第十五章 四边形 同步练习（含解析）

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第十五章四边形
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．将正方形ABCD折叠，使顶点A与CD边上的点M重合，折痕交AD于E，交BC于F，边AB折叠后与BC边交于点G．若，，则（ ）
A．3 B．4 C． D．
2．如图，中，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，中，于点，则等于（ ）
A． B． C． D．
4．一个多边形的每个外角都等于72°，则这个多边形的边数为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
5．如图， ABCD中，BC=BD，∠C=74°，则∠ADB的度数是（ ）
A．16° B．22° C．32° D．68°
6．如图，点P是矩形的边上一动点，、长分别为15和20，那么点P到矩形两条对角线和的距离之和是（ ）
A．26 B．12 C．24 D．不能确定
7．如图，在中，，于点，和的角平分线相交于点，为边的中点，，则（ ）

A．125° B．145° C．175° D．190°
8．如图，菱形中，连接，，若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
9．在□ABCD中，如果∠A+∠C＝140°，那么∠C等于（　 　）．
A．70° B．60° C．40° D．20°
10．如图，将一边长为12的正方形纸片ABCD的顶点A折叠至DC边上的点E，使DE=5，折痕为PQ，则PQ的长为（ ）
A．12 B．13 C．14 D．15
11．如图，在中，，D是AB的中点，延长CB至点E，使，连接DE，F为DE中点，连接BF.若，，则BF的长为（ ）
A．5 B．4 C．6 D．8
12．下列条件中，能判定四边形是平行四边形的是（ ）
A．一组对边平行 B．对角线互相平分
C．一组对边相等 D．对角线互相垂直
二、填空题
13．平行四边形中，，，，则连接四边形四边中点所成的四边形是 .
14．如图，在矩形中，，，点，分别在，上，连接，，，.若四边形是菱形，则的长为 .
15．如图，点D、E、F分别是△ABC三边的中点，且AB=AC，则图中的四边形 是菱形．
16．用平行四边形纸条沿对边AB、CD的中点E、F所在的直线折成V字形图案，已知图中∠1=68°，∠2的度数为
17．顺次连接一个矩形各边中点得到的四边形是 ．
三、解答题
18．如图，在四边形ABCD中，，∠ADC＝90°，BC＝8cm，AD＝CD＝10cm，点E从点B出发，沿BC方向匀速运动，速度为2cm/s；同时，点F从点D出发，沿DA方向匀速运动，速度为3cm/s．过点E作EH⊥AD，垂足为H，EH与AC相交于点G，连结FG．设运动时间为t(s)()，解答下列问题：
(1)求DH的长度(用含t的代数式表示)；
(2)当CEG≌AHG时，求t的值；
(3)设四边形CDFG的面积为S()，求S与t之间的关系式；
(4)在运动过程中，是否存在某一时刻t，使得以点B，E，F，H为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由．
19．在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=2AC，求∠A、∠B的度数．
20．一个多边形，除了一个内角之外，其余内角之和为2680°，求这个内角的大小．
21．如图，中，，E、F分别是上的点，且，连接交于O．
(1)求证：；
(2)若，延长交的延长线于G，当时，求的长．
22．已知：如图，在四边形中，．E，F，G，H依次是的中点．求证：四边形是菱形．
23．如图，在中，，垂足为点D，是外角的平分线，，垂足为点E．
(1)求证：四边形为矩形；
(2)当满足什么条件时，四边形为正方形？给出证明．
24．如图，已知△ABC中，AB=AC，把△ABC绕A点沿顺时针方向旋转得到△ADE，连接BD、CE交于点F．
（1）求证：△AEC≌△ADB；
（2）若AB=2，，当四边形ADFC是菱形时，求BF的长．
《第十五章四边形》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D B D A C B C D A B
题号 11 12
答案 A B
1．D
【分析】过点作于，交于点，先根据正方形的性质和矩形的判定与性质可得，再结合折叠性质可证得，由此可得，再利用勾股定理即可求得答案．
【详解】解：如图，过点作于，交于点，
则，
∵四边形ABCD为正方形，
∴，，
∵，
∴四边形CDHF为矩形，
∴，
∴，
由折叠的性质得，
∴，
，
∵，
，
，
在和中，
，
，
，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
故选：D．
【点睛】本题主要考查正方形的性质，矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质以及勾股定理的应用，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
2．B
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题关键．根据“平行四边形邻角互补”的性质求解即可．
【详解】解：∵四边形为平行四边形，，
∴．
故选：B．
3．D
【分析】根据等腰三角形的性质，可求出∠CBD的度数，再根据平行四边形的性质，求出∠EDA的度数，然后在△ADE中，利用三角形的内角和为180°以及AE⊥BD，即可求出∠DAE的度数.
