斋来中堂扶无笔记当
第十章计数原理、概率、随机变量及其分布
高中·数学
第二节
二项式定理
/核心素养展示
课程内容要求
课程标准解读
1.能用多项式运算法则和计数原理证明二项
1.通过已知的数学实例，能用多项式运算法则和计数原
式定理
理证明二项式定理，提升学生的逻辑推理的数学素养
2.会用二项式定理解决与二项展开式有关的
2.通过已知的数学实例，会用二项式定理解决与二项展
简单问题。
开式有关的简单问题，提升学生的数学运算素养
核心素养养成
二项式定理
名师点拨
→①原理是多项式的
二项式定理
(a十b)"=Ca"十Ca-1b十…十Ca-b十…十C"b
乘法，特点是a的降
二项展开式的通项
二项展开式的第k十1项为T+1=Cab
幂，b的升屏排列，每
一项的指数和为n.
二项式系数
C(k=0,1,…,n)
②(a+b)"与(b+
二项展开式形式上具有以下特点：
a)”相等，但是展开式
1.项数为
不同，注意顺序，
2.各项的次数都等于二项式的幂指数n,即a与b的指数之和
为
3.字母a按
排列，从第一项开始，次数由逐项减1直到：字
母b按排列，从第一项开始，次数由逐项增1直到_·
4.≤项式系数从，，…，一直到
②二项式系数的性质注意区分二项式系数与项的系数
1.对称性：在二项展开式中与首末两端“等距离”的两个二项式系数相
等，即
2.增减性与最值：二项式系数心，当k<”时，二项式系数逐渐
增大：当>”士时，二项式系数逐渐减小.当n是偶数时，中间一项的
二项式系数最大；当n是奇数时，中间两项的二项式系数相等且最大，
名师点拨
3.各二项式系数的和：(a十b)”的展开式的各个二项式系数的和
各项的二项式系数
等于，即
之和为2”，各项的系数
4.奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数之和，
之和可由贼值法求得，
即
核心素养提升
学习要点1二项式定理
例1(1)（衡中学案）1+2x2)(1十x)的展开式中x的系数为(
A.12
B.16
C.20
D.24
334
第十章计数原理、概率、随机变量及其分布
衡水中学状元笔记
(2(衡中学案)x+)的展开式中x的系数为
名师点拨
→对于（1)，x3的系
A.10
B.20
C.40
D.80
数依据多项式的乘法第
(3)(2021·全国卷I)(x2+x+y)的展开式中，xy2的系数为
一个因式中的1与第二
个因式中的x3项相
A.10
B.20
C.30
D.60
乘，2x2与x项相乘可
得：对于(3)，看成5
解断(1)(1+2x2)(1+x)的展开式中x3的系数为1XC+2C4=
个因式中，2个取x2,
12.故选A.
剩余的3个因式中1个
(2(x+)
的展开式的通项为T,+1=C5(x2)5-(2x-1)”=
取x,其余因式取y,
依分步乘法原理，每个
2"C5x10-r,令10一3r=4,解得r=2,所以展开式中x的系数是2C号
因式取一个构成
40,故选C.
(3)在(x2十x十y)5的5个因式中，2个取x2,剩余的3个因式中
1
个取x,其余因式取y,故xy2的系数为CCC号=30，故选C
【答案】(1)A(2)C(3)C
卫求(1x+一2)的展开式中的常数项，。
、名师点拨
→三项式的展开式问
解解法一：原式=x-2x十1)=(x-1)9
题，通常可用解法二化
3
x3
为二项式问题，或者看
所以(1一|x)5的展开式中x|3的系数C(一1)3=一20就是原
成三个因式的乘积利用
式展开式中的常数项
分步乘法原理处理.
解法二：将原式化为(V国一)”，利月二项式定理求解
解法三：将原式看成三个x士一2相乘，常数项只可能由x
女·（一2)和（一2）构成，可利用计数原理分成两类再求和.故所求为
1
C·C2·(-2)+C8·(-2)3=-20.
【答案】
-20
学习要点2二项式定理的性质
@(x-子)'+(+)
的展开式中的常数项为
名师点拨
→①对于几个多项式
A.32
B.34
C.36
D.38
和的展开式中待定项系
(2)已知a>0,若(x2+1)(ax+1)6的展开式中各项系数的和为
数问题，只需依据二项
展开式的通项，从每一
1458,则该展开式中x2项的系数为
项中分别得到待定项求
(3)已知(2x-1)4=ao十a1(x-1)+a2(x-1)2+ag(x-1)3十a4(x
和即可.
1),则a2=
(
②对于(2)，采用
赋值法，令x=1,得
A.18
B.24
C.36
D.56
(1+1)(a十1)6=
的展开式的通项为Tm+1=CW(x)4-m
1458,解得a=2,再
依多项式的乘法计算
③(2.x-1)'=[1+
()=C(-2),令12-4m=0,解得m=3,(+)的展
2(x一1)]，拆开重组
即可.
开式的通项为T+1=Cx·()=Cx”,令8-2m=0,解得n=4,
所以所求常数项为C(一2)3十C=38.故选D.
