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《用关系式表示的变量间关系》习题
1．图中的圆点是有规律地从里到外逐层排列的．设y为第n层(n为正整数)圆点的个数，则下列函数关系中正确的是( )21教育网21cnjy.com
A．y＝4n－4 B．y＝4n C．y＝4n＋4 D．y＝n2
2．如图,△ABC的底边边长BC=a，当顶点A沿BC边上的高AD向D点移动到E点，使DE=AE时，△ABC的面积将变为原来的( )【出处：21教育名师】
( http: / / www.21cnjy.com )
A. B. C. D.
3．如图,△ABC的面积是2cm2，直线 ( http: / / www.21cnjy.com )l∥BC，顶点A在l上，当顶点C沿BC所在直线向点B运动(不超过点B)时，要保持△ABC的面积不变,则顶点A应( )
( http: / / www.21cnjy.com )
A.向直线l的上方运动; B.向直线l的下方运动;
C.在直线l上运动; D.以上三种情形都可能发生.
4．当一个圆锥的底面半径为原来的2倍,高变为原来的时,它的体积变为原来的( )
A. B. C. D.
5．如图，△ABC中,过顶点A的直线与边B ( http: / / www.21cnjy.com )C相交于点D，当顶点A沿直线AD向点D运动,且越过点D后逐渐远离点D，在这一运动过程中，△ABC的面积的变化情况是( )21cnjy.com21·cn·jy·com
A.由大变小 B.由小变大
C.先由大变小,后又由小变大 D.先由小变大,后又由大变小
6．如图，圆柱的高是3cm，当圆柱的底面半径由小到大变化时，圆柱的体积也随之发生了变化．
（1）在这个变化中，自变量是______，因变量是______；
（2）当底面半径由1cm变化到10cm时，圆柱的体积增加了______cm3．
2-1-c-n-j-y21教育名师原创作品
7．一个小球由静止开始沿一个斜坡向下滚动，通过仪器观察得到小球滚动的距离s(m)与时间t(s)的数据如下表：21教育名师原创作品
时间t(s) 1 2 3 4 …
距离s(m) 2 8 18 32 …
写出用t表示s的关系式：________．
8．烧一壶水，假设冷水的水温为20℃，烧 ( http: / / www.21cnjy.com )水时每分钟可使水温提高8℃，烧了x分钟后水壶的水温为y℃，当水开时就不再烧了.www-2-1-cnjy-com
(1)y与x的关系式为________,其中自变量是________,它应在________变化.
(2)x=1时，y=________，x=5时，y=________.
(3)x=________时，y=48.
9．设梯形的上底长为x cm，下底比上底多2 cm，高与上底相等，面积为2cm2，则根据题意可列方程为_____.www-2-1-cnjy-com
10．用一根长50cm的细绳围成一个矩形．设矩形的一边长为xcm，面积为ycm2．求y与x的函数关系式；
11．南方A市欲将一批容易变质的水果运往B ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )市销售,若有飞机、火车、汽车三种运输方式,现只选择其中一种,这三种运输方式的主要参考数据如下表所示:
运输工具 途中速度(km/h) 途中费用(元/km) 装卸费用(元) 装卸时间
飞机 200 16 1000 2
火车 100 4 2000 4
汽车 50 8 1000 2
若这批水果在运输(包括装卸)过程中的损耗为 ( http: / / www.21cnjy.com )200元/h,记A、B两市间的距离为xkm (1)如果用W1、W2、W3分别表示使用飞机、火车、汽车运输时的总支出费用（包括损耗），求W1、W2、W3与x间的关系式;www.21-cn-jy.com21教育网
(2)当x=250时,应采用哪种运输方式，才使运输时的总支出费用最小
12．一个梯形，它的下底比上底长2cm，它的高为3cm，设它的上底长为xcm，它的面积为ycm2.
(1)写出y与x之间的关系式，并指出哪个变量是自变量，哪个变量是因变量.
(2)当x由5变7时，y如何变化
(3)用表格表示当x从3变到10时(每次增加1)，y的相应值.
(4)当x每增加1时，y如何变化？说明你的理由.
