商来中学扶笔
第七章数列
高中·数学
第三节
等比数列及其前项和
/核心素养展示
课程内容要求
课程标准解读
1.理解等比数列的概念和通项
1.通过生活中的实例，理解等比数列的概念和通项公式的意义
公式
2.探索并掌握等比数列的前n项和公式，理解等比数列的通项公式
2.理解等比数列的前n项和公式
与前n项和公式的关系
3.体会等比数列与指数函数的
3.能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，并解决相应的问题
关系
4.体会等比数列与指数函数的关系
核心素养养成
等比数列的定义
般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的等于
名师点拨
→作比，各项不为
同一，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的
零，比值为常数.
,通常用字母q表示(q≠0).
②等比中项
如果在a与b中间插人一个数G,使a,G,b成
,那么G叫
做a与b的
,且G=或G=
,开方有正负，不要去解.
②等比数列的通项公式
1.若{an}是等比数列，则通项an=
或an=
2.an=a1g”-1可变形为an=Ag”,点(n,an)是曲线
上一群
孤立的点，
等比数列的前项和公式
在等比数列{an}中，S.
求和
名师点拨
公式的推导方法是：
,为解题的方便，有时可将求和
→等比数列前n项和
公式变形为S.=Mg”一M(q≠1)，其中M=
且q≠0，q≠1.
公式在推导时按q=
1,q≠1分类讨论，求
等比数列的性质
和方法是错位相减，
1.在等比数列中，若p十g=m十n,则
;若2m=p十q,
则(am)2=a。·a（p,q,m,n∈N).
2.在等比数列中，按顺序等距离取出若干项，也构成一个等比数
列，即an,am+m,an+2m,…仍为等比数列，公比为_
3.公比不为一1的等比数列前n项和为Sn(S.≠0)，则S,S2m
S,Sm一Sm,…构成等比数列，且公比为·q≠一1是应用前提.
214
第七章数列
衡水中学状元笔记
自核心素养提升
》》】
学习要点1等比数列的基本量运算)
例1（衡中学案）(1)已知等比数列{a}满足a1=3,a1十a3十a5
=21,则a3十a5十a2=
A.21
B.42
C.63
D.84
(2)(河南开封模拟)正项等比数列{a.〉中，a2=4,a4=16,则数列
{a.}的前9项和等于
(3)在数列{an}中，a1=2,a+1=2an,S.为{an}的前n项和.若S
=126,则n=
状元笔记
鲜(1).a1=3,a1十a3十as=21,∴.3+3g+3q=21.
→此题考查等比数列
通项公式与前项和公
.1十g十g=7,解得q=2或g2=一3（舍去）
式，直接用a1与q表
ag十a十a,=q(a1十ag十a5)=2X21=42.故选B.
示即可解决，
②{a,为正项等比数列g-0==4g2,a,=2
s,=a,1-9）-21-2）=2°-2=102.
1-9
1-2
(3),a1=2,an+1=2am,∴.数列{an}是首项为2，公比为2的等比
数列.
又S=126,.21-2）=126.n=6.
1-2
【答案】(1)B(2)1022(3)6
例2（衡中学案）《九章算术》第三章“衰分”介绍比例分配问题：
名师点拨
“衰分”是绥比例递减分配的意思，通常称递减的比例（百分比）为“衰
→按比例递减解读为
分”.如：甲、乙、丙、丁“哀”得100,60,36,21.6个单位，递减的比例为
构成等比数列，知第三
项，二、四项和求公比
40%,今共有粮m(m>0)石，按甲、乙、丙、丁的顺序进行“衰分”，已知
儒要构建方程，属于基
丙衰分得80石，乙、丁衰分所得的和为164石，则“衰分比”与m的值
本量求解问题.
分别为
(
A.20%369
B.80%369
C.40%360D.60%365
解断设甲、乙、丙、丁为a1,a2,a,a4,“衰分比”为a,则公比为1
ra1(1-a)2=80,
a1=125,
a,由题意得a1(1-a)十a1(1-a)3=164,解得a=20%,【答案】A
a1十a2十a3十a1=m:
m=369.
