第八章
立体几何
平衡水中学状元笔记
第三节
平面的基本性质及推论
/核心素养展示
课程内容要求
课程标准解读
1.借助长方体，在直观认识空间点、直线、平面的基础上，抽象出空间
点、直线、平面的位置关系
1.了解平面的基本事实
2.了解基本事实（基本事实1~4）
2.能利用基本事实和推论证明共
3.定理：如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相
面问题
等或互补
4.能够运用图形的概念描述图形的基本关系和基本结果
核心素养养成
@平面的基本性质
1.基本事实1：过
上的三点，有且只有一个平面.
名师点拨
2.基本事实2：如果一条直线上的
在一个平面内，那么这条直
→①基本事实1，推
线在此平面内.它的作用是可用来证明
或
论作用是确定平面，或
3.基本事实3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有
是证明点、线共面，
②基本事实3用来
且
过该点的公共直线.它的作用是可用来确定两个平面的交
确定两个平面的交线或
线，或证明三点共线、三线共点等问题：
证明三点共线，三线共点.
推论：
①经过一条直线和直线外一点，有且只有一个平面；
②经过两条相交直线，有且只有一个平面：
③经过两条平行直线，有且只有一个平面，
推论的作用是可用来确定一个平面，或用来证明点、线共面，
空间两条直线的位置关系
1.位置关系的分类
共面直线相交直线：同一个平面内，有且只有
平行直线：同一个平面内，有
、名师点拨
异面直线：不同在任何一个平面内，有
→否定的形式说明了
2.异面直线
不共面，不能理解为在
(1)定义：
两个平面上的两条直
(2)异面直线的画法：画异面直线时，为了充分显示出它们既不平
线，两直线共面平行或
相交的否定是“既不平
行又不相交，也不共面的特点，常常需要以辅助平面作为衬托，以加强
行也不相交”，
直观性.
(3)异面直线所成的角：
、名师点拨
.异面直线所成角的范围是
,若两条异面直线所成的
→在空间中谈直线垂
直要有空间观念，即不
角是直角，则称两条异面直线
,所以空间两条直线垂直分为相
能局很在平面内—共
交垂直和
面相交，不共面异面.
斋来中学扶元笔记当
第八章立体几何
高中·数学
②平行公理
基本事实4：平行于
的两条直线互相平行（空间平行线
的传递性).它给出了判断空间两条直线平行的依据，
四等角定理
空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角
核心素养提升
》】
学习要点1平面的基本性质
例1给出以下四个命题：
名师点拨
①不共面的四点中，其中任意三点不共线；
之对于①，基本事实
1的内容是不在一条直
②若点A、B、C、D共面，点A、B、C、E共面，则A、B、C、D、E
线上的三点、共面，若四
共面：
点中任意三点共线，则
③若直线a、b共面，直线a、c共面，则直线b、c共面；
由推论1知四点共面：
对于②，若A、B、C
④依次首尾相接的四条线段必共面.
共线，则五点、不一定共
其中正确命题的个数是
面；③借助正方体分
A.0
B.1
C.2
D.3
析：④三角形是平面图
形，四边形可能是立体
解析①中，假设存在三点共线，则这四点必共
图衫.
面，与题设矛盾，故①正确；②中，若A、B、C三点共
线，则A、B、C、D、E有可能不共面，故②错误；③中，
如图所示正方体的棱中，a、b共面，a、c共面，而b、c
异面，故③错误；④中，空间四边形的四条线段不共
面，故④错误.故选B.
【答案】B
学习要点2空间两条直线的位置关系》
例2如图，在正方体ABCD一AB:CD中，M、N分别为棱
名师点拨
CD、CC的中点，
→对于①，判断两直
线异面，课本是以与一
有以下四个结论：
个平面相文的直线和这
①直线AM与CC1是相交直线；
个平面内不过文点的直
②直线AM与BN是平行直线；
线异面，AM与平面
③直线BN与MB,是异面直线；
D1DCC1相交，M
CC,CC,C平面
④直线AM与DD1是异面直线，
D1DCC1,所以直线
其中正确的结论为
AM与CC1是异面直
A.③④
B.①②
C.①③
D.②④
线，对于②，AMC平面
ABC1D1,BN与平面
鲜析①AM与平面D1DCC1相交，M庄CC1,CCC平面D1DCC1,
ABC1D1交点为B,同
所以直线AM与CC1是异面直线，故①错误；同理AMC平面
理可判断.
ABCD1,BN与平面ABC1D1交点为B,直线AM与BN也是异面直
线，故②错误.同理，直线BN与MB1是异面直线，故③正确；同理，直
线AM与DD1是异面直线，故④正确.故选A.
