第二章不等式
平衡水中学状元笔记
第二节
二次函数与一元二次方程、不等式
/核心素养展示
课程内容要求
课程标准解读
1.了解函数的零点与方程根的
1.会结合二次函数的图象，判断一元二次方程实根的存在性及实根
关系
的个数，了解函数的零点与方程根的关系
2.了解一元二次不等式的意义，
2.经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次
能用二次函数解一元二次不
不等式的意义，能用二次函数解一元二次不等式，并能用集合表示
等式
一元二次不等式的解集
3.了解一元二次不等式与相应函
3.借助二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数方程的
数方程的联系
联系
核心素养养成
》》
一元二次不等式
名师点拨
1.一元二次不等式的概念
①一元二次不等式
一般地，我们把只含有
未知数，并且未知数的最高次数是的
是由二次函数或二次方
程数形结合推导的.②
不等式，称为一元二次不等式.一元二次不等式的一般形式是
从结论上看，在实数范
或
,其中a,b,c均为常数，a≠0.
围内解一元二次不等
2.“三个二次”（二次函数、一元二次方程、一元二次不等式）的
式，它的解拓展到方程
关系
没有解.所以今后求解
不等式时注意无解情
函数、方
况，③结论的前提是在
△>0
△=0
△<0
程与不等式
R上，今后研究问题注
意问题的范围，④无解可
以理解为恒大于容，图象
上可以理解为最小值大于
二次函数
零
y=a.x2+bx十c
(a>0)的图象
一元二次方程
名师点拨
有两相异实根
有两相等实根
a.x2+bx十c=0
无实根
(1)二次函数的零点
x1,x2(x1
x1=x2=
b
(a>0)的根
Za
不是点，是二次函数与x
轴交点的横坐标.
(2)一元二次方程的
ax2+bx+c0
极是相应一元二次函数的
{xxx2}
xx≠
2a
R
(a>0)的解集
零点.
ax2+bx+c<0
{xx10
5
(a>0)的解集
027
斋来中草扶元笔记舀
第二章不等式
名高中·数学
公解不含参数的一元二次不等式的一般步骤
名师点拨
(1)对不等式变形，使一端为零且二次项系数大于零
→①结合二次函数图
(2)计算相应的判别式.
象理解对于任意实数x
恒成立问题：②含参恒
(3)当△>0时求出相应的一元二次方程的两根.
成立可以考虑分离参
(4)根据一元二次不等式解集的结构，写出其解集。
数：③审题时注意
分式不等式解法
范围.
1.化分式不等式为标准型.方法：移项，通分，右边化为0，左边化为
f的形式
g(x)》
2.将分式不等式转化为整式不等式求解，如：
名师点拨
f(x)
→①分式不等式重点
g(x)
>0号
是转化为多个因式乘积
f(x)
g(x)
0台
的不等式，②分式不等
式关键是去分母，一是
得≥0
符号，二是不为零
③一元二次不等式是模
型，模型拓展可以是分
o
式，高次，也可是两个
函数（因式）乘积形式
四绝对值不等式
的不等式
1.|a.x十b≤c(c>0)和ax十b≥c(c>0)型不等式的解法
|a,x+b≤c台
；ax十b≥c台
2.“|a-|b|≤|a士b≤|a+b”求最值，
一元二次不等式恒成立问题
(1)不等式对任意实数x恒成立，就是不等式的解集为R,对
名师点拨
于一元二次不等式a.x+b.x+c>0,它的解集为R的条件为
→①结合二次函数图
fa>0,
象理解对于任意实数x
1△=b2-4ac<0,
恒成立问题：②含参教
恒成立可考虑分离参
一元二次不等式ax2十bx十c≥0，它的解集为R的条件
数：③审题时注意
为/a>0,
范围，
1△=b2-4ac≤0；
一元二次不等式ax2+bx+c>0的解集为⑦的条件
为/a<0,
1△=b2-4ac≤0.
(2)分离参数，将恒成立问题转化为求最值问题，即：k≥f(x)恒成
立台k≥f(x)mx;k≤f(x)恒成立台k≤f(x)mim:
核心素养提升
》》》
学习要点1含参不等式的解法
例1已知关于x的不等式(ax一1)(x十1)>0.若a∈R,解这个
关于x的不等式
鲜断，(ax-1)(x十1)>0，
(1)当a=0时，不等式为一(x十1)>0，解得x<-1.
