2024-2025学年人教版八年级下册数学第十七章勾股定理解答题（含解析）

中小学教育资源及组卷应用平台
中小学教育资源及组卷应用平台
第十七章 勾股定理解答题
1．如图，，，，垂足分别为D，E．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
2．如图，有两棵树，一棵高米（米），另一棵高米（米），两树相距米（米）．

(1)求一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了多少米？
(2)如图，台风过后，高米的树在点处折断，大树顶部落在点处，则树折断处距离地面多少米？
3．如图，三角形纸片的三边长分别为，，，现将边沿折叠，使它落在边上，点与点重合，求的长．
4．如图，在中，，．点是的中点，点是线段上的动点，过点作交于点．连结，若．
(1)求证：；
(2)求的长．
5．已知，是从点D出发的三条线段，且．
(1)如图①，若点D在线段上，连接，试判断的形状，并说明理由．
(2)如图②，连接，且与相交于点E，若，求的长．
6．如图，是等边的中线，交的延长线于点E，垂足为点F．
(1)求证：；
(2)连接，若，则的长度为__________．
7．已知：如图，在中，，点是高上一点，．
(1)求证：；
(2)若，则___________．
8．如图，点，，在同一条直线上，，，，，．
(1)求证：；
(2)连接，求点到的距离．
9．如图，在中，，D是上的一点，，，．
(1)求证：是直角三角形；
(2)求的长．
10．如图，在中，，点是边上一点，连接，且，．
(1)求证：；
(2)若，求的周长．
11．如图，长方形中，，，，把它沿折叠，使得点D与点B重合，点C落在点M的位置上．
(1)求证：；
(2)若，，求的面积；
(3)若，为等边三角形，直接写出的长．
12．某宾馆装修，需在一段楼梯台阶上铺上一块地毯，将楼梯台阶完全盖住．楼梯台阶剖面图如图所示，已知，，．
(1)求的长；
(2)若已知楼梯宽，需要购买多少的地毯才能铺满所有台阶．
13．菊花作为“花中四君子”之一，象征着高雅和刚正不阿的品质，尤其在秋寒时节盛开，象征着坚韧不拔的精神．第十三届国际菊花展于2024年10月15日在河南开封清明上河园举办．本届菊花展有近800个菊花品种参展．为增进学生对菊花及其文化的了解，学校欲购进一批菊花盆栽放置在如图所示的区域供同学们观赏．已知，，，，．求放置菊花盆栽区域的面积．
14．如图，在中，于点，，，．
(1)求的长；
(2)求的度数．
15．如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点坐标分别是．
(1)将向上平移4个单位，再向右平移1个单位，得到，请画出；
(2)请画出关于y轴对称的；
(3)直接写出的长度．
16．已知：如图，在，于点D，，，
(1)求的长；
(2)试说明．
17．如图，在中，，点为边上一点，已知，，．
(1)求证：；
(2)求的长．
18．如图，点是外（直线的下方）的一个动点，且
(1)若，那么______．
(2)连接，若，求证：
(3)若点关于直线的对称点为，连接，试探究三者之间满足的数是关系，并证明你的结论．
中小学教育资源及组卷应用平台
中小学教育资源及组卷应用平台
《第十七章 勾股定理解答题》参考答案
1．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质：全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
（1）利用“”可证明；
（2）先利用全等三角形的性质得到，再利用勾股定理计算出，从而得到的长，然后计算即可．
【详解】（1）证明：，，
，
在和中，
，
；
（2）解：，
，
在中，，
，
．
2．(1)米
(2)米
【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解答本题的关键．
（1）根据“两点之间，线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的树尖进行直线飞行，飞行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出；
（2）由勾股定理求出的长，即可求解．
【详解】（1）解：两棵树的高度差为（米），两树相距米（米），
根据勾股定理可得：小鸟至少飞行的距离（米），
答：至少飞了米；
（2）解：由勾股定理得：，
