第三章
函数的概念、基本初等函数(I)及函数的应用
衡水中学状元笔记
第七节
函数与方程
/核心素养展示
课程内容要求
课程标准解读
1.结合学过的函数图象，了解函数零点与方程解的关系
1.了解函数零点与方程解的关系
2.结合具体连续函数及其图象的特点，了解函数零点存在定理
2.了解函数零点存在性定理
3.探索用二分法求方程近似解的思路并会画程序框图，能借助计算
3.了解用二分法求方程近似解具
工具用二分法求方程近似解，了解用二分法求方程近似解具有一
有一般性
般性
核心素养养成
一函数的零点
1.定义：对于函数y=f(x),我们把使
的实数x叫做函数y
=f(x)的零点.函数y=f(x)的零点就是方程f(x)=0的
,也是
函数y=f(x)的图象与x轴的
2.函数有零点的三个等价关系
状元笔记
方程f(x)=0有实数根台函数y=f(x)的图象与x轴
台函数
→函数的零点、、方程
y=f(x)
的根、函数图象与x抽
的交点、的枝坐标，实质
由此可知，求方程f(x)=0的实数根，就是确定函数y=f(x)的
是间一个问题的三种不
一般地，对于不能用公式求根的方程f(x)=0来说，我们可以将
间表达形式，方程的根
它与
联系起来，利用函数的性质找出零点，从而求出方程的根.
的个数可以通过图象的
交点个数来判断，利用
②函数的零点存在性定理
数形结合思想.
如果函数y=f(x)在区间[a,b们上的图象是连续不断的一条曲线，
并且有
,那么，函数y=f(x)在区间
内有零点，即存
在c∈
,使得
,这个c也就是方程f(x)=0的根.
状元笔记
②二次函数的零点分布（即一元二次方程根的分布）
→零点存在性定理强
调的是连续函数，强调
用二分法求方程的近似解
零点存在.如果函数单
对于在区间[a,b]上连续不断，且f(a)·f(b)<0的函数y=
调则零点存在且唯一，
f(x),通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的
可以由二分法求近以
解，求近似解只是找到
两个端点逐步逼近零点，进而得到零点的近似值的方法叫作
它的一个近似解.
“二分法”
核心素养提升
学习要点1零点区间
例1函数f(x)=ex一x的零点所在的区间为
A.(-1,-2
B.(-20)
c.(o,2)
D.(21
解糊易知函数f(x)=e一x的图象是连续的，且通过计算可得
075
禽中型笔至第三章函数的概念、基本初等函数（①及函数的应用
名高中·数学
f-1)=e-(-1)=e+1>0,f(-2)=e-(（-2)=e+2>0.
名师点拨
→对于零点所在的区
0)=-0=1>0f份=e->0f)=-
间首先要判断函数是否
连续，将区间端点代入
函数求出函数的值，进
-1<0,由高数农点存在性定理可得画数零点所在的区间为（合
行符号判断即可得出
结论·
【答案】D
例2(1)（多选）下列函数中，能用二分法求函数零点的有(
A.f(x)=3.x-1
B.f(x)=x2-2x+1
C.f(x)=logx
D.f(x)=e-2
状元笔记
(2)函数f(x）)=x一1g上一2的零点所在区间为
→确定西数f(x)的
零点所在区间，利用函
A.(0,1)
B.(1,2)
数零点的存在性定理：
C.(2,3)
D.(3,+∞)
首先看函数y=f(x)本
区间[a,b]上的图象是
(3)(衡中月考)若a
否连续，再看是否有
b)(x一c)十(x一c)(x一a)的两个零点分别位于区间
(
f(a)·f(b)<0.若有，
A.(a,b)和(b,c)内
B.(b,c)和(c,+∞)内
则西数y=f(x)在区间
(a,b)内必有零点，代
C.(-∞，a)和(a,b)内
D.(-o,a)和(c,十o)内
边界值检验即可.
解断(1)f(x)=x2-2x+1=(x-1)2,f(1)=0,
当x<1时，f(x)>0;当x>1时，f(x)>0,
在零点两侧函数值同号，不能用二分法求零点，其余选项中在函
数的零点两侧函数值异号，故选ACD,
(2:fx)=x-1g是-2.f1)=1-1g1-2=-1<0.f2)
2-1g号-2=lg2>0∴f1)·2)<0.函数f(x)的零点所在区
间为(1,2).故选B.
状元笔记
(3).a0,f(b)=(b-c)(b-a)
→f(a)>0.，f(b)<
<0,f(c)=(c一a)(c一b)>0,∴.由函数零点存在性定理可知，在区间
0,f(c)>0,本题为二次
(a,b),(b,c)内分别有零点.又函数f(x)是二次函数，最多有两个零点，
函数，故有两个零点分别
在(a,b),(b,c)两个区
∴.函数f(x)的两个零点分别位于区间(a,b)和(b,c)内.
间内.