028禽中学扶笔
参考答案
高中·数学
参考答案
第一章集合与常用逻辑
(7)√/ab
a+b
第一节集合的概念及运算
一、1.确定性无序性
第二节二次函数与一元二次方程、不等式
2.属于不属于∈
一、1.一个2ax2+bx+c>0(≥0)
3.列举法、描述法、特定记号法
a.x2+bx+c<0(≤0)
二、1.(1){xx∈A且x∈B)
三、2.f(x)g(x)>0f(x)g(x)<0
{xx∈A或x∈B}{xx∈U但x任A}
f(x)g(x)≥0g(x)≠0f(x)g(x)0
2.(1)二三A0=
(2)22
g(x)≠0
AA=
(3)A0U0U
四、1.-cax十b≤cax十b≥c或ax十b-c
3.A∩B=ACA2CcB
第三章函数的概念、基本初等函数（⑩及函数的应用
第二节充分条件与必要条件
第一节函数及其表示
一、任意一个数x唯一确定的数函数自变
一、判断真假真（假）
二、1.充分条件必要条件
量定义域函数值值域
二、1.数学表达式
2.p→qq→p
2.图象
第三节全称量词与存在量词
3.列出表格
一、联结词
三、1.定义域对应关系值域
二、1.全称量词命题
2.定义域对应关系
2.存在量词命题
第二节函数的单调性与最大（小）值
三、存在量词命题全称量词命题
一、1.上升的下降的
第二章不等式
2.增函数或减函数区间D
第一节不等式的基本性质、
二、定义法（作差法或作商法）、图象法、函数的
基本不等式及其应用
运算性质、复合函数的“同增异减”、导数法
一、(1)>0(2)=0(3)<0
四、换元法、配方法、图象法、分离常数法、判别
二、(1)bc(3)>(4)ac>bc
式法、函数单调性
acb+d (6)ac-bd0
第三节函数的奇偶性与周期性
)日名
(8)a">b”(9)a>b
一、f(一x)=一f(x)定义域内任意一个x
三，1)生(2)vad(3d2+6≥2ab
f(-x)=f(x)
二、1.原点y轴
0生>、a66)最小值2v西
2.相同相反
3.和
(6)最大值ab≤（生）ab≤a+b)
4.0f(x)
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参考答案
平衡水中学状元笔记
三、非零f(x十T)=f(.x)存在一个最小
2.(1)y轴x轴原点(2)x=m
第四节幂函数
3.(1)A倍(2)
a
一、2.奇[0，十00)偶(-0∞，0)
第九节函数模型及其应用
(0,+∞)奇[0，十∞)[0，+∞)
一、2.增增增快慢yx
非奇非偶(0，十∞)(-∞，0)U(0,十∞)
第四章导数及其应用
(-∞，0)U(0,十∞)奇(-∞，0)
第一节导数的概念及运算
(0,+0∞)(1,1)
一、1.平均变化率
第五节指数与指数函数
2.导数
一、1.n次方根
3.导数f(x)y
2.根指数被开方数
4.切线的斜率y一f(xo)=f'(x)(x一xo)
3.aa
二、3.y'。·u'.y对uu对x
二、1.1≠
第二节
导数的应用（一）
2日
一、1.单调递增单调递减
2.常数函数
3.am5.0没有意义
第三节导数的应用（二）
三、1.a+2.a”
3.a'b"
一、极大值极小值极值极值点
四、R(0,十∞)(0,1)增函数减函数
二、f(x)>0f(x)<0f(x)0f(x)>0
第六节对数与对数函数
三、1.最大值最小值
一、1.对数1ogN底数真数
第五章三角函数（基本初等函数Ⅱ）、解三角形
2.(1)10lgN(2)elnN01
第一节弧度制及任意角的三角函数
3.台
一、1.旋转逆时针顺时针零角
4.(1)log M+log.N (2)log.M-log.N
2.非负半轴
(3)mlog.M”1ogM
3.坐标轴
n
5.(1)(2)0gb
1
二、1.半径长
log a
logia
四、cos a sina tan a
二、(0，十o∞)R(1,0)增函数
减函数
第五节正弦定理、余弦定理及其应用
第七节函数与方程
四、一解两解一解
一解无解
一、1.f(x)=0实数根交点的横坐标
第六节三角函数与解三角形模型的应用
2.有交点有零点零点函数y=f(x)
一、1.三角函数
二、f(a)·f(b)<0(a,b)(a,b)f(c)=0
2.周期函数拟合
第八节函数的图象及其应用
3.元
二、1.(1)y=f(x+a)右(2)y=f(x)+b
4.h。=htan0
二、1.上方下方