第七章数列
平衡水中学状元笔记
第四节
数列求和及其应用
/核心素养展示
课程内容要求
课程标准解读
1.数列是可以用来刻画现实世界中一类具有递推规律事
1.理解数列求和的方法
物的数学模型
2.运用数列知识解决实际问题
2.能够运用数列解决简单的实际问题
核心素养养成
一数列求和的方法
1.公式法：
2.分组求和：
3.倒序相加：如等差数列前项和公式的推导方法.
名师点拔
①通过典例总结不
4.错位相减：
同通项求和的方法，这
,等比数列{a.〉前n项和公式的推导方法就采用了错位相
是一种构建模型解决问
减法.
题的方法，也可理解为
5.裂项相消：有时把一个数列的通项公式分成二项差的形式，相
数列是解决问题的重要
加消去中间项，只剩有限项再求和.
模型，这种模型通过通
项识别；②求和一般是
常见的裂项公式：
无限项求和，我们要么
①
111
代入公式（公式法），要
(n+1)nn+1
么化无限项为有限项，
11
②2m-1)(2m+D-2(2m12m+)
如裂项相消法，③错位
相减其实是把求和问题
1r1
③m+17(m+2)=2[n(m+iD(n+1D(m+2]:
转化为等比数列求和问
题·
④1
1
va十6a-6va-b:
⑤(n+1)1
⑥Cm-1=
⑦n·n！=(n+1)！-n！:
⑧an=Sn-Sn-1(n≥2).
②数列应用题常见模型
1.单利公式：利息按单利计算，本金为α元，每期利率为r,存期为
x,则本利和y=
2.复利公式：利息按复利计算，本金为α元，每期利率为r,存期为
x,则本利和y=
3.产值模型：原来产值的基础数为N,平均增长率为p,对于时间
x,总产值y=
4.递推型：递推型有an+1=f(an)与Sn+1=f(Sn)两类，
221
备水中草扶元笔记凸
第七章数列
高中·数学
5.数列与其他知识综合：主要有数列与不等式、数列与三角函数、
数列与解析几何等
核心素养提升
》》】
学习要点1数列的求和
例1已知数列{an}的前n项和为Sm,n∈N·,从条件①、条件②
名师点拨
和条件③中选择两个作为已知，并完成解答.
→(1)不能选择①
③，因为不能确定
(1)求数列{an}的通项公式；
{am},若选择①②作为
(2)设等比数列{bn}满足b2=a4,b3=a ,求数列{am十bn}的前n项
已知条件，根据等差数
和T
列的定义，可得公差
d,代入公式即可求得
条件①：a1=一3；条件②：a+1一an=2;条件③：S2=一4.
答案；
解断（不能选择①③作为已知条件）
若选择②③作为已
若选择①②作为已知条件.
知条件，根据等差数列
的定义，可得公差d=
因为a1=一3，a+1一an=2,
2,根据a1十a2=一4，
所以数列{an}是以a1=一3为首项，公差d=2的等差数列.
即可求得a1,代入公式
印可求得答案：
所以am=2n一5.
(2)根据题干条
若选择②③作为已知条件.
件，结合(1)可求得
因为am+1一an=2,
b2,b:的值，代入公
式，即可求导b、q,
所以数列{am}是以a1为首项，公差为d=2的等差数列.
进而可得bm,根据分组
因为S2=一4，
求和法，结合等差、等
所以2a1十d=一4，解得a1=一3.
比的求和公式，即可得
答亲.
所以an=2n一5.
(2)设等比数列{bm}的公比为q,结合(1)可得b2=a4=3,b:=a7
=9,
所以g会-3所以-9-号=1
所以等比数列{bn}的通项公式为bn=b1g”-1=3”-1
所以am十b.=(2n-5)十3"-1.
状元笔记
①递推是数列汁算
所以Tn=(a1十b1)十(a2十b2)+…十(am十bn)=(a1十a2+…十an)
中常用的算法，通常是汁
+(b1+b2+…+bn)
算前面的一些项得出数
=[-3+(-1)+…+(2n-5)]+(1+3+…+3-1)=
列中的项，部分也可倒
推；②递推运算是一种用
n×[-3+(2n-5)]+1-3"
2
+1二g=-4m+号(3-10.
若干步可重复运算来描
述复絮问题：③自然数良
【答案】(1Da,=2n-5(2)T.=m2-4n+(3-1)
好的顺序性决定了数列
是良好的递推模型，在求
例2(1)设数列1，(1十2)，…，(1十2十22十…十2"-)，…的前n
通项，特定项求和等问题
上都有涉及；④突际问题
项和为S。,则S等于
重点、在于转化构建出数
A.2
B.2"-n
C.2+1-nD.2+1-n-2
列模型.