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC.
∵DB=DC，∠C=70°，
∴∠DBC=∠C=70°.
∵AD∥BC，
∴∠ADE=∠DBC=70°，
又∵AE⊥BD，
∴∠AEB=90°，
∴∠DAE=90°-∠ADE=20°.
故选D.
【点睛】此题主要考查了三角形的内角和定理、平行四边形的性质以及等腰三角形的性质，利用等腰三角形的两底角相等，得到∠CBD的度数是解决问题的关键.
4．A
【分析】根据正多边形的每个内角相等，每个外角也相等，外角和等于，即可得出答案
【详解】解：∵多边形的外角和等于360°，且这个每个外角都等于72°，
∴它的边数为.
故选A
【点睛】本题考查多边形的外角和，解题的关键是掌握多边形的外角和等于360°.
5．C
【详解】解：根据平行四边形的性质可知：AD∥BC，
所以∠C+∠ADC=180°，
再由BC=BD，
可得∠C=∠BDC=74°，
进而可求出∠ADB=106°﹣74°=32°．
故选：C．
6．B
【分析】此题考查了矩形的性质、勾股定理、三角形面积．熟练掌握矩形的性质和勾股定理是解题的关键．
由矩形可得：，又由，，可求得的长，则可求得与的长，又由，代入数值即可求得结果．
【详解】解：连接，如图所示：
四边形是矩形，
，，，，
，
，
，，
，，
，
，
．
点到矩形的两条对角线和的距离之和是12．
故选：B．
7．C
【分析】根据直角三角形的斜边上的中线的性质，即可得到△CDF是等边三角形，进而得到∠ACD=60°，根据∠BCD和∠BDC的角平分线相交于点E，即可得出∠CED=115°，即可得到∠ACD+∠CED=60°+115°=175°．
【详解】如图：

∵CD⊥AB，F为边AC的中点，
∴DF=AC=CF，
又∵CD=CF，
∴CD=DF=CF，
∴△CDF是等边三角形，
∴∠ACD=60°，
∵∠B=50°，
∴∠BCD+∠BDC=130°，
∵∠BCD和∠BDC的角平分线相交于点E，
∴∠DCE+∠CDE=65°，
∴∠CED=115°，
∴∠ACD+∠CED=60°+115°=175°，
故选C．
【点睛】本题主要考查了直角三角形的斜边上的中线的性质，在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．
8．D
【分析】本题考查了菱形的性质．根据菱形的性质可得，，从而得到，，即可求解．
【详解】解：∵四边形是菱形，
∴，，
∴，，
∴．
故选：D．
9．A
【详解】分析：根据平行四边形的对角相等即可求出答案．
详解：∵四边形ABCD为平行四边形， ∴∠A=∠C， ∵∠A+∠C=140°，
∴∠A=∠C=70°， 故选A．
点睛：本题主要考查的是平行四边形的性质，属于基础题型．明确平行四边形对角相等是解决这个问题的关键．
10．B
【详解】过点P作PM⊥BC于点M，
由折叠得到PQ⊥AE，
∴∠DAE+∠APQ=90°，
又∠DAE+∠AED=90°，
∴∠AED=∠APQ，
∵AD∥BC，
∴∠APQ=∠PQM，
则∠PQM=∠APQ=∠AED，∠D=∠PMQ，PM=AD
∴△PQM≌△ADE
∴PQ=AE=.
