第八章立体几何
平衡水中学状元笔记
第四节
空间中的平行关系
/核心素养展示
课程内容要求
课程标准解读
1.从位置关系的定义和基本事实出发，借助长方体，通过直观感知，
1.了解空间中直线与直线、直线
了解空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行关系，归
与平面、平面与平面的平行
纳出判定定理，并加以证明
关系
2.能够运用图形的概念描述图形的基本关系和基本结果.能够证明
2.能证明简单的平行关系
简单的几何命题（平行的性质定理），并会进行简单应用
核心素养养成
》】
一空间中直线与平面之间的位置关系
、名师点拨
1.直线在平面内，则它们
公共点；
→直线与平面的关系
①直线在平面内，直线
2.直线与平面相交，则它们
公共点；
在平面外，注意相交也
3.直线与平面平行，则它们
公共点，
是在平面外，②线线平
注意：直线与平面相交或平行的情况统称为
行→线面平行，注意线
面关系：③线面平行→
会直线与平面平行的判定和性质
线线平行，注意不是平
1.直线与平面平行的判定定理
行平面中的所有直线，
性质定理关键是作面找
平面外
与此平面内的
平行，则该直线与此平面平
交线
行.即线线平行→线面平行.用符号表示：
2.直线与平面平行的性质定理
一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的
名师点拨【
与该直线
即线面平行→线线平行.用符号表示：
→证明线线平行的
方法
(1)利用平面几何知
②平面与平面之间的位置关系
识：(2)平行公理：4∥
1.两个平面平行，则它们
b,b∥c→a∥c;(3)线面
2.两个平面相交，则它们
平行的性质定理：a∥
,两个平面垂直是相交的
a,aC3,a∩B=b→a∥
种特殊情况
b:(4)面面平行的性质
网平面与平面平行的判定和性质
定理：a∥3，a∩y=a,3
∩y=b→a∥b;(5)线面
1,平面与平面平行的判定定理
垂直的性质定理：m
(1)一个平面内的两条
与另一个平面平行，则这两个平面
a,n⊥a→n月n.
平行.用符号表示：
(2)推论：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平
面内的两条相交直线，则这两个平面平行.
(3)垂直于同一条直线的两个平面平行，即l⊥a,l⊥→a∥B.
(4)平行于同一个平面的两个平面平行，即a∥y,B∥y→a∥3.
249
斋来中学扶元笔记当
第八章立体几何
。高中·数学
2.平面与平面平行的性质定理
(1)如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线
即面面平行→线线平行，用符号表示：
(2)如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线平行于另一
个平面.用符号表示：
(3)如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么它也
垂直于另一个平面.用符号表示：
核心素养提升
》》》
学习要点1空间中直线与平面之间的位置关系>
例1（衡中周测）已知平面a∥平面B,直线aCa,B∈B,则在B内
过B点的所有直线中
A.不存在与a平行的直线
名师点拨
B.存在无数条与a平行的直线
→4和B点、能确定一
C.存在唯一一条与a平行的直线
个平面，两面相交只有
一条文线
D.存在两条与a平行的直线
解断易知过直线Q和点B有且只有一个平面，该平面与平面3有
且只有一条交线，此交线与a平行.
【答案】C
学习要点2线面平行的证明)
例2（衡中学案）如图所示，四棱锥P
ABCD中，AD/BC.AB=BC-AD,E,F,H
名师点拨
分别为线段AD,PC,CD的中点，AC与BE交
①线面平行可以结
于O点，G是线段OF上一点.
合条件寻找路径，题目
(1)求证：AP∥平面BEF;
中平面APC与平面
(2)求证：GH∥平面PAD.
BEF交于OF,由性质
定理可知AP平行于
E圆(1)如图，连接EC.:AD∥BC,BC=2AD,BCLAE,
OF:条件中由F是PC
中点，可考虑O是AC
.四边形ABCE是平行四边形，.O为AC
中点、，如何证明？
的中点
②G是线段OF上
又F是PC的中点，.FO∥AP.
一点、，线动成面即证面
FOC平面BEF,AP平面BEF,
面平行，再证线面平行
.AP∥平面BEF.
(2)如图，连接FH,OH.F,H分别是PC,CD的中点，
∴.FH∥PD.又PDC平面PAD,FH庄平面PAD,
∴.FH∥平面PAD.
又，O是AC的中点，H是CD的中点，∴.OH∥AD
又ADC平面PAD,OH￠平面PAD,∴.OH∥平面PAD
又FH∩OH=H,.平面OHF∥平面PAD.
又GHC平面OHF,.GH∥平面PAD.
