商来中学笔华
第十章计数原理、概率、随机变量及其分布
高中·数学
计数原理、概率、随机变量
第十章
及其分布
第一节
两个计数原理、排列和组合
核心素养展示
课程内容要求
课程标准解读
1.能够结合具体实例，识别和理解分类加法计数原理和
1,了解分类加法计数原理、分步乘法计数原
分步乘法计数原理及其作用，并能够运用这些原理解
理及其意义
决简单的实际问题
2.理解排列、组合的概念
2.理解排列、组合、两个计数原理的关系，能够运用两个
3.能利用计数原理推导排列数公式、组合数
计数原理推导排列、组合，并能够运用它们解决简单的
公式
实际问题，特别是概率中的某些问题
核心素养养成
》
一分类加浅计数原理
分类加法抓”类”字，注意
名师点拨
完成一件事有n类不同的方案，在第
”美”与”类”间独立于
并列
完成”一件事，
一类方案中有m,种不同的方法，在第二
是什么事？如何完成？
类方案中有2种不同的方法，…，在第n类方案中有m.种不同的方
法，则完成这件事情，共有N=
种不同的方法。
分步来法抓步字，注意步与步间相互依存与连续
②分步乘法计数原理
y
完成一件事需要分成n个不同的步骤，完成第一步有1种不同
的方法，完成第二步有2种不同的方法，…，完成第n步有mn种不同
的方法，那么完成这件事情共有N
种不同的方法
两个原理的联系与区别：两个计数原理都涉及完成一件事情的
不同方法的种数.它们的区别在于：分类加法计数原理与分类有关，各
名师点拨
种方法相互独立，用其中的任一种方法都可以完成这件事；分步乘法
→①理解类的独立性，
计数原理与分步有关，各个步骤相互依存，只有各个步骤都完成了，这
②理解步的依存连
续性，区别两类计数原
件事才算完成.简单地说，分类加法计数原理要做到“不重不漏”，分步
理，进而准确理解问题.
乘法计数原理要做到“步骤完整”.
色排列及排列数排列与排列数是两个不同的概念，排列故即所有不同排列的个数，
1.排列的定义：一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，
,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个
排列，这些
,叫做从n个不同元素中取出m个元素的
排列数，用符号
表示
328
第十章计数原理、概率、随机变量及其分布
平衡水中学状元笔记
2.排列数公式：A”
3.阶乘：
叫做n的阶乘，用
表示.于是，
名师点拨
排列数A”=
(n一m)开另外，规定0！=
n!
→从开始递减，连
续m个正整数之积，最
4.全排列：个不同元素全部取出的一个排列，叫做n个元素的一
后一个数是n一m十1.
个全排列，A”=n·(n-1)·(n-2)·…·2·1=
四组合及组合数
1.组合的定义：一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素
,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合，这些
,叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符
状元笔记
号
表示
①排列是一种排列
2.组合数公式：C=A=n(n-1)(n-2)…(m-m+1
方式，排列数是符合条
,这里m≤
A
ml
件的排列的总、个数，是
一个实数.
n.还可以写成C”=
m(n二m1,规定C=1.
n!
②组合是排列的第
一步.
3.组合数的两个性质：C
,Cm+1三
/核心素养提升
》》
学习要点1两个计数原理
例甲同学有若干本课外参考书，其中有5本不同的数学书，4
本不同的物理书，3本不同的化学书.现在乙同学向甲同学借书，试问：
(1)若借一本书，则有多少种不同的借法？
(2)若每科各借一本，则有多少种不同的借法？
(3)若借两本不同学科的书，则有多少种不同的借法？
解新(1)因为需完成的事情是“借一本书”，所以借给他数学、物理、
名师点拨
化学书中的任何一本，都可以完成这件事情.
,对于(1)，借一本
故用分类加法计数原理，共有5十4十3=12（种）不同的借法
书，完成此事件是分类
还是分步？
(2)需完成的事情是“每科各借一本书”，意味着要借给乙三本书，
（2)每科各借一
只有从数学、物理、化学三科中各借一本，才能完成这件事情
本，完成此事件是分类
故用分步乘法计数原理，共有5×4×3=60（种）不同的借法
还是分步？
(3)需完成的事情是“从三种学科的书中借两本不同学科的书”，
(3)借两本不同学科
要分三种情况：①借一本数学书和一本物理书，只有两本书都借，事情
的书有几类借法？完成
每类借书要分几步？
才能完成，由分步乘法计数原理知，有5×4=20（种）借法；②借一本数
学书和一本化学书，同理，由分步乘法计数原理知，有5×3=15（种）借
法；③借一本物理书和一本化学书，同理，由分步乘法计数原理知，有4
×3=12(种)借法.而上述的每一种借法都可以独立完成这件事情，由
分类加法计数原理知，共有20十15十12=47（种）不同的借法.
