15.5三角形中位线定理同步练习（含解析）

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15.5三角形中位线定理
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，已知点E、F、G、H分别是矩形ABCD各边的中点，则四边形EFGH是（ ）
A．矩形 B．菱形 C．矩形或菱形 D．不能确定的
2．如图，已知正方形中，G、P分别是、上的点，E、F分别是、的中点，当P在BC上从B向C移动而G不动时，下列结论成立的是（　　）
A．线段的长逐渐增大 B．线段的长逐渐减小
C．线段的长不改变 D．线段的长不能确定
3．如图，在 ABCD中，，，点M、N分别是边AB、BC上的动点，连接DN、MN，点E、F分别为DN、MN的中点，连接EF，则EF的最小值为　　
A．1 B． C． D．
4．图，在△ABC中，AB＝AC，四边形ADEF为菱形，O为AE，DF的交点，S△ABC＝8 ，则S菱形ADEF＝（　　）
A．4 B．4 C．4 D．4
5．如图，ABC中，AB＝4，AC＝3，AD、AE分别是其角平分线和中线，过点C作CG⊥AD于F，交AB于G，连接EF，则线段EF的长为（ ）

A． B．1 C． D．7
6．如图所示，为等边三角形，于R，于S，则四个结论正确的是　　
点P在的平分线上；
②；
③；
．

A．全部正确 B．仅和正确 C．仅正确 D．仅和正确
7．如图，O是矩形ABCD的对角线AC的中点，M是AD的中点，若AB＝5，AD＝12，则四边形ABOM的周长为（　　）
A．17 B．18 C．19 D．20
8．如图,在平行四边形ABCD中,对角线AC和BD相交于点O,点E是BC边的中点,OE=1,则AB的长为（ ）
A．2 B．1
C． D．4
9．如图，D，E分别是△ABC的边AB，AC上的中点，如果△ADE的周长是6，则△ABC的周长是（　　）
A．6 B．12 C．18 D．24
10．如图，四边形中，，，，，．是的中点，则的长为（　　）
A． B．2 C． D．3
11．如图，在中，，BE是AC边上的中线．按下列步骤作图：①分别以点B，C为圆心，大于线段BC长度一半的长为半径作弧，相交于点M，N；②过点M，N作直线MN，交BC于点D；③连接DE．则线段DE的长为（ ）．
A．5 B．4 C．3 D．2
12．如图,D,E分别是AB,AC的中点,BE是∠ABC的平分线,对于下列结论:①BC=2DE;②DE∥BC;③BD=DE;④BE⊥AC．其中正确的是 ( )
A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④
二、填空题
13．如图所示，在中，M是的中点，平分于N点，且，则 ．
14．如图,吴伯伯家有一块等边三角形的空地ABC,已知E,F分别是边AB,AC的中点,量得EF=5米,他想把四边形BCFE用篱笆围成一圈放养小鸡,则需要篱笆的长是 米.

