第八章
立体几何
平衡水中学状元笔记
第五节
空间中的垂直关系
/核心素养展示
课程内容要求
课程标准解读
1.从位置关系的定义和基本事实出发，借助长方体，通过直观
感知，了解空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的
1,了解空间中直线与直线、直线与平面、
垂直关系，归纳出判定定理，并加以证明
平面与平面的垂直关系
2.能够运用图形的概念描述图形的基本关系和基本结果.能
2、掌握利用垂直的性质定理证明方法
够证明简单的几何命题（垂直的性质定理），并会进行简单
应用
核心素养养成
线线垂直
如果两条直线所成的角是
(无论它们是相交还是异面)，那么
这两条直线互相垂直，
公直线与平面垂直
名师点拨
→任意强调无例外，
1.定义：如果直线l与平面α内的任意一直线都垂直，我们就说
注意线面玉直，线与面
,记作
.直线（叫做
,平面
内的直线共面或异面.
a叫做
.直线与平面垂直时，它们唯一的公共点P叫做
垂线上任意一点到垂足间的线段，叫做这个点到这个平面的
垂线段，垂线段的长度叫做这个点到平面的
2.判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则
名师点拨
该直线与此平面垂直.
→定义在判定上不易
推论：如果在两条平行直线中，有一条
于平面，那么另一
操作，判定定理易操作
有前提—相交.
条直线也垂直于这个平面.用符号表示：a∥b,a⊥a→b⊥&.
3.性质定理：垂直于同一个平面的两条直线
直线和平面所成的角
名师点拨
平面的一条斜线和它在乎面上的射影所成的
,叫做这条直线
→理解斜线在平面上
和这个平面所成的角.
的射影：斜线与平面上
的直线所成角不一样，与
一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角是直角；一条直线和
射影所成角是最小角，
平面平行，或在平面内，我们说它们所成的角是0°的角.任一直线与平
面所成角0的范围是
二面角的有关概念
1.二面角：从一条直线出发的
叫做二
面角.
2.二面角的平面角：以二面角的棱上任一点为端点，在两个半平
面内分别作
的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平
面角.二面角的范围是
斋来中竿扶元笔记当
第八章立体几何
高中·数学
平面与平面垂直
1.定义：一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是
名师点拨
那么就说这两个平面互相垂直.
,一个平面内，玉直
2.判定定理：若一个平面过另一个平面的
,则这两个平面
于交线的直线，强调了
线的位置，不能简单地
垂直
理解为面面更直、线面
3.性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于的直线与另
垂直，一个平面内的任
一个平面垂直，
意直线都垂直于另外一
单核心素养提升
个平面，也不能理解为
》》》
要直于交线就更直于平
学习要点1线线垂直的证明
面，去掉在平面上这一
条件，更不能理解为面
例1(1)（多选）如图，在三棱锥P一ABC中，能
面更直、线面更直，线
证明AP⊥BC的条件是
面垂直、线线更直，推
A.AP⊥PB,AP⊥PC
出两个平面上的直线
B.AP⊥PB,BC⊥PB
垂直.
C.平面BPC⊥平面APC,BC⊥PC
D.AP⊥平面PBC
名师点拨
(2)如图，在三棱柱ABC一ABC中，AA1⊥平
→①对于异面直线判
定线线要直，可以由线
面ABC,∠BAC=受，AA:=AB=AC=1,求证：AB
面更直转化得来，看选
项中哪项可以判定线面
⊥AC
更直，
晖断(1)A中，因为AP⊥PB,AP⊥PC,PB∩PC=
→②对于(2)，由数据
P,所以AP⊥平面PBC.又BCC平面PBC,所以AP
可知平移构造三角形勾
⊥BC,故A正确.C中，因为平面BPC⊥平面
股定理证明要直，建头
空间向量证明要直？
APC,BC⊥PC,所以BC⊥平面APC,APC平面
APC,所以AP⊥BC,故C正确.D中，由A知D正
确；B中条件不能判断出AP⊥BC,故选ACD.
(2)方法一：AB1∥AB,且AB+AC=
B1C,所以AB:⊥A1C,所以AB⊥AC.
方法二：可知AB,AC,AA1两两互相垂直，
如图，建立空间直角坐标系A一xy之.因为AA,=AB=AC=1,所以
A(0,0,0),B(1,0,0),C(0,1,0),A(0,0,1).AB=(1,0,0),AC=(0,1,-1),
AB·AC=0,所以AB⊥AC
【答案】(1)ACD(2)见解析
例2如图所示，在正方体ABCD一A1B,C,D
状元笔记
中，M,N分别是棱AA1和AB上的点，若∠BMN是
→由∠B,MN是直
直角，则∠CMN等于
角可得MN⊥MB,由
解因为正方体ABCD一AB,C,D1中，M,N分
B,C1⊥平面ABB1A
可判断MN与平面
别为棱AA1,AB上的点，∠B,MN是直角，所以MN
MB,C1的关系，
⊥MB,.又因为B,C1⊥平面ABBA1,所以MN⊥B,C1,B,C∩MB,
B1,所以MN⊥平面B,C,M.因为MC1C平面B1CM,所以MN⊥
MC1,则∠C,MN=90°.