【答案】(1)12(2)60(3)47
例2如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一
起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选
择的最短路径条数为
()
329参考答案
平衡水中学状元笔记
1.d a-d y=dx+(a-d)
三、1.矩形
直角三角形
直角梯形
2.单调递增单调递减常数列
2.矩形等腰三角形
等腰梯形圆
四、1.倒序相加法
四、1.直径球心
2.(1)an≥0a+1<0(2)an≤0a+1>0
2.垂直于d=vR-r
第三节等比数列及其前n项和
五、(1)90°90°(2)45°（或135）90°
一、比常数公比
(3)平行于(4)一半
二、等比数列等比中项ab士/ab
第二节空间几何体的表面积和体积
三、1.a1g-1
ang"-m
-、1.Ch
2.y-
3C
(C+C
2.2πrlπrlπ(r+r')l
四、na1,9=1
a(1-g)=a1-a.9,9≠1
3.侧面积两个底面积侧面积底面积
1-q
1-9
乘公比、错位相减
41
二1.5h35h3h(S+5S+S)
9-1
五、1.a。·ag=am·an
2.xrh
3h(r2+rr'+,)
2.gm3.9
三、1.4πR
第四节数列求和及其应用
一、1.等差数列、等比数列前n项和公式
2.把一个数列分成几个可以直接求和的
第三节平面的基本性质及推论
数列
一、1.不在一条直线
4.适用于一个等差数列和一个等比数列对
2.两点点在平面内直线在此平面内
应项相乘构成的数列求和
3.只有一条
1
二、1.1个交点0个交点0个交点
5.⑤FD
⑥C+1-CW
2.(1)不同在任何一个平面内的两条直线叫
二、1.a(1+xr)
做异面直线(3)已知两条异面直线a,b,经
2.a(1+r)
过空间任一点O作直线a'∥a,b'b,把a'与
3.N(1+p)
b所成的锐角（或直角）叫做异面直线α与b
第八章立体几何
互相垂直
第一节空间几何体的结构和直观图
所成的角（或夹角）(0,2】]
一、1.平行平行四边形平行
异面垂直
2.多边形三角形
三、同一条直线
3.平行于
四、相等或互补
二、1.平行四边形全等平行四边形矩形
第四节空间中的平行关系
2.等腰三角形直角三角形直角三角形
一、1.有无数个
直角三角形直角三角形
2.有且只有一个
427
禽来中草扶元笔当
参考答案
高中·数学
3.没有直线在平面外
9.(x2-x1,y2一y1,22一21）
二、1.一条直线一条直线
1(x2-x1)2十(y2-y1)+(z2-z1)9
ata,bCa,且a∥b→a∥a
四、1.平行2.Ap=ta
2.交线平行a∥a,aC3,a∩B=b→a∥b
五、1.向量a2.(4)无数
三、1.没有公共点
六、1.a∥ba=kb,k∈R且k≠0
2.有一条公共直线
2.a⊥ba·b=03.a⊥ua·u=0
四、1.(1)相交直线aC3,bCB,a∩b=P,a∥
4.a∥ua=ku,k∈R且k≠0
a,b∥a→3∥a
5.u∥vu=ky,k∈R且k≠0
2.(1)平行&∥B,a∩y=a,B∩y=b→a∥b
6.u⊥pu·v=09.0≤0≤π
(2)a∥3，aC&→a∥3(3)a∥3，l⊥a→l⊥3
第九章平面解析几何
第五节空间中的垂直关系
第一节直线与方程、两条直线的位置关系
一、直角
四、1.k1=k2且b1≠b2
二、l.直线l与平面a互相垂直l⊥a平面a的
2.k1·k2=-1
垂线直线（的垂面垂足距离
第二节圆的方程及圆与圆、直线与圆的位置关系
2.垂直
一、定点定长集合圆心半径
3.平行
二、1.(a,b)r2.(D2+E2-4F>0)
三、锐角[0°，90]
三、1.(xo-a)2+(-b)2=r2
四、1.两个半平面所组成的图形
2.垂直于棱[0，π]
2.(x-a)2+(-b)2>r
五、1.直二面角
3.(x-a)2+(-b)22.垂线
第三节椭圆
3.交线
-、2a(2a>|F1F2|)
第六节空间向量及其应用
第四节双曲线
一、(x,y,z)p=0十b十0基底基向量
一、(2a<|FF2)双曲线焦点焦距
二、1.两两垂直1
三、等轴双曲线充要垂直
2.x轴，y轴，之轴
第五节抛物线
3.右4.(x,y,z)(x,y,z)竖坐标
三、+多川+多
三、1.(1十x24十y2之1十22）
第六节直线与圆锥曲线的位置关系
2.(1一x24一y2名1一2）3.（λx1y121)
一、无一个两个
4.x1x2十y1y2十12
(1)①相交②相切③相离
5.a=bx1=x2y1=y2之1=入22
(2)平行或重合平行或重合
6.a·b=0x1x2十yy2十名122=0
xo
7.va…a1x+y+
三、
k=卫
a'yo a'yo
yo
428
