第五章三角函数（基本初等函数Ⅱ）、解三角形
平衡水中学状元笔记
第五节
正弦定理、余弦定理及其应用
/核心素养展示
课程内容要求
课程标准解读
1.借助向量的运算，探索三角形边长与角度的关系，掌握
1.掌握正弦定理、余弦定理
正弦定理、余弦定理
2.能用正弦定理、余弦定理解决实际问题
2.能用正弦定理、余弦定理解决简单的实际问题
核心素养养成
一正弦定理
(1)内容：在△ABC中，若角A,B,C对应的三边分别是a,b,c,则
名师点拨
各边和它所对角的正弦的比相等，即a。
b
→正弦定理解决的问
sin A sin B=sinC正弦定理
题类型：(1)己知两角
对任意三角形都成立，
和任意一边，求其他的
(2)常见变形
边和角：
Da:b:c=sin A:sin B:sin C.
(2)已知两边和其中一
边的对角，求其他的边
b
②正弦定理的推广：sin A sin B-sin C=2R,其中R为△ABC
和角.
的外接圆的半径.
③余弦定理
状元笔记
(1)三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边
→余弦定理解决的问
与它们夹角的余弦值之积的两倍，即
题类型
①a2=b2+c2-2 bccos A
(1)已知三边，求
②b2=a2+c2-2 accos B
三个角：
边角互化公式在三角中应用广
③c2=a2+b-2 abcos C
泛，在方程中，若等号左右两边
(2)已知两边和它
既有边又有角时，此时需要边角
们的夹角，求第三边和
(2)推论：
互化，例如：a十2b=3c可转化为
其他两角.
cos A=b+c-a
sin A++2sin B=3sin C.
2bc
cos B=ta-
2ca
.cos C=a'+62-c2
2ab
②三角形的面积公式
设△ABC的三边为a,b,c,对应的三个角分别为A,B,C,其面积
为S.
(1)S=1
ah(h为BC边上的高)；
(2)S-besin A-Tacsin B-
2absin C:
(3)S=1
r(a十b十c)(r为三角形的内切圆半径).
注意：三角形面积公式一定要遵循“就角原则”，即题干中告诉哪
个角就选择相应的哪个公式。
禽来中草扶元笔当
第五章三角函数（基本初等函数Ⅱ）、解三角形
高中·数学
在△ABC中，已知a,b和A时，三角形解的情况
A为锐角
A为钝角或直角
状元笔记
图形
→已知a,b和A
时，求三角形解的个数
时，务必分清角A是
关系式
a≤b
锐角还是钝角.
a=bsin A
bsin A
a≥b
a>b
解的个数
核心素养提升
》》】
学习要点1正弦定理、余弦定理的应用>》
例1在△ABC中，角A,B,C所对的边分别是a,bc.已知(2a
名师点拨
c)cos B=bcos C.
→本题考查三角形的
(1)求角B的大小；
正弦、余弦定理和面积
公式应用问题.其核心
(2)若△ABC的面积为√/3，a+c=6,求△ABC的周长
问题是正、余弦定理的
解断(1)在△ABC中，因为(2a-c)cosB=bcos C,
应用，因此要热记正
所以由正弦定理可得(2sinA一sinC)cosB=sin Bcos C,
余弦定理的内容，对于
整理可得2 sin Acos B=sin Bcos C+cos Bsin C=sin(B+C)=
(1),结合已知条件，
易知应选用正弦定理，
sin A.
利用两角和的正弦公式
又A为三角形内角，sinA>0,所以cosB=7
化简，求出cOsB的
值，注意角B是三角形
由B为三角形内角，可得B=60°.
内角，其范围是(0°，
()②由△ABC的面积为V5,即2 acsin B=,3,
180),求出角B.对于
(2),由△ABC的面积
公式求出ac,利用余弦
所以ac=
sin60=4.又a十c=6,由余弦定理得b6=a2+c2
23
定理求得b的值，再求
2accos B=(a+c)2-2ac-2accos 60=36-3ac=36-3X4=24,
△ABC的周长.
所以b=2,6,所以△ABC的周长为a十b十c=6+2、6.
【答案】(1)60°(2)6+2、6
例2(1)[2021·全国高考乙卷（理）·15]记△ABC的内角A,B,C
名师点拨
的对边分别为a,b,c,面积为、3，B=60°，a2十c2=3ac,则b=
→(1)由三角形面积
公式可得ac=4,再结
(2)[2021·浙江卷·14]在△ABC中，∠B=60°，AB=2,M是BC
合余弦定理即可得解.
的中点，AM=2√3，则AC=
,cos∠MAC=
(2)由题意结合余
图图C1)由题意，Sac=2 aesin B-ac
弦定理可得BC=8,进
4ac=13,
而可得AC,知三边再
所以ac=4,a2+c2=12,所以b2=a2+c2-2acc0sB=12-2×4X
由余弦定理可得
cos∠MAC.
