2024-2025学年人教版八年级下册数学第十八章平行四边形证明题（含解析）
文档属性
| 名称 | 2024-2025学年人教版八年级下册数学第十八章平行四边形证明题（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 3.2MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-03-22 10:06:03 | ||
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文档简介
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第十八章 平行四边形证明题
1．在中，相交于点，分别过点作于点，于点，且．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)若，求的长．
2．如图，在中，，是的斜边上的中线，过点和点分别作和的平行线交于点．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)若，，求四边形的面积．
3．如图，在中，，是的中点，是的中点，过点作交的延长线于点．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)若，，求菱形的面积．
4．如图，在矩形中，延长到D，使，延长到E，连接，且．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)在不添加任何辅助线的情况下，直接写出四个三角形，使写出的每个三角形与全等．
5．如图，在平行四边形中，点O是的中点，连接并延长，交延长线于点E．
(1)求证：
(2)连接．若，则当 时，四边形是矩形；
6．已知：如图，中，E为边上一点，F为边延长线上一点，，过点F做，交延长线于点G，连接．
(1)求证：；
(2)当时，判断四边形是什么特殊四边形？请说明理由．
7．如图，平行四边形的对角线相交于点O，平分，．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)若，，求的长．
8．如图，在平行四边形中，点E，F是对角线上的三等分点，连接．求证：
(1)；
(2)连接，若，且，判断四边形的形状，并证明．
9．如图，四边形是平行四边形，延长至点，使点为的中点．连接，，，已知．
(1)求证：四边形是矩形．
(2)若还满足，则四边形的形状为________．
10．如图，四边形是矩形．以点B为圆心，长为半径作弧，交的延长线于点E，连结．
(1)求证：四边形是平行四边形．
(2)当时，求四边形的周长．
11．在中，，点M在的延长线上，点N在的延长线上，平分，．
(1)如图1，求证：四边形是平行四边形；
(2)如图2，当时，连接，交于点O，过点D作，交于点E，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中与面积相等的4个三角形．
12．如图，在平行四边形中，，为上两点，连接，，且，．
(1)求证：．
(2)判定四边形的形状，并说明理由．
13．如图，在中，，F是中点，，垂足为G，延长线交于点H，，连接．
(1)若，求的值；
(2)求证：．
14．如图，是等边三角形，是边上的高．点E在的延长线上，连接，，过A作与的延长线交于点F，连接，，．
(1)求证：为等边三角形；
(2)求证：四边形为平行四边形；
(3)若，请直接写出四边形的周长．
15．如图，在中，的平分线交于点，的平分线交于点，交于点．
(1)求证：．
(2)若，，请求出的周长．
16．如图，是正方形的对角线上一点，，，垂足分别为．若正方形的周长是．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)当四边形是正方形时，求的长．
17． 中，平分．
(1)求证四边形是菱形．
(2)满足什么条件时，四边形是正方形？并说明理由．
18．如图，矩形和矩形有公共顶点A 和C，与相交于点G，与相交于点H．
(1)求证：四边形是菱形．
(2)连接，若 求四边形的面积．
19．如图，在矩形中，延长到点D，使，延长到点E，使，连接，．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)若，，求四边形的面积．
20．如图，点是菱形对角线的交点，过点作，过点作，与相交于点，连接，交于点．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)若，求线段的长度．
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《第十八章 平行四边形证明题》参考答案
1．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，勾股定理，熟记各性质与判定是解题的关键．
（1）先证明，再根据对角线互相平分的四边形是平行四边形进行证明即可；
（2）根据勾股定理求出，再求出，在中，由勾股定理可求出的长．
