16.3 列方程解应用问题 同步练习（含解析）

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16.3列方程解应用问题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．某地区2017年投入教育经费2500万元，预计到2019年共投入8000万元．设这两年投入教育经费的年平均增长率为x，则下列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．电流通过导线会产生热量，设电流强度为I(安培)，电阻为R(欧姆)，1秒产生的热量为Q(卡)，则Q=0.24I2R，现在已知电阻为0.5欧姆的导线，1秒间产生1.08卡的热量，则 该导线的电流是(　　)
A．9安培 B．6安培 C．3安培 D．安培
3．某种服装平均每天可销售20件，每件盈利44元，在每件降价幅度不超过10元的情况下，若每件降价1元，则每天可多售5件，如果每天要盈利1600元，每件降价多少元？设每件降价x元，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
4．若菱形两条对角线的长度是方程的两根，则该菱形的边长为（ ）
A． B．4 C． D．5
5．如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝4cm，一动点P从C出发沿着CB方向以1cm/s的速度向B运动，另一动点Q从A出发沿着AC方向以2cm/s的速度向C运动，P，Q两点同时出发，运动时间为t（s）．当t为（ ）秒时，△PCQ的面积是△ABC面积的？
A．1.5 B．2 C．3或者1.5 D．以上答案都不对
6．某旅店底楼的客房比二楼少一间，各个房间住的人数同这层的房间数相同，现有36人，底楼都住满，而二楼只剩下一件空房，则二楼的房间数为（ ）
A．4间 B．5间 C．6间 D．7间
7．爷爷的生日晚宴上，大家两两碰杯一次，总共碰杯45次，那么有几人参加了这次宴会？（ ）
A．8人 B．9人 C．10人 D．11人
8．共享单车为市民出行带来了方便，某单车公司第一个月投放1000辆单车，计划第三个月投放单车数量比第一个月多440辆．设该公司第二、三两个月投放单车数量的月平均增长率为x，则所列方程正确的为（　　）
A．1000（1+x）2＝1000+440 B．1000（1+x）2＝440
C．440（1+x）2＝1000 D．1000（1+2x）＝1000+440
9．在某次聚会上，每2个人都握了1次手，所有人共握手10次．设有x人参加这次聚会，则列出方程正确的是（ ）
A．x（x－1）＝10 B．＝10
C．x（x＋1）＝10 D．＝10
10．中国“一带一路”战略给沿线国家和地区带来很大的经济效益，沿线某地区居民2016年人均年收入300美元，预计2018年人均年收入将达到950美元，设2016年到2018年该地区居民人均年收入平均增长率为x，可列方程为（　　）
A．300（1+x%）2=950 B．300（1+x2）=950 C．300（1+2x）=950 D．300（1+x）2=950
11．如图，某小区规划在一个长、宽的长方形场地上修建三条同样宽的通道，使其中两条与平行，另一条与平行，其余部分种花草．要使每一块草坪的面积都为，那么通道的宽应该满足的方程为（ ）
A． B．
C． D．
12．将一块矩形铁皮的四个角各剪去一个边长为1米的正方形后，剩下的部分刚好围成一个容积为15m3的无盖长方体水箱，且此长方体水箱的底面长比宽多2米．求该矩形铁皮的长和宽各是多少米？若设该矩形铁皮的宽是x米，则根据题意可得方程为（　　）
A．（x+2）（x﹣2）×1=15 B．x（x﹣2）×1=15 C．x（x+2）×1=15 D．（x+4）（x﹣2）×1=15
二、填空题
13．将一个底面直径是厘米、高为厘米的圆柱锻压成底面直径为厘米的圆柱，高变成了多少？
（1）分析：在锻压过程中，圆柱的体积保持不变，所以这个问题中的等量关系是 .
设锻压后圆柱的高为厘米，则锻压前的体积为 ，锻压后的体积为 .
（2）解：设锻压后圆柱的高为厘米.根据题意，得方程 ，解这个方程，得，所以，锻压后圆柱的高为厘米.
14．如图，在长为，宽为的矩形的四个角上截去四个全等的小正方形，使得留下的图形（图中阴影部分）面积是原矩形面积的，则所截去小正方形的边长是 ．
15．如图，若将图1正方形剪成四块，恰能拼成图2的矩形，则与数量关系是 ．
16．如图，在Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝30 cm，BC＝25 cm.动点P从点C出发，沿CA方向运动，速度是2 cm/s；动点Q从点B出发，沿BC方向运动，速度是1 cm/s，则经过 秒后，P，Q两点之间相距25 cm.

