禽中学扶笔
参考答案
高中·数学
参考答案
第一章集合与常用逻辑
(7)√/ab
a+b
第一节集合的概念及运算
一、1.确定性无序性
第二节二次函数与一元二次方程、不等式
2.属于不属于∈
一、1.一个2ax2+bx+c>0(≥0)
3.列举法、描述法、特定记号法
a.x2+bx+c<0(≤0)
二、1.(1){xx∈A且x∈B)
三、2.f(x)g(x)>0f(x)g(x)<0
{xx∈A或x∈B}{xx∈U但x任A}
f(x)g(x)≥0g(x)≠0f(x)g(x)0
2.(1)二三A0=
(2)22
g(x)≠0
AA=
(3)A0U0U
四、1.-cax十b≤cax十b≥c或ax十b-c
3.A∩B=ACA2CcB
第三章函数的概念、基本初等函数（⑩及函数的应用
第二节充分条件与必要条件
第一节函数及其表示
一、任意一个数x唯一确定的数函数自变
一、判断真假真（假）
二、1.充分条件必要条件
量定义域函数值值域
二、1.数学表达式
2.p→qq→p
2.图象
第三节全称量词与存在量词
3.列出表格
一、联结词
三、1.定义域对应关系值域
二、1.全称量词命题
2.定义域对应关系
2.存在量词命题
第二节函数的单调性与最大（小）值
三、存在量词命题全称量词命题
一、1.上升的下降的
第二章不等式
2.增函数或减函数区间D
第一节不等式的基本性质、
二、定义法（作差法或作商法）、图象法、函数的
基本不等式及其应用
运算性质、复合函数的“同增异减”、导数法
一、(1)>0(2)=0(3)<0
四、换元法、配方法、图象法、分离常数法、判别
二、(1)b
c(3)>(4)ac>bc
式法、函数单调性
acb+d (6)ac-bd0
第三节函数的奇偶性与周期性
)日名
(8)a">b”(9)a>b
一、f(一x)=一f(x)定义域内任意一个x
三，1)生(2)vad(3d2+6≥2ab
f(-x)=f(x)
二、1.原点y轴
0生>、a66)最小值2v西
2.相同相反
3.和
(6)最大值ab≤（生）ab≤a+b)
4.0f(x)
424
参考答案
平衡水中学状元笔记
三、非零f(x十T)=f(.x)存在一个最小
2.(1)y轴x轴原点(2)x=m
第四节幂函数
3.(1)A倍(2)
a
一、2.奇[0，十00)偶(-0∞，0)
第九节函数模型及其应用
(0,+∞)奇[0，十∞)[0，+∞)
一、2.增增增快慢yx
非奇非偶(0，十∞)(-∞，0)U(0,十∞)
第四章导数及其应用
(-∞，0)U(0,十∞)奇(-∞，0)
第一节导数的概念及运算
(0,+0∞)(1,1)
一、1.平均变化率
第五节指数与指数函数
2.导数
一、1.n次方根
3.导数f(x)y
2.根指数被开方数
4.切线的斜率y一f(xo)=f'(x)(x一xo)
3.aa
二、3.y'。·u'.y对uu对x
二、1.1≠
第二节
导数的应用（一）
2日
一、1.单调递增单调递减
2.常数函数
3.am5.0没有意义
第三节导数的应用（二）
三、1.a+2.a”
3.a'b"
一、极大值极小值极值极值点
四、R(0,十∞)(0,1)增函数减函数
二、f(x)>0f(x)<0f(x)0f(x)>0
第六节对数与对数函数
三、1.最大值最小值
一、1.对数1ogN底数真数
第五章三角函数（基本初等函数Ⅱ）、解三角形
2.(1)10lgN(2)elnN01
第一节弧度制及任意角的三角函数
3.台
一、1.旋转逆时针顺时针零角
4.(1)log M+log.N (2)log.M-log.N
2.非负半轴
(3)mlog.M”1ogM
3.坐标轴
n
5.(1)(2)0gb
1
二、1.半径长
log a
logia
四、cos a sina tan a
二、(0，十o∞)R(1,0)增函数
减函数
第五节正弦定理、余弦定理及其应用
第七节函数与方程
四、一解两解一解
一解无解
一、1.f(x)=0实数根交点的横坐标
第六节三角函数与解三角形模型的应用
2.有交点有零点零点函数y=f(x)
一、1.三角函数
二、f(a)·f(b)<0(a,b)(a,b)f(c)=0
2.周期函数拟合
第八节函数的图象及其应用
3.元
二、1.(1)y=f(x+a)右(2)y=f(x)+b
4.h。=htan0
二、1.上方下方第六章平面向量与复数
平衡水中学状元笔记
第三节
平面向量的数量积
/核心素养展示
课程内容要求
课程标准解读
1.通过物理中功等实例，理解平面向量数量积的概念及其物理意义，
1.理解平面向量数量积的概念
会计算平面向量的数量积
2.掌握数量积判断向量垂直的
2.通过几何直观，了解平面向量投影的概念以及投影向量的意义
关系
3.会用数量积判断两个平面向量的垂直关系
3.掌握会表示向量的夹角
4.能用坐标表示平面向量的数量积，会表示两个平面向量的夹角
了核心素养养成
》》
平面向量的数量积
1.向量数量积的定义：已知两个向量a,b,它们的夹角为0，我
们把
叫做a和b的数量积（或内积或点积），记作，即
显然，a·0=0,acos|bcos0)叫做a在b方向上(b在
a方向上)的投影.