【详解】（1）证明：四边形是平行四边形，
，
又，
，
，
又，
四边形是平行四边形；
（2）解：，
，
在中，由勾股定理得，，
，
，
四边形是平行四边形，
，
在中，由勾股定理得，，
．
2．(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据题意得到，四边形是平行四边形，根据直角三角形斜边中线等于斜边一半得到，结合菱形的判定方法即可求解；
（2）过点作于点，得到是等腰直角三角形，运用勾股定理得到，根据四边形是菱形，直角三角形斜边中线等于斜边一半得到，则，再根据即可求解．
【详解】（1）证明：∵，，
∴四边形是平行四边形，
∵是的斜边上的中线，
∴，
∴四边形是菱形；
（2）解：过点作于点，
∵，，
∴是等腰直角三角形，
∵，
∴，则（负值舍去），
∵四边形是菱形，
∴，则，
∴．
【点睛】本题主要考查了直角三角形斜边中线等于斜边一半，菱形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理的知识的综合，掌握菱形的判定和性质，直角三角形斜边中线等于斜边一半等知识，数形结合分析是解题的关键．
3．(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查菱形的判定和性质，全等三角形的判定与性质及直角三角形的性质，掌握菱形的判定方法是解题的关键．
（1）可先证得，可求得，可证得四边形为平行四边形，再利用直角三角形的性质可求得，可证得结论；
（2）根据条件可证得，结合条件可求得答案．
【详解】（1）解：证明：∵是的中点，D 是 的中点
∴，
∵，
∴，
在和中
，
∴（），
∴，
∴
∴四边形是平行四边形，
∵，是的中点，
∴，
∴四边形是菱形；
（2）解：设到的距离为，
∵，，，
∴．
4．(1)详见解析
(2)、、、
【分析】本题主要考查了菱形的判定和性质，矩形的性质，全等三角形的判定，
对于（1），根据矩形的性质得，再证明，可得，即可得四边形为平行四边形，最后根据“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”得出答案；
对于（2），根据矩形的性质判定，再结合菱形的性质判定，即可得出答案．
【详解】（1）证明：在矩形中，．
∵，
∴，
∴，
∴四边形为平行四边形．
∵，
∴平行四边形为菱形；
（2）解：．
∵四边形是矩形，
∴，
∴；
∵四边形是菱形，
∴．
∵，
∴；
同理得：．
故、、、与全等．
5．(1)见解析
(2)80
【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，矩形的判定，全等三角形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质以及矩形的证明方法是解题的关键．
（1）通过平行四边形得到，继而得到内错角相等，结合，即可证明；
（2）先通过三角形内角和定理证明出，继而等量代换得到，再证明四边形为平行四边形，即可证明为矩形．
【详解】（1）证明：∵平行四边形，
∴，
∴
∵点O是的中点，
∴，
∴；
（2）解：若，则当时，四边形是矩形，理由如下：
连接，
∵，
∴
∴，
∴，
由（1）知，
∴，
∵，
∴，
由（1）知，即，
∴四边形为平行四边形，
∵，
∴四边形为矩形，
故答案为：80．
6．(1)见解析
(2)菱形，理由见解析
【分析】此题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质．
（1）根据平行四边形性质得，，，则，再根据得，进而得，由此可依据判定；
（2）连接交于点O，根据和全等得，，则四边形是平行四边形，进而得，再根据，，得，则，据此可得出平行四边形是菱形．
【详解】（1）证明：∵四边形为平行四边形，
∴，，，
又∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴在和中，
，
∴；
（2）当时，四边形是菱形，理由如下：
连接，交于O，
∵，
∴，，
∵，
∴四边形是平行四边形．
∴，
∵四边形为平行四边形，
∴，
∴，
又∵，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是菱形．
7．(1)见解析
(2)5
【分析】本题考查的是平行四边形的性质，菱形的判定与性质，矩形的判定与性质，勾股定理的应用，熟记菱形的判定与性质是解本题的关键；
（1）证明，结合平行四边形的性质证明，可得，从而可得结论；
（2）证明，四边形是矩形，从而可得答案．
【详解】（1）证明：∵平分，
∴
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴平行四边形是菱形；
（2）解：∵平行四边形是菱形，
∴，，，
∴，
∵，，
∴四边形是平行四边形
∵，
∴四边形是矩形，
∴．
8．(1)证明见解析
(2)四边形为正方形
【分析】（1）根据平行四边形的性质可得，，然后可证明，再利用来判定即可得解；