250参考答案
平衡水中学状元笔记
1.d a-d y=dx+(a-d)
三、1.矩形
直角三角形
直角梯形
2.单调递增单调递减常数列
2.矩形等腰三角形
等腰梯形圆
四、1.倒序相加法
四、1.直径球心
2.(1)an≥0a+1<0(2)an≤0a+1>0
2.垂直于d=vR-r
第三节等比数列及其前n项和
五、(1)90°90°(2)45°（或135）90°
一、比常数公比
(3)平行于(4)一半
二、等比数列等比中项ab士/ab
第二节空间几何体的表面积和体积
三、1.a1g-1
ang"-m
-、1.Ch
2.y-
3C
(C+C
2.2πrlπrlπ(r+r')l
四、na1,9=1
a(1-g)=a1-a.9,9≠1
3.侧面积两个底面积侧面积底面积
1-q
1-9
乘公比、错位相减
41
二1.5h35h3h(S+5S+S)
9-1
五、1.a。·ag=am·an
2.xrh
3h(r2+rr'+,)
2.gm3.9
三、1.4πR
第四节数列求和及其应用
一、1.等差数列、等比数列前n项和公式
2.把一个数列分成几个可以直接求和的
第三节平面的基本性质及推论
数列
一、1.不在一条直线
4.适用于一个等差数列和一个等比数列对
2.两点点在平面内直线在此平面内
应项相乘构成的数列求和
3.只有一条
1
二、1.1个交点0个交点0个交点
5.⑤FD
⑥C+1-CW
2.(1)不同在任何一个平面内的两条直线叫
二、1.a(1+xr)
做异面直线(3)已知两条异面直线a,b,经
2.a(1+r)
过空间任一点O作直线a'∥a,b'b,把a'与
3.N(1+p)
b所成的锐角（或直角）叫做异面直线α与b
第八章立体几何
互相垂直
第一节空间几何体的结构和直观图
所成的角（或夹角）(0,2】]
一、1.平行平行四边形平行
异面垂直
2.多边形三角形
三、同一条直线
3.平行于
四、相等或互补
二、1.平行四边形全等平行四边形矩形
第四节空间中的平行关系
2.等腰三角形直角三角形直角三角形
一、1.有无数个
直角三角形直角三角形
2.有且只有一个
427
禽来中草扶元笔当
参考答案
高中·数学
3.没有直线在平面外
9.(x2-x1,y2一y1,22一21）
二、1.一条直线一条直线
1(x2-x1)2十(y2-y1)+(z2-z1)9
ata,bCa,且a∥b→a∥a
四、1.平行2.Ap=ta
2.交线平行a∥a,aC3,a∩B=b→a∥b
五、1.向量a2.(4)无数
三、1.没有公共点
六、1.a∥ba=kb,k∈R且k≠0
2.有一条公共直线
2.a⊥ba·b=03.a⊥ua·u=0
四、1.(1)相交直线aC3,bCB,a∩b=P,a∥
4.a∥ua=ku,k∈R且k≠0
a,b∥a→3∥a
5.u∥vu=ky,k∈R且k≠0
2.(1)平行&∥B,a∩y=a,B∩y=b→a∥b
6.u⊥pu·v=09.0≤0≤π
(2)a∥3，aC&→a∥3(3)a∥3，l⊥a→l⊥3
第九章平面解析几何
第五节空间中的垂直关系
第一节直线与方程、两条直线的位置关系
一、直角
四、1.k1=k2且b1≠b2
二、l.直线l与平面a互相垂直l⊥a平面a的
2.k1·k2=-1
垂线直线（的垂面垂足距离
第二节圆的方程及圆与圆、直线与圆的位置关系
2.垂直
一、定点定长集合圆心半径
3.平行
二、1.(a,b)r2.(D2+E2-4F>0)
三、锐角[0°，90]
三、1.(xo-a)2+(-b)2=r2
四、1.两个半平面所组成的图形
2.垂直于棱[0，π]
2.(x-a)2+(-b)2>r
五、1.直二面角
3.(x-a)2+(-b)22.垂线
第三节椭圆
3.交线
-、2a(2a>|F1F2|)
第六节空间向量及其应用
第四节双曲线
一、(x,y,z)p=0十b十0基底基向量
一、(2a<|FF2)双曲线焦点焦距
二、1.两两垂直1
三、等轴双曲线充要垂直
2.x轴，y轴，之轴
第五节抛物线
3.右4.(x,y,z)(x,y,z)竖坐标
三、+多川+多
三、1.(1十x24十y2之1十22）
第六节直线与圆锥曲线的位置关系
2.(1一x24一y2名1一2）3.（λx1y121)
一、无一个两个
4.x1x2十y1y2十12
(1)①相交②相切③相离
5.a=bx1=x2y1=y2之1=入22
(2)平行或重合平行或重合
6.a·b=0x1x2十yy2十名122=0
xo
7.va…a1x+y+
三、
k=卫
a'yo a'yo
yo
428