【答案】90°
256参考答案
平衡水中学状元笔记
1.d a-d y=dx+(a-d)
三、1.矩形
直角三角形
直角梯形
2.单调递增单调递减常数列
2.矩形等腰三角形
等腰梯形圆
四、1.倒序相加法
四、1.直径球心
2.(1)an≥0a+1<0(2)an≤0a+1>0
2.垂直于d=vR-r
第三节等比数列及其前n项和
五、(1)90°90°(2)45°（或135）90°
一、比常数公比
(3)平行于(4)一半
二、等比数列等比中项ab士/ab
第二节空间几何体的表面积和体积
三、1.a1g-1
ang"-m
-、1.Ch
2.y-
3C
(C+C
2.2πrlπrlπ(r+r')l
四、na1,9=1
a(1-g)=a1-a.9,9≠1
3.侧面积两个底面积侧面积底面积
1-q
1-9
乘公比、错位相减
41
二1.5h35h3h(S+5S+S)
9-1
五、1.a。·ag=am·an
2.xrh
3h(r2+rr'+,)
2.gm3.9
三、1.4πR
第四节数列求和及其应用
一、1.等差数列、等比数列前n项和公式
2.把一个数列分成几个可以直接求和的
第三节平面的基本性质及推论
数列
一、1.不在一条直线
4.适用于一个等差数列和一个等比数列对
2.两点点在平面内直线在此平面内
应项相乘构成的数列求和
3.只有一条
1
二、1.1个交点0个交点0个交点
5.⑤FD
⑥C+1-CW
2.(1)不同在任何一个平面内的两条直线叫
二、1.a(1+xr)
做异面直线(3)已知两条异面直线a,b,经
2.a(1+r)
过空间任一点O作直线a'∥a,b'b,把a'与
3.N(1+p)
b所成的锐角（或直角）叫做异面直线α与b
第八章立体几何
互相垂直
第一节空间几何体的结构和直观图
所成的角（或夹角）(0,2】]
一、1.平行平行四边形平行
异面垂直
2.多边形三角形
三、同一条直线
3.平行于
四、相等或互补
二、1.平行四边形全等平行四边形矩形
第四节空间中的平行关系
2.等腰三角形直角三角形直角三角形
一、1.有无数个
直角三角形直角三角形
2.有且只有一个
427
禽来中草扶元笔当
参考答案
高中·数学
3.没有直线在平面外
9.(x2-x1,y2一y1,22一21）
二、1.一条直线一条直线
1(x2-x1)2十(y2-y1)+(z2-z1)9
ata,bCa,且a∥b→a∥a
四、1.平行2.Ap=ta
2.交线平行a∥a,aC3,a∩B=b→a∥b
五、1.向量a2.(4)无数
三、1.没有公共点
六、1.a∥ba=kb,k∈R且k≠0
2.有一条公共直线
2.a⊥ba·b=03.a⊥ua·u=0
四、1.(1)相交直线aC3,bCB,a∩b=P,a∥
4.a∥ua=ku,k∈R且k≠0
a,b∥a→3∥a
5.u∥vu=ky,k∈R且k≠0
2.(1)平行&∥B,a∩y=a,B∩y=b→a∥b
6.u⊥pu·v=09.0≤0≤π
(2)a∥3，aC&→a∥3(3)a∥3，l⊥a→l⊥3
第九章平面解析几何
第五节空间中的垂直关系
第一节直线与方程、两条直线的位置关系
一、直角
四、1.k1=k2且b1≠b2
二、l.直线l与平面a互相垂直l⊥a平面a的
2.k1·k2=-1
垂线直线（的垂面垂足距离
第二节圆的方程及圆与圆、直线与圆的位置关系
2.垂直
一、定点定长集合圆心半径
3.平行
二、1.(a,b)r2.(D2+E2-4F>0)
三、锐角[0°，90]
三、1.(xo-a)2+(-b)2=r2
四、1.两个半平面所组成的图形
2.垂直于棱[0，π]
2.(x-a)2+(-b)2>r
五、1.直二面角
3.(x-a)2+(-b)22.垂线
第三节椭圆
3.交线
-、2a(2a>|F1F2|)
第六节空间向量及其应用
第四节双曲线
一、(x,y,z)p=0十b十0基底基向量
一、(2a<|FF2)双曲线焦点焦距
二、1.两两垂直1
三、等轴双曲线充要垂直
2.x轴，y轴，之轴
第五节抛物线
3.右4.(x,y,z)(x,y,z)竖坐标
三、+多川+多
三、1.(1十x24十y2之1十22）
第六节直线与圆锥曲线的位置关系
2.(1一x24一y2名1一2）3.（λx1y121)
一、无一个两个
4.x1x2十y1y2十12
(1)①相交②相切③相离
5.a=bx1=x2y1=y2之1=入22
(2)平行或重合平行或重合
6.a·b=0x1x2十yy2十名122=0
xo
7.va…a1x+y+
三、
k=卫
a'yo a'yo
yo
428