（2）如图，连接交于，证明，可得四边形为平行四边形，结合，可得四边形为菱形，证明，可得四边形为正方形．
【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，．
∴．
∵点E，F是对角线上的三等分点，
∴，
∴．
（2）解：四边形为正方形．理由如下：
如图，连接交于，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴四边形为平行四边形，
∵，
∴四边形为菱形，
∵，，
∴，
∴四边形为正方形．
【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，菱形的判定，正方形的判定，熟记特殊四边形的判断方法是解本题的关键．
9．(1)见解析
(2)四边形是正方形，理由见解析
【分析】（1）根据平行四边形的性质可得，，由题意易得，推出，易证四边形是平行四边形，再根据题意易得是等腰三角形，结合点为的中点，利用等腰三角形三线合一可证，即可证明结论；
（2）根据题意易得是等腰直角三角形，利用直角三角形的性质可得，即可得到四边形是正方形．
【详解】（1）证明：∵边形是平行四边形，
∴，，
∵点为的中点，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴是等腰三角形，
∵点为的中点，
∴，
∴，
∴四边形是矩形；
（2）四边形是正方形，理由如下：
∵，，
∴是等腰直角三角形，
∵点为的中点，
∴，
∵四边形是矩形，
∴四边形是正方形．
【点睛】本题考查平行四边形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，直角三角形的性质，矩形的判定与性质，正方形的判定．熟记平行四边形的判定方法与性质是解本题的关键．
10．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了矩形的性质、平行四边形的性质与判定、勾股定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
（1）根据矩形的性质可得，，，由作图可得，利用三线合一性质可得，再利用平行四边形的判定即可证明；
（2）利用勾股定理求出的长，结合（1）中的结论，利用平行四边形的周长公式即可求解．
【详解】（1）证明：四边形是矩形，
，，，
，
由作图可得，，
，
，
又，
四边形是平行四边形．
（2）解：，，
，
由（1）得，四边形是平行四边形，
四边形的周长．
11．(1)见解析
(2)，，，
【分析】（1）根据等边对等角可推出，根据角平分线的定义可推出，再结合三角形外角的性质可得出，即推出，结合题意，即证明四边形是平行四边形；
（2）首先证明平行四边形是菱形，然后证明是等边三角形，得到，再根据等底等高的三角形面积相等可得答案．
【详解】（1）证明：∵，
∴．
∵平分，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴四边形是平行四边形；
（2）解：∵，，四边形是平行四边形，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴平行四边形是菱形，
∴．
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴．
∵，
∴、、、的面积都与的面积相等．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质、平行四边形的判定和性质、等边三角形的判定和性质、菱形的判定和性质，平行线间的距离处处相等，等底等高的三角形面积相等等知识．熟知特殊四边形的判定和性质是解题关键．
12．(1)证明见解析
(2)矩形；理由见解析
【分析】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和矩形的判定等知识点．全等三角形的判定是本题的重点．
（1）根据题中的已知条件我们不难得出：，，又因为，那么两边都加上后，，因此就构成了全等三角形的判定中边边边的条件．
（2）由于四边形是平行四边形，只要证明其中一角为直角即可．
【详解】（1）证明：，，，
．
四边形是平行四边形，
．
在和中，
．
（2）解：四边形为矩形．
理由如下：
，
．
四边形是平行四边形，
．
．
，
四边形是矩形．
13．(1)1
(2)见解析
【分析】（1）证明，推出，可得结论；
（2）过点F作于J，交的延长线于K．过点D作交的延长线于T，连接，设交于N．证明是等腰直角三角形，即可解决问题．
【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形，
∴，，，
∵，
∴，
∵F是中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）证明：过点F作于J，交的延长线于K．过点D作交的延长线于T，连接，设交于N．
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴平分，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴．
