商来中学笔
第八章立体几何
高中·数学
第八章立体几何
第一节
空间几何体的结构和直观图
了核心素养展示
课程内容要求
课程标准解读
1.认识柱、锥、台、球及简单组合
1.利用实物、计算机软件等观察空间图形，认识柱、锥、台、球及简单组合
体的结构特征
体的结构特征，能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构
2.用斜二测画法画出几何体的直2.能用斜二测画法画出简单空间图形（长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱
观图
及其简单组合)的直观图
3掌握基本图形及简单几何体的
3.能够通过直观图理解空间图形，掌握基本空间图形及其简单组合
概念和基本性质
体的概念和基本特征，解决简单的实际问题
核心素养养成
》》
棱柱、棱锥、棱台的概念
名师点拨
1.棱柱：有两个面互相
,其余各面都是
,并且每相邻
→①校柱中，倒侧校垂
两个四边形的公共边都互相，由这些面所围成的多面体叫做棱柱.
直于底面的是直校柱，
2.棱锥：有一个面是
,其余各面都是有一个公共顶点的
不要直的是斜校柱；②
,由这
底面是正多边形的直棱
些面所围成的多面体叫做棱锥。
柱是正棱柱.
3.棱台：用一个
棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间
的部分叫做棱台.
②棱柱、棱锥的性质
名师点拨
1.棱柱的性质
①抓住直角三角形解
侧棱都相等，侧面是
;两个底面与平行于底面的截面是
决线面角、二面角问题：
的多边形；过不相邻的两条侧棱的截面是
;直棱柱的侧
②三维降二维用平面
几何处理.
棱长与高相等且侧面、对角面都是
2.正棱锥的性质
侧棱相等，侧面是全等的
;棱锥的高、斜高和斜高在底
面上的射影构成一个
:棱锥的高、侧棱和侧棱在底面上的射
影也构成一个
;斜高、侧棱及底面边长的一半也构成一个
;侧棱在底面上的射影、斜高在底面上的射影及底面边长的
半也构成一个
圆柱、圆锥、圆台的概念和性质
1.圆柱、圆锥、圆台的概念
分别以的一边、
的一直角边、
中垂直于底
边的腰所在的直线为旋转轴，其余各边旋转一周而形成的面所围成的
几何体分别叫做圆柱、圆锥、圆台.
30
第八章立体几何
衡水中学状元笔记
2.圆柱、圆锥、圆台的性质
圆柱、圆锥、圆台的轴截面分别是
;平行
于底面的截面都是
@球
1.球的概念
以半圆的
所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋转体
叫做球体，简称球.半圆的圆心叫做球的
名师点拨
2.球的截面性质
→①类比圆中的弦长
公式；②球心到战面距
球心和截面圆心的连线
截面；球心到截面的距离d与球的
离d与球的半径R,战
半径R及截面圆的半径r的关系为
面半径”组成直角三
角形.
直观图
空间几何体的直观图常用斜二测画法来画，其规则是：
(1)在已知图形所在空间中取水平面，在水平面内作互相垂直的
轴Ox,Oy,再作Oz轴，使∠xOz=
且∠yOz=
名师点拨
(2)画直观图时，把Ox,Oy,O2画成对应的轴O'x',Oy',O之'，使
①三变：坐标轴的
∠x'O'y'=
,∠x'O'x'=
.xO'y'所确定的平
夹角改变，与y轴平行
线段长度减半，图形改
面表示水平面.
变：②三不变：平行性
(3)已知图形中平行于x轴、y轴或之轴的线段，在直观图中分别画成
不变，与x轴平行的线
x'轴、y'轴或z'轴的线段，并使它们和所画坐标轴的位置关系与
段长度不变，相对位置
不变.原图底面积S与
已知图形中相应线段和原坐标轴的位置关系相同，
其直观图底面积S′之
(4)已知图形中平行于x轴和之轴的线段，在直观图中保持长度
不变，平行于y轴的线段，长度为原来的
间的联承S’-2
(5)画图完成后，擦去作为辅助线的坐标轴，就得到了空间图形的
直观图，
核心素养提升
学习要点1几何体的结构特征】
例给出下列四个命题：
①有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱；
②侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥；
③侧面都是矩形的直四棱柱是长方体；
名师点拨
④若有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱，
→①通过棱柱，正棱锥
其中所有错误命题的序号是
的定义解决该类题目需
要准确理解几何体的定
A.②③④B.①②③C.①②④D.①②③④
义，要真正把握几何体的
解断认识棱柱一般要从侧棱与底面的垂直与否和底面多边形的形
结构特征.②学会通过反
状两方面去分析，故①③错误，对等腰三角形的腰是否为侧棱未作说
例对杌念进行辨析，即要
明，故②错误，平行六面体的两个相对侧面也可能与底面垂直且互相
说明一个命题是错误的，
设法举出一个反例即可，
平行，故④错误.