13． 已知水池中有800立方米的水，每小时抽50立方米．
(1)写出剩余水的体积Q(立方米)与时间t(小时)之间的函数关系式；
(2)6小时后池中还有多少水？
(3)几小时后，池中还有2 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )00立方米的水？
14．一辆加满汽油的汽车在匀速行驶中，油箱中的剩余油量Q(L)与行驶的时间t(h)的关系如下表所示：21·世纪*教育网【来源：21cnj*y.co*m】
行驶时间t(h) 0 1 2 3 4 …
油箱中剩余油量Q(L) 54 46.5 39 31.5 24 …
请你根据表格，解答下列问题：
(1)上表反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？
(2)随着行驶时间的不断增加，油箱中剩余油量的变化趋势是怎样的？
(3)请直接写出Q与t的关系式，并求出这辆汽车在连续行驶6h后，油箱中的剩余油量；
(4)这辆车在中途不加油的情况下，最多能连续行驶的时间是多少？
15．用一根长是20cm的细绳围成一个长方形(如图)，这个长方形的一边的长为xcm，它的面积为ycm2.21·cn·jy·com21·世纪*教育网
( http: / / www.21cnjy.com )
(1)写出y与x之间的关系式，在这个关系式中，哪个是自变量？它的取值应在什么范围内？
(2)用表格表示当x从1变到9时(每次增加1)，y的相应值;
(3)从上面的表格中，你能看出什么规律
(4)猜想一下，怎样围法，得到的长方形的面积最大？最大是多少
参考答案
1．答案：B
解析：【解答】由图可知n＝1时，圆点有4个 ( http: / / www.21cnjy.com )，即y＝4；n＝2时，圆点有8个，即y＝8；n＝3时，圆点有12个，即y＝12，∴y＝4n.【来源：21·世纪·教育·网】
故选B
【分析】由图观察可知.
2．答案：B
解析：【解答】根据三角形的面积公式判断△ABC的面积将变为原来的三分之一．
故选B．
【分析】由图观察可知根据三角形的面积公式.
3．答案：A
解析：【解答】根据三角形的面积公式判断 ( http: / / www.21cnjy.com )当顶点C沿BC所在直线向点B运动时，三角形的底变小，则要保持△ABC的面积不变，高就要增大，即顶点A应向直线l的上方运动．
故选A．【来源：21cnj*y.co*m】www.21-cn-jy.com
【分析】由图观察可知根据三角形的面积公式.
4．答案：C
解析：【解答】设圆锥的底面半径为r ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )，高为h，即可表示出变化后的底面半径和高，再根据圆锥的体积公式分别表示出原来的体积和变化后的体积，比较即可得到结果.21*cnjy*com2-1-c-n-j-y
故选C.
【分析】根据圆锥的体积公式分别表示出原来的体积和变化后的体积.
5．答案：C
解析：【解答】由题意得，这个过程中 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )△ABC的底始终不变，根据三角形的面积公式即可判断. 由题意得，这个过程中△ABC的底始终不变，则△ABC的面积的变化情况是先由大变小，后又由小变大.【出处：21教育名师】
故选C.
【分析】根据三角形的面积公式即可判断.
6．答案：（1）半径，体积；（2）297π．
解析：【解答】（1）根据函数的定义可知，对于 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )底面半径的每个值，体积按照一定的法则有一个确定的值与之对应，所以自变量是：半径，因变量是：体积．
（2）体积增加了（π×102-π×12）×3=297πcm3．
故答案为：（1）半径，体积；（2）297π．【版权所有：21教育】
【分析】根据函数的定义.圆柱的高没有变化，只有底面积变化，因此计算底面积之差即可.
7．答案：s＝2t2(t≥0)．21
解析：【解答】观察表中给出 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )的t与s的对应值，再进行分析，归纳得出关系式．t＝1时，s＝2×12；t＝2时，s＝2×22；t＝3时，s＝2×32；t＝4时，s＝2×42，…所以s与t的关系式为s＝2t2，其中t≥0.21*cnjy*com
故答案为s＝2t2(t≥0)．21
【分析】观察表中给出的t与s的对应值，归纳出关系式.
8．答案：(1)y=8x+20 x 在0--10变化；(2)28 60；(3)3.5
解析：【解答】(1)根据 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )题意，在20℃的基础上x和y有一定的变化规律，即y=8x+20；水温是随着时间的变化而变化的，因此自变量是时间x ；当水温y=100时，水沸腾，因此时间x=10，所以x的变化范围是0≤x≤10.
(2) x=1时，代入关系式 y=28 x=5时代入关系式 y=60
(3)把y=48代入关系式，变形计算出x=3.5.