【点睛】本题属于四边形综合题，考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，角平分线的性质定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．
14．(1)详见解析
(2)详见解析
(3)
【分析】（1）由等边三角形的性质可得，，由三角形外角的定义及性质可得，由三角形内角和定理求出，即可得证；
（2）由（1）可得，为等边三角形，，从而得出，，进而可得，利用平行四边形的判定即可得证；
（3）结合勾股定理求出、的长即可得解．
【详解】（1）证明：∵是等边三角形，是边上的高，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴为等边三角形；
（2）证明：由（1）可得：，为等边三角形，，
∴，，
∴，又，
∴四边形为平行四边形；
（3）解：∵，
∴,，
∵为等边三角形，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴四边形的周长为．
【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质、三角形外角性质、等腰三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
15．(1)详见解析；
(2)．
【分析】本题考查了平行四边形性质，角平分线性质，等腰三角形的性质和判定等知识点的应用，能综合运用性质进行推理是解此题的关键．
（1）根据平行四边形的性质可得：，，根据平行线性质和角平分线的定义求出，推出，同理求出，即可证明，即可求解；
（2）由，可得，从而得出的长，即可得出的周长．
【详解】（1）解：证明：四边形是平行四边形，
，，
，
是的平分线，
，
，
，
同理可得：，
，
，
；
（2）解：，
，
，
，
，
，
的周长为．
16．(1)证明过程见详解
(2)的长为
【分析】本题主要考查正方形的性质，矩形的判定，等腰三角形的判定和性质，掌握正方形的性质是解题的关键．
（1）根据正方形的性质，垂直的定义得到，结合矩形的判定方法即可求证；
（2）根据四边形是正方形，周长是，是对角线，得到，根据四边形是正方形，得到是等腰直角三角形，即，是等腰直角三角形，，则有，由此即可求解．
【详解】（1）证明：∵四边形是正方形，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴四边形是矩形；
（2）解：∵四边形是正方形，周长是，是对角线，
∴，，
如图所示，四边形是正方形，
∴，，
∴，
∴是等腰直角三角形，即，
同理，，是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴的长为．
17．(1)见解析
(2)四边形是正方形，理由见解析
【分析】本题考查正方形的判定，菱形的判定与性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的需要的条件，利用正方形的判定、菱形的判定与性质解答．
（1）根据交AB于点E，交AC于点F，可以判断四边形AEDF是平行四边形，再根据角平分线的性质和平行线的性质即可证明结论成立；
（2）根据有一个角是直角的菱形是正方形可以解答本题．
【详解】（1）证明：，
∴四边形是平行四边形；
平分．
．
，
．
．
．
∴四边形是菱形．
（2）解：当时，四边形是正方形；
∵四边形是菱形，，
∴四边形是正方形．
18．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查矩形的性质，菱形的判定和性质：
（1）过点作，过点作，先证明是平行四边形，根据等积法求出，即可得证；
（2）根据菱形的面积公式进行计算即可．
【详解】（1）解：过点作，过点作，
∵矩形和矩形，
∴，
∴，，
∴四边形是平行四边形，
∵
∴，
∵，
∴，
∴四边形是菱形；
（2）由（1）知：四边形是菱形，
∴四边形的面积．
19．(1)详见解析
(2)24
【分析】本题考查了矩形的性质，菱形的判定与性质，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）先证明四边形是平行四边形，再结合矩形的性质得，故四边形是菱形；
（2）先运用勾股定理算出，再根据菱形的性质求出面积，即可作答．
【详解】（1）证明：，，
四边形是平行四边形，
四边形是矩形，
∴，
，
四边形是菱形；
（2）解：，
，
，，
，
，，
四边形的面积．
20．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由，，可得四边形是平行四边形，由菱形的性质可得，据此即可求证；
（2）利用菱形和矩形的性质可得，，进而证明可得即可求解．
【详解】（1）证明：∵，，
∴四边形是平行四边形，
∵四边形是菱形，
∴，
∴，
∴四边形是矩形．
（2）解：∵四边形是菱形，