【答案】(1)ACD(2)B(3)A
学习要点2零点个数的判断
例3，(1)(2019·高考全国Ⅲ卷文)函数f(x)=2sinx-sin2x
在[0,2π]的零点个数为
(
A.2
B.3
C.4
D.5
(2)函数f(x)=2+1g(x十1)-2的零点有
(
A.0个
B.1个
C.2个
D.3个
(3)已知f(x)是定义在[-10,10]上的奇函数，且f(x)=f(4一
x),则函数f(x)的零点个数至少为
(
A.3
B.4
C.5
D.6
076禽中学扶笔
参考答案
高中·数学
参考答案
第一章集合与常用逻辑
(7)√/ab
a+b
第一节集合的概念及运算
一、1.确定性无序性
第二节二次函数与一元二次方程、不等式
2.属于不属于∈
一、1.一个2ax2+bx+c>0(≥0)
3.列举法、描述法、特定记号法
a.x2+bx+c<0(≤0)
二、1.(1){xx∈A且x∈B)
三、2.f(x)g(x)>0f(x)g(x)<0
{xx∈A或x∈B}{xx∈U但x任A}
f(x)g(x)≥0g(x)≠0f(x)g(x)0
2.(1)二三A0=
(2)22
g(x)≠0
AA=
(3)A0U0U
四、1.-cax十b≤cax十b≥c或ax十b-c
3.A∩B=ACA2CcB
第三章函数的概念、基本初等函数（⑩及函数的应用
第二节充分条件与必要条件
第一节函数及其表示
一、任意一个数x唯一确定的数函数自变
一、判断真假真（假）
二、1.充分条件必要条件
量定义域函数值值域
二、1.数学表达式
2.p→qq→p
2.图象
第三节全称量词与存在量词
3.列出表格
一、联结词
三、1.定义域对应关系值域
二、1.全称量词命题
2.定义域对应关系
2.存在量词命题
第二节函数的单调性与最大（小）值
三、存在量词命题全称量词命题
一、1.上升的下降的
第二章不等式
2.增函数或减函数区间D
第一节不等式的基本性质、
二、定义法（作差法或作商法）、图象法、函数的
基本不等式及其应用
运算性质、复合函数的“同增异减”、导数法
一、(1)>0(2)=0(3)<0
四、换元法、配方法、图象法、分离常数法、判别
二、(1)bc(3)>(4)ac>bc
式法、函数单调性
acb+d (6)ac-bd0
第三节函数的奇偶性与周期性
)日名
(8)a">b”(9)a>b
一、f(一x)=一f(x)定义域内任意一个x
三，1)生(2)vad(3d2+6≥2ab
f(-x)=f(x)
二、1.原点y轴
0生>、a66)最小值2v西
2.相同相反
3.和
(6)最大值ab≤（生）ab≤a+b)
4.0f(x)
424
参考答案
平衡水中学状元笔记
三、非零f(x十T)=f(.x)存在一个最小
2.(1)y轴x轴原点(2)x=m
第四节幂函数
3.(1)A倍(2)
a
一、2.奇[0，十00)偶(-0∞，0)
第九节函数模型及其应用
(0,+∞)奇[0，十∞)[0，+∞)
一、2.增增增快慢yx
非奇非偶(0，十∞)(-∞，0)U(0,十∞)
第四章导数及其应用
(-∞，0)U(0,十∞)奇(-∞，0)
第一节导数的概念及运算
(0,+0∞)(1,1)
一、1.平均变化率
第五节指数与指数函数
2.导数
一、1.n次方根
3.导数f(x)y
2.根指数被开方数
4.切线的斜率y一f(xo)=f'(x)(x一xo)
3.aa
二、3.y'。·u'.y对uu对x
二、1.1≠
第二节
导数的应用（一）
2日
一、1.单调递增单调递减
2.常数函数
3.am5.0没有意义
第三节导数的应用（二）
三、1.a+2.a”
3.a'b"
一、极大值极小值极值极值点
四、R(0,十∞)(0,1)增函数减函数
二、f(x)>0f(x)<0f(x)0f(x)>0
第六节对数与对数函数
三、1.最大值最小值
一、1.对数1ogN底数真数
第五章三角函数（基本初等函数Ⅱ）、解三角形
2.(1)10lgN(2)elnN01
第一节弧度制及任意角的三角函数
3.台
一、1.旋转逆时针顺时针零角
4.(1)log M+log.N (2)log.M-log.N
2.非负半轴
(3)mlog.M”1ogM
3.坐标轴
n
5.(1)(2)0gb
1
二、1.半径长
log a
logia
四、cos a sina tan a
二、(0，十o∞)R(1,0)增函数
减函数
第五节正弦定理、余弦定理及其应用
第七节函数与方程
四、一解两解一解
一解无解
一、1.f(x)=0实数根交点的横坐标
第六节三角函数与解三角形模型的应用
2.有交点有零点零点函数y=f(x)
一、1.三角函数
二、f(a)·f(b)<0(a,b)(a,b)f(c)=0
2.周期函数拟合
第八节函数的图象及其应用
3.元
二、1.(1)y=f(x+a)右(2)y=f(x)+b
4.h。=htan0
二、1.上方下方