2024-2025学年第二学期第一次质量检测初二数学
第一卷（选择题，共24分）
一、单选题（每小题3分，共24分）
1．在下列四组数中，属于勾股数的是（ ）
A．1，， B．6，8，10 C．7，8，9 D．0.3，0.4，0.5
2．在四边形中，对角线，相交于点，下列条件中，不能判定这个四边形是平行四边形的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
3．如图，是的中位线，的平分线交于点，连接并延长交于，若，则的长为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
3题图
4．如图，已知P、R分别是长方形的边、上的点，E、F分别是、的中点，点P在上从B向C移动，点R不动，那么下列结论成立的是（ ）
A．线段的长不变 B．线段的长逐渐变小
C．线段的长逐渐增大 D．无法确定
5．利用四个全等的直角三角形可以拼成如下图所示的“赵爽弦图”，在用“赵爽弦图”的面积验证勾股定理时，用到的相等关系是（ ）
A． B． C． D．
6．《九章算术》书上一个问题“今有垣高一丈．倚木于垣，上与垣齐．引木却行一尺，其木至地．问木长几何？”其内容表述为：“有一面墙，高1丈，将一根木杆斜靠在墙上，使木杆的上端与墙的上端对齐，下端落在地面上．如果使木杆下端从此时的位置向远离墙的方向移动1尺，则木杆上端恰好沿着墙滑落到地面上．问木杆长多少尺？”（说明：1丈尺）设木杆长尺，依题意，下列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7．如图，在中，，且，，点是斜边上的一个动点，过点分别作于点，于点，连接，则线段的最小值为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，菱形的对角线、相交于点，过点作于点，连接，若，．则菱形的面积为（ ）
A．12 B．10 C．6 D．24
第二卷（非选择题，共96分）
二、填空题（每小题3分，共24分）
9．如下图以直角三角形三条边为分别向外作三个正方形，其中两个正方形的面积分别为和，则图中正方形字母A所代表的正方形的面积为 ．
10．如图，四边形是矩形，分别以点A和点C为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点M，N；作直线分别交于点E，F，连接，若，则四边形的面积为 ．
11．如图，以正方形的边向外作等边三角形，则的度数是 ．
12．如图，在中，的平分线交于点，的平分线交于点，若，，则的长是 ．
13．如图，一架15m长的梯子AB斜靠在一竖直的墙OA上，这时梯子的顶端A离地面距离OA为12m，如果梯子顶端A沿墙下滑3m至C点，那么梯子底端B向外移至D点，则BD的长为 m．
14．如图，矩形OABC的两边OA、OC分别在x轴、y轴上，点B坐标为，将矩形沿对角线OB翻折使点A落在点D处，则点D的坐标为 ．
15．2024年9月22日是第七个中国农民丰收节。小彬用打印机制作了一个底面周长为，高为的圆柱状粮仓模型，如图所示，现要在此模型的侧面从点A出发到点B处贴一条彩色装饰带，则装饰带的长度最短为 ．
16．如图，平行四边形的对角线相交于点，是的中点，连接．下列结论：①；②平分；③；④．其中结论正确的序号有 ．
三、解答题（本大题共8小题，共72分）
17．（本题7分）如图，在中，E，F为上的点，，那么四边形是什么图形？为什么．
18．（本题7分）某校为进一步加强学生的劳动教育，决定将劳动实践基地按班级进行分配．如图，是该校七年级劳动实践基地的示意图，经过“数学兴趣小组”同学们的努力，测得，，，，．
(1)求之间的距离；
(2)求四边形的面积．
19．（本题8分）【教材呈现】如图是人教版八年级下册第页部分内容：
如图，点分别是的边与的中点，根据画出的图形，可以猜想：且．
对此，我们可以用演绎推理给出证明．
（1）请完成教材的证明：
【结论应用】
（2）如图，在四边形中，，是对角线的中点，是的中点，是的中点．请判断的形状，并说明理由．
20．（本题10分）如图，已知四边形ABCD是平行四边形，小慧同学利用直尺和规进行了如下操作：①连接AC，分别以点A、C为圆心，以大于AC的长为半径画弧，两弧相交于点P、Q；②作直线PQ，分别交BC、AC、AD于点E、O、F，连接AE、CF．根据操作结果，解答下列问题：
（1）线段AF与CF的数量关系是 .