名师点拨
2.a·b的几何意义：数量积a·b等于a的模(a)与b在a方向
向量数量积的运
上的投影
的乘积.
算律：
①a·b=b·a:
②向量数量积的性质
②(aa)·b=λ(a·b)=
设a,b都是非零向量，e是与b方向相同的单位向量，0是a与e的
a·(入b)(A∈R):
夹角，则：①a·e=
;②a⊥b台
;③当a,b同向时，a·b
③(a+b)·c=a·c
=；当a,b反向时，a·b=
.特别地，a·a=a2=a2或
+b·c.
a=;④|a·b|≤|a||b|(当且仅当a,b共线时取等号)：
常见的结论：
⑤cos0=
a6:⑥a在b方向上的投影为acos0=a:b
a·b
(a士b)2=a2士2a·b+
b·
b2:(a+b)(a-b)=a
三向量数量积的坐标表示
-b2:
设a=(x1y1),b=(x2,y2),则：
(a十ub)2+(a-b)2
=(λ2+)(1a12
①a·b=
;②a2=
；a=
;③a⊥b台
+1b12):
(λa十b)2-(a-b)2=
④x1x2十y1y2≤
(当且仅当a,b共线，即x1y2
4入ua·b(入，u∈R).
x2y1=0时取等号)（许瓦兹不等式）；⑤c0s0=
核心素养提升
》》】
学习要点1平面向量的数量积的概念)
例（衡中学案）给出下列说法：
①向量b在向量a方向上的投影是向量.
②若a·b>0,则a和b的夹角为锐角；若a·b<0,则a和b的夹
角为钝角.
③若a,b共线，则a·b=ab.
181
斋来中学扶元笔记当
第六章平面向量与复数
。高中·数学
④(a·b)c=a(b·c).
名师点拨
⑤若a·b=0,则a=0或b=0,若a=b,则a=b或a=-b
→①向量的数量积和
⑥在△ABC中，若AB·BC<0,则△ABC为钝角三角形
向量的投影都是数量·
其中说法错误的是
.(填序号)
②a·b>0是两个
向量的夹角为锐角的必
屏断①错误：因为向量b在向量a方向上的投影是|bc0s0,其中0
要而不充分条件：a·b
为向量a与b的夹角，所以向量b在向量a方向上的投影是数量，②错
<0是两个向量的夹角
误：若a·b>0,则a和b的夹角为锐角或零度角：若a·b0,则a和b
为钝角的必要而不充分
的夹角为钝角或平角.③错误：若a,b共线，则a·b=士ab.④错
条件.
误：设向量a,b和b,c的夹角分别为a,B,则向量(a·b)c表示模为
③确定两向量的夹
角时，注意要通过平移
|(a·b)c|=ab||c|cosa,且与向量c共线的向量，而向量a(b·
使它们的起点相同，
c)表示模为a(b·c)|=albccos,且与向量a共线的向量，所
①注意向量夹角的
以(a·b)c和a(b·c)不一定相等.⑤错误：若a·b=0,则当a,b都是
范围是[0°，180]，两直
非零向量时，有a⊥b;当a,b不都是非零向量时，有a=0或b=0;若a
线夹角的范围是[0°，
=b,即a2=b2,则|a=b,方向无法确定.⑥错误：在△ABC中，
90门，三角形一个内角
若AB·BC<0,则|AB1|BC|cOs(π-B)<0,所以cos(π-B)<0,即
的范围是(0°，180).
c0sB>0,又因为0角形
【答案】①②③④⑤⑥
例2(1)(2017·山东卷)已知e1,e2是互相垂直的单位向量.若
w3e1一e2与e1十λe:的夹角为60°，则实数A的值是
(2)已知向量|a=3,b=5,a·b=-5,且e是与b方向相同的
单位向量，则a在b上的投影向量为
【名师导析】本题的核心问题是平面向量数量积的运算及应用，
名师点拨
涉及的核心内容有单位向量的概念、向量的垂直、向量的模、夹角的运
→平面向量的夹角与
模的问题是高考中的常
算，由题意易知e1|=|e2|=1,e1·e2=0,平面向量模的运算通常会转
考内容，在解答本题时
化为数量积的运算.
要注意以下几个问题：
僻(1)|√3e1-e2|=y(V3e1-ez)2=v3ei-23e1·e2十e吃=
①单位向量的模是什
么、？②平面向量的要
w3-0+1=2,同理e1十Ae2|=11+.
直如何转化为教量积的
利用平面向量夫角运算公式有cos60°=13，一e)·(e十Ae2)
运算？③平面向量的
3e1-e2e1+ae2
模如何运算？④平面
向量的夹角如何运算？
=3ei十(W3入-1）e1e—λe=8A=2,解得=3.
21十λ2
21+λ2
(2)由题意得a在b上的授影为acos(a,b)=a:b
,所以a在b
上的授影向量为：b.
TbT·e=-e.
【答案】(1)尽
(2)-e
学习要点2数量积的坐标运算
例3如图，在等腰梯形ABCD中，AB=2,CD
4,BC=5,点E,F分别为AD,BC的中点，P为等腰梯
形ABCD所在平面上的一点，则PA·(P+P)的最
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