禽来中草扶无笔记当
第九章平面解析几何
高中·数学
第五节
抛物线
核心素养展示
课程内容要求
课程标准解读
1.了解圆锥曲线的实际背景，感受圆锥曲线在刻画现实
1,了解抛物线实际背景，掌握抛物线的定义
世界和解决实际问题中的作用
2.掌握抛物线标准方程
2.了解抛物线的定义，几何图形和标准方程及简单的几
3.掌握抛物线简单儿何性质及简单应用
何性质
4.直线与抛物线之间的关系
3.通过双曲线与方程的学习，进一步体会数形结合的
思想
核心素养养成
一抛物线的定义
名师点拨
平面内与一个定点F和一条定直线(F氏)距离相等的点的轨迹
求抛物线的标准方
叫做抛物线.点F叫做抛物线的焦点，直线！叫做抛物线的准线，
程的常用方法是待定系
数法或轨迹法，若抛物
②抛物线的标准方程及几何性质
线的开口不确定，为避
标准方程
y=2px
y=-2px
x'=2py
x'=-2py
免多种情况分类求解的
(p>0)
(p>0)】
(p>0)
(p>0)
麻烦，可以设抛物线方
程为y=m.x或x2=ny
(m≠0，n≠0).若>0，
图形
农
开口向右；若m<0,开
口向左.1有两解时，则
焦点
(-
(o,)
(0,-
抛物线的标准方程有两
2
个，对n>0与n<0,有
准线
x=-
类似的时论，
2
2
y=一
2
y=
范围
x≥0，y∈R
x0,y∈R
y≥0，x∈R
性
y≤0，x∈R
质
对称轴
x轴
y轴
顶点
原点O(0,0)
离心率
(e=1
开口
向右
向左
向上
向下
名师点拨
②焦半径
→抛物线的离心率e
利用抛物线的定义将抛物线上的点到焦点的距离转化为该点到
=1,体现了抛物线上的
点、到焦点、的距离等于该
准线的距离，即PF|
(焦点在x轴上)或|PF|=
点到准线的距离因此，
(焦点在y轴上)，其中点P(x,y)在抛物线上，点F为抛物线的焦点.
涉及抛物线的焦半径、
反之也成立，
焦点弦问题时，要看到
焦点弦
焦点、想准线（看到准线
想焦点)，优先考虑利用
设直线过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F,且与抛物线交于A,B
抛物线的定义，将其转
两点，则弦AB称为焦点弦，F( 0A(,B(xy),弦的中点
化为点、到准线的距离，
这样往往可以使问题简
M(xo,y),则有
单化.
310
第九章平面解析几何
平衡水中学状元笔记
=:
(2)y1y2=-p;
(3)弦长|AB=x1十x2十p,x1十x2≥2W/x1x2=p,当且仅当x1=
x2时，弦长最短为2p;
(4)弦长AB1=2史(a为直线AB的倾斜角)：
sin a
1
12
(5)FAIIFBIP
(6)以AB为直径的圆与准线相切；
(7)焦点F对点A,B在准线上的射影的张角为90°
核心素养提升
学习要点1抛物线的定义及标准方程)
例1(1)过点F(0,3)且和直线y十3=0相切的动圆圆心的轨迹
方程为
A.y2=12.x
B.y2=-12x
C.x2=-12y
D.x2=12y
2
(2)已知双曲线C:2
=1(a>0,b>0)的离心率为2，若抛物
名师点拨
→圆心到F点、的距
线C2:x2=2py(p>0)的焦点到双曲线C,的渐近线的距离为2，则抛物
离等于到定直线y十3
线C2的方程为
=0距离，其轨迹为抛
物线，定点F为焦点，
A.x2=83
B.x2=163
直线为准线：由双曲线
的离心率求渐近线方
C.x2=8y
D.x2=16y
程，再由点、到直线的距
解断(1)由抛物线的定义知，过，点F(0,3)且和直线y十3=0相切
离公式构建方程求解.
的动圆圆心的轨迹是以点F(0,3)为焦点，直线y=一3为准线的抛物
线，故其方程为x2=12y.故选D.
(2)因为-y
的。一方=1的离心率为2，所以=2，即二=a+6
=4,
a
b=、3.
r=p(≥0)的盘点生#为0，台)后-
=1的渐近线方程
为y=士x,即y=士3.由题意得
2
=2,所以p=8.故C2
a
1+(3)2
名师点拨
的方程为x2=16y.故选D.
【答案】(1)D
(2)D
→此题是将抛物线方
例2如图是抛物线形拱桥，当水面在1时，拱顶离水买
程的解法纳入到生活实
面2m,水面宽4m,当水下降1m后，水面宽为
,2
际问题的解决中的经典
苦陪
案例.最关键的一步就
解断建立如图所示的平面直角坐标系，设拱桥抛物
是判断开口方向，从而
线的方程为x2=一2py,因为拱顶离水面2m,水面宽4m,所以22
建立平面直角坐标系设
-2p·(一2)，得p=1.所以抛物线方程为x2=一2y,水面下降1m,则
点求解.
