15.2平行四边形和特殊的平行四边形同步练习（含解析）

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15.2平行四边形和特殊的平行四边形
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，在矩形ABCD中BC=8，CD=6，将△ABE沿BE折叠，使点A恰好落在对角线BD上F处，则DE的长是（ ）
A．3 B． C．5 D．
2．图1的长方形ABCD中，E点在AD上，且BE=2AE．今分别以BE、CE为折线，将A、D向BC的方向折过去，图2为对折后A、B、C、D、E五点均在同一平面上的位置图．若图2中，∠AED=15°，则∠BCE的度数为何？（　　）

A．30 B．32.5 C．35 D．37.5
3．如图，将一张长方形纸片对折两次，然后剪下一个角，打开．如果要剪出一个正方形，那么剪口线与折痕成（　　）
A．22.5°角 B．30°角
C．45°角 D．60°角
4．一矩形两对角线之间的夹角有一个是60°，且这角所对的边长5cm，则对角线长为（　　）
A．5cm B．10cm C．5cm D．无法确定
5．如图，在矩形ABCD中，EF∥AB，GH∥BC，EF、GH的交点P在BD上，图中面积相等的四边形有（　　）
A．3对 B．4对 C．5对 D．6对
6．如图，矩形纸片ABCD中，AB=6cm，BC=8cm．现将其沿AE对折，使得点B落在边AD上的点B1处，折痕与边BC交于点E，则CE的长为（　　）
A．6cm B．4cm C．3cm D．2cm
7．如图，EF过矩形ABCD对角线的交点O，且分别交AD、BC于点E、F已知AB=3，BC=4，则图中阴影部分的面积是（　　）
A．3 B．4 C．6 D．12
8．已知一矩形的周长是24cm，相邻两边之比是1：2，那么这个矩形的面积是（　　）
A．24cm2 B．32cm2 C．48cm2 D．128cm2
9．矩形ABCD的对角线AC BD交于点O，以下结论不一定成立的是（ ）
A．∠BCD=90° B．AC=BD C．OA=OB D．OC=CD
10．一个矩形和一个平行四边形的边分别相等， 若矩形面积为这个平行四边形的面积的2倍，则平行四边形的锐角的度数为（ ）．
A．15° B．30° C．45° D．60°
11．下列说法中错误的是（　　）
A．平行四边形的对角线互相平分
B．两组对边分别相等的四边形是平行四边形
C．矩形的对角线相等
D．有一组邻边相等且有一个角是直角的四边形是正方形
12．下列性质矩形不一定具备的是（ ）．
A．对角线相等 B．四个内角都相等
C．对角线互相平分 D．对角线互相垂直
二、填空题
13．将长方形纸片ABCD的一角沿AE折叠，使点D落在点D′处，得到如图所示的图形，若∠CED′＝56°，则∠D′AB＝ 度．
14．如图，四边形是平行四边形，且，点A的坐标为，点B的坐标为，则点C的坐标为 ．
15．如图，四边形是矩形，点的坐标为，点的坐标为，把矩形沿折叠，点落在点处，则点的坐标为 ．
16．矩形ABCD中，AB=3，BC=4，则AC= ，矩形的面积为 ．
17．如图，长方形ABCD是篮球场地的简图，长是28m，宽是15m，则它的对角线长约为 m．（精确到1m）
三、解答题
18．如图所示，已知矩形的两条对角线相交于点，求的长．
19．如图,将四边形纸片ABCD沿AE向上折叠,使点B落在DC边上的点F处.若△AFD的周长为24 cm,△ECF的周长为8 cm,求四边形纸片ABCD的周长.
20．如图，在矩形ABCD中，AB＝2AD，E是CD上一点，且AE＝AB，则∠CBE的度数是多少？
21．如图，在矩形ABCD中，连接对角线AC，BD，延长BC至点E，使BC=CE，连接DE．
求证：DE=AC．
22．请你写出两个本考卷中没有的定义
23．如图，EF过矩形ABCD对角线的交点O，且分别交AB、CD于E、F，那么阴影部分的面积是矩形ABCD的面积是多少？
24．如图，正方形ABCD的边长为12 cm，在AB上有点P，且AP=5 cm，将正方形折叠，使点D与点P重合，折痕为EF，求△EAP的周长.