（2）若∠BAD=120°，AE平分∠BAD，AB=8，求四边形AECF的面积．
21．（本题8分）如图，在平行四边形中，，E，F是对角线上的点，且，连接，，，．求证：四边形是菱形．
22．（本题10分）如图，在四边形中，，，，，．点P从点A出发，以的速度向点D运动；点Q从点C出发，以的速度向点B运动．点P与点Q同时出发．设运动时间为．
(1)用含t的代数式表示：______；______；______；______；
(2)从点P，Q运动开始，经过多长时间以点P，Q，C，D为顶点的四边形是平行四边形？
(3)从点P，Q运动开始，经过多长时间以点A，B，Q，P为顶点的四边形是矩形？
23．（本题10分）“赵爽弦图”是四个全等的直角三角形与中间一个小正方形拼成的大正方形．赵爽利用几何图形的截、割、拼、补来证明代数式之间的恒等关系，在验明勾股定理，为中国古代以形证数形数统一、代数和几何紧密结合、互不可分的独特风格树立了一个典范．
(1)如图1，是小琪制作的一个“赵爽弦图”纸板．
①设，，，请你利用图1验证：；
②若大正方形的边长为13，小正方形的边长为7，求直角三角形两直角边之和为多少？
如图2，小昊把四个全等的直角三角板紧密地拼接在一起，已知外围轮廓实线的周长为48，，求这个图案的面积．
24．（本题12分）综合与实践
问题呈现：
如图①，在四边形中，，，
求证：平分．
问题解决：
小明在解决问题时发现可以通过构造全等三角形来解决问题，而且他找到了两种“构造”方案：
方案一：如图②，过作于，于；
方案二：如图③，延长至，使．
（1）请你选择其中一种“构造”方案，写出完整的证明过程．
思维发散：
（2）如图④，在等边中，点是的中点，，与交于点，与交于点，请直接写出，和的数量关系。
第1页，共2页《2024-2025学年第二学期第一次质量检测初二数学》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B B A A C A B A
9．64
10．
11．15
12．
13．3
14．(，6)
15．15
16．①②③
，
17．四边形是平行四边形；
解：四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
，，
，
四边形是平行四边形．
18.【详解】（1）解：连接，
在中，，，，
由勾股定理得，，
∴之间的距离为；
（2）∵m，m，m，
∴，，，
∴，
∴是直角三角形，
∴，
∴，
所以四边形的面积为
19【详解】证明：延长至点，使，连接，
∵点分别是的边与的中点，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，，
∴四边形是平行四边形，
∴，，
∴且；
（2）是等腰三角形，
理由：∵是的中点，是的中点，
∴，
∵是的中点，是的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是等腰三角形．
20．（1）FA=FC；（2）
解：（1）由作法得EF垂直平分AC，
所以FA=FC．
故答案为FA=FC；
（2）∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE=∠DAE=∠BAD=60°，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠AEB=∠DAE=60°，
∴△ABE为等边三角形，
∴AE=AB=8，∠B=60°，
∵EA=EC，
∴∠EAC=∠ECA=∠AEB=30°，
∴AC=AB=8，
∵∠CAD=60°-30°=30°，
即OA平分∠EAF，
∴AF=AE=8，
∴△AEF为等边三角形，
∴EF=8，
∴四边形AECF的面积=．
21．
【详解】证明：如图，设交于点O，
∵，四边形是平行四边形，
∴平行四边形是菱形，
∴，
∵，
∴，
即，
∴四边形是平行四边形，
又∵，
∴平行四边形是菱形．
22【详解】（1）解：由题意得：，，
∵，，
∴，，
故答案为：；；；；
（2）解：当时，四边形是平行四边形，
∴，
解得．
∴时，四边形是平行四边形．
（3）解：当时，四边形是矩形，
∴
解得，
∴时，四边形是矩形．
23【详解】（1）解：①证明：中间小正方形的边长为，
小正方形的面积为
又四个直角三角形的面积为：，
大正方形的面积为：
又大正方形的边长为c，
大正方形的面积还可以表示为，
；
②解：由①可知，
，
，
，
，
，
舍负，
即直角三角形两直角边之和为；
（2）解：设，
，
外围轮廓实线的周长为48，
，
则
在中，
，
解得，
即，
．
24．【详解】解：（1）方案一：如图②，过作于，于，
证明：在四边形中，，
∴，
∵共线，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴平分；
方案二：如图③，延长至，使，
证明：在四边形中，，
∴，
∵点三点共线，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴平分；
（2），理由如下，
∵是等边三角形，
∴，
∵点是中点，
∴，
如图所示，取线段的中点，连接，
∴，
∴，，
∴，即是等边三角形，
∴，，
∵，
∴，
在和中，
∴，
∴，
∴，
∴
