2025年浙江省中考数学一轮复习专题检测 专题15 几何图形初步（含解析）

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专题15 几何图形初步
一．选择题
1．（2024 兴庆区模拟）如图，A、B、C、D四点在一条直线上，若AB＝CD，下列各式表示线段AC错误的是（　　）
A．AC＝AD﹣CD B．AC＝AB+BC C．AC＝BD﹣AB D．AC＝AD﹣AB
2．（2024 前郭县一模）如图，A地到B地有三条路线，由上至下依次记为路线b，c，a，则从A地到B地的最短路线是c，其依据是（　　）
A．两点之间，线段最短 B．两点确定一条直线 C．两点之间，直线最短 D．直线比曲线短
3．（2024 长安区一模）一艘轮船在P处向M处的海上巡逻艇呼叫救援，根据如图所示，巡逻艇从M处去P处实施救援，若要航线最短，其航行的路线为（　　）
A．沿北偏东40°方向航行 B．沿南偏西50°方向航行
C．沿北偏东40°方向，航行30海里 D．沿南偏西40°方向，航行30海里
4．（2024 拱墅区一模）如图，AB∥CD，∠A＝60°，则∠1的度数是（　　）
A．60° B．90° C．120° D．130°
5．（2024 北戴河区一模）如图，OA是北偏西60°方向的一条射线，若∠AOB＝90°，射线OB的方向是（　　）
A．南偏西30° B．南偏西60° C．北偏东30° D．北偏东60°
6．（2024 德州）已知∠AOB，点P为OA上一点，用尺规作图，过点P作OB的平行线．下列作图痕迹不正确的是（　　）
A． B． C． D．
7．（2024 苏州）如图，AB∥CD，若∠1＝65°，∠2＝120°，则∠3的度数为（　　）
A．45 B．55° C．60° D．65°
8．（2024 南充）如图，两个平面镜平行放置，光线经过平面镜反射时，∠1＝∠2＝40°，则∠3的度数为（　　）
A．80° B．90° C．100° D．120°
9．（2024 宝鸡二模）∠1与∠2互余，∠1与∠3互补，若∠3＝125°，则∠2＝（　　）
A．35° B．45° C．55° D．65°
10．（2024 齐齐哈尔）将一个含30°角的三角尺和直尺如图放置，若∠1＝50°，则∠2的度数是（　　）
A．30° B．40° C．50° D．60°
11．（2024 邢台三模）已知∠AOB，①分别在OA，OB上取点C，D；②分别以点C，D为圆心，大于长为半径画弧，两弧在∠AOB内交于点E；③作射线OE．这样得到的∠AOE与∠EOB的大小关系为（　　）
A．∠AOE＞∠EOB B．∠AOE＝∠EOB C．∠AOE＜∠EOB D．不能确定
12．（2024 金华一模）如图，平行于主光轴MN的光线AB和CD经过凸透镜的折射后，折射光线BE，DF交于主光轴MN上一点P．若∠ABE＝150°，∠CDF＝170°，则∠EPF的度数是（　　）
A．20° B．30° C．40° D．50°
二．填空题
13．（2024 江门校级一模）已知一个角的补角等于这个角的余角的3倍，则这个角的度数是　 　．
14．（2024 瑶海区校级模拟）若点P在线段AB的延长线上，AP＝8，BP＝3，则AB的长为 　 　．
15．（2024 潍坊二模）如图，已知∠AOB，以点O为圆心，以任意长为半径画弧MN，分别交OA，OB于点M，N，再以点N为圆心，以MN长为半径画弧PQ，交弧MN于点C，画射线OC．若∠AOB＝31°52′12″，则∠AOC的度数为 　 　度．
16．（2024 吉林二模）比较大小：20.24° 　 　20°24′（填“＞”“＜”或“＝”）．
17．（2024 武威二模）如图，点A，点B在同一条直线上，射线OD和射线OE分别平分∠AOC和∠BOC，若角∠COD＝62°，则∠BOE＝　 　°．