【答案】A
244参考答案
平衡水中学状元笔记
1.d a-d y=dx+(a-d)
三、1.矩形
直角三角形
直角梯形
2.单调递增单调递减常数列
2.矩形等腰三角形
等腰梯形圆
四、1.倒序相加法
四、1.直径球心
2.(1)an≥0a+1<0(2)an≤0a+1>0
2.垂直于d=vR-r
第三节等比数列及其前n项和
五、(1)90°90°(2)45°（或135）90°
一、比常数公比
(3)平行于(4)一半
二、等比数列等比中项ab士/ab
第二节空间几何体的表面积和体积
三、1.a1g-1
ang"-m
-、1.Ch
2.y-
3C
(C+C
2.2πrlπrlπ(r+r')l
四、na1,9=1
a(1-g)=a1-a.9,9≠1
3.侧面积两个底面积侧面积底面积
1-q
1-9
乘公比、错位相减
41
二1.5h35h3h(S+5S+S)
9-1
五、1.a。·ag=am·an
2.xrh
3h(r2+rr'+,)
2.gm3.9
三、1.4πR
第四节数列求和及其应用
一、1.等差数列、等比数列前n项和公式
2.把一个数列分成几个可以直接求和的
第三节平面的基本性质及推论
数列
一、1.不在一条直线
4.适用于一个等差数列和一个等比数列对
2.两点点在平面内直线在此平面内
应项相乘构成的数列求和
3.只有一条
1
二、1.1个交点0个交点0个交点
5.⑤FD
⑥C+1-CW
2.(1)不同在任何一个平面内的两条直线叫
二、1.a(1+xr)
做异面直线(3)已知两条异面直线a,b,经
2.a(1+r)
过空间任一点O作直线a'∥a,b'b,把a'与
3.N(1+p)
b所成的锐角（或直角）叫做异面直线α与b
第八章立体几何
互相垂直
第一节空间几何体的结构和直观图
所成的角（或夹角）(0,2】]
一、1.平行平行四边形平行
异面垂直
2.多边形三角形
三、同一条直线
3.平行于
四、相等或互补
二、1.平行四边形全等平行四边形矩形
第四节空间中的平行关系
2.等腰三角形直角三角形直角三角形
一、1.有无数个
直角三角形直角三角形
2.有且只有一个
427
禽来中草扶元笔当
参考答案
高中·数学
3.没有直线在平面外
9.(x2-x1,y2一y1,22一21）
二、1.一条直线一条直线
1(x2-x1)2十(y2-y1)+(z2-z1)9
ata,bCa,且a∥b→a∥a
四、1.平行2.Ap=ta
2.交线平行a∥a,aC3,a∩B=b→a∥b
五、1.向量a2.(4)无数
三、1.没有公共点
六、1.a∥ba=kb,k∈R且k≠0
2.有一条公共直线
2.a⊥ba·b=03.a⊥ua·u=0
四、1.(1)相交直线aC3,bCB,a∩b=P,a∥
4.a∥ua=ku,k∈R且k≠0
a,b∥a→3∥a
5.u∥vu=ky,k∈R且k≠0
2.(1)平行&∥B,a∩y=a,B∩y=b→a∥b
6.u⊥pu·v=09.0≤0≤π
(2)a∥3，aC&→a∥3(3)a∥3，l⊥a→l⊥3
第九章平面解析几何
第五节空间中的垂直关系
第一节直线与方程、两条直线的位置关系
一、直角
四、1.k1=k2且b1≠b2
二、l.直线l与平面a互相垂直l⊥a平面a的
2.k1·k2=-1
垂线直线（的垂面垂足距离
第二节圆的方程及圆与圆、直线与圆的位置关系
2.垂直
一、定点定长集合圆心半径
3.平行
二、1.(a,b)r2.(D2+E2-4F>0)
三、锐角[0°，90]
三、1.(xo-a)2+(-b)2=r2
四、1.两个半平面所组成的图形
2.垂直于棱[0，π]
2.(x-a)2+(-b)2>r
五、1.直二面角
3.(x-a)2+(-b)22.垂线
第三节椭圆
3.交线
-、2a(2a>|F1F2|)
第六节空间向量及其应用
第四节双曲线
一、(x,y,z)p=0十b十0基底基向量
一、(2a<|FF2)双曲线焦点焦距
二、1.两两垂直1
三、等轴双曲线充要垂直
2.x轴，y轴，之轴
第五节抛物线
3.右4.(x,y,z)(x,y,z)竖坐标
三、+多川+多
三、1.(1十x24十y2之1十22）
第六节直线与圆锥曲线的位置关系
2.(1一x24一y2名1一2）3.（λx1y121)
一、无一个两个
4.x1x2十y1y2十12
(1)①相交②相切③相离
5.a=bx1=x2y1=y2之1=入22
(2)平行或重合平行或重合
6.a·b=0x1x2十yy2十名122=0
xo
7.va…a1x+y+
三、
k=卫
a'yo a'yo
yo
428
