为，
由题意得，
即
设关于的方程：
则是方程的两根
此时，
故存在，即存在这样的矩形；
（2）假设存在这样的一个矩形，设长为宽为，那么其周长为，面积为
即
设关于的方程：
则是方程的两根，
此时，此时无法判断的符号，
若，则即存在这样的矩形，若则不存在这样的矩形，
故不一定存在这样的矩形．
【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系的应用，构建一元二次方程是解题的关键．
23．(1)，
(2)x1＝，x2＝2
(3)x1＝，x2＝
(4)x1＝－4，x2＝－5
【分析】（1）利用公式法解答，即可求解；
（2）利用因式分解法解答，即可求解；
（3）利用配方法解答，即可求解；
（4）利用因式分解法解答，即可求解．
【详解】（1）解： a＝1，b＝－1，c＝－1　
∴b2－4ac＝（－1）2－4×1×（－1）＝5
∴x＝＝
即原方程的根为x1＝，x2＝
（2）解：移项，得3x（x－2）－（x－2）＝0，
即（3x－1）（x－2）＝0，
∴x1＝，x2＝2．
（3）解：配方，得（x－）2＝1，
∴x－＝±1．
∴x1＝＋1，x2＝－1．
（4）解：原方程可化为x2＋9x＋20＝0，
即（x＋4）（x＋5）＝0，
∴x1＝－4，x2＝－5．
【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键．
24．(1)
(2)
【分析】本题考查了配方法，因式分解法求解方程的根，选择适当解方程的方法是解题的关键．
（1）利用配方法求解即可．
（2）利用因式分解法法求解即可．
【详解】（1）解：原方程变形得：，
配方得：，
即，
直接开平方得：，
解得：．
（2）原方程变形得：，
因式分解得：，
即，
解得：．
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