《15.2平行四边形和特殊的平行四边形》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C D C B C D A B D B
题号 11 12
答案 D D
1．C
【分析】由折叠可得△BEF≌△BAE，得出AE=EF，然后根据勾股定理列方程即可.
【详解】∵矩形ABCD，
∴∠BAD=90°，
由折叠可得△BEF≌△BAE，
∴EF⊥BD，AE=EF，AB=BF，
在Rt△ABD中，AB=CD=6，BC=AD=8，
根据勾股定理得：BD=10，即FD=10﹣6=4，
设EF=AE=x，则有ED=8﹣x，
根据勾股定理得：x2+42=（8﹣x）2，
解得：x=3（负值舍去），
则DE=8﹣3=5，
故选C.
【点睛】本题考查翻折变换（折叠问题）和矩形的性质．根据勾股定理列方程是解决本题的关键.
2．D
【分析】根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半可得△ABE、△A′BE皆为30°、60°、90° 的三角形，所以∠AEB=60°，再根据平角等于180°求出∠AED′=60°，即可求得∠DED′=75°，然后根据翻折变换的性质求出∠2=37.5°，再根据两直线平行，内错角相等解答．
【详解】如图，

根据题意得：∵BE=2AE=2A′E，∠A=∠A′=90°，
∴△ABE、△A′BE皆为30°、60°、90° 的三角形，
∴∠1=∠AEB=60°，
∴∠AED′=180°﹣∠1﹣∠AEB=180°﹣60°﹣60°=60°，
∴∠DED′=∠AED+∠AED′=15°+60°=75°，
∴∠2=∠DED′=37.5°，
∵A′D′∥BC，
∴∠BCE=∠2=37.5°．
故选D．
【点睛】本题考查了矩形的面积，翻折变换的性质，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键．
3．C
【详解】一张长方形纸片对折两次后，剪下一个角，是菱形，而出现的四边形的两条对角线分别是两组对角的平分线，所以当剪口线与折痕成45°角，菱形就变成了正方形．故选C．
4．B
【详解】因为矩形的对角线相等且互相平分，又两对角线之间的夹角有一个是60°，所以对角线的一半与矩形的边所构成的三角形是等边三角形，所以对角线长为2×5=10（cm）.
故选B.
5．C
【详解】在矩形ABCD中，
∵EF∥AB,AB∥DC，
∴EF∥DC,则EP∥DH；故∠PED=∠DHP；
同理∠DPH=∠PDE;又PD=DP;所以△EPD≌△HDP;则S△EPD=S△HDP；
同理,S△GBP=S△FPB；
则(1)= = =
(2)= = =
(3) =+=+=
(4)=+=+ =
(5)=+=+=
故选C.
6．D
【详解】分析：根据翻折的性质可得∠B=∠AB1E=90°，AB=AB1，然后求出四边形ABEB1是正方形，再根据正方形的性质可得BE=AB，然后根据CE=BC-BE，代入数据进行计算即可得解．
详解：∵沿AE对折点B落在边AD上的点B1处，
∴∠B=∠AB1E=90°，AB=AB1，
又∵∠BAD=90°，
∴四边形ABEB1是正方形，
∴BE=AB=6cm，
∴CE=BC-BE=8-6=2cm．
故选D．
点睛：本题考查了矩形的性质，正方形的判定与性质，翻折变换的性质，判断出四边形ABEB1是正方形是解题的关键．
7．A
【详解】∵四边形ABCD是矩形，∴OB=OD，AD∥BC，∴∠CBD=∠ADB.
∵∠BOF=∠DOE，∴△BOF≌△DOE，∴S△DOE=S△BOF.
∴阴影部分的面积为S△BOF+S△COF=S△OBC=S矩形ABCD=×4×3=3.
故选A.