15．如图所示，A，B两点分别位于一个池塘的两端，小聪想用绳子测量A，B间的距离，但绳子不够长，一位同学帮他想了一个主意：先在地上取一个可以直接到达A，B的点C，找到，的中点D，E，并且测出的长为，则A，B间的距离为 ．
16．如图，在四边形中，E，F分别是，的中点，G，H分别是对角线的中点，若，则线段的长是 ．

17．如图，在中，D，E，F分别是边的中点，四边形周长为14，则的长为 ．

三、解答题
18．已知：如图，在中，、是的中位线，连接、，其交点为．求证：
(1)；
(2)．
19．已知：平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，BD=2AD，E，F，G分别是OC，OD，AB的中点．求证：
（1）BE⊥AC；
（2）EG=EF．
20．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是，点、、都在格点上，点、分别是线段、的中点．
（1）图中的是不是直角三角形？答：__________；(填“是”或“不是”)
（2）计算线段的长．
21．如图，在△ABC中，点D，E，F分别是AB，AC，BC的中点，AF⊥BC．求证：四边形ADFE是菱形．
22．在△ABC中，P是BC边上的一动点，连接AP．
(1)如图1，，，且．求：△ABP的面积．
(2)如图2，若，以AP为边作等腰Rt△APE，连接BE，F是BE的中点，连接AF，猜想PE，PB，AF之间有何数量关系？并证明你的结论．
(3)如图3，作于D，于E，若，，，当DE最小时，请直接写出DE的最小值．
23．如图,平行四边形ABCD的对角线AC,BD交于点O,M,N分别是AB,AD的中点．
（1）求证:四边形AMON是平行四边形；
（2）若AC=6,BD=4,∠AOB=90°,求NO的长度．
24．如图，点B、E、F、C在一条直线上，AB=DE=10，AC=DF，BE=CF=CE．
（1）求证：AB∥DE；
（2）求EG的长．
《15.5三角形中位线定理》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B C B C A A D A B C
题号 11 12
答案 C D
1．B
【分析】根据矩形中，、、、分别是、、、的中点，利用三角形中位线定理证得，然后利用四条边都相等的四边形是菱形即可判定．
【详解】解：四边形是菱形；
理由：如图，连接，，
、、、分别是、、、的中点，
，，，
同理，，，，，
∵在矩形中，
，
，
四边形是菱形．
故选：．
【点睛】此题主要考查学生对菱形的判定、三角形中位线定理和矩形的性质的理解和掌握，证明此题的关键是正确利用三角形中位线定理进行证明．
2．C
【分析】本题考查了三角形的中位线定理，只要三角形的边不变，则对应的中位线的长度就不变．连接，根据三角形中位线定理可得，因此线段的长不变．
【详解】解：如图，连接．
∵E、F分别是、的中点，
∴为的中位线，
∴，为定值．
∴线段的长不改变．
故选：C．
3．B
【分析】由已知可得，EF是三角形DMN的中位线，所以，当DM⊥AB时，DM最短，此时EF最小.
【详解】连接DM，
因为，E、F分别为DN、MN的中点，
所以，EF是三角形DMN的中位线，
所以，EF=,
当DM⊥AB时，DM最短，此时EF最小.
因为，，
所以，DM=AM,
所以，由勾股定理可得AM=2，此时 EF==.
故选B
【点睛】本题考核知识点：三角形中位线，平行四边形，勾股定理.解题关键点：巧用垂线段最短性质.
4．C
【分析】根据菱形的性质，结合AB=AC，得出DF为△ABC的中位线，DF∥BC，，从而得出AE为△ABC的高，得出，再根据菱形的面积公式，即可得出菱形的面积．
【详解】解：∵四边形ADEF为菱形，
∴EF∥AB，DE∥AC，AF=EF=DE=AD，AE⊥DF，
∴，，
，
，
，
∴CF=EF，DE=DB，
，，
∴DF∥BC，，
，
，
，
，
，
即，
，故C正确．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了菱形的性质，中位线的性质，等腰三角形的性质和判断，平行线的性质，菱形的面积，三角形面积的计算，根据菱形的性质和等腰三角形的性质得出DF为△ABC的中位线，是解题的关键．
5．A
【分析】先证明△AGC是等腰三角形，再利用中线的性质计算即可；
【详解】解：∵AD是△ABC角平分线，CG⊥AD于F，
∴△AGC是等腰三角形，
∴AG＝AC＝3，GF＝CF，
∵AB＝4，AC＝3，
∴BG＝1，
∵AE是△ABC中线，
∴BE＝CE，
∴EF为△CBG的中位线，
∴EF＝BG＝，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了三角形角平分线和中线的性质，准确计算是解题的关键．
6．A
【分析】因为为等边三角形，根据已知条件可推出，则，故（2）正确，，所以是等边三角形的顶角的平分线，故（1）正确，根据等腰三角形的三线合一的性质知，也是边上的高和中线，即点P是的中点，因为，所以点Q是的中点，所以是边对的中位线，有，故（3）正确，又可推出，故（4）正确．
【详解】∵于R，于S
∴
∵
∴
∴，故（2）正确，
∴是等边三角形的顶角的平分线，故（1）正确；
∴是边上的高和中线，即点P是的中点，
∵，
∴点Q是的中点，
∴是边对的中位线，
∴，故（3）正确；
∵
∴，故（4）正确；
∴全部正确．
故选A．
【点睛】本题利用了等边三角形的性质：三线合一，全等三角形的判定和性质，中位线的性质求解．
7．D
【分析】根据矩形的性质和三角形中位线的性质求解即可.