【点睛】本题考查图形的翻折变换，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，如本题中折叠前后角相等．
11．A
【分析】利用勾股定理求得；然后由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求得的长度；结合题意知线段是的中位线，则．
【详解】解：在中，，，，
．
又为中线，
．
为中点，即点是的中点，
是的中位线，则．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了勾股定理，三角形中位线定理，直角三角形斜边上的中线，利用直角三角形的中线性质求出线段的长度是解题的关键．
12．B
【分析】根据平行四边形的判定定理（①两组对角分别相等的四边形是平行四边形，②两组对边分别相等的四边形是平行四边形，③对角线互相平分的四边形是平行四边形，④有一组对边相等且平行的四边形是平行四边形）进行判断即可．
【详解】解：A、错误．一组对边平行无法判断四边形是平行四边形；
B、正确．对角线互相平分的四边形是平行四边形；
C、错误．一组对角相等无法判断四边形是平行四边形；
D、错误．对角线互相平分的四边形才是平行四边形，而对角线互相垂直的四边形不一定是平行四边形
【点睛】本题考查了对平行四边形的判定定理，熟记平行四边形的判定方法是解决问题的关键．
13．菱形
【分析】首先根据勾股定理的逆定理判断该平行四边形的形状，然后判断其中点四边形的形状即可得到答案．
【详解】解：在平行四边形中，，，，
∴ ，
∴∠ABC=90°，
∴四边形ABCD为矩形，
∴连接矩形ABCD的四边中点所成的四边形是菱形，
故答案为：菱形；
【点睛】本题主要考查了中点四边形的知识、菱形的判定与矩形的性质、勾股定理的逆定理，解题的关键是首先判定四边形ABCD的形状，难度不大．
14．
【分析】由矩形的性质可得∠A＝90°，利用勾股定理计算BD的长，设BE＝x，根据勾股定理列方程可得x的值，最后菱形的性质和勾股定理可解答．
【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝90°，
∵=CD，=AD，
∴BD＝，
∵四边形EBFD为菱形，
∴EF⊥BD，BE＝DE，OD＝BD＝5，
设BE＝x，则DE＝x，AE＝8 x，
在Rt△ABE中，由勾股定理得：AB2＋AE2＝BE2，
∴62＋（8 x）2＝x2，
解得：x＝，
∴DE＝，
Rt△EOD中，OE＝，
∵四边形EBFD为菱形，
∴EF＝2OE＝．
故答案为：．
【点睛】本题考查了矩形性质，菱形的性质，勾股定理，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键．
15．AEDF
【详解】试题解析：∵D、E、F分别是△ABC三边的中点，
∴DE∥AC，DE=AC，EF∥AB，EF=AB，
∴四边形AEDF为平行四边形．
又∵AC=AB，
∴DE=DF．
∴四边形AEDF为菱形．
故答案为AEDF.
16．44°
【详解】试题分析：用平行四边形纸条沿对边AB、CD的中点E、F所在的直线折成V字形图案，如图所示，根据折叠的特征，在折叠前，而∠1=68°，，所以∠2=44°
考点：平行四边形，折叠
点评：本题考查平行四边形，折叠，解答本题需要掌握折叠的性质和特征，要求考生利用折叠的特征来解答本题
17．菱形
【分析】本题考查了矩形的性质，菱形的判定，三角形中位线的性质，熟练掌握中位线的性质是解题的关键．连接、，根据矩形的性质，以及三角形中位线的性质，可得，进而即可求解．
【详解】解：如图，连接、，
、、、分别是矩形的、、、边上的中点，
，，
矩形的对角线，
，
四边形是菱形．
故答案为：菱形．
18．(1)8-2t；
(2)1.5；
(3)S=3t2-7t+40；
(4)t＝或t＝．
【分析】（1）先得出CE=（8-2t）（cm），AF=（10-3t）（cm），再得出四边形CEHD是平行四边形即可求解；
（2）先得出AH=（2+2t）（cm），再利用△CEG≌△AHG得出结论；
（3）得出GH=AH，再利用S=S△ACD-S△AFG求解即可；
（4）分两种情况解答，画出图形，根据图形及平行四边形的性质，得出BE=FH求解即可．
【详解】（1）根据题意，得BE=2t（cm），DF=3t（cm），
∴CE=（8-2t）（cm），AF=（10-3t）（cm），
∵CD⊥AD，EH⊥AD，
∴∠D=∠EHA=90°，
∴，
又∵，
∴四边形CEHD是平行四边形，
∴DH=CE=（8-2t）（cm）；
（2）∵AD=10cm，DH=（8-2t）（cm），
∴AH=AD-DH=10-（8-2t）=（2+2t）（cm），
∵△CEG≌△AHG，
∴CE=AH，
∴8-2t=2+2t，
∴t=1.5；
（3）如图，
∵CD=AD=10cm，
∴∠1=∠2，
∵∠D=90°，
∴∠2=45°，
又∵∠GHA=90°，
∴∠3=45°，
∴∠2=∠3，
∴GH=AH=（2+2t）（cm），
∴S=S△ACD-S△AFG
=×AD×CD ×AF×GH
=×10×10 ×(10 3t)(2+2t)
=3t2-7t+40