31参考答案
平衡水中学状元笔记
1.d a-d y=dx+(a-d)
三、1.矩形
直角三角形
直角梯形
2.单调递增单调递减常数列
2.矩形等腰三角形
等腰梯形圆
四、1.倒序相加法
四、1.直径球心
2.(1)an≥0a+1<0(2)an≤0a+1>0
2.垂直于d=vR-r
第三节等比数列及其前n项和
五、(1)90°90°(2)45°（或135）90°
一、比常数公比
(3)平行于(4)一半
二、等比数列等比中项ab士/ab
第二节空间几何体的表面积和体积
三、1.a1g-1
ang"-m
-、1.Ch
2.y-
3C
(C+C
2.2πrlπrlπ(r+r')l
四、na1,9=1
a(1-g)=a1-a.9,9≠1
3.侧面积两个底面积侧面积底面积
1-q
1-9
乘公比、错位相减
41
二1.5h35h3h(S+5S+S)
9-1
五、1.a。·ag=am·an
2.xrh
3h(r2+rr'+,)
2.gm3.9
三、1.4πR
第四节数列求和及其应用
一、1.等差数列、等比数列前n项和公式
2.把一个数列分成几个可以直接求和的
第三节平面的基本性质及推论
数列
一、1.不在一条直线
4.适用于一个等差数列和一个等比数列对
2.两点点在平面内直线在此平面内
应项相乘构成的数列求和
3.只有一条
1
二、1.1个交点0个交点0个交点
5.⑤FD
⑥C+1-CW
2.(1)不同在任何一个平面内的两条直线叫
二、1.a(1+xr)
做异面直线(3)已知两条异面直线a,b,经
2.a(1+r)
过空间任一点O作直线a'∥a,b'b,把a'与
3.N(1+p)
b所成的锐角（或直角）叫做异面直线α与b
第八章立体几何
互相垂直
第一节空间几何体的结构和直观图
所成的角（或夹角）(0,2】]
一、1.平行平行四边形平行
异面垂直
2.多边形三角形
三、同一条直线
3.平行于
四、相等或互补
二、1.平行四边形全等平行四边形矩形
第四节空间中的平行关系
2.等腰三角形直角三角形直角三角形
一、1.有无数个
直角三角形直角三角形
2.有且只有一个
427
禽来中草扶元笔当
参考答案
高中·数学
3.没有直线在平面外
9.(x2-x1,y2一y1,22一21）
二、1.一条直线一条直线
1(x2-x1)2十(y2-y1)+(z2-z1)9
ata,bCa,且a∥b→a∥a
四、1.平行2.Ap=ta
2.交线平行a∥a,aC3,a∩B=b→a∥b
五、1.向量a2.(4)无数
三、1.没有公共点
六、1.a∥ba=kb,k∈R且k≠0
2.有一条公共直线
2.a⊥ba·b=03.a⊥ua·u=0
四、1.(1)相交直线aC3,bCB,a∩b=P,a∥
4.a∥ua=ku,k∈R且k≠0
a,b∥a→3∥a
5.u∥vu=ky,k∈R且k≠0
2.(1)平行&∥B,a∩y=a,B∩y=b→a∥b
6.u⊥pu·v=09.0≤0≤π
(2)a∥3，aC&→a∥3(3)a∥3，l⊥a→l⊥3
第九章平面解析几何
第五节空间中的垂直关系
第一节直线与方程、两条直线的位置关系
一、直角
四、1.k1=k2且b1≠b2
二、l.直线l与平面a互相垂直l⊥a平面a的
2.k1·k2=-1
垂线直线（的垂面垂足距离
第二节圆的方程及圆与圆、直线与圆的位置关系
2.垂直
一、定点定长集合圆心半径
3.平行
二、1.(a,b)r2.(D2+E2-4F>0)
三、锐角[0°，90]
三、1.(xo-a)2+(-b)2=r2
四、1.两个半平面所组成的图形
2.垂直于棱[0，π]
2.(x-a)2+(-b)2>r
五、1.直二面角
3.(x-a)2+(-b)22.垂线
第三节椭圆
3.交线
-、2a(2a>|F1F2|)
第六节空间向量及其应用
第四节双曲线
一、(x,y,z)p=0十b十0基底基向量
一、(2a<|FF2)双曲线焦点焦距
二、1.两两垂直1
三、等轴双曲线充要垂直
2.x轴，y轴，之轴
第五节抛物线
3.右4.(x,y,z)(x,y,z)竖坐标
三、+多川+多
三、1.(1十x24十y2之1十22）
第六节直线与圆锥曲线的位置关系
2.(1一x24一y2名1一2）3.（λx1y121)
一、无一个两个
4.x1x2十y1y2十12
(1)①相交②相切③相离
5.a=bx1=x2y1=y2之1=入22
(2)平行或重合平行或重合
6.a·b=0x1x2十yy2十名122=0
xo
7.va…a1x+y+
三、
k=卫
a'yo a'yo
yo
428