∴，，
∵四边形是矩形，
∴，，，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了菱形的性质，平行四边形的判定，矩形的判定和性质，勾股定理，平行线的性质，全等三角形的判定和性质，掌握以上知识点是解题的关键．
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第十八章 平行四边形证明题
1．在中，相交于点，分别过点作于点，于点，且．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)若，求的长．
2．如图，在中，，是的斜边上的中线，过点和点分别作和的平行线交于点．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)若，，求四边形的面积．
3．如图，在中，，是的中点，是的中点，过点作交的延长线于点．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)若，，求菱形的面积．
4．如图，在矩形中，延长到D，使，延长到E，连接，且．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)在不添加任何辅助线的情况下，直接写出四个三角形，使写出的每个三角形与全等．
5．如图，在平行四边形中，点O是的中点，连接并延长，交延长线于点E．
(1)求证：
(2)连接．若，则当 时，四边形是矩形；
6．已知：如图，中，E为边上一点，F为边延长线上一点，，过点F做，交延长线于点G，连接．
(1)求证：；
(2)当时，判断四边形是什么特殊四边形？请说明理由．
7．如图，平行四边形的对角线相交于点O，平分，．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)若，，求的长．
8．如图，在平行四边形中，点E，F是对角线上的三等分点，连接．求证：
(1)；
(2)连接，若，且，判断四边形的形状，并证明．
9．如图，四边形是平行四边形，延长至点，使点为的中点．连接，，，已知．
(1)求证：四边形是矩形．
(2)若还满足，则四边形的形状为________．
10．如图，四边形是矩形．以点B为圆心，长为半径作弧，交的延长线于点E，连结．
(1)求证：四边形是平行四边形．
(2)当时，求四边形的周长．
11．在中，，点M在的延长线上，点N在的延长线上，平分，．
(1)如图1，求证：四边形是平行四边形；
(2)如图2，当时，连接，交于点O，过点D作，交于点E，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中与面积相等的4个三角形．
12．如图，在平行四边形中，，为上两点，连接，，且，．
(1)求证：．
(2)判定四边形的形状，并说明理由．
13．如图，在中，，F是中点，，垂足为G，延长线交于点H，，连接．
(1)若，求的值；
(2)求证：．
14．如图，是等边三角形，是边上的高．点E在的延长线上，连接，，过A作与的延长线交于点F，连接，，．
(1)求证：为等边三角形；
(2)求证：四边形为平行四边形；
(3)若，请直接写出四边形的周长．
15．如图，在中，的平分线交于点，的平分线交于点，交于点．
(1)求证：．
(2)若，，请求出的周长．
16．如图，是正方形的对角线上一点，，，垂足分别为．若正方形的周长是．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)当四边形是正方形时，求的长．
17． 中，平分．
(1)求证四边形是菱形．
(2)满足什么条件时，四边形是正方形？并说明理由．
18．如图，矩形和矩形有公共顶点A 和C，与相交于点G，与相交于点H．
(1)求证：四边形是菱形．
(2)连接，若 求四边形的面积．
19．如图，在矩形中，延长到点D，使，延长到点E，使，连接，．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)若，，求四边形的面积．
20．如图，点是菱形对角线的交点，过点作，过点作，与相交于点，连接，交于点．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)若，求线段的长度．
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《第十八章 平行四边形证明题》参考答案
1．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，勾股定理，熟记各性质与判定是解题的关键．
（1）先证明，再根据对角线互相平分的四边形是平行四边形进行证明即可；
（2）根据勾股定理求出，再求出，在中，由勾股定理可求出的长．
【详解】（1）证明：四边形是平行四边形，
，
又，
，
，
又，
四边形是平行四边形；
（2）解：，
，
在中，由勾股定理得，，
，
，
四边形是平行四边形，
，
在中，由勾股定理得，，
．