1=8,解得b=22(负值舍去)
156禽中学扶笔
参考答案
高中·数学
参考答案
第一章集合与常用逻辑
(7)√/ab
a+b
第一节集合的概念及运算
一、1.确定性无序性
第二节二次函数与一元二次方程、不等式
2.属于不属于∈
一、1.一个2ax2+bx+c>0(≥0)
3.列举法、描述法、特定记号法
a.x2+bx+c<0(≤0)
二、1.(1){xx∈A且x∈B)
三、2.f(x)g(x)>0f(x)g(x)<0
{xx∈A或x∈B}{xx∈U但x任A}
f(x)g(x)≥0g(x)≠0f(x)g(x)0
2.(1)二三A0=
(2)22
g(x)≠0
AA=
(3)A0U0U
四、1.-cax十b≤cax十b≥c或ax十b-c
3.A∩B=ACA2CcB
第三章函数的概念、基本初等函数（⑩及函数的应用
第二节充分条件与必要条件
第一节函数及其表示
一、任意一个数x唯一确定的数函数自变
一、判断真假真（假）
二、1.充分条件必要条件
量定义域函数值值域
二、1.数学表达式
2.p→qq→p
2.图象
第三节全称量词与存在量词
3.列出表格
一、联结词
三、1.定义域对应关系值域
二、1.全称量词命题
2.定义域对应关系
2.存在量词命题
第二节函数的单调性与最大（小）值
三、存在量词命题全称量词命题
一、1.上升的下降的
第二章不等式
2.增函数或减函数区间D
第一节不等式的基本性质、
二、定义法（作差法或作商法）、图象法、函数的
基本不等式及其应用
运算性质、复合函数的“同增异减”、导数法
一、(1)>0(2)=0(3)<0
四、换元法、配方法、图象法、分离常数法、判别
二、(1)bc(3)>(4)ac>bc
式法、函数单调性
acb+d (6)ac-bd0
第三节函数的奇偶性与周期性
)日名
(8)a">b”(9)a>b
一、f(一x)=一f(x)定义域内任意一个x
三，1)生(2)vad(3d2+6≥2ab
f(-x)=f(x)
二、1.原点y轴
0生>、a66)最小值2v西
2.相同相反
3.和
(6)最大值ab≤（生）ab≤a+b)
4.0f(x)
424
参考答案
平衡水中学状元笔记
三、非零f(x十T)=f(.x)存在一个最小
2.(1)y轴x轴原点(2)x=m
第四节幂函数
3.(1)A倍(2)
a
一、2.奇[0，十00)偶(-0∞，0)
第九节函数模型及其应用
(0,+∞)奇[0，十∞)[0，+∞)
一、2.增增增快慢yx
非奇非偶(0，十∞)(-∞，0)U(0,十∞)
第四章导数及其应用
(-∞，0)U(0,十∞)奇(-∞，0)
第一节导数的概念及运算
(0,+0∞)(1,1)
一、1.平均变化率
第五节指数与指数函数
2.导数
一、1.n次方根
3.导数f(x)y
2.根指数被开方数
4.切线的斜率y一f(xo)=f'(x)(x一xo)
3.aa
二、3.y'。·u'.y对uu对x
二、1.1≠
第二节
导数的应用（一）
2日
一、1.单调递增单调递减
2.常数函数
3.am5.0没有意义
第三节导数的应用（二）
三、1.a+2.a”
3.a'b"
一、极大值极小值极值极值点
四、R(0,十∞)(0,1)增函数减函数
二、f(x)>0f(x)<0f(x)0f(x)>0
第六节对数与对数函数
三、1.最大值最小值
一、1.对数1ogN底数真数
第五章三角函数（基本初等函数Ⅱ）、解三角形
2.(1)10lgN(2)elnN01
第一节弧度制及任意角的三角函数
3.台
一、1.旋转逆时针顺时针零角
4.(1)log M+log.N (2)log.M-log.N
2.非负半轴
(3)mlog.M”1ogM
3.坐标轴
n
5.(1)(2)0gb
1
二、1.半径长
log a
logia
四、cos a sina tan a
二、(0，十o∞)R(1,0)增函数
减函数
第五节正弦定理、余弦定理及其应用
第七节函数与方程
四、一解两解一解
一解无解
一、1.f(x)=0实数根交点的横坐标
第六节三角函数与解三角形模型的应用
2.有交点有零点零点函数y=f(x)
一、1.三角函数
二、f(a)·f(b)<0(a,b)(a,b)f(c)=0
2.周期函数拟合
第八节函数的图象及其应用
3.元
二、1.(1)y=f(x+a)右(2)y=f(x)+b
4.h。=htan0
二、1.上方下方