18．（2024 靖宇县校级一模）如图所示，从A处到公路m有三条路线可走，为了尽快赶到公路上，应选择的路线是 　 　，理由是 　 　．
19．（2024 东明县一模）共享单车为市民的绿色出行提供了方便．图①是某品牌共享单车放在水平地面的实物图，图②是其示意图，其中AB，CD都与地面l平行，∠BCD＝α，∠BAC＝β，AM∥CB，则∠MAC是 　 　．（用含α，β的式子表示）
三．解答题
20．（2024 固原模拟）如图1是长方形纸带，∠DEF＝28°，将纸带沿EF折叠成图2，再沿BF折叠成图3，则图3中的∠DHF的度数是 　 　．
21．（2024 莲都区二模）课堂上同学们独立完成了这样一道问题：“如图，已知AB∥CD，AD∥BC，求证：∠1＝∠2．”
小莲同学解答如下：
∵AB∥CD， ∴∠1+∠BCD＝180°， ∵AD∥BC， ∴∠2+∠BCD＝180°， ∴∠1＝∠2．
小莲的证法是否正确？若正确，请在框内打“√”；若错误，请写出你的证明过程．
22．（2023 金东区二模）如图，AD∥BC，点E是BA延长线上一点，∠E＝∠DCE．
（1）求证：∠B＝∠D．
（2）若CE平分∠BCD，∠E＝47°，求∠B的度数．
23．（2024 金昌三模）如图，AB∥DG，∠1+∠2＝180°．
（1）试判断AD与EF的位置关系，并说明理由．
（2）若DG是∠ADC的平分线，∠2＝150°，求∠B的度数．
24．（2024 田阳区二模）如图是一种躺椅及其简化结构示意图，扶手AB与底座CD都平行于地面EF，前支架OE与后支架OF分别与CD交于点G和点D，AB与DM交于点N，∠AOE＝∠BNM．
（1）求证：OE∥DM；
（2）若OE平分∠AOF，∠ODC＝30°，求扶手AB与靠背DM的夹角∠ANM 的度数．
答案与解析
一．选择题
1．（2024 兴庆区模拟）如图，A、B、C、D四点在一条直线上，若AB＝CD，下列各式表示线段AC错误的是（　　）
A．AC＝AD﹣CD B．AC＝AB+BC C．AC＝BD﹣AB D．AC＝AD﹣AB
【点拨】根据线段的和差即可得到结论．
【解析】解：∵A、B、C、D四点在一条直线上，AB＝CD，
∴AC＝AD﹣CD＝AD﹣AB＝AB+BC，
故选：C．
【点睛】本题考查了两点间的距离以及线段的和差，熟知各线段之间的和差关系是解答此题的关键．
2．（2024 前郭县一模）如图，A地到B地有三条路线，由上至下依次记为路线b，c，a，则从A地到B地的最短路线是c，其依据是（　　）
A．两点之间，线段最短 B．两点确定一条直线 C．两点之间，直线最短 D．直线比曲线短
【点拨】根据线段的性质，可得答案．
【解析】解：从A地到B地的最短路线是c，其中蕴含的数学道理是两点之间线段最短，
故选：A．
【点睛】本题考查了线段的性质，熟记两点之间，线段最短是解题关键．
3．（2024 长安区一模）一艘轮船在P处向M处的海上巡逻艇呼叫救援，根据如图所示，巡逻艇从M处去P处实施救援，若要航线最短，其航行的路线为（　　）
A．沿北偏东40°方向航行 B．沿南偏西50°方向航行
C．沿北偏东40°方向，航行30海里 D．沿南偏西40°方向，航行30海里
【点拨】根据方位角的定义即可得到结论．
【解析】解：航行的路线为沿南偏西40°方向，航行30海里，
故选：D．
【点睛】本题考查了方位角．熟练掌握方向角的定义是解题的关键．
4．（2024 拱墅区一模）如图，AB∥CD，∠A＝60°，则∠1的度数是（　　）
A．60° B．90° C．120° D．130°
【点拨】由平行线的性质得到∠A+∠2＝180°，求出∠2＝120°，由对顶角的性质得到∠1＝∠2＝120°．
【解析】解：∵AB∥CD，
∴∠A+∠2＝180°，
∵∠A＝60°，