8．B
【分析】根据矩形的性质，两对边相等，可以求出相邻两边的和，进而求出各边的长度，根据面积公式求解即可．
【详解】设长为xcm，宽为ycm．
∵一矩形的周长是24cm，
∴2（x+y）=24，
∴x+y=12，
∵相邻两边之比是1：2，
∴x=8cm、y=4cm，
∴面积S=xy=8×4=32cm2．
故选B．
【点睛】本题考查矩形的性质，由很多个小的知识点组合而成，求解长宽即可求得面积．
9．D
【分析】根据矩形的性质进行分析判断即可．
【详解】解：如下图
∵四边形ABCD是矩形，对角线AC、BD相交于点O，
∴∠BCD=90°，AC=BD，OA=OB，但OC=CD不一定成立，
∴上述四个结论中选项A、B、C中的结论是正确的，选项D的结论不一定成立．
故选D．
【点睛】本题考查矩形的性质．熟记“矩形的相关性质”是正确解答本题的关键．
10．B
【详解】如图，矩形ABCD与平行四边形BCFG中，BG=AB，
过点G作GH⊥BC，垂足为H，
∵S矩形ABCD=BC·AB=2S平行四边形BCFG=2BC·GH，∴BG=2GH，
∵△BGH是Rt△，∠BHG=90°，∴∠GBH=30°，
故选B.
【点睛】本题考查了矩形的面积、平行四边形的面积以及直角三角形中，30度角所对直角边等于斜边的运用，根据已知条件推导出平行四边形的高与一边的关系是解题的关键.
11．D
【详解】根据平行四边形的性质可知，A，B正确；根据矩形的性质，C正确；有一组邻边相等且有一个角是直角的四边形不一定是正方形，所以D错误.
故选D.
12．D
【详解】A.矩形的对角线相等，正确；B. 矩形的四个内角都相等，正确；C.矩形的对角线互相平分，正确；D. 对角线互相平分、相等，但不一定垂直，
故选D.
【点睛】本题考查矩形的性质：对边平行且相等，矩形的对角线平分、相等，四个角都是直角．
13．34
【分析】由题意知△DEA≌△D′EA，根据全等三角形的性质可得∠DEA＝∠D′EA，∠D＝∠D′＝90°，∠DAE＝∠D′AE，由∠CED′＝56°，可求得∠D′EA＝62°，即可求得∠EAD′＝28°，所以∠D′AB＝34°.
【详解】由题意知△DEA≌△D′EA，
∴∠DEA＝∠D′EA，∠D＝∠D′＝90°，∠DAE＝∠D′AE，
又∵∠CED′＝56°，
∴∠D′EA＝(180°－56°)÷2＝62°，
∴∠EAD′＝90°－62°＝28°，
∴∠D′AB＝90°－2×28°＝34°.
故答案为34.
【点睛】本题考查了图形的折叠，理解折叠的性质是关键．
14．
【分析】本题考查了学生对平行四边形的性质、勾股定理和坐标与图象性质的理解和掌握，根据四边形是平行四边形，可求出C点的横坐标，再利用勾股定理求出的长，然后即可得出点C的坐标．此题难度不大，属于基础题．
【详解】解：∵点A的坐标为,点B的坐标为,
∴，
∴,
∴,
∴,点C在第二象 限,
∴点C的坐标为.
故答案为： ．
15．
【详解】分析：由折叠的性质得到一对角相等，再由矩形对边平行得到一对内错角相等，等量代换及等角对等边得到BE=OE，利用AAS得到三角形OED与三角形BEA全等，由全等三角形对应边相等得到DE=AE，过D作DF垂直于OE，利用勾股定理及面积法求出DF与OF的长，即可确定出D坐标．
详解：由折叠得：∠CBO=∠DBO，
∵矩形ABCO，
∴BC∥OA，
∴∠CBO=∠BOA，
∴∠DBO=∠BOA，
∴BE=OE，
在△ODE和△BAE中，
，
∴△ODE≌△BAE（AAS），
∴AE=DE，
设DE=AE=x，则有OE=BE=8-x，
在Rt△ODE中，根据勾股定理得：42+（8-x）2=x2，
解得：x=5，即OE=5，DE=3，
过D作DF⊥OA，
∵S△OED=OD DE=OE DF，
∴DF=，OF=，
则D（，-）．
故答案为（，-）．
点睛：此题考查了翻折变化（折叠问题），坐标与图形变换，以及矩形的性质，熟练掌握折叠的性质是解本题的关键．
16． 5 12．
【分析】根据勾股定理求出AC，利用面积公式计算求解．
【详解】如图：在Rt△ABC中，AB=3，BC=4，
由勾股定理得AC=；
矩形的面积为AB BC=3×4=12．
故答案为5，12．
【点睛】此题较简单，根据勾股定理及矩形的面积公式解答．
17．32
【详解】根据题意得，AB=15，BD=28，由勾股定理得，≈32，故答案为32.