【详解】解：∵O是矩形ABCD的对角线AC的中点，M是AD的中点，
∴∠ABC=∠D=90°，CD=AB=5，BC=AD=12，OA=BO=OC，OM为△ACD的中位线，
∴OM=CD=2.5，AC==13，
∴BO=OA=AC=6.5，
∴四边形ABOM的周长为AB+AM+BO+OM=5+6+6.5+2.5=20，
故选D．
【点睛】BEN本题考查矩形的性质、三角形的中位线性质、勾股定理，熟练掌握矩形的性质是解答的关键.
8．A
【分析】首先证明OE是△BCD的中位线，再根据平行四边形的性质即可解决问题．
【详解】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB=OD，AB=CD，
∵BE=EC，
∴OE= CD，
∵OE=1，
∴AB=CD=2，
故答案为:A
【点睛】此题考查平行四边形的性质，三角形中位线定理，解题关键在于求出OE是△BCD的中位线
9．B
【详解】解：∵D、E分别是AB、AC的中点，
∴AD=AB，AE=AC，DE=BC，
∴△ABC的周长=AB+AC+BC=2AD+2AE+2DE=2（AD+AE+DE）=2×6=12
故选B．
【点睛】本题考查了三角形中位线定理，熟练掌握性质定理是解题的关键．
10．C
【分析】本题考查了矩形的判定和性质，勾股定理，三角形的中位线等知识；正确作出辅助线是解题关键．
延长到点E，使，过点E作于点F，利用平行线的性质求得四边形是矩形，于是可得和，由的长进而可得，在中利用勾股定理求得后，根据三角形中位线平行于三角形的第三边且等于第三边的一半即可
【详解】如下图，延长到点E，使，过点E作于点F，
∵，，
，
又∵，
∴四边形是矩形，
∴，，
，
中由勾股定理可得，
∵M是的中点，C是的中点，
∴是的中位线，
，
故选∶C．
11．C
【分析】根据作法得∶点D为BC的中点，然后根据三角形中位线定理，即可求解．
【详解】解∶根据作法得∶MN为BC的垂直平分线，即点D为BC的中点，
∵BE为AC边上的中线．即点E为AC的中点，
∴．
故选：C
【点睛】本题主要考查了三角形中位线定理，尺规作图——作已知线段的垂直平分线，熟练掌握三角形中位线定理，尺规作图——作已知线段的垂直平分线的作法是解题的关键．
12．D
【分析】根据三角形中位线定理判断①和②，根据角平分线的定义、等腰三角形的判定定理判断③，根据等腰三角形的三线合一判断④．
【详解】∵点D，E分别是AB，AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴BC=2DE，DE∥BC，①、②正确；
∵DE∥BC，
∴∠DEB=∠EBC，
∵BE是∠ABC的平分线，
∴∠DBE=∠EBC，
∴∠DEB=∠EBD，
∴BD=DE，③正确；
∵点E是AC的中点，BE是∠ABC的平分线，
∴BE⊥AC，④正确；
故选D．
【点睛】本题考查的是三角形中位线定理、角平分线的定义，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．
13．3
【分析】延长交于点D，易得，利用全等三角形的性质可得，N是的中点，则可得是的中位线，从而可求出的长．
【详解】解：如图，延长交于点D．
∵，平分，
∴，．
又∵，
∴，
∴，，
∴N是的中点．
∵M是的中点，
∴是的中位线，
∴．
故答案是：3．
【点睛】本题考查了三角形中位线定理和全等三角形的判定与性质，解答此题的关键是正确作出辅助线．
14．25
【分析】根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求出BC的长，也就是等边三角形的边长，周长也就不难得到．
【详解】∵点E，F分别是边AB，AC的中点，EF=5米，
∴BC=2EF=10米，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC=AC，
∴BE=CF=BC=5米，
∴篱笆的长=BE+BC+CF+EF=5+10+5+5=25米．
故答案为25．