∴∠2＝120°，
∵∠1、∠2是对顶角，
∴∠1＝∠2＝120°．
故选：C．
【点睛】本题考查平行线的性质，对顶角的性质，关键是由平行线的性质得到∠A+∠2＝180°．
5．（2024 北戴河区一模）如图，OA是北偏西60°方向的一条射线，若∠AOB＝90°，射线OB的方向是（　　）
A．南偏西30° B．南偏西60° C．北偏东30° D．北偏东60°
【点拨】根据方向角的定义得出∠AON＝60°，在根据平角的定义求出∠SOB的大小即可．
【解析】解：由方向角的定义可知，∠AON＝60°，
∵∠AOB＝90°，
∴∠SOB＝180°﹣90°﹣60°＝30°，
即OB的方向为南偏西30°，
故选：A．
【点睛】本题考查方向角，理解方向角的定义是正确解答的前提．
6．（2024 德州）已知∠AOB，点P为OA上一点，用尺规作图，过点P作OB的平行线．下列作图痕迹不正确的是（　　）
A．B． C． D．
【点拨】根据所给作图痕迹，结合平行线的判定，依次进行判断即可．
【解析】解：如图所示，
∵OM平分∠AOB，
∴∠AOM＝∠BOM，
又∵PO＝PM，
∴∠AOM＝∠PMO，
∴∠PMO＝∠BOM，
∴PM∥OB．
故A选项不符合题意．
如图所示，
∵OP＝OM，
∴∠OPM＝∠OMP．
又∵PN平分∠APM，
∴∠APN＝∠MPN．
据此无法得到判定PN∥OB的条件．
故B选项符合题意．
如图所示，
∵OP＝ON＝PM＝MN，
∴四边形OPMN是菱形，
∴PM∥OB．
故C选项不符合题意．
如图所示，
根据作图步骤可知，
这里作了一个角（∠APM）等于已知角（∠O），
∵∠APM＝∠O，
∴PM∥OB．
故D选项不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了平行线的判定及作图﹣基本作图，熟知平行线的判定是解题的关键．
7．（2024 苏州）如图，AB∥CD，若∠1＝65°，∠2＝120°，则∠3的度数为（　　）
A．45 B．55° C．60° D．65°
【点拨】根据“两直线平行，同位角相等”求出∠ACD＝65°，再根据三角形外角性质求解即可．
【解析】解：∵AB∥CD，∠1＝65°，
∴∠ACD＝∠1＝65°，
∵∠2＝∠ACD+∠3，∠2＝120°，
∴∠3＝55°，
故选：B．
【点睛】此题考查了平行线的性质和三角形的外角性质，熟记平行线的性质是解题的关键．
8．（2024 南充）如图，两个平面镜平行放置，光线经过平面镜反射时，∠1＝∠2＝40°，则∠3的度数为（　　）
A．80° B．90° C．100° D．120°
【点拨】根据经过两次反射后的光线与入射光线平行，得出∠3＝∠4即可．
【解析】解：如图：∵∠1＝∠2＝40°，
∴∠4＝180°﹣∠1﹣∠2＝100°，
∵两个平面镜平行放置，
∴经过两次反射后的光线与入射光线平行，
∴∠3＝∠4＝100°，
故选：C．
【点睛】本题考查平行线的性质，关键是掌握经过两次反射后的光线与入射光线平行．
9．（2024 宝鸡二模）∠1与∠2互余，∠1与∠3互补，若∠3＝125°，则∠2＝（　　）
A．35° B．45° C．55° D．65°
【点拨】根据∠1与∠2互余，可知∠1＝90°﹣∠2；由∠3与∠1互补，可知∠3＝180°﹣∠1，代入∠2的度数计算即可．
【解析】解：∵∠1与∠3互补，∠3＝125°，
∴∠1＝55°，
∵∠1与∠2互余，
∴∠2＝90°﹣55°＝35°．
故选：A．
【点睛】本题考查了余角和补角，解决本题的关键是熟记余角和补角的定义．
10．（2024 齐齐哈尔）将一个含30°角的三角尺和直尺如图放置，若∠1＝50°，则∠2的度数是（　　）
A．30° B．40° C．50° D．60°
