备水来中堂扶无笔记当
第九章平面解析几何
高中·数学
第四节
双曲线
核心素养展示
课程内容要求
课程标准解读
1.了解圆锥曲线的实际背景，感受圆锥曲线在刻画现实
1.了解双曲线实际背景，掌握双曲线的定义
世界和解决实际问题中的作用
2.掌握双曲线标准方程
2.经历从具体情境中抽象出双曲线的过程，了解双曲线
3.掌握双曲线简单几何性质及简单应用
的定义，几何图形和标准方程及简单的几何性质
4.直线与双曲线之间的关系
3.通过双曲线与方程的学习，进一步体会数形结合的
思想
核心素养养成
》】
一双曲线的定义
名师点拨
定义：平面内与两个定点F,F的距离的差的绝对值等于常数2a厂
→双曲线定义中一定
的点的轨迹叫做
.这两个定点叫做双曲线的
要注意2a<|F1F2|这
个条件，并且要与椭圆
两焦点间的距离叫做双曲线的
中的前提条件2a>
②双曲线的标准方程及几何性质
|FF2区分好.
焦点在x轴上
焦点在y轴上
F
图形
名师点拨
>双曲线中a,b,c的
标准方程
a
63
=1(a>0,b>0)
a
63
=1(a>0,b>0)
关系为c2=a2十b:这
与椭圆中4，b,c的关系
范围
x≥a或x-a,y∈R
y≥a或y≤-a,x∈R
c2=a2一b2很相似，很
中心
原点O(0,0)
容易记混，一定妻区
分好.
顶点
A1(-a,0),A2(a,0)
A1(0,-a),A2(0,a)
对称轴
x轴，y轴
焦点
F1(-c,0),Fz(c,0)
F1(0,-c),F2(0,c)
焦距
2c=2a2+b
名师点拨、
离心率
e=e(e>1)
→求双曲线斩近线
a
程时一定要注意焦点、所
渐近线
y=±
y=±8x
在位置.求离心车时，要
方程
注意其范围为(1，十∞).
302
第九章平面解析几何
平衡水中学状元笔记
②等轴双曲线
名师点拨
实轴和虚轴相等的双曲线叫做
,“离心率e=2”是“双
e=√2台等轴双
曲线，
曲线为等轴双曲线”的
条件，且等轴双曲线的两条渐近线互相
一般可设其方程为x2一y=入（入≠0）.
核心素养提升
》》】
学习要点1双曲线的概念的应用
例1已知圆C:(x十3)2+y2=1和圆C2:(x-3)2十y2=9,动圆M
同时与圆C及圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为
解斯如图所示，设动圆M与圆C1及圆C2分
名师点拨
别外切于点A和点B.根据两圆外切的条件，有
→利用双曲线的定义
解决问题时应注意三点、：
|MC2|-|MC|=|BC2|-AC1|=2,所以点M
①距离之差的绝对值：
到两定点C1、C2的距离的差是常数且小于|CC2
②2a<|FF2|:③焦点、所
一6.又根据双曲线的定义，得动点M的轨迹为双
在坐标抽的位置
曲线的左支，其中a=1,c=3,则6=8.故点M的轨迹方程为x2一
8
1(x≤-1).