17．某种商品经过连续两次降价后，由原来的每件60元下调至每件48.6元，求这种商品平均每次降价的百分率是 ．
三、解答题
18．某商场销售一种商品，商品销售数（个与销售单价（元个）之间的关系如图所示．
(1)求关于的函数关系式和自变量的取值范围；
(2)如果商品的销售额为1250元，那么这件商品的销售单价为多少元个？
19．如图，用一块正方形纸板，在四个角上截去四个相同的边长为的小正方形，然后把四边折起来，做成一个没有盖的长方体盒子，使它的容积为．所用的正方形纸板的边长应是多少厘米？如果设正方形纸板的边长是，请列出方程，并把它化成一般形式．
20．如图，在中，．动点P从点C出发，沿方向运动，速度是；动点Q从点B出发，沿方向运动，速度是．几秒后P，Q两点相距？
21．2019年女排世界杯于9月14日至29日在日本举行，中国女排以全胜的成绩卫冕世界杯冠军，为中华人民共和国成立70周年献上大礼．人们对女排的喜爱，不仅是因为她们夺得了冠军，更重要的是她们在赛场上展现了祖国至上、团结协作、顽强拼搏、永不言败的精神面貌，已知2019年女排世界杯赛制为单循环比赛（即每两个队之间比赛一场），一共比赛66场，求中国女排在本届世界杯比赛中连胜的场次．
22．如图，A、B、C、D为矩形的4个顶点，AB＝30cm，BC＝21cm，动点P从点B出发，沿BA方向运动，动点Q同时从点C出发，沿CB方向运动，如果点P、Q的运动速度均为1cm/s．经过多长时间P、Q两点之间的距离是15cm？
23．如图是2022年5月份的日历，在日历表上可以用一个方框圈出的四个数．
(1)若圈出的四个数中，最小的数为，则最大的数为______（用含的代数式表示）；
(2)若圈出的四个数中，最小数与最大数的乘积为153，求这个最小数．
24．手卷是国画装裱中横幅的一种体式，以能握在手中顺序展开阅览得名，它主要由“引首”、“画心”、“拖尾”三部分组成（这三部分都是矩形形状），分隔这三部分的其余部分统称为“隔水”．下图中手卷长1000cm，宽40cm，引首和拖尾完全相同，其宽度都为100cm．若隔水的宽度为xcm，画心的面积为15200cm2，求x的值．

《16.3列方程解应用问题》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A C B A B B C A B D
题号 11 12
答案 D B
1．A
【分析】本题考查的是一元二次方程的实际应用，增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率），如果教育经费的年平均增长率为x，根据2017年投入2500万元，则2018的教育经费为：万元，2019的教育经费为：万元，再利用总量为8000万元可得方程．
【详解】解：设教育经费的年平均增长率为x，则2018的教育经费为：万元，2019的教育经费为：万元，
那么可得方程：，
故选A．
2．C
【分析】本题主要对等式的变形,其中涉及到代入法在解题中的应用.
【详解】解:将Q=0.24I2R变形为
I=或I= (舍去）
将Q=1.08,R=0.5代入,
得I==3(安培）
故该导线的电流是3安培,即选C.
【点睛】本题考查了思想、方法类的代入法，解题的关键就是将Q=0.24I2R变形为I=或I=－，然后将不符合题意的一项舍去即可.