18．
【分析】由矩形的性质得出∠ABC=90°，OA=OB，再证明△AOB是等边三角形，得出OA=AB，求出AC，然后根据勾股定理即可求出BC．
【详解】∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°，OA=AC，OB=BD，AC=BD，
∴OA=OB，
∵∠AOD=120°，
∴∠AOB=60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴OA=AB=1，
∴AC=2OA=2，
∴BC= ；
【点睛】考查了矩形的性质、等边三角形的判定与性质以及勾股定理；熟练掌握矩形的性质，证明三角形是等边三角形是解决问题的关键．
19．32(cm)
【详解】根据轴对称的性质可以得到AB=AF,BE=FE，再利用等量代换即可求出四边形纸片ABCD的周长.
解：由题意可知,△ABE和△AFE关于直线AE成轴对称,
所以AB=AF,BE=FE.
因为△AFD的周长为24 cm,△ECF的周长为8 cm,
即AD+DF+AF=24 cm,FC+CE+FE=8 cm,
所以四边形纸片ABCD的周长为：
AD+DC+BC+AB=AD+DF+FC+CE+BE+AB=(AD+DF+AF)+(FC+CE+FE)=24+8=32(cm).
20．15°
【详解】分析：根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半可得∠AED=30°，再根据两直线平行，内错角相等求出∠BAE=30°，然后根据等腰三角形两底角相等求出∠ABE的度数，再根据矩形的四个角都是直角列式计算即可得解．
本题解析：∵AB＝2AD，AE＝AB．
∴AE＝2AD．
∴直角△ADE中∠AED＝30°．
∵AB∥CD
∴∠EAB＝∠AED＝30°．
又∵AE＝AB．
∴∠AEB＝∠ABE＝＝75°．
∴∠CBE＝15°．
点睛：本题考查了矩形的性质,直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半的性质,等腰三角形两底角相等的性质,根据边的关系判断出是解本题的关键,也是突破口.
21．证明见解析
【详解】试题分析：
证明CD是线段BE的垂直平分线，得到DB=DE，又因为DB=AC，则得证.
试题解析：
∵四边形ABCD是矩形，∴AC=BD，∠BCD=90°，
∵BC=CE，∴DC是BE的中垂线，∴BD=DE，
∴DE=AC．
22．两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.
所有内角均为直角的平行四边形叫矩形.
【分析】见解析.
【详解】两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.
所有内角均为直角的平行四边形叫矩形.
【点睛】熟记定义是解题的关键.
23．
【详解】分析：根据矩形的性质推出OA=OC，AB∥CD，证△AOE≌△COF，得出阴影部分的面积等于△DOC的面积，求出△DAO的面积和△DOC的面积相等，△DAB和△DCB的面积相等即可．
本题解析：∵四边形为矩形，
∴OB＝OD＝OA＝OC，
在△EBO与△FDO中，∠EOB＝∠DOF，OB＝OD，∠EBO＝∠FDO，△EBO≌△FDO，
∴阴影部分的面积＝S△AEO+S△EBO＝S△AOB，
∵△AOB与△ABC同底且△AOB的高是△ABC高的，
∴S△AOB＝S△OBC＝S矩形ABCD．
24．17cm
【详解】试题分析：根据折叠的性质得到即可求解.
试题解析：
由题意得：
的周长为：
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