【答案】x2-
8
=1(x≤-1)
例2（多选）已知A、B两点的坐标分别是（一1,0），(1,0)，直线
AP、BP相交于点P,且两直线的斜率之积为m,则下列结论正确的是
A.当m=一1时，点P的轨迹为圆（除去与x轴的交点）
B.当一1状元笔记
x轴的交点)
→交轨，消参，注意
抠点、
C.当0D.当m>1时，点P的轨迹为焦点在x轴上的双曲线（除去与x
轴的交点)
愿圈设P的坐标为，直线AP的斜率为如一红≠一I),
m=之≠1.由已知得十×之=mx≠士1D,化简得点P的轨
迹方程为x2十y=1(x≠士1)，当m=-1时，方程为x十y=1(x≠士
-m
1),表示圆，A正确；当-1圆，B正确；当0错误；当m>1时，方程为x2十y=1(x≠士1)，表示双曲线，D正确。
m
【答案】ABD
303参考答案
平衡水中学状元笔记
1.d a-d y=dx+(a-d)
三、1.矩形
直角三角形
直角梯形
2.单调递增单调递减常数列
2.矩形等腰三角形
等腰梯形圆
四、1.倒序相加法
四、1.直径球心
2.(1)an≥0a+1<0(2)an≤0a+1>0
2.垂直于d=vR-r
第三节等比数列及其前n项和
五、(1)90°90°(2)45°（或135）90°
一、比常数公比
(3)平行于(4)一半
二、等比数列等比中项ab士/ab
第二节空间几何体的表面积和体积
三、1.a1g-1
ang"-m
-、1.Ch
2.y-
3C
(C+C
2.2πrlπrlπ(r+r')l
四、na1,9=1
a(1-g)=a1-a.9,9≠1
3.侧面积两个底面积侧面积底面积
1-q
1-9
乘公比、错位相减
41
二1.5h35h3h(S+5S+S)
9-1
五、1.a。·ag=am·an
2.xrh
3h(r2+rr'+,)
2.gm3.9
三、1.4πR
第四节数列求和及其应用
一、1.等差数列、等比数列前n项和公式
2.把一个数列分成几个可以直接求和的
第三节平面的基本性质及推论
数列
一、1.不在一条直线
4.适用于一个等差数列和一个等比数列对
2.两点点在平面内直线在此平面内
应项相乘构成的数列求和
3.只有一条
1
二、1.1个交点0个交点0个交点
5.⑤FD
⑥C+1-CW
2.(1)不同在任何一个平面内的两条直线叫
二、1.a(1+xr)
做异面直线(3)已知两条异面直线a,b,经
2.a(1+r)
过空间任一点O作直线a'∥a,b'b,把a'与
3.N(1+p)
b所成的锐角（或直角）叫做异面直线α与b
第八章立体几何
互相垂直
第一节空间几何体的结构和直观图
所成的角（或夹角）(0,2】]
一、1.平行平行四边形平行
异面垂直
2.多边形三角形
三、同一条直线
3.平行于
四、相等或互补
二、1.平行四边形全等平行四边形矩形
第四节空间中的平行关系
2.等腰三角形直角三角形直角三角形
一、1.有无数个
直角三角形直角三角形
2.有且只有一个
427
禽来中草扶元笔当
参考答案
高中·数学
3.没有直线在平面外
9.(x2-x1,y2一y1,22一21）
二、1.一条直线一条直线
1(x2-x1)2十(y2-y1)+(z2-z1)9
ata,bCa,且a∥b→a∥a
四、1.平行2.Ap=ta
2.交线平行a∥a,aC3,a∩B=b→a∥b
五、1.向量a2.(4)无数
三、1.没有公共点
六、1.a∥ba=kb,k∈R且k≠0
2.有一条公共直线
2.a⊥ba·b=03.a⊥ua·u=0
四、1.(1)相交直线aC3,bCB,a∩b=P,a∥
4.a∥ua=ku,k∈R且k≠0
a,b∥a→3∥a
5.u∥vu=ky,k∈R且k≠0
2.(1)平行&∥B,a∩y=a,B∩y=b→a∥b
6.u⊥pu·v=09.0≤0≤π
(2)a∥3，aC&→a∥3(3)a∥3，l⊥a→l⊥3
第九章平面解析几何
第五节空间中的垂直关系
第一节直线与方程、两条直线的位置关系
一、直角
四、1.k1=k2且b1≠b2
二、l.直线l与平面a互相垂直l⊥a平面a的
2.k1·k2=-1
垂线直线（的垂面垂足距离
第二节圆的方程及圆与圆、直线与圆的位置关系
2.垂直
一、定点定长集合圆心半径
3.平行
二、1.(a,b)r2.(D2+E2-4F>0)
三、锐角[0°，90]
三、1.(xo-a)2+(-b)2=r2
四、1.两个半平面所组成的图形
2.垂直于棱[0，π]
2.(x-a)2+(-b)2>r
五、1.直二面角
3.(x-a)2+(-b)22.垂线
第三节椭圆
3.交线
-、2a(2a>|F1F2|)
第六节空间向量及其应用
第四节双曲线
一、(x,y,z)p=0十b十0基底基向量
一、(2a<|FF2)双曲线焦点焦距
二、1.两两垂直1
三、等轴双曲线充要垂直
2.x轴，y轴，之轴
第五节抛物线
3.右4.(x,y,z)(x,y,z)竖坐标
三、+多川+多
三、1.(1十x24十y2之1十22）
第六节直线与圆锥曲线的位置关系
2.(1一x24一y2名1一2）3.（λx1y121)
一、无一个两个
4.x1x2十y1y2十12
(1)①相交②相切③相离
5.a=bx1=x2y1=y2之1=入22
(2)平行或重合平行或重合
6.a·b=0x1x2十yy2十名122=0
xo
7.va…a1x+y+
三、
k=卫
a'yo a'yo
yo
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