商来中学扶笔
第十章计数原理、概率、随机变量及其分布
高中·数学
第五节
随机事件的相互独立性
核心素养展示
课程内容要求
课程标准解读
1.结合古典概型，了解随机事件独立性的概念，提升学生
1.结合古典概型，了解随机事件独立性的
的逻辑推理素养
概念
2.会利用独立性事件解决概率问题，提升学生的数学运
2.会利用独立性事件解决概率问题
算素养
核心素养养成
》】
一相互独立事件的定义
对任意两个事件A与B,如果P(AB)=
成立，则称事件
A与事件B相互独立，简称为独立.
2相互独立事件的性质
当事件A,B相互独立时，则事件
与事件
相互
名师点拨
独立，事件
与事件
相互独立，事件
与事件
两个事件独立与互
相互独立.
斥的区别：
興核心素养提升
》》》
①事件互斥是指两
个事件不可能同时发
学习要点1相互独立事件的概念
生：②事件相互独立是
例1下列每对事件中，哪些是互斥事件，哪些是相互独立事件？
指一个事件的发生与否
对另一事件发生的概率
(1)1000张有奖销售的奖券中某张奖券是一等奖与该张奖券是
没有影响.
二等奖；
一般地，两个事件
(2)甲，乙两人同时购买同一期的双色球彩票各一张，甲中奖与乙
不可能既互斥又相互独
中奖；
立，因为互斥事件不可
(3)甲组3名男生、2名女生，乙组2名男生、3名女生，现从甲，乙
能同时发生，而相互独
两组中各选1名同学参加演讲比赛，“从甲组中选出1名男生”与“从乙
立事件是以它们能够同
时发生为前提，
组中选出1名女生”；
(4)容器内盛有5个白球和3个黄球，“从8个球中任意取出1个，
取出的是白球”与“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的还是
白球”
解新(1)一张奖券不可能既是一等奖又是二等奖，即这两个事件不
可能同时发生，故它们是互斥事件，
(2)由双色球的中奖规则可知，甲是否中奖对乙是否中奖没有影
响，反之亦然，故它们是相互独立事件，
(3)“从甲组中选出1名男生”这一事件是否发生对“从乙组中选出
1名女生”这一事件发生的概率没有影响，反之亦然，所以它们是相互
独立事件
(4)“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”的概率为
8,若前
352
第十章计数原理、概率、随机变量及其分布
平衡水中学状元笔记
一事件发生了，则“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的仍是白球”
的概率为：若前一事件没有发生，则后一事件发生的概率为，可见，
前一事件是否发生，对后一事件发生的概率有影响，所以二者不是相
互独立事件，也不是互斥事件.
例2(1)甲、乙两名射手同时向一目标射击，设事件A:“甲击中
目标”，事件B:“乙击中目标”，则事件A与事件B
A,相互独立但不互斥
B.互斥但不相互独立
C.相互独立且互斥
D.既不相互独立也不互斥
(2)掷一枚正方体骰子一次，设事件A:“出现偶数点”，事件B:“出
现3点或6点”，则事件A,B的关系是
(
状元笔记
A.互斥但不相互独立
B.相互独立但不互斥
一→理解清楚互年事件
C.互斥且相互独立
D.既不相互独立也不互斥
与相互独立事件的裤
解断(1)对同一目标射击，甲、乙两射手是否击中目标是互不影响
念，并且区分汁算橘率
的公式.A,B为互年
的，所以事件A与事件B相互独立；对同一目标射击，甲、乙两射手可
事件时，有橘李公式为
能同时击中目标，也就是说事件A与事件B可能同时发生，所以事件
P(AUB)=P(A)+
A与事件B不是互斥事件.故选A.
P(B),A,B为相互独
(2)事件A={2,4,6},事件B={3,6},事件AB={6},样本点空间2=
立事件时，有概率公式
{1,2,3,4,5,6}.
为P(AB)=P(A)P(B).
所以Pa=8-PB)=名-号，PAB)=君-吉
39
即P(AB)=P(A)P(B),因此，事件A与B相互独立.当“出现6
点”时，事件A,B同时发生，所以A,B不是互斥事件.
【答案】(1)A(2)B
学习要点2相互独立事件的运算
例3甲、乙、丙3位大学生同时应聘某个用人单位的职位，3人
能被选中的概率分别为号，圣，号，且各自能否被选中互不影响。
(1)求3人同时被选中的概率；
名师点拨
(2)求3人中至少有1人被选中的概率；
→题目中的各自能否
(3)求3人均未被选中的概率。
被选中互不影向，可以
判断各事件之间是相互
解断设甲、乙、丙能被选中的事件分别为A,B,C,则P(A)=
独立的，第一问确定这
PB)-,PO)=3
些事件可以同时发生，
直接求即可：至少问题
(1)3人同时被选中的概率
用对立事件求，对立事
件间也是相互独立.