【分析】先根据题意列出函数关系式，再依次代入求值即可
9．答案为：x2+x-2=0
解析：【解答】设这个梯形上底边长为xc ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )m，那么下底就应该为（x＋2）cm，高为xcm，根据梯形的面积公式得（2x+2）x÷2=2，
化简后得x2+x-2=0． 21*cnjy*com
故答案为：x2+x-2=0
【分析】如果设这个梯形上底边长为xcm，那么下底就应该为（x＋2）cm，高为xcm，根据梯形的面积公式即可列出方程．
10．答案：y=-x2+25x
解析：【解答】设矩形的一边长为xcm，面积为ycm2，根据题意得出：
y=-x2+25x
答案为：y=-x2+25x
【分析】先利用长方形的面积公式列出二次函数关系式即可．
11．答案：见解析过程
解析：【解答】(1)W1=16x+1000+200(+2)=17x+1400
W2=4x+2000+200(+4)=6x+2800
W3=8x+1000+200(+2)=12x+1400
(2)当x=250时,W1=17×250+1400=5650(元)
W2=6×250+2800=4300(元)
W3=12×250+1400=4400(元)，因为W1>W2>W3，所以应采用火车运输，才能使运输时的总支出费用最小.
【分析】(1)根据表格中的关系列出式子 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )：总费用=(运输时间+装卸时间)×损耗+途中费用×距离+装卸费用，依次代入数据即可.(2)x=250，依次代入关系式比较计算结果即可.【版权所有：21教育】
12．答案：见解答过程
解析：【解答】(1)y==3x+3 其中x是自变量，y是因变量
(2)当x由5变到7时，y由18变到24
(3)
x 3 4 5 6 7 8 9 10
y 12 15 18 21 24 27 30 33
(4)x每增加1时，y增加3，这是因为:
当x变为x+1时，y由3x+3变为3(x+1)+3=(3x+3)+3
【分析】根据梯形的面积公式列出关系式，依次代入数值计算即可.
13．答案：见解答过程
解析：【解答】(1)Q＝800－50t(0≤t≤16)；
(2)当t＝6时，Q＝800－50×6＝500(立方米)．
答：6小时后，池中还剩500立方米的水；
(3)当Q＝200时，800－50t＝200，解得t＝12.
答：12小时后，池中还有200立方米的水．
【分析】(1)根据“抽水时间×抽水速度＝抽水 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )量”，“蓄水量－抽水量＝剩余水量”解题即可；(2)根据自变量与因变量的关系式，可得自变量相应的值；(3)根据自变量与因变量的关系式，可得相应自变量的值．21世纪教育网版权所有
14．答案：见解答过程.
解析：【解答】(1)表中反映的是油箱中剩余油量Q(L)与行驶时间t(h)的变量关系，时间t是自变量，油箱中剩余油量Q是因变量；【来源：21·世纪·教育·网】
(2)随着行驶时间的不断增加，油箱中的剩余油量在不断减小；
(3)由题意可知汽车行驶每小时耗油7.5L，Q＝54－7.5t；把t＝6代入得Q＝54－7.5×6＝9(L)；2·1·c·n·j·y
(4)由题意可知汽车行驶每小时耗油7.5L，油箱中原有54L汽油，可以供汽车行驶54÷7.5＝7.2(h)． 21*cnjy*com
答：最多能连续行驶7.2h.
【分析】(1)认真分析表中数据可知，油箱中剩 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )余油量Q(L)与行驶时间t(h)的变量关系，再根据自变量、因变量的定义找出自变量和因变量；(2)由表中数据可知随着行驶时间的不断增加，油箱中剩余油量的变化趋势；(3)由分析表中数据可知，每行驶1h消耗油量为7.5L.然后根据此关系写出油箱中剩余油量Q(L)与行驶时间t(h)的代数式；(4)根据图表可知汽车行驶每小时耗油7.5L，油箱原有汽油54L，即可求出油箱中原有汽油可以供汽车行驶多少小时．
15．答案：见解答过程
解析：【解答】(1)y=·x=(10-x)·x，x是自变量,它的值应在0到10之间(不包括0和10)2·1·c·n·j·y
(2)
x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
y 9 16 21 24 25 24 21 16 9
(3)可以看出:①当x逐渐增大时 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )，y的值先由小变大，后又由大变小；②y的值在由小变大的过程中，变大的速度越来越慢，反过来y的值在由大变小的过程中，变小的速度越来越快；③当x取距5等距离的两数时，得到的两个y值相等.
(4)从表中可以发现x=5时，y取到最大的值25.