2．(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据题意得到，四边形是平行四边形，根据直角三角形斜边中线等于斜边一半得到，结合菱形的判定方法即可求解；
（2）过点作于点，得到是等腰直角三角形，运用勾股定理得到，根据四边形是菱形，直角三角形斜边中线等于斜边一半得到，则，再根据即可求解．
【详解】（1）证明：∵，，
∴四边形是平行四边形，
∵是的斜边上的中线，
∴，
∴四边形是菱形；
（2）解：过点作于点，
∵，，
∴是等腰直角三角形，
∵，
∴，则（负值舍去），
∵四边形是菱形，
∴，则，
∴．
【点睛】本题主要考查了直角三角形斜边中线等于斜边一半，菱形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理的知识的综合，掌握菱形的判定和性质，直角三角形斜边中线等于斜边一半等知识，数形结合分析是解题的关键．
3．(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查菱形的判定和性质，全等三角形的判定与性质及直角三角形的性质，掌握菱形的判定方法是解题的关键．
（1）可先证得，可求得，可证得四边形为平行四边形，再利用直角三角形的性质可求得，可证得结论；
（2）根据条件可证得，结合条件可求得答案．
【详解】（1）解：证明：∵是的中点，D 是 的中点
∴，
∵，
∴，
在和中
，
∴（），
∴，
∴
∴四边形是平行四边形，
∵，是的中点，
∴，
∴四边形是菱形；
（2）解：设到的距离为，
∵，，，
∴．
4．(1)详见解析
(2)、、、
【分析】本题主要考查了菱形的判定和性质，矩形的性质，全等三角形的判定，
对于（1），根据矩形的性质得，再证明，可得，即可得四边形为平行四边形，最后根据“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”得出答案；
对于（2），根据矩形的性质判定，再结合菱形的性质判定，即可得出答案．
【详解】（1）证明：在矩形中，．
∵，
∴，
∴，
∴四边形为平行四边形．
∵，
∴平行四边形为菱形；
（2）解：．
∵四边形是矩形，
∴，
∴；
∵四边形是菱形，
∴．
∵，
∴；
同理得：．
故、、、与全等．
5．(1)见解析
(2)80
【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，矩形的判定，全等三角形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质以及矩形的证明方法是解题的关键．
（1）通过平行四边形得到，继而得到内错角相等，结合，即可证明；
（2）先通过三角形内角和定理证明出，继而等量代换得到，再证明四边形为平行四边形，即可证明为矩形．
【详解】（1）证明：∵平行四边形，
∴，
∴
∵点O是的中点，
∴，
∴；
（2）解：若，则当时，四边形是矩形，理由如下：
连接，
∵，
∴
∴，
∴，
由（1）知，
∴，
∵，
∴，
由（1）知，即，
∴四边形为平行四边形，
∵，
∴四边形为矩形，
故答案为：80．
6．(1)见解析
(2)菱形，理由见解析
【分析】此题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质．
（1）根据平行四边形性质得，，，则，再根据得，进而得，由此可依据判定；
（2）连接交于点O，根据和全等得，，则四边形是平行四边形，进而得，再根据，，得，则，据此可得出平行四边形是菱形．
【详解】（1）证明：∵四边形为平行四边形，
∴，，，
又∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴在和中，
，
∴；
（2）当时，四边形是菱形，理由如下：
连接，交于O，
∵，
∴，，
∵，
∴四边形是平行四边形．
∴，
∵四边形为平行四边形，
∴，
∴，
又∵，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是菱形．
7．(1)见解析
(2)5
【分析】本题考查的是平行四边形的性质，菱形的判定与性质，矩形的判定与性质，勾股定理的应用，熟记菱形的判定与性质是解本题的关键；
（1）证明，结合平行四边形的性质证明，可得，从而可得结论；
（2）证明，四边形是矩形，从而可得答案．
【详解】（1）证明：∵平分，
∴
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴平行四边形是菱形；
（2）解：∵平行四边形是菱形，
∴，，，
∴，
∵，，
∴四边形是平行四边形
∵，
∴四边形是矩形，
∴．
8．(1)证明见解析
(2)四边形为正方形
【分析】（1）根据平行四边形的性质可得，，然后可证明，再利用来判定即可得解；
（2）如图，连接交于，证明，可得四边形为平行四边形，结合，可得四边形为菱形，证明，可得四边形为正方形．
【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，．
∴．
∵点E，F是对角线上的三等分点，
∴，
∴．
（2）解：四边形为正方形．理由如下：