【点拨】由对顶角的性质得到∠3＝∠1＝50°，∠2＝∠4，求出∠4＝90°﹣∠3＝40°，即可得到∠2的度数．
【解析】解：∵∠3＝∠1＝50°，
∴∠4＝90°﹣∠3＝40°，
∴∠2＝∠4＝40°．
故选：B．
【点睛】本题考查对顶角，关键是掌握对顶角的相等．
11．（2024 邢台三模）已知∠AOB，①分别在OA，OB上取点C，D；②分别以点C，D为圆心，大于长为半径画弧，两弧在∠AOB内交于点E；③作射线OE．这样得到的∠AOE与∠EOB的大小关系为（　　）
A．∠AOE＞∠EOB B．∠AOE＝∠EOB C．∠AOE＜∠EOB D．不能确定
【点拨】根据角平分线的尺规作图法可知，由于不能确定OC，OD大小关系，因此射线OE不一定是的角平分线，即可的得解．
【解析】解：由于不能确定OC，OD大小关系，就不能确定∠AOE与∠EOB的大小关系．
故选：D．
【点睛】此题考查角平分线的定义，作图，熟练掌握角平分线的作图是解题的关键．
12．（2024 金华一模）如图，平行于主光轴MN的光线AB和CD经过凸透镜的折射后，折射光线BE，DF交于主光轴MN上一点P．若∠ABE＝150°，∠CDF＝170°，则∠EPF的度数是（　　）
A．20° B．30° C．40° D．50°
【点拨】根据平行线的性质得∠BPM＝180°﹣∠ABE＝30°，∠DPM＝180°﹣∠CDF＝10°，由此得∠BPD＝∠BPM+∠DPM＝40°，进而根据对顶的性质得∠EPF的度数．
【解析】解：∵AB∥MN∥CD，
∴∠ABE+∠BPM＝180°，∠CDF+∠DPM＝180°，
又∵∠ABE＝150°，∠CDF＝170°，
∴∠BPM＝180°﹣∠ABE＝180°﹣150°＝30°，∠DPM＝180°﹣∠CDF＝180°﹣170°＝10°，
∴∠BPD＝∠BPM+∠DPM＝30°+10°＝40°，
∴∠EPF＝∠BPD＝40°．
故选：C．
【点睛】此题主要考查了平行线的性质，准确识图，熟练掌握平行线的性质是解决问题的关键．
二．填空题
13．（2024 江门校级一模）已知一个角的补角等于这个角的余角的3倍，则这个角的度数是　45°　．
【点拨】做此类题可首先设未知数，然后列出等式解答即可．这个角的补角则为180°﹣x，余角为90°﹣x．
【解析】解：设这个角的度数为x．
即180°﹣x＝3（90°﹣x）
则x＝45°．
故答案为：45°
【点睛】此类题属基础题，关键是明确余角和补角的定义，列出等量关系式解答即可．
14．（2024 瑶海区校级模拟）若点P在线段AB的延长线上，AP＝8，BP＝3，则AB的长为 　5　．
【点拨】根据线段的和差关系进行求解即可．
【解析】解：∵点P在线段AB的延长线上，AP＝8，BP＝3，
∴AB＝AP﹣BP＝5，
故答案为：5．
【点睛】本题主要考查了线段的和差计算，线段的和差问题，通常可以考虑用“截长法”或“补短法”来完成．
15．（2024 潍坊二模）如图，已知∠AOB，以点O为圆心，以任意长为半径画弧MN，分别交OA，OB于点M，N，再以点N为圆心，以MN长为半径画弧PQ，交弧MN于点C，画射线OC．若∠AOB＝31°52′12″，则∠AOC的度数为 　63.74　度．
【点拨】根据题意可得：∠AOB＝∠BOC＝31°52′12″，从而可得∠AOC＝63°44′24″，然后利用度分秒的进制进行计算，即可解答．
【解析】解：由题意得：∠AOB＝∠BOC＝31°52′12″，
∴∠AOC＝2∠AOB＝2×31°52′12″＝62°104′24″＝63°44′24″，
∵1′＝60′，
∴24″＝0.4′，
∵1°＝60′，
∴44.4′＝0.74°，
∴∠AOB＝63.74°，
故答案为：63.74°．
【点睛】本题考查了度分秒的换算，角平分线的性质，准确熟练地进行计算是解题的关键．