学习要点2等比数列的性质
例3(1)在等比数列{an}中，若ag,a1s是方程x2一6x十8=0的根，
则41a1
()
A.2√2
B.2
C.1
D.-2
(2)已知等比数列{an}的前n项和为Sm,若S1o=20,So=60,则
S30=
215参考答案
平衡水中学状元笔记
1.d a-d y=dx+(a-d)
三、1.矩形
直角三角形
直角梯形
2.单调递增单调递减常数列
2.矩形等腰三角形
等腰梯形圆
四、1.倒序相加法
四、1.直径球心
2.(1)an≥0a+1<0(2)an≤0a+1>0
2.垂直于d=vR-r
第三节等比数列及其前n项和
五、(1)90°90°(2)45°（或135）90°
一、比常数公比
(3)平行于(4)一半
二、等比数列等比中项ab士/ab
第二节空间几何体的表面积和体积
三、1.a1g-1
ang"-m
-、1.Ch
2.y-
3C
(C+C
2.2πrlπrlπ(r+r')l
四、na1,9=1
a(1-g)=a1-a.9,9≠1
3.侧面积两个底面积侧面积底面积
1-q
1-9
乘公比、错位相减
41
二1.5h35h3h(S+5S+S)
9-1
五、1.a。·ag=am·an
2.xrh
3h(r2+rr'+,)
2.gm3.9
三、1.4πR
第四节数列求和及其应用
一、1.等差数列、等比数列前n项和公式
2.把一个数列分成几个可以直接求和的
第三节平面的基本性质及推论
数列
一、1.不在一条直线
4.适用于一个等差数列和一个等比数列对
2.两点点在平面内直线在此平面内
应项相乘构成的数列求和
3.只有一条
1
二、1.1个交点0个交点0个交点
5.⑤FD
⑥C+1-CW
2.(1)不同在任何一个平面内的两条直线叫
二、1.a(1+xr)
做异面直线(3)已知两条异面直线a,b,经
2.a(1+r)
过空间任一点O作直线a'∥a,b'b,把a'与
3.N(1+p)
b所成的锐角（或直角）叫做异面直线α与b
第八章立体几何
互相垂直
第一节空间几何体的结构和直观图
所成的角（或夹角）(0,2】]
一、1.平行平行四边形平行
异面垂直
2.多边形三角形
三、同一条直线
3.平行于
四、相等或互补
二、1.平行四边形全等平行四边形矩形
第四节空间中的平行关系
2.等腰三角形直角三角形直角三角形
一、1.有无数个
直角三角形直角三角形
2.有且只有一个
427
禽来中草扶元笔当
参考答案
高中·数学
3.没有直线在平面外
9.(x2-x1,y2一y1,22一21）
二、1.一条直线一条直线
1(x2-x1)2十(y2-y1)+(z2-z1)9
ata,bCa,且a∥b→a∥a
四、1.平行2.Ap=ta
2.交线平行a∥a,aC3,a∩B=b→a∥b
五、1.向量a2.(4)无数
三、1.没有公共点
六、1.a∥ba=kb,k∈R且k≠0
2.有一条公共直线
2.a⊥ba·b=03.a⊥ua·u=0
四、1.(1)相交直线aC3,bCB,a∩b=P,a∥
4.a∥ua=ku,k∈R且k≠0
a,b∥a→3∥a
5.u∥vu=ky,k∈R且k≠0
2.(1)平行&∥B,a∩y=a,B∩y=b→a∥b
6.u⊥pu·v=09.0≤0≤π
(2)a∥3，aC&→a∥3(3)a∥3，l⊥a→l⊥3
第九章平面解析几何
第五节空间中的垂直关系
第一节直线与方程、两条直线的位置关系
一、直角
四、1.k1=k2且b1≠b2
二、l.直线l与平面a互相垂直l⊥a平面a的
2.k1·k2=-1
垂线直线（的垂面垂足距离
第二节圆的方程及圆与圆、直线与圆的位置关系
2.垂直
一、定点定长集合圆心半径
3.平行
二、1.(a,b)r2.(D2+E2-4F>0)
三、锐角[0°，90]
三、1.(xo-a)2+(-b)2=r2
四、1.两个半平面所组成的图形
2.垂直于棱[0，π]
2.(x-a)2+(-b)2>r
五、1.直二面角
3.(x-a)2+(-b)22.垂线
第三节椭圆
3.交线
-、2a(2a>|F1F2|)
第六节空间向量及其应用
第四节双曲线
一、(x,y,z)p=0十b十0基底基向量
一、(2a<|FF2)双曲线焦点焦距
二、1.两两垂直1
三、等轴双曲线充要垂直
2.x轴，y轴，之轴
第五节抛物线
3.右4.(x,y,z)(x,y,z)竖坐标
三、+多川+多
三、1.(1十x24十y2之1十22）
第六节直线与圆锥曲线的位置关系
2.(1一x24一y2名1一2）3.（λx1y121)
一、无一个两个
4.x1x2十y1y2十12
(1)①相交②相切③相离
5.a=bx1=x2y1=y2之1=入22
(2)平行或重合平行或重合
6.a·b=0x1x2十yy2十名122=0
xo
7.va…a1x+y+
三、
k=卫
a'yo a'yo
yo
428