3．B
【分析】关系式为：每件服装的盈利×（原来的销售量+增加的销售量）=1600，为了减少库存，计算得到降价多的数量即可．
【详解】解：设每件服装降价x元，根据题意，得：
（44-x）（20+5x）=1600，
故选：B．
【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，得到现在的销售量是解决本题的难点；根据每天盈利得到相应的等量关系是解决本题的关键．
4．A
【分析】先求出方程的解，即可得出AC＝4，BD＝2，根据菱形的性质求出AO和OD，根据勾股定理求出AD即可．
【详解】解：解方程x2 6x＋8＝0得：x＝4或2，
即AC＝4，BD＝2，
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠AOD＝90°，AO＝OC＝2，BO＝DO＝1，
由勾股定理得：AD＝＝，
故选：A．
【点睛】本题考查了解一元二次方程和菱形的性质，能求出方程的解是解此题的关键．
5．B
【分析】根据题意，求得的长，进而求得，根据的面积是面积的，列出方程，解方程即可解决问题．
【详解】解：，
，
∵一动点P从C出发沿着CB方向以1cm/s的速度向B运动，
∴，
∵点Q从A出发沿着AC方向以2cm/s的速度向C运动，
∴AQ=2，，，
的面积是面积的，
，
整理得，
解得，
当s时，的面积是面积的．
故选择B．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用动点问题，用代数式表示线段，三角形面积，根据三角形面积列出方程是解题的关键．
6．B
【分析】设二楼的房间有x间，则一楼有（x-1）间，一楼住了（x-1）2人，二楼住了（x2-x）人，根据“现有36人入住”可列（x-1）2+（x2-x）人，即可列出方程，解方程即可求解，注意根据实际意义进行值的取舍．
【详解】解：设二楼的房间有x间，根据题意得（x-1）2+（x2-x）=36，
方程化简为：2x2-3x-35=0
即：（x-5）（2x+7）=0
解之得x=5，x=-（舍去）
故选B．
【点睛】本题考查一元二次方程的应用，解题关键是根据“各个客房的床位同这层的房间数相同”这句话，列出住一楼和二楼的客人数．
7．C
【分析】此题利用基本数量关系：两两碰杯一次，总次数为 （n表示人数）列方程解答即可．
【详解】解：设有x人参加了这次宴会，根据题意列方程得，
，
解得x ＝10，x ＝ 9（不合题意，舍去），
∴有10人参加了这次宴会．
故选：C．
【点睛】此题考查一元二次方程的应用中的基本数量关系：单循环比赛进行的总场数为，依此数量关系推广到一般问题．
8．A
【分析】根据第一个月的单车数量×(1+x)2=第三个月的单车数量可以列出相应的一元二次方程，进而可得答案．
【详解】解：由题意可得，1000（1+x）2＝1000+440．
故选：A．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用之增长率问题，属于常考题型，正确理解题意、找准相等关系是解题的关键．
9．B
【详解】因为参加聚会的x人，每个人需握手（x－1）次，x人共需握手x（x－1）次，而每2个人都握了1次手，需将重复的部分去掉，即一共握了次手，故选B．
【易错点分析】没有将重复计算的握手次数去掉，导致出错．
10．D
【详解】设2016年到2018年该地区居民年人均收入平均增长率为x，那么根据题意得2018年年收入为：300（1+x）2，列出方程为：300（1+x）2=950．故选D．
11．D
【分析】设道路的宽为xm，将6块草地平移为一个长方形，长为（40-2x）m，宽为（26-x）m．根据长方形面积公式即可列方程（40-2x）（26-x）=144×6．
【详解】解：设道路的宽为xm，由题意得：
（40-2x）（26-x）=144×6．
故选：D．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，掌握长方形的面积公式，求得6块草地平移为一个长方形的长和宽是解题的关键．
12．B
【详解】根据题意长方体水箱的底面宽为x-2，
∵长方体水箱的底面长比宽多2米，
∴长方体水箱的底面长为x米，
则x(x-2)×1＝15.
故选B.
【点睛】解此题的关键在于利用长方体容积等于长乘宽乘高来建立方程，需要注意的是本题的x是矩形铁皮的宽，而不是长方体底面的宽，要仔细审题.
13． 锻压前的体积锻压后的体积
【分析】（1）锻压前的体积=锻压后的体积．
（2）由题意可得锻压前后圆柱的底面半径，高，体积为底面积×高，根据两个圆柱的体积相等可得相关方程，求解即可．
【详解】解：（1）在锻压过程中，圆柱的体积保持不变，所以这个问题中的等量关系是：锻压前的体积=锻压后的体积．
锻压前的体积为：（10÷2）2π×36=；锻压后的体积为π×（20÷2）2×x=；
故答案是：锻压前的体积=锻压后的体积；；；
（2）列出方程为，
解得x=9，
所以，锻压后圆柱的高为9厘米．
故答案是：．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，根据体积相等得到等量关系是解决本题的关键；用到的知识点为：圆柱体的体积=π×底面半径2×高．
14．2
【分析】设所截去小正方形的边长是，再根据“留下的图形（图中阴影部分）面积是原矩形面积的”建立方程，然后解方程即可得．
【详解】设所截去小正方形的边长是，
由题意得：，
解得或（不符题意，舍去），
则所截去小正方形的边长是，
故答案为：2．
【点睛】本题考查了一元二次方程的几何应用，依据题意，正确建立方程是解题关键．
15．
【分析】根据左图可以知道图形是一个正方形，边长为(a+b)，右图是一个长方形，长、宽分别为(b+a+b)、b，并且它们的面积相等，由此即可列出等式(a+b)2=b(b+a+b)，解方程即可求出答案．
【详解】解：依题意得(a+b)2=b(b+a+b)，
整理得：a2+b2+2ab=2b2+ab，
则a2-b2+ab=0，
方程两边同时除以b2，
则，
解得：，
∵不能为负，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了图形的剪拼，是一个信息题目．解题的关键是要正确理解题目的意思，会根据题目隐含条件找到数量关系，最后利用数量关系列出方程解决问题
16．10
【分析】设x秒后，P、Q两点相距25cm，根据时间和速度求出路程，然后根据勾股定理列式解答即可.