【点睛】本题利用三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半的性质和等边三角形三边相等的性质求解．
15．
【分析】本题考查的是三角形中位线定理的应用，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．根据三角形中位线定理解答即可．
【详解】解：∵点D，E是，的中点，，
∴，
故答案为：．
16．6
【分析】本题考查的是三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．
根据三角形中位线定理解答即可．
【详解】∵E，G分别是，的中点，
∴，
∵F，H分别是的中点，
∴，
故答案为：6．
17．14
【分析】此题考查了平行四边形的判定和性质，三角形中位线定理，根据三角形中位线定理得到，，推出四边形为平行四边形，由此得到，求得．
【详解】∵D，E，F分别是边的中点，
∴，，
∴四边形为平行四边形．
∵四边形周长为14，
∴，
∴．
故答案为14．
18．(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形中位线定理．
根据三角形中位线，可得与的关系，与的关系，根据，可得答案；根据三角形的中位线，可得DF与AE的关系，根据平行四边形的判定与性质，可得答案．
【详解】（1）证明：∵、是的中位线，
∴，，．
，
．
在和中，
（）；
（2）∵、是的中位线，
，，
∴四边形是平行四边形，
∴
19．（1）证明见解析；（2）证明见解析．
【分析】（1）由已知条件易证△OBC是等腰三角形，E是OC的中点，根据等腰三角形中底边上的高与中线合一的性质知BE⊥AC．
（2）利用直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半及中位线定理可证EG=EF．
【详解】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，BD=2BO．
由已知BD="2AD，"
∴BO=BC．
又E是OC中点，
∴BE⊥AC．
（2）由（1）BE⊥AC，又G是AB中点，
∴EG是Rt△ABE斜边上的中线．
∴EG=AB
又∵EF是△OCD的中位线，
∴EF=CD．
又AB="CD，"
∴EG=EF．
【点睛】本题考查1．三角形中位线定理；2．等腰三角形的判定与性质；3．直角三角形斜边上的中线；4．平行四边形的性质．
20．（1）不是；（2）
【分析】（1）利用勾股定理求出三边长，再根据勾股定理的逆定理判断即可；
（2）得出DE是△ABC的中位线，再根据AB的长求出DE即可．
【详解】解：（1）由图可知：
AB=，AC=，BC=，
则有AC2＜AB2+BC2，
∴△ABC不是直角三角形，
故答案为：不是；
（2）∵D和E分别是AC和BC中点，
∴DE=AB=．
【点睛】本题考查了勾股定理及其逆定理，中位线，解题的关键是掌握在网格中利用勾股定理计算线段长度．
21．见解析
【分析】由线段垂直平分线的性质得出，由三角形中位线定理得出得出，，得出，即可得出结论．
【详解】解：∵AF⊥BC，点D，E，F分别是AB，AC，BC的中点，
∴AB＝AC，DF＝AC＝AE，EF＝AB＝AD，
∴DF＝AD＝EF＝AE，
∴四边形ADFE是菱形．
【点睛】本题主要考查了菱形的判定、三角形中位线定理、线段垂直平分线的性质；熟练掌握菱形的判定方法，熟记线段垂直平分线的性质是关键．
22．(1)；
(2)，证明见详解；
(3)DE的最小值为．
【分析】（1）过点A作AG⊥BC于点G，由,列等量关系,计算得到的长，然后利用三角形面积公式求解即可；
（2）连接CE并延长，交BA的延长线与点H，证明，,进一步推理得到；由三角形中位线定理知道；证明，得到,代入中即可得到答案；
（3）延长PD到点M，使MD=PD，延长PE到点N，使NE=PE，连接AP、AM、AN、MN，过点A作AQ⊥MN于点Ｑ，推理得到当AP有最小值的时候，DE有最小值，在△ABC中，当AP⊥BC的时，AP有最小值，利用勾股定理求解即可．
【详解】（1）解：过点A作AG⊥BC于点G，如下图：