【分析】解答本题的关键是熟练掌握长方形的面积公式，同时熟记在一个变化的过程中，数值发生变化的量称为变量，函数值为因变量，另一个值为自变量．
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《用关系式表示的变量间关系》教案
教学目标
一、知识与技能
1．理解两个变量之间的关系可以用关系式表示，能在一个关系式中指出自变量和因变量；
2．能够在具体的情境中列出表示变量关系的关系式；
二、过程与方法
1．如何将生活中的实际问题转化为数学问题；
2．经历探索某些图形中变量之间的关系的过程，进一步体会一个变量对另一个变量的影响，发展符号感；
三、情感态度和价值观
1．培养学生动手的能力，探索问题、研究问题的能力及应用数学知识的能力；
2．通过教学让学生领悟探索问题和研究问题的方法；
教学重点
能够在具体的情境中列出表示变量关系的关系式；
教学难点
能用适当的函数表示方法刻画简单实际问题中变量之间的关系；
教学方法
引导发现法、启发猜想、讲练结合法
课前准备
教师准备
课件、多媒体；
学生准备
三角板，练习本；
课时安排
1课时
教学过程
一、导入
太阳钟计时方法
日晷和土圭是最古老的计时仪器，是一种构造简单，直立于地上的杆子，用以观察太阳光投射的杆影，通过杆影移动规律、影的长短，以定时刻 、冬至、夏至日．
二、新课
如图 3-1，△ABC底边BC上的高是6cm．当三角形的顶点C沿底边所在直线向点B运动
时，三角形的面积发生了变化．
（1）在这个变化过程中，自变量、因变量各是什么？
（2）如果三角形的底边长为 x（cm） ，那么三角形的面积 y（cm2）可以表示为 ．
（3）当底边长从12cm 变化到3cm 时，三角形的面积从 cm2变化到 cm2 ．
三角形是日常生活中很常见的图形，决定一个三角形面积的因素有哪些？
① 操作多媒体，演示“三角形面积的变化”
② 问题探究：
(1) 问题：决定一个三角形面积的因素有哪些？
(2) 课件演示：（高一定）变化中的三角形
效果：学生都能说出三角形的面积和三角形的底边长和高有关系，在多媒体的演示下，学生都能感受三角形（高一定）面积随着边长的改变而改变。
y=3x表示了图3-2中三角形底边长x和面积y之间的关系，它是变量y随x变化的关系式．
关系式是我们表示变量之间关系的另一种方法．利用关系式，如y=3x，我们可以根据任何一个自变量的值求出相应的因变量的值．
如图3-3，圆锥的高是4cm，当圆锥的底面半径由小到大变化时，圆锥的体积也随之发生了变化．
（1）在这个变化过程中，自变量、因变量各是什么？
（2）如果圆锥底面半径为r （cm） ，那么圆锥的体积 V（cm3 ）与r的关系式为 ．
（3）当底面半径由 1 cm 变化到10 cm 时，圆锥的体积由 cm 3变化到 cm3 ．
《用关系式表示的变量间关系》
你知道什么是“低碳生活”吗？ “低碳生活”是指人们生活中尽量减少所耗能量，从而降低碳、特别是二氧化碳的排放量的一种生活方式．
排碳计算公式
家居用电的二氧化碳排放量（kg）
＝耗电量（kW · h）×0.785
开私家车的二氧化碳排放量（kg）
＝油耗升数（L）× 2.7
家用天然气二氧化碳排放量（kg）
＝天然气使用立方米数（m3 ）× 0.19
家用自来水二氧化碳排放量（kg）
＝自来水使用吨数（t）× 0.91
（1）家居用电的二氧化碳排放量可以用关系式表示为 ，其中的字母表示
．
（2）在上述关系式中，耗电量每增加1kW·h，二氧化碳排放量增加 ．当耗电量从1kW · h增加到100kW·h时，二氧化碳排放量从 增加到 ．
（3）小明家本月用电大约110kW·h、天然气20m3 、自来水5t、油耗75L，请你计算一下小明家这几项的二氧化碳排放量．
y=110×0.785+20×0.19+5×0.91+75×2.7=297.2kg
三、习题
1．在地球某地，温度 T（℃）与高度 d（m）的关系可以近似地用 来表示．根据这个关系式，当d的值分别是0，200，400，600，800，1000 时，计算相应的T值，并用表格表示所得结果．
解：
d 0 200 400 600 800 1000
10 6
2．仿照“议一议”中的（2） ，你能说一说家用自来水二氧化碳排放量随自来水使用吨数的变化而变化的情况吗？
四、拓展
雄伟的三峡大坝
已知三峡大坝泄洪时每孔水流量为1500立方米/秒，上游水位为40米，水位每降低1米，下游水位升高0.2米。
（1）你能说出这个变化过程中的自变量和因变量是什么吗？
（2）如果下游水位升高G米，泄洪后上游水位高度为h米，试列出G和h的关系式.