222参考答案
平衡水中学状元笔记
1.d a-d y=dx+(a-d)
三、1.矩形
直角三角形
直角梯形
2.单调递增单调递减常数列
2.矩形等腰三角形
等腰梯形圆
四、1.倒序相加法
四、1.直径球心
2.(1)an≥0a+1<0(2)an≤0a+1>0
2.垂直于d=vR-r
第三节等比数列及其前n项和
五、(1)90°90°(2)45°（或135）90°
一、比常数公比
(3)平行于(4)一半
二、等比数列等比中项ab士/ab
第二节空间几何体的表面积和体积
三、1.a1g-1
ang"-m
-、1.Ch
2.y-
3C
(C+C
2.2πrlπrlπ(r+r')l
四、na1,9=1
a(1-g)=a1-a.9,9≠1
3.侧面积两个底面积侧面积底面积
1-q
1-9
乘公比、错位相减
41
二1.5h35h3h(S+5S+S)
9-1
五、1.a。·ag=am·an
2.xrh
3h(r2+rr'+,)
2.gm3.9
三、1.4πR
第四节数列求和及其应用
一、1.等差数列、等比数列前n项和公式
2.把一个数列分成几个可以直接求和的
第三节平面的基本性质及推论
数列
一、1.不在一条直线
4.适用于一个等差数列和一个等比数列对
2.两点点在平面内直线在此平面内
应项相乘构成的数列求和
3.只有一条
1
二、1.1个交点0个交点0个交点
5.⑤FD
⑥C+1-CW
2.(1)不同在任何一个平面内的两条直线叫
二、1.a(1+xr)
做异面直线(3)已知两条异面直线a,b,经
2.a(1+r)
过空间任一点O作直线a'∥a,b'b,把a'与
3.N(1+p)
b所成的锐角（或直角）叫做异面直线α与b
第八章立体几何
互相垂直
第一节空间几何体的结构和直观图
所成的角（或夹角）(0,2】]
一、1.平行平行四边形平行
异面垂直
2.多边形三角形
三、同一条直线
3.平行于
四、相等或互补
二、1.平行四边形全等平行四边形矩形
第四节空间中的平行关系
2.等腰三角形直角三角形直角三角形
一、1.有无数个
直角三角形直角三角形
2.有且只有一个
427
禽来中草扶元笔当
参考答案
高中·数学
3.没有直线在平面外
9.(x2-x1,y2一y1,22一21）
二、1.一条直线一条直线
1(x2-x1)2十(y2-y1)+(z2-z1)9
ata,bCa,且a∥b→a∥a
四、1.平行2.Ap=ta
2.交线平行a∥a,aC3,a∩B=b→a∥b
五、1.向量a2.(4)无数
三、1.没有公共点
六、1.a∥ba=kb,k∈R且k≠0
2.有一条公共直线
2.a⊥ba·b=03.a⊥ua·u=0
四、1.(1)相交直线aC3,bCB,a∩b=P,a∥
4.a∥ua=ku,k∈R且k≠0
a,b∥a→3∥a
5.u∥vu=ky,k∈R且k≠0
2.(1)平行&∥B,a∩y=a,B∩y=b→a∥b
6.u⊥pu·v=09.0≤0≤π
(2)a∥3，aC&→a∥3(3)a∥3，l⊥a→l⊥3
第九章平面解析几何
第五节空间中的垂直关系
第一节直线与方程、两条直线的位置关系
一、直角
四、1.k1=k2且b1≠b2
二、l.直线l与平面a互相垂直l⊥a平面a的
2.k1·k2=-1
垂线直线（的垂面垂足距离
第二节圆的方程及圆与圆、直线与圆的位置关系
2.垂直
一、定点定长集合圆心半径
3.平行
二、1.(a,b)r2.(D2+E2-4F>0)
三、锐角[0°，90]
三、1.(xo-a)2+(-b)2=r2
四、1.两个半平面所组成的图形
2.垂直于棱[0，π]
2.(x-a)2+(-b)2>r
五、1.直二面角
3.(x-a)2+(-b)22.垂线
第三节椭圆
3.交线
-、2a(2a>|F1F2|)
第六节空间向量及其应用
第四节双曲线
一、(x,y,z)p=0十b十0基底基向量
一、(2a<|FF2)双曲线焦点焦距
二、1.两两垂直1
三、等轴双曲线充要垂直
2.x轴，y轴，之轴
第五节抛物线
3.右4.(x,y,z)(x,y,z)竖坐标
三、+多川+多
三、1.(1十x24十y2之1十22）
第六节直线与圆锥曲线的位置关系
2.(1一x24一y2名1一2）3.（λx1y121)
一、无一个两个
4.x1x2十y1y2十12
(1)①相交②相切③相离
5.a=bx1=x2y1=y2之1=入22
(2)平行或重合平行或重合
6.a·b=0x1x2十yy2十名122=0
xo
7.va…a1x+y+
三、
k=卫
a'yo a'yo
yo
428