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
又∵， ，
∴，
在中，，，
∴，
设，则，
由勾股定理，得：，即，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
解得：，
∴，
∴BC=2BG=2，
∴，
∴；
（2）,理由如下：
证明：连接CE并延长，交BA的延长线与点H，作图如下：
∵，
∴，，
∵是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
在中，，
由勾股定理，得：,即：，
∵，
∴，
又∵，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴，
又∵F是BE的中点，
∴AF是的中位线，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（3）解：延长PD到点M，使MD=PD，延长PE到点N，使NE=PE，连接AP、AM、AN、MN，过点A作AQ⊥MN于点Ｑ，如下图：
∴DE为△PMN的中位线，
∴MN=2BE，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴， ，
∵，
∴，，
∴，
∴，
在中，AM=AN，，，
∴，，
∴，
在中，，
∴，
由勾股定理，得：，
∵，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴当AP有最小值的时候，DE有最小值，
∴在△ABC中，当AP⊥BC的时，AP有最小值，
过点B作BF⊥AC于点F，如下图：
∵，
∴∠BFC=∠BFA=，
在中，，
∴，
∴FB=FC，
由勾股定理，得：，即，
，
∵，
∴，
在中，，
∴，
∴，
由勾股定理，得：，
即：，
∵，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，
由勾股定理，得，即，
∵，
∴，
∴AP的最小值为3，
∴，
∴DE的最小值为：．
【点睛】本题考查勾股定理解直接三角形，等腰三角形的性质，全等三角形的性质和判定，三角形中位线定理，直接开平方法解一元二次方程，二次根式的加减，等知识点，能够用化归的思想，利用辅助线画准确图形是解该类型题的关键．
23．（1）证明见解析；（2）．
【分析】（1）根据平行四边形的性质得到AO＝OC，BO＝OD，根据三角形中位线的性质得到MO∥AD，NO∥AB，根据平行四边形的判定可证得结论；
（2）由勾股定理求得AB，根据三角形中位线的性质得到进而可得结论．
【详解】（1）∵四边形是平行四边形，
∴AO＝OC，BO＝OD．
∵，分别是、的中点，
∴，，
∴，，
∴四边形是平行四边形；
（2）解：∵四边形是平行四边形，
∴，．
∵，，
∴，．
∵，
∴．
∵是的中点，，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质和判定，三角形中位线的性质，勾股定理，根据三角形中位线的性质得到是解决问题的关键．
24．（1）详见解析；（2）5
【分析】（1）由BE=CF，利用等式的性质得到BC=EF，利用SSS得到三角形ABC与三角形DEF全等，利用全等三角形对应角相等得到一对同位角相等，利用同位角相等两直线平行即可得证；
（2）由BE=CE得到E为BC中点，再由GE与AB平行，得到GE为中位线，利用中位线定理得到AB=2EG，即可求出EG的长．
【详解】解：（1）∵BE=CF，
∴BE+EC=CF+EC，即BC=EF，
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（SSS），
∴∠B=∠DEF，
∴AB∥DE；
（2）∵GE∥AB，E为BC中点，
∴G为AC中点，即GE为△ABC的中位线，
∴EG=AB=5．
【点睛】此题考查全等三角形的判定与性质，解题关键在于掌握判定定理，利用中位线定理进行解答.
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