16．（2024 吉林二模）比较大小：20.24° 　＜　20°24′（填“＞”“＜”或“＝”）．
【点拨】将20°24′化为度，然后比较大小即可．
【解析】解：20°24′
＝20°+（24÷60）°
＝20.4°＞20.24°，
故答案为：＜．
【点睛】本题考查度分秒的换算，熟练掌握度分秒之间的进率是解题的关键．
17．（2024 武威二模）如图，点A，点B在同一条直线上，射线OD和射线OE分别平分∠AOC和∠BOC，若角∠COD＝62°，则∠BOE＝　28　°．
【点拨】根据角平分线的定义可得∠AOC＝124°，然后利用平角定义可得∠BOC＝56°，从而再利用角平分线的定义进行计算，即可解答．
【解析】解：∵射线OD平分∠AOC，∠COD＝62°，
∴∠AOC＝2∠COD＝124°，
∴∠BOC＝180°﹣∠AOC＝56°，
∵射线OE平分∠BOC，
∴∠BOE＝∠BOC＝28°，
故答案为：28．
【点睛】本题考查了角平分线的定义，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键．
18．（2024 靖宇县校级一模）如图所示，从A处到公路m有三条路线可走，为了尽快赶到公路上，应选择的路线是 　AC　，理由是 　垂线段最短　．
【点拨】从直线外一点向这条直线所画的线段中只有垂直线段最短，据此解答即可．
【解析】解：应选择的路线是AC，理由是垂线段最短；
故答案为：AC，垂线段最短．
【点睛】本题考查垂线的性质在实际生活中的运用，关键是掌握垂线段的性质：垂线段最短．
19．（2024 东明县一模）共享单车为市民的绿色出行提供了方便．图①是某品牌共享单车放在水平地面的实物图，图②是其示意图，其中AB，CD都与地面l平行，∠BCD＝α，∠BAC＝β，AM∥CB，则∠MAC是 　180°﹣α﹣β　．（用含α，β的式子表示）
【点拨】由AB∥CD得到∠BCD+∠ACB+∠CAB＝180°，代入∠BCD＝α，∠BAC＝β得到∠ACB＝180°﹣α﹣β，由AM∥CB即可得到∠MAC＝∠ACB＝180°﹣α﹣β．
【解析】解：∵AB∥CD，
∴∠BCD+∠ACB+∠CAB＝180°，
∵∠BCD＝α，∠BAC＝β，
∴∠ACB＝180°﹣∠BCD﹣∠CAB＝180°﹣α﹣β，
∵AM∥CB，
∴∠MAC＝∠ACB＝180°﹣α﹣β．
故答案为：180°﹣α﹣β．
【点睛】本题考查了平行线的性质，掌握平行线的性质是解题的关键．
三．解答题
20．（2024 固原模拟）如图1是长方形纸带，∠DEF＝28°，将纸带沿EF折叠成图2，再沿BF折叠成图3，则图3中的∠DHF的度数是 　84°　．
【点拨】如图2，延长AE到M，由折叠的性质得到：∠MEF＝∠DEF＝28°，由平行线的性质推出∠EFN＝∠MEF＝28°，由三角形外角的性质求出∠DNF＝∠EFN+∠NEF＝56°，如图3，由折叠的性质得到：∠FGH＝∠DNC＝56°，由三角形外角的性质得到∠DHF＝∠GFH+∠FGH＝84°．
【解析】解：如图2，延长AE到M，
由折叠的性质得到：∠MEF＝∠DEF＝28°，
∵AE∥BF，
∴∠EFN＝∠MEF＝28°，
∴∠DNF＝∠EFN+∠NEF＝28°+28°＝56°，
如图3，
由折叠的性质得到：∠FGH＝∠DNC＝56°，
∵∠GFH＝28°，
∴∠DHF＝∠GFH+∠FGH＝28°+56°＝84°．
故答案为：84°．
【点睛】本题考查平行线的性质，折叠的性质，三角形外角的性质，关键是由折叠的性质得到∠MEF＝∠DEF＝28°，∠FGH＝∠DNC＝56°．
21．（2024 莲都区二模）课堂上同学们独立完成了这样一道问题：“如图，已知AB∥CD，AD∥BC，求证：∠1＝∠2．”
小莲同学解答如下：