P,=PABC)=PAP(B)P(C)=号×X号0
(2)法一：3人中有2人被选中的概率
P2=P(ABCUABCUABC)
=号××1-)+号×1-)×3+1-号)××号-器
3人中只有1人被选中的概率
353参考答案
平衡水中学状元笔记
1.d a-d y=dx+(a-d)
三、1.矩形
直角三角形
直角梯形
2.单调递增单调递减常数列
2.矩形等腰三角形
等腰梯形圆
四、1.倒序相加法
四、1.直径球心
2.(1)an≥0a+1<0(2)an≤0a+1>0
2.垂直于d=vR-r
第三节等比数列及其前n项和
五、(1)90°90°(2)45°（或135）90°
一、比常数公比
(3)平行于(4)一半
二、等比数列等比中项ab士/ab
第二节空间几何体的表面积和体积
三、1.a1g-1
ang"-m
-、1.Ch
2.y-
3C
(C+C
2.2πrlπrlπ(r+r')l
四、na1,9=1
a(1-g)=a1-a.9,9≠1
3.侧面积两个底面积侧面积底面积
1-q
1-9
乘公比、错位相减
41
二1.5h35h3h(S+5S+S)
9-1
五、1.a。·ag=am·an
2.xrh
3h(r2+rr'+,)
2.gm3.9
三、1.4πR
第四节数列求和及其应用
一、1.等差数列、等比数列前n项和公式
2.把一个数列分成几个可以直接求和的
第三节平面的基本性质及推论
数列
一、1.不在一条直线
4.适用于一个等差数列和一个等比数列对
2.两点点在平面内直线在此平面内
应项相乘构成的数列求和
3.只有一条
1
二、1.1个交点0个交点0个交点
5.⑤FD
⑥C+1-CW
2.(1)不同在任何一个平面内的两条直线叫
二、1.a(1+xr)
做异面直线(3)已知两条异面直线a,b,经
2.a(1+r)
过空间任一点O作直线a'∥a,b'b,把a'与
3.N(1+p)
b所成的锐角（或直角）叫做异面直线α与b
第八章立体几何
互相垂直
第一节空间几何体的结构和直观图
所成的角（或夹角）(0,2】]
一、1.平行平行四边形平行
异面垂直
2.多边形三角形
三、同一条直线
3.平行于
四、相等或互补
二、1.平行四边形全等平行四边形矩形
第四节空间中的平行关系
2.等腰三角形直角三角形直角三角形
一、1.有无数个
直角三角形直角三角形
2.有且只有一个
427
禽来中草扶元笔当
参考答案
高中·数学
3.没有直线在平面外
9.(x2-x1,y2一y1,22一21）
二、1.一条直线一条直线
1(x2-x1)2十(y2-y1)+(z2-z1)9
ata,bCa,且a∥b→a∥a
四、1.平行2.Ap=ta
2.交线平行a∥a,aC3,a∩B=b→a∥b
五、1.向量a2.(4)无数
三、1.没有公共点
六、1.a∥ba=kb,k∈R且k≠0
2.有一条公共直线
2.a⊥ba·b=03.a⊥ua·u=0
四、1.(1)相交直线aC3,bCB,a∩b=P,a∥
4.a∥ua=ku,k∈R且k≠0
a,b∥a→3∥a
5.u∥vu=ky,k∈R且k≠0
2.(1)平行&∥B,a∩y=a,B∩y=b→a∥b
6.u⊥pu·v=09.0≤0≤π
(2)a∥3，aC&→a∥3(3)a∥3，l⊥a→l⊥3
第九章平面解析几何
第五节空间中的垂直关系
第一节直线与方程、两条直线的位置关系
一、直角
四、1.k1=k2且b1≠b2
二、l.直线l与平面a互相垂直l⊥a平面a的
2.k1·k2=-1
垂线直线（的垂面垂足距离
第二节圆的方程及圆与圆、直线与圆的位置关系
2.垂直
一、定点定长集合圆心半径
3.平行
二、1.(a,b)r2.(D2+E2-4F>0)
三、锐角[0°，90]
三、1.(xo-a)2+(-b)2=r2
四、1.两个半平面所组成的图形
2.垂直于棱[0，π]
2.(x-a)2+(-b)2>r
五、1.直二面角
3.(x-a)2+(-b)22.垂线
第三节椭圆
3.交线
-、2a(2a>|F1F2|)
第六节空间向量及其应用
第四节双曲线
一、(x,y,z)p=0十b十0基底基向量
一、(2a<|FF2)双曲线焦点焦距
二、1.两两垂直1
三、等轴双曲线充要垂直
2.x轴，y轴，之轴
第五节抛物线
3.右4.(x,y,z)(x,y,z)竖坐标
三、+多川+多
三、1.(1十x24十y2之1十22）
第六节直线与圆锥曲线的位置关系
2.(1一x24一y2名1一2）3.（λx1y121)
一、无一个两个
4.x1x2十y1y2十12
(1)①相交②相切③相离
5.a=bx1=x2y1=y2之1=入22
(2)平行或重合平行或重合
6.a·b=0x1x2十yy2十名122=0
xo
7.va…a1x+y+
三、
k=卫
a'yo a'yo
yo
428