【答案】D
23参考答案
平衡水中学状元笔记
1.d a-d y=dx+(a-d)
三、1.矩形
直角三角形
直角梯形
2.单调递增单调递减常数列
2.矩形等腰三角形
等腰梯形圆
四、1.倒序相加法
四、1.直径球心
2.(1)an≥0a+1<0(2)an≤0a+1>0
2.垂直于d=vR-r
第三节等比数列及其前n项和
五、(1)90°90°(2)45°（或135）90°
一、比常数公比
(3)平行于(4)一半
二、等比数列等比中项ab士/ab
第二节空间几何体的表面积和体积
三、1.a1g-1
ang"-m
-、1.Ch
2.y-
3C
(C+C
2.2πrlπrlπ(r+r')l
四、na1,9=1
a(1-g)=a1-a.9,9≠1
3.侧面积两个底面积侧面积底面积
1-q
1-9
乘公比、错位相减
41
二1.5h35h3h(S+5S+S)
9-1
五、1.a。·ag=am·an
2.xrh
3h(r2+rr'+,)
2.gm3.9
三、1.4πR
第四节数列求和及其应用
一、1.等差数列、等比数列前n项和公式
2.把一个数列分成几个可以直接求和的
第三节平面的基本性质及推论
数列
一、1.不在一条直线
4.适用于一个等差数列和一个等比数列对
2.两点点在平面内直线在此平面内
应项相乘构成的数列求和
3.只有一条
1
二、1.1个交点0个交点0个交点
5.⑤FD
⑥C+1-CW
2.(1)不同在任何一个平面内的两条直线叫
二、1.a(1+xr)
做异面直线(3)已知两条异面直线a,b,经
2.a(1+r)
过空间任一点O作直线a'∥a,b'b,把a'与
3.N(1+p)
b所成的锐角（或直角）叫做异面直线α与b
第八章立体几何
互相垂直
第一节空间几何体的结构和直观图
所成的角（或夹角）(0,2】]
一、1.平行平行四边形平行
异面垂直
2.多边形三角形
三、同一条直线
3.平行于
四、相等或互补
二、1.平行四边形全等平行四边形矩形
第四节空间中的平行关系
2.等腰三角形直角三角形直角三角形
一、1.有无数个
直角三角形直角三角形
2.有且只有一个
427
禽来中草扶元笔当
参考答案
高中·数学
3.没有直线在平面外
9.(x2-x1,y2一y1,22一21）
二、1.一条直线一条直线
1(x2-x1)2十(y2-y1)+(z2-z1)9
ata,bCa,且a∥b→a∥a
四、1.平行2.Ap=ta
2.交线平行a∥a,aC3,a∩B=b→a∥b
五、1.向量a2.(4)无数
三、1.没有公共点
六、1.a∥ba=kb,k∈R且k≠0
2.有一条公共直线
2.a⊥ba·b=03.a⊥ua·u=0
四、1.(1)相交直线aC3,bCB,a∩b=P,a∥
4.a∥ua=ku,k∈R且k≠0
a,b∥a→3∥a
5.u∥vu=ky,k∈R且k≠0
2.(1)平行&∥B,a∩y=a,B∩y=b→a∥b
6.u⊥pu·v=09.0≤0≤π
(2)a∥3，aC&→a∥3(3)a∥3，l⊥a→l⊥3
第九章平面解析几何
第五节空间中的垂直关系
第一节直线与方程、两条直线的位置关系
一、直角
四、1.k1=k2且b1≠b2
二、l.直线l与平面a互相垂直l⊥a平面a的
2.k1·k2=-1
垂线直线（的垂面垂足距离
第二节圆的方程及圆与圆、直线与圆的位置关系
2.垂直
一、定点定长集合圆心半径
3.平行
二、1.(a,b)r2.(D2+E2-4F>0)
三、锐角[0°，90]
三、1.(xo-a)2+(-b)2=r2
四、1.两个半平面所组成的图形
2.垂直于棱[0，π]
2.(x-a)2+(-b)2>r
五、1.直二面角
3.(x-a)2+(-b)22.垂线
第三节椭圆
3.交线
-、2a(2a>|F1F2|)
第六节空间向量及其应用
第四节双曲线
一、(x,y,z)p=0十b十0基底基向量
一、(2a<|FF2)双曲线焦点焦距
二、1.两两垂直1
三、等轴双曲线充要垂直
2.x轴，y轴，之轴
第五节抛物线
3.右4.(x,y,z)(x,y,z)竖坐标
三、+多川+多
三、1.(1十x24十y2之1十22）
第六节直线与圆锥曲线的位置关系
2.(1一x24一y2名1一2）3.（λx1y121)
一、无一个两个
4.x1x2十y1y2十12
(1)①相交②相切③相离
5.a=bx1=x2y1=y2之1=入22
(2)平行或重合平行或重合
6.a·b=0x1x2十yy2十名122=0
xo
7.va…a1x+y+
三、
k=卫
a'yo a'yo
yo
428