335参考答案
平衡水中学状元笔记
1.d a-d y=dx+(a-d)
三、1.矩形
直角三角形
直角梯形
2.单调递增单调递减常数列
2.矩形等腰三角形
等腰梯形圆
四、1.倒序相加法
四、1.直径球心
2.(1)an≥0a+1<0(2)an≤0a+1>0
2.垂直于d=vR-r
第三节等比数列及其前n项和
五、(1)90°90°(2)45°（或135）90°
一、比常数公比
(3)平行于(4)一半
二、等比数列等比中项ab士/ab
第二节空间几何体的表面积和体积
三、1.a1g-1
ang"-m
-、1.Ch
2.y-
3C
(C+C
2.2πrlπrlπ(r+r')l
四、na1,9=1
a(1-g)=a1-a.9,9≠1
3.侧面积两个底面积侧面积底面积
1-q
1-9
乘公比、错位相减
41
二1.5h35h3h(S+5S+S)
9-1
五、1.a。·ag=am·an
2.xrh
3h(r2+rr'+,)
2.gm3.9
三、1.4πR
第四节数列求和及其应用
一、1.等差数列、等比数列前n项和公式
2.把一个数列分成几个可以直接求和的
第三节平面的基本性质及推论
数列
一、1.不在一条直线
4.适用于一个等差数列和一个等比数列对
2.两点点在平面内直线在此平面内
应项相乘构成的数列求和
3.只有一条
1
二、1.1个交点0个交点0个交点
5.⑤FD
⑥C+1-CW
2.(1)不同在任何一个平面内的两条直线叫
二、1.a(1+xr)
做异面直线(3)已知两条异面直线a,b,经
2.a(1+r)
过空间任一点O作直线a'∥a,b'b,把a'与
3.N(1+p)
b所成的锐角（或直角）叫做异面直线α与b
第八章立体几何
互相垂直
第一节空间几何体的结构和直观图
所成的角（或夹角）(0,2】]
一、1.平行平行四边形平行
异面垂直
2.多边形三角形
三、同一条直线
3.平行于
四、相等或互补
二、1.平行四边形全等平行四边形矩形
第四节空间中的平行关系
2.等腰三角形直角三角形直角三角形
一、1.有无数个
直角三角形直角三角形
2.有且只有一个
427
禽来中草扶元笔当
参考答案
高中·数学
3.没有直线在平面外
9.(x2-x1,y2一y1,22一21）
二、1.一条直线一条直线
1(x2-x1)2十(y2-y1)+(z2-z1)9
ata,bCa,且a∥b→a∥a
四、1.平行2.Ap=ta
2.交线平行a∥a,aC3,a∩B=b→a∥b
五、1.向量a2.(4)无数
三、1.没有公共点
六、1.a∥ba=kb,k∈R且k≠0
2.有一条公共直线
2.a⊥ba·b=03.a⊥ua·u=0
四、1.(1)相交直线aC3,bCB,a∩b=P,a∥
4.a∥ua=ku,k∈R且k≠0
a,b∥a→3∥a
5.u∥vu=ky,k∈R且k≠0
2.(1)平行&∥B,a∩y=a,B∩y=b→a∥b
6.u⊥pu·v=09.0≤0≤π
(2)a∥3，aC&→a∥3(3)a∥3，l⊥a→l⊥3
第九章平面解析几何
第五节空间中的垂直关系
第一节直线与方程、两条直线的位置关系
一、直角
四、1.k1=k2且b1≠b2
二、l.直线l与平面a互相垂直l⊥a平面a的
2.k1·k2=-1
垂线直线（的垂面垂足距离
第二节圆的方程及圆与圆、直线与圆的位置关系
2.垂直
一、定点定长集合圆心半径
3.平行
二、1.(a,b)r2.(D2+E2-4F>0)
三、锐角[0°，90]
三、1.(xo-a)2+(-b)2=r2
四、1.两个半平面所组成的图形
2.垂直于棱[0，π]
2.(x-a)2+(-b)2>r
五、1.直二面角
3.(x-a)2+(-b)22.垂线
第三节椭圆
3.交线
-、2a(2a>|F1F2|)
第六节空间向量及其应用
第四节双曲线
一、(x,y,z)p=0十b十0基底基向量
一、(2a<|FF2)双曲线焦点焦距
二、1.两两垂直1
三、等轴双曲线充要垂直
2.x轴，y轴，之轴
第五节抛物线
3.右4.(x,y,z)(x,y,z)竖坐标
三、+多川+多
三、1.(1十x24十y2之1十22）
第六节直线与圆锥曲线的位置关系
2.(1一x24一y2名1一2）3.（λx1y121)
一、无一个两个
4.x1x2十y1y2十12
(1)①相交②相切③相离
5.a=bx1=x2y1=y2之1=入22
(2)平行或重合平行或重合
6.a·b=0x1x2十yy2十名122=0
xo
7.va…a1x+y+
三、
k=卫
a'yo a'yo
yo
428