∵AB∥CD， ∴∠1+∠BCD＝180°， ∵AD∥BC， ∴∠2+∠BCD＝180°， ∴∠1＝∠2．
小莲的证法是否正确？若正确，请在框内打“√”；若错误，请写出你的证明过程．
【点拨】由平行线的性质推出∠1+∠BAD＝180°，∠2+∠BAD＝180°，由补角的性质推出∠1＝∠2．
【解析】小莲的证法是错误的．
证明：AB∥CD，
∴∠1+∠BAD＝180°，
∵AD∥BC，
∴∠2+∠BAD＝180°，
∴∠1＝∠2．
【点睛】本题考查平行线的性质，关键是掌握平行线的性质：两直线平行，同旁内角互补．
22．（2023 金东区二模）如图，AD∥BC，点E是BA延长线上一点，∠E＝∠DCE．
（1）求证：∠B＝∠D．
（2）若CE平分∠BCD，∠E＝47°，求∠B的度数．
【点拨】（1）先利用平行线的性质可得∠B＝∠EAD，再利用已知和平行线的判定可得EB∥CD，然后再利用平行线的性质可得∠D＝∠EAD，即可解答；
（2）根据已知可得∠DCE＝47°，再利用角平分线的定义可得∠BCE＝∠DCE＝47°，然后利用三角形内角和定理，进行计算即可解答．
【解析】（1）证明：∵AD∥BC，
∴∠B＝∠EAD，
∵∠E＝∠DCE，
∴EB∥CD，
∴∠D＝∠EAD，
∴∠B＝∠D；
（2）解：∵∠E＝47°，∠E＝∠DCE，
∴∠E＝∠DCE＝47°，
∵CE平分∠BCD，
∴∠BCE＝∠DCE＝47°，
∴∠B＝180°﹣∠E﹣∠BCE＝86°．
【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理，熟练掌握平行线的性质和三角形内角和定理是解题的关键．
23．（2024 金昌三模）如图，AB∥DG，∠1+∠2＝180°．
（1）试判断AD与EF的位置关系，并说明理由．
（2）若DG是∠ADC的平分线，∠2＝150°，求∠B的度数．
【点拨】（1）先根据AB∥DG，得到∠1＝∠BAD，再根据∠1+∠2＝180°得到∠BAD+∠2＝180°故可求解；
（2）先求出∠1＝30°，得到∠GDC＝30°，根据平行线的性质即可得到∠B的度数．
【解析】（1）证明：AD∥EF，理由如下：
∵AB∥DG，
∴∠1＝∠BAD，
∵∠1+∠2＝180°，
∴∠BAD+∠2＝180°，
∴AD∥EF；
（2）解：∵∠1+∠2＝180°，∠2＝150°，
∴∠1＝30°，
∵DG平分∠ADC，
∴∠1＝∠GDC＝30°，
∵AB∥DG，
∴∠B＝∠GDC＝30°．
【点睛】此题主要考查平行线的性质与判定，解题的关键是熟知平行线和角平分线的性质．
24．（2024 田阳区二模）如图是一种躺椅及其简化结构示意图，扶手AB与底座CD都平行于地面EF，前支架OE与后支架OF分别与CD交于点G和点D，AB与DM交于点N，∠AOE＝∠BNM．
（1）求证：OE∥DM；
（2）若OE平分∠AOF，∠ODC＝30°，求扶手AB与靠背DM的夹角∠ANM 的度数．
【点拨】（1）结合题意，根据对顶角相等推出∠AOE＝∠AND，根据“同位角相等，两直线平行”即可得解；
（2）根据平行线的性质及角平分线定义求解即可．
【解析】（1）证明：∵∠BNM＝∠AND，∠AOE＝∠BNM，
∴∠AOE＝∠AND，
∴OE∥DM；
（2）解：∵AB与底座CD都平行于地面EF，
∴AB∥CD，
∴∠BOD＝∠ODC＝30°，
∵∠AOF+∠BOD＝180°，
∴∠AOF＝150°，
∵OE平分∠AOF，
∴∠EOF＝∠AOF＝75°，
∴∠BOE＝∠BOD+∠EOF＝105°，
∵OE∥DM，
∴∠ANM＝∠BOE＝105°．
【点睛】本题主要考查了平行线的判定与性质的运用，掌握平行线的判定与性质是解题的关键．
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