，
解得：，
答：树折断处距离地面米．
3．3
【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理、折叠问题，熟练掌握性质定理是解题的关键．
先根据勾股定理逆定理得出是直角三角形，，再根据折叠得出，然后设，根据勾股定理即可得出答案．
【详解】解：在中，，
，
是直角三角形，，
是翻折而成，
，
设，
，
在中，，即，
解得．
故的长为3．
4．(1)见解析
(2)4.5
【分析】本题考查的是勾股定理、等腰三角形的性质；
（1）根据等腰三角形的性质得到，证明，根据垂直的定义即可得证；
（2）根据勾股定理计算，得到答案．
【详解】（1）证明：，
，
，
，
，，
，
，
，
；
（2）解：，，点是的中点，
，，
，
，
，
，
，
又在中，，
，
解得：．
5．(1)直角三角形，见解析；
(2)4
【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的判定定理，勾股定理：
（1）根据等腰三角形的性质得到，根据三角形的内角和得到，于是得出是直角三角形；
（2）根据线段垂直平分线的判定定理得到垂直平分，再根据勾股定理即可得到结论．
【详解】（1）解：是直角三角形，
理由：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是直角三角形；
（2）解：∵，
∴点D在线段的垂直平分线上，
∵，
∴点C在线段的垂直平分线上，
∴垂直平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
6．(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据等边三角形性质得到，结合垂直定义得到，利用对顶角相等进行等量代换得到，最后根据等腰三角形性质即可证明；
（2）利用等边三角形性质和中线性质得到，，结合直角三角形性质得到，，再利用勾股定理求解，即可解题．
【详解】（1）证明：是等边三角形，
，
，
，，
，
，
，
；
（2）解：，是等边三角形，
，，
是等边的中线，
，
，
由（1）知，
，
，
，，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了等边三角形性质，垂直定义，对顶角相等，等腰三角形性质，中线性质，直角三角形性质，勾股定理，解题的关键在于熟练掌握相关知识．
7．(1)见解析
(2)
【分析】此题考查了勾股定理、等腰三角形的判定和性质、三角形外角的性质等知识．
（1）延长交于点D，根据等边对等角得到，由三角形外角的性质得到，则，由得到，则，即可证明结论；
（2）设则，由勾股定理得到，由得到，得到，在中，，得到，解得，即可得到答案．
【详解】（1）解：延长交于点D，
∵，
∴，
∵
∴，
∵点是高上一点，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）设则，
∵,
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，，
∴，
解得，
∴，
故答案为：
8．(1)见解析
(2)点到的距离为．
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理及其逆定理，掌握全等三角形的判定定理是本题的关键．
（1）利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，再由“”可证；
（2）由全等三角形的性质可求，由等积法即可求解．
【详解】（1）解：∵，，，，
∴，
∴是直角三角形，且，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴；
（2）解：设点到的距离为，
∵，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴点到的距离为．
9．(1)证明见解析
(2)
【分析】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，等腰三角形的性质，熟练掌握勾股定理，勾股定理的逆定理是解题的关键．
（1）根据勾股定理的逆定理即可得到结论；
（2）设，则，根据勾股定理即可得到结论．
【详解】（1）证明：，，，
，
，
故是直角三角形；
（2）解：设，则，
，
，
，
解得，
故．
10．(1)证明见解析.