解 :（1）自变量是上游水位下降情况，因变量是下游水位升高高度.
（2）关系式:
五、小结
通过本节课的内容，你有哪些收获？
1、用关系式表示变量间关系 .
2、表格和关系式的区别与联系 .
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初中数学北师大版七年级下册
第三章 变量之间的关系
2 用关系式表示的变量间关系
导入
太阳钟计时方法
日晷和土圭是最古老的计时仪器，是一种构造简单，直立于地上的杆子，用以观察太阳光投射的杆影，通过杆影移动规律、影的长短，以定时刻 、冬至、夏至日．
如图 3-1，△ABC底边BC上的高是6cm．
当三角形的顶点C沿底边所在直线向点B运动
时，三角形的面积发生了变化．
新课
A
B
C
C
C
C
（1）在这个变化过程中，自变量、因变量
各是什么？
（2）如果三角形的底边长为 x（cm） ，那么
三角形的面积 y（cm2 ）可以表示为 ．
（3）当底边长从12cm 变化到3cm 时，三角形的面积从 cm2变化到 cm2 ．
新课
y=3x
36
9
自变量:三角形的底边长, 因变量:三角形的面积
y=3x表示了图3-2中三角形底边长x和面积y之间的关系，它是变量y随x变化的关系式．
新课
自变量x
关系式
y=3x
因变量y
关系式是我们表示变量之间关系的另一种方法．利用关系式，(如y=3x)，我们可以根据任何一个自变量的值求出相应的因变量的值．
新课
如图3-3，圆锥的高是4cm，当圆锥的底面半径由小到大变化时，圆锥的体积也随之发生了变化．
新课
4cm
图 4-2
（1）在这个变化过程中，自变量、因变量各是
什么？
（2）如果圆锥底面半径为r （cm） ，那么圆锥
的体积 V（cm 3 ）与r的关系式为 ．
（3）当底面半径由 1 cm 变化到10 cm 时，圆锥
的体积由 cm 3 变化到 cm 3 ．
新课
自变量:圆锥底面半径, 因变量:圆锥的体积
你知道什么是“低碳生活”吗？ “低碳生活”是指人们生活中尽量减少所耗能量，从而降低碳、特别是二氧化碳的排放量的一种生活方式．
新课
排碳计算公式
家居用电的二氧化碳排放量（kg）
＝耗电量（kW · h）×0.785
开私家车的二氧化碳排放量（kg）
＝油耗升数（L）× 2.7
家用天然气二氧化碳排放量（kg）
＝天然气使用立方米数（m3 ）× 0.19
家用自来水二氧化碳排放量（kg）
＝自来水使用吨数（t）× 0.91
新课
（1）家居用电的二氧化碳排放量可以用关系式表示为 ，其中的字母表示
．
（2）在上述关系式中，耗电量每增加1kW·h，二氧化碳排放量增加 ．当耗电量从1kW · h增加到100kW·h时，二氧化碳排放量从 增加到 ．
新课
y=0.785x
二氧化碳排放量和用电量
0.785kg
0.785kg
78.5kg
（3）小明家本月用电大约110kW·h、天然气20m3 、自来水5t、油耗75L，请你计算一下小明家这几项的二氧化碳排放量．
新课
y=110×0.785+20×0.19+5×0.91+75×2.7
=297.2kg
习题
1．在地球某地，温度 T（℃）与高度 d（m）的关系可以近似地用 来表示．根据这个关系式，当d的值分别是0，200，400，600，800，
1000 时，计算相应的T值，并用表格表示所得结果．
习题
解：
d 0 200 400 600 800 1000
10 6
习题
2．仿照“议一议”中的（2） ，你能说一说家用自来水二氧化碳排放量随自来水使用吨数的变化而变化的情况吗？
拓展
雄伟的三峡大坝
拓展
已知三峡大坝泄洪时每孔水流量为1500立方米/秒，上游水位为40米，水位每降低1米，下游水位升高0.2米。
（1）你能说出这个变化过程中的自变量和因变量是什么吗？
（2）如果下游水位升高G米，泄洪后上游水位高度为h米，试列出G和h的关系式.
拓展
解 :（1）自变量是上游水位下降情况，因变量是下游水位升高高度.
（2）关系式:
小结
通过本节课的内容，你有哪些收获？
1、用关系式表示变量间关系
2、表格和关系式的区别与联系