如图，连接交于，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴四边形为平行四边形，
∵，
∴四边形为菱形，
∵，，
∴，
∴四边形为正方形．
【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，菱形的判定，正方形的判定，熟记特殊四边形的判断方法是解本题的关键．
9．(1)见解析
(2)四边形是正方形，理由见解析
【分析】（1）根据平行四边形的性质可得，，由题意易得，推出，易证四边形是平行四边形，再根据题意易得是等腰三角形，结合点为的中点，利用等腰三角形三线合一可证，即可证明结论；
（2）根据题意易得是等腰直角三角形，利用直角三角形的性质可得，即可得到四边形是正方形．
【详解】（1）证明：∵边形是平行四边形，
∴，，
∵点为的中点，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴是等腰三角形，
∵点为的中点，
∴，
∴，
∴四边形是矩形；
（2）四边形是正方形，理由如下：
∵，，
∴是等腰直角三角形，
∵点为的中点，
∴，
∵四边形是矩形，
∴四边形是正方形．
【点睛】本题考查平行四边形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，直角三角形的性质，矩形的判定与性质，正方形的判定．熟记平行四边形的判定方法与性质是解本题的关键．
10．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了矩形的性质、平行四边形的性质与判定、勾股定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
（1）根据矩形的性质可得，，，由作图可得，利用三线合一性质可得，再利用平行四边形的判定即可证明；
（2）利用勾股定理求出的长，结合（1）中的结论，利用平行四边形的周长公式即可求解．
【详解】（1）证明：四边形是矩形，
，，，
，
由作图可得，，
，
，
又，
四边形是平行四边形．
（2）解：，，
，
由（1）得，四边形是平行四边形，
四边形的周长．
11．(1)见解析
(2)，，，
【分析】（1）根据等边对等角可推出，根据角平分线的定义可推出，再结合三角形外角的性质可得出，即推出，结合题意，即证明四边形是平行四边形；
（2）首先证明平行四边形是菱形，然后证明是等边三角形，得到，再根据等底等高的三角形面积相等可得答案．
【详解】（1）证明：∵，
∴．
∵平分，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴四边形是平行四边形；
（2）解：∵，，四边形是平行四边形，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴平行四边形是菱形，
∴．
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴．
∵，
∴、、、的面积都与的面积相等．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质、平行四边形的判定和性质、等边三角形的判定和性质、菱形的判定和性质，平行线间的距离处处相等，等底等高的三角形面积相等等知识．熟知特殊四边形的判定和性质是解题关键．
12．(1)证明见解析
(2)矩形；理由见解析
【分析】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和矩形的判定等知识点．全等三角形的判定是本题的重点．
（1）根据题中的已知条件我们不难得出：，，又因为，那么两边都加上后，，因此就构成了全等三角形的判定中边边边的条件．
（2）由于四边形是平行四边形，只要证明其中一角为直角即可．
【详解】（1）证明：，，，
．
四边形是平行四边形，
．
在和中，
．
（2）解：四边形为矩形．
理由如下：
，
．
四边形是平行四边形，
．
．
，
四边形是矩形．
13．(1)1
(2)见解析
【分析】（1）证明，推出，可得结论；
（2）过点F作于J，交的延长线于K．过点D作交的延长线于T，连接，设交于N．证明是等腰直角三角形，即可解决问题．
【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形，
∴，，，
∵，
∴，
∵F是中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）证明：过点F作于J，交的延长线于K．过点D作交的延长线于T，连接，设交于N．
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴平分，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴．
【点睛】本题属于四边形综合题，考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，角平分线的性质定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．