(2)
【分析】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，关键是根据勾股定理的逆定理证明是直角三角形．
（1）根据勾股定理的逆定理即可得到结论；
（2）根据三角形面积公式得出，再利用勾股定理得出，进而解答即可．
【详解】（1）证明：在中，，，，
∵，
∴是直角三角形，且，
∴；
（2）解：∵，
∴是直角三角形，
∵，，
∴，
∴，
在中，，即，
解得，
∴的周长．
11．(1)见解析
(2)
(3)
【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，勾股定理，等边三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键，
（1）根据折叠的性质可得，，易证得；
（2）设，则，由勾股定理可推出，再根据全等的性质可得，即可求得的面积；
（3）根据折叠的性质可得，，根据为等边三角形，可得，由的直角三角形的性质可得，，在中，由勾股定理可得的长．
【详解】（1）证明：由折叠可知，，，，
∴，，
在和中，
∴，
（2）解：设，则，
在中，，
即，
解得：，即，
∴，
又∵，
∴，
∴，
（3）解：由折叠可知，，，
∵为等边三角形，
∴
∴，
设，则，
∵
∴，
解得：
∴，
在中，由勾股定理可得：，
∴．
12．(1)；
(2)需要购买的地毯才能铺满所有台阶．
【分析】此题考查了平移的性质，勾股定理的应用．
（1）根据勾股定理即可求解；
（2）根据题意，结合图形，把楼梯台阶的横竖分别向上向左平移，进一步求出面积即可．
【详解】（1）解：由题意可得，；
（2）解：利用平移可知，把楼梯台阶的横竖分别向上向左平移，地毯的长为，
∴地毯面积为，
答：需要购买的地毯才能铺满所有台阶．
13．
【分析】本题考查的是勾股定理，勾股定理的逆定理的应用，连接，先求解，证明，再利用割补法求解面积即可．
【详解】解：如图，连接．
∵，，，
∴．
∵， ，
∴
∴．
则放置菊花盆栽区域的面积为：
．
14．(1)
(2)
【分析】本题考查勾股定理以及逆定理，掌握勾股定理以及逆定理是正确解答的前提
（1）根据勾股定理可求出答案；
（2）利用勾股定理求出，，再根据勾股定理的逆定理可得答案．
【详解】（1）解：（1），
，
在中，，，
；
（2）解：在中，，，
，
，
在中，
，，
，
．
15．(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】（1）根据平移的方式进行作图即可；
（2）根据与关于轴对称作图即可；
（3）根据题意可得，，然后利用勾股定理求解即可．
【详解】（1）解：如图所示，即为所示；
（2）解：如图所示，即为所求；
（3）解：由题意知，，，
∴，
∴
【点睛】本题考查了平移作图，轴对称作图，勾股定理的应用．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
16．(1)16
(2)见解析
【分析】本题考查勾股定理的应用，以及勾股定理的逆定理的应用，直角三角形两锐角互余，熟练掌握相关知识点是解题关键．
（1）应用勾股定理，求出，再运用勾股定理即可求出；
（2）判断出，即可判断为直角三角形，再利用直角三角形两锐角互余即可证明．
【详解】（1）解：∵，
∴，
在中，由勾股定理得，
在中，由勾股定理得；
（2）证明：，
，
在中，
，
，
，
，
，
，
17．(1)见解析
(2)．
【分析】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，关键是根据勾股定理的逆定理证明是直角三角形．
（1）根据勾股定理的逆定理即可得到结论；
（2）在中，根据勾股定理解答即可．
【详解】（1）证明：在中，
，
∴为直角三角形，即，
∴；
（2）解：∵，
∴，
在中，，
∴．
18．(1)
(2)证明见解析
(3)，证明见解析
【分析】（）由可得，，进而利用勾股定理即可求解；
（）作，交延长线于点，可证，得到，，即得，，进而即可求证；
（）过点作于点，过点作于点，与交于点，连接，由轴对称可得，，，即得，得到是等腰直角三角形， 即可得，，进而得，再证明，得到，在中，，进而等量代换可得，即可求证．
【详解】（1）解：∵，
∴，，
∴，
故答案为：；
（2）证明：如图，作，交延长线于点，则，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
∴，，
∴；
（3）解：．
证明：过点作于点，过点作于点，与交于点，连接，则，
∵点关于直线的对称点为，
∴，，，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
在与中，
，
∴ ，
∴，
在中，，
∴，
即．
【点睛】本题考查了等腰直角三角形的判定和性质，等腰三角形的判定，全等三角形的判定和性质，勾股定理，轴对称的性质，正确作出辅助线是解题的关键．
答案第2页，共17页
答案第17页，共17页