（4）①如图，作BG⊥AD于点G，
由题意得：BE=HG=2t（cm），AG=10-8=2cm，
∵B，E，F，H为顶点的四边形为平行四边形，
∴BE=FH，
∴2t=10-2-2t-3t，解得：t=，
②如图，
由题意得：2t=3t-（8-2t），解得：t=，
综上所述，t的值为：t＝或t＝．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，解题的关键是注意分类讨论思想的运用．
19．∠A=60°，∠B=30°．
【分析】如图，取AB的中点D，连接CD．证明△ACD是等边三角形即可．
【详解】解：如图，取AB的中点D，连接CD．
∵∠ACB=90°，AD=BD，
∴CD=AD=BD，
∵AB=2AC，
∴AC=AD=CD，
∴△ACD是等边三角形，
∴∠ADC=60°，
∵DC=DB，
∴∠B=∠DCB，
∵∠ADC=∠B+∠DCB，
∴∠B=30°，
∴∠A=90°-∠B=90°-30°=60°．
【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线性质，直角三角形两锐角互余，是基础题，熟记性质是解题的关键．
20．20°．
【分析】n边形的内角和是（n-2） 180°，因而内角和一定是180度的倍数．而多边形的内角一定大于0，并且小于180度，因而内角和除去一个内角的值，这个值除以180度，所得数值比边数要大，大的值小于1．则用内角的和除以180所得值，加上2，比这个数大的最小的整数就是多边形的边数．
【详解】设多边形的边数为x，由题意有
（x﹣2） 180=2680，
解得x=16，
因而多边形的边数是17，
则这一内角为（17﹣2）×180°﹣2680°=20°．
【点睛】考查了多边形内角与外角，正确理解多边形的内角和是180度的整数倍，以及多边形的角的范围，是解题的关键．
21．(1)见解析
(2)1
【分析】（1）通过证明和全等即可求得；
（2）由是等腰直角三角形，得出，因为得出，所以与都是等腰直角三角形，从而求得的长和，然后等腰直角三角形的性质即可求解
【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴
在和中
∴
∴；
（2）∵，
∴
∵
∴
∵
∴
∴是等腰直角三角形，
∵
∴
∴是等腰直角三角形，
∵
∴
∴
∴
∵是等腰直角三角形
∴
∴
在等腰中
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，平行四边形的性质，熟练掌握各图形的性质是解题的关键
22．见解析
【分析】由中位线的性质先证明四边形为平行四边形，再证明，即可得到结论．
【详解】证明：∵H，G为的中点，
∴且，
∵E，F为的中点，
∴且，
∴且，
∴四边形为平行四边形，
∵H，E为的中点，G，F为的中点，
∴且，
∵，，，
∴，
∴ 四边形为菱形．
【点睛】本题考查的是三角形中位线的性质，平行四边形，菱形的判定，掌握以上知识是解题的关键．
23．(1)见解析
(2)时，见解析
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，角平分线的意义，矩形的判定，正方形的判定，熟练掌握知识点是解题的关键．
（1）利用等腰三角形的性质和角平分线的意义，垂直的意义，可得，进而证明即可；
（2）利用等腰三角形的性质可得，进而证明即可．
【详解】（1）∵，
∴，，
∵是外角的平分线，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形为矩形；
（2）当时，四边形为正方形，理由如下：
∵，
∴，
∵，
∴平分，
∴，
∴
∴，
∵四边形为矩形，
∴四边形为正方形．
24．（1）证明过程见解析；（2）BF=2－2
【分析】（1）根据△ABC≌△ADE得出AE=AD，∠BAC=∠DAE，从而得出∠CAE=∠DAB，根据SAS判定定理得出三角形全等；
（2）根据菱形的性质得出∠DBA=∠BAC=45°，根据AB=AD得出△ABD是直角边长为2的等腰直角三角形，从而得出BD=2，根据菱形的性质得出AD=DF=FC=AC=AB=2，最后根据BF=BD－DF求出答案．
【详解】解析：（1）∵△ABC≌△ADE且AB=AC，
∴AE=AD，AB=AC，
∠BAC+∠BAE=∠DAE+∠BAE，
∴∠CAE=∠DAB，
∴△AEC≌△ADB．
（3）∵四边形ADFC是菱形且∠BAC=45°，
∴∠DBA=∠BAC=45°，
由（1）得AB=AD，
∴∠DBA=∠BDA=45° ，
∴△ABD是直角边长为2的等腰直角三角形，
∴BD=2，
又∵四边形ADFC是菱形，
∴AD=DF=FC=AC=AB=2，
∴BF=BD－DF=2－2．
考点：（1）三角形全等的性质与判定；（2）菱形的性质
【点睛】本题主要考查了旋转的性质，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识，证明出△ABD为直角边为2的等腰直角三角形是解题的关键．
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