14．(1)详见解析
(2)详见解析
(3)
【分析】（1）由等边三角形的性质可得，，由三角形外角的定义及性质可得，由三角形内角和定理求出，即可得证；
（2）由（1）可得，为等边三角形，，从而得出，，进而可得，利用平行四边形的判定即可得证；
（3）结合勾股定理求出、的长即可得解．
【详解】（1）证明：∵是等边三角形，是边上的高，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴为等边三角形；
（2）证明：由（1）可得：，为等边三角形，，
∴，，
∴，又，
∴四边形为平行四边形；
（3）解：∵，
∴,，
∵为等边三角形，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴四边形的周长为．
【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质、三角形外角性质、等腰三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
15．(1)详见解析；
(2)．
【分析】本题考查了平行四边形性质，角平分线性质，等腰三角形的性质和判定等知识点的应用，能综合运用性质进行推理是解此题的关键．
（1）根据平行四边形的性质可得：，，根据平行线性质和角平分线的定义求出，推出，同理求出，即可证明，即可求解；
（2）由，可得，从而得出的长，即可得出的周长．
【详解】（1）解：证明：四边形是平行四边形，
，，
，
是的平分线，
，
，
，
同理可得：，
，
，
；
（2）解：，
，
，
，
，
，
的周长为．
16．(1)证明过程见详解
(2)的长为
【分析】本题主要考查正方形的性质，矩形的判定，等腰三角形的判定和性质，掌握正方形的性质是解题的关键．
（1）根据正方形的性质，垂直的定义得到，结合矩形的判定方法即可求证；
（2）根据四边形是正方形，周长是，是对角线，得到，根据四边形是正方形，得到是等腰直角三角形，即，是等腰直角三角形，，则有，由此即可求解．
【详解】（1）证明：∵四边形是正方形，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴四边形是矩形；
（2）解：∵四边形是正方形，周长是，是对角线，
∴，，
如图所示，四边形是正方形，
∴，，
∴，
∴是等腰直角三角形，即，
同理，，是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴的长为．
17．(1)见解析
(2)四边形是正方形，理由见解析
【分析】本题考查正方形的判定，菱形的判定与性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的需要的条件，利用正方形的判定、菱形的判定与性质解答．
（1）根据交AB于点E，交AC于点F，可以判断四边形AEDF是平行四边形，再根据角平分线的性质和平行线的性质即可证明结论成立；
（2）根据有一个角是直角的菱形是正方形可以解答本题．
【详解】（1）证明：，
∴四边形是平行四边形；
平分．
．
，
．
．
．
∴四边形是菱形．
（2）解：当时，四边形是正方形；
∵四边形是菱形，，
∴四边形是正方形．
18．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查矩形的性质，菱形的判定和性质：
（1）过点作，过点作，先证明是平行四边形，根据等积法求出，即可得证；
（2）根据菱形的面积公式进行计算即可．
【详解】（1）解：过点作，过点作，
∵矩形和矩形，
∴，
∴，，
∴四边形是平行四边形，
∵
∴，
∵，
∴，
∴四边形是菱形；
（2）由（1）知：四边形是菱形，
∴四边形的面积．
19．(1)详见解析
(2)24
【分析】本题考查了矩形的性质，菱形的判定与性质，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）先证明四边形是平行四边形，再结合矩形的性质得，故四边形是菱形；
（2）先运用勾股定理算出，再根据菱形的性质求出面积，即可作答．
【详解】（1）证明：，，
四边形是平行四边形，
四边形是矩形，
∴，
，
四边形是菱形；
（2）解：，
，
，，
，
，，
四边形的面积．
20．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由，，可得四边形是平行四边形，由菱形的性质可得，据此即可求证；
（2）利用菱形和矩形的性质可得，，进而证明可得即可求解．
【详解】（1）证明：∵，，
∴四边形是平行四边形，
∵四边形是菱形，
∴，
∴，
∴四边形是矩形．
（2）解：∵四边形是菱形，
∴，，
∵四边形是矩形，
∴，，，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了菱形的性质，平行四边形的判定，矩形的判定和性质，勾股定理，平行线的性质，全等三角形的判定和性质，掌握以上知识点是解题的关键．