【详解】设x秒后，P、Q两点相距25cm，据题意列式得：
(2x)2+(25-x)2=252，
4x2-50x+x2=0，
5x(x-10)=0，
x1=0 (舍去), x2=10 (秒).
∴10秒后P、Q两点相距25cm.
故答案为10.
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用和勾股定理的应用，根据勾股定理列出方程是解题的关键.
17．10%
【分析】设每次降价的百分率为x，为两次降价的百分率，根据售价由原来的每件60元降到每件48.6元，列出方程即可．
【详解】解：设每次降价的百分率为x，
依题意得：60=48.6．
解得：x=0.1=10%或x=1.9（舍去），
答：这种商品平均每次降价的百分率是10%．
故答案为：10%．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
18．(1)
(2)销售单价为25元个
【分析】本题考查了一次函数以及一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出关于的函数关系式；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．
（1）观察函数图象，根据图象中点的坐标，利用待定系数法即可求出关于的函数关系式，再观察函数图象找出自变量的取值范围；
（2）利用销售总额销售单价销售数量，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出结论．
【详解】（1）解：设关于的函数关系式为．
将，代入得：，
解得：，
关于的函数关系式为．
（2）依题意得：，
整理得：，
解得：．
答：这种商品的销售单价为25元个．
19．
【分析】正方形纸板的边长应是厘米，则没有盖的长方体盒子的长、宽为厘米，高为厘米，根据题意列方程即可．
【详解】解：正方形纸板的边长应是厘米，则没有盖的长方体盒子的长、宽为厘米，高为厘米，根据题意列方程得，
，
化为一般形式为：．
【点睛】考查了长方体体积的计算，长方体的体积=长宽高，解题的关键是平面图形折叠成立体图形后各个部分之间的关系．
20．
【分析】设后P，Q两点相距，根据勾股定理列得，求解即可．
【详解】解：设后P，Q两点相距，根据题意，得．
解得（舍去），，
答：10秒后P，Q两点相距25cm．
【点睛】此题考查一元二次方程的实际应用以及勾股定理，正确理解动点问题及掌握勾股定理是解题的关键．
21．中国女排在本届世界杯比赛中连胜11场．
【分析】设中国女排在本届世界杯比赛中连胜x场，则共有（x+1）支队伍参加比赛，根据“2019年女排世界杯赛制为单循环比赛（即每两个队之间比赛一场），一共比赛66场”，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【详解】解：设中国女排在本届世界杯比赛中连胜x场，则共有（x+1）支队伍参加比赛，
依题意，得：x（x+1）＝66，
整理，得：x2+x﹣132＝0，
解得：x1＝11，x2＝﹣12（不合题意，舍去）．
答：中国女排在本届世界杯比赛中连胜11场．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
22．9秒或12秒
【分析】可设运动x秒时，它们相距15cm，根据题意表示出BP，BQ的长，再根据勾股定理列出方程求解即可．
【详解】解：设运动x秒时，它们相距15cm，则BP=xcm，BQ=（21-x）cm，依题意有
x2+（21-x）2=152，
解得x1=9，x2=12．
故运动9秒或12秒时，它们相距15cm．
【点睛】本题主要考查了勾股定理与一元二次方程，根据勾股定理列出关于x的方程及正确求得方程的解是解决本题的关键．
23．(1)；
(2)9．
【分析】（1）设圈出的四个数中，最小的数为，根据日历上两个数之间的关系可得答案；
（2）根据最小数与最大数的乘积为105，即可得出关于n的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【详解】（1）解：设圈出的四个数中，最小的数为，则最大的数为
故答案为：
（2）设四个数中，最小数为，根据题意，得.
解得（不符合题意负值舍去）
答：这个最小值为9.
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
24．10
【分析】隔水的宽度为xcm，分别表示出画心的长和宽，根据面积列出方程求解即可．
【详解】解：根据题意，得（1000﹣4x﹣200）（40﹣2x）＝15200．
解这个方程，得：x1＝210（不合题意，舍去），x2＝10．
所以x的值为10．
【点睛】此题主要考查一元二次方程的应用，解题的关键是根据题意找到等量关系列出方程求解．
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