2025年浙江省中考数学一轮复习专题检测 专题17 全等三角形（含解析）

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专题17 全等三角形
一．选择题
1．（2024 重庆一模）如图，已知BC＝CD，那么添加下列一个条件后不能证明△ABC≌△ADC的是（　　）
A．AB＝AD B．∠BCA＝∠DCA C．∠B＝∠D＝90° D．∠BAC＝∠DAC
2．（2024 玉环市三模）如图所示，AB＝BD，BC＝BE，要使△ABE≌△DBC，需添加条件（　　）
A．∠A＝∠D B．∠C＝∠E C．∠D＝∠E D．∠ABD＝∠CBE
3．（2024 桥西区一模）下列说法中不正确的是（　　）
A．全等三角形的周长相等 B．全等三角形的面积相等
C．全等三角形能重合 D．全等三角形一定是等边三角形
4．（2024 钱塘区二模）在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别记为a，b，c，则符合下列条件的三角形不能唯一确定的是（　　）
A．a＝，b＝2，∠A＝45° B．a＝5，b＝12，c＝13
C．a＝5，∠A＝30°，∠B＝120° D．a＝5，b＝2，∠A＝60°
5．（2024 邗江区二模）工人师傅常用角尺平分一个任意角，做法是：如图在∠AOB的边OA、OB上分别取OM＝ON，移动角尺，使角尺的两边相同的刻度分别与M、N重合，得到∠AOB的平分线OP，做法中用到三角形全等的判定方法是（　　）
A．SSS B．SAS C．ASA D．HL
6．（2024 岱岳区校级模拟）已知：如图，AC＝CD，∠B＝∠E＝90°，AC⊥CD，则不正确的结论是（　　）
A．∠A与∠D互为余角 B．∠A＝∠2
C．△ABC≌△CED D．∠1＝∠2
7．（2024 益阳三模）如图，△AOB≌△ADC，∠O＝∠D＝90°，记∠OAD＝α，∠ABO＝β，当BC∥OA时，α与β之间的数量关系为（　　）
A．α＝β B．α＝2β C．α+β＝90° D．α+2β＝180°
8．（2024 重庆）如图，在正方形ABCD的边CD上有一点E，连接AE，把AE绕点E逆时针旋转90°，得到FE，连接CF并延长与AB的延长线交于点G．则的值为（　　）
A． B． C． D．
9．（2024 黄岩区一模）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，分别以三角形的三边为边作正方形BAGF，ACHI，BCDE．DE，AG相交于点P，AI，CD相交于点Q，连接EI．则下列结论错误的是（　　）
A．△BEF≌△BCA
B．AI＝EG
C．
D．S△EPG+S四边形CHIQ＝S△ABC
10．（2024 宜宾）如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝2，以BC为边作Rt△BCD，BC＝BD，点D与点A在BC的两侧，则AD的最大值为（　　）
A．2+3 B．6+2 C．5 D．8
二．填空题
11．（2024 牡丹江）如图，△ABC中，D是AB上一点，CF∥AB，D、E、F三点共线，请添加一个条件 　 　，使得AE＝CE．（只添一种情况即可）
12．（2024 浙江模拟）如图，已知在△ABC和△DEF中，点B，E，C，F在同一条直线上，AB∥DE，BE＝CF．请你添加一个条件 　 　，使得△ABC≌△DEF．
13．（2024 单县三模）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，△ABC≌△EDC，点D在边AB上，AC、ED交于点F，若∠A＝24°，则∠EFC的度数是 　 　．
14．（2024 晋江市模拟）如图，点D在△ABC内部，△DAB≌△EAC，若添加一个条件：　 　，则△ADE等边三角形．
15．（2024 武威三模）如图，MN∥PQ，AB⊥PQ，点A、D、B、C分别在直线MN与PQ上，点E在AB上，AD+BC＝7，AD＝EB，DE＝EC，则AB＝　 　．
16．（2024 盐城三模）如图，△ABC中，AB＝AC＝12厘米，BC＝9厘米，点D为AB的中点，如果点P在线段BC上以y厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．若点Q的运动速度为3厘米/秒，则当△BPD与△CQP全等时，y的值为 　 　．
17．（2025 莲湖区一模）如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝∠BCD＝90°，AC平分∠BCD，点E在边AC上，CE＝DE．若BC＝4，则△ABE的面积为 　 　．
18．（2024 内江校级二模）如图，在△OAB中，∠AOB＝90°，，P是OB的中点，若点D在直线AB上运动，连接OD，以OD为腰，向OD的右侧作等腰直角三角形ODE，连接PE，则在点D的运动过程中，线段PE的最小值为 　 　．
三．解答题
19．（2024 淄博）如图，已知AB＝CD，点E，F在线段BD上，且AF＝CE．
请从①BF＝DE；②∠BAF＝∠DCE；③AF＝CF中．选择一个合适的选项作为已知条件，使得△ABF≌△CDE．
你添加的条件是：　 　（只填写一个序号）．
添加条件后，请证明AE∥CF．
20．（2024 长沙）如图，点C在线段AD上，AB＝AD，∠B＝∠D，BC＝DE．
（1）求证：△ABC≌△ADE；
（2）若∠BAC＝60°，求∠ACE的度数．
21．（2024 西湖区一模）已知：如图，点D在AB边上（不与点A，点B重合），E在AC边上（不与点A，点C重合），连接BE，CD，BE与CD相交于点O，AB＝AC，∠B＝∠C．
有以下四个结论：①BE＝CD；②BO＝CO；③DO＝EO；④BO＝BD．
（1）以上四个结论中正确的是 　 　.（只需填写序号）
（2）请从（1）中任选一个结论进行证明．
22．（2024 工业园区校级二模）如图，已知△ABC≌△DEB，点E在AB上，AC与BD交于点F，AB＝6，BC＝3，∠C＝55°，∠D＝25°．
（1）求AE的长度；
（2）求∠AED的度数．
23．（2024 荔湾区一模）如图，点E，C在线段BF上，BE＝FC，∠A＝∠D，∠ACB＝∠DEF．求证：△ABC≌△DFE．
24．（2024 龙江县模拟）数学活动课上，老师出示两个大小不一样的等腰直角ABC和ADE摆在一起，其中直角顶点A重合，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝90°．
（1）用数学的眼光观察．
如图，连接BD，CE，判断BD与CE的数量关系为 　 　．
（2）用数学的思维思考．
求证：△ABD≌△ACE．
答案与解析
一．选择题
1．（2024 重庆一模）如图，已知BC＝CD，那么添加下列一个条件后不能证明△ABC≌△ADC的是（　　）
A．AB＝AD B．∠BCA＝∠DCA C．∠B＝∠D＝90° D．∠BAC＝∠DAC
【点拨】由全等三角形的判定方法，即可判断．
【解析】解：A、由SSS证明△ABC≌△ADC，故A不符合题意；
B、由SAS证明△ABC≌△ADC，故B不符合题意；
C、由HL证明△ABC≌△ADC，故C不符合题意；
D、∠BAC和∠DAC分别是BC和CD的对角，不能证明△ABC≌△ADC，故D符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查全等三角形的判定，关键是掌握全等三角形的判定方法：SAS、ASA、AAS、SSS、HL．
2．（2024 玉环市三模）如图所示，AB＝BD，BC＝BE，要使△ABE≌△DBC，需添加条件（　　）
A．∠A＝∠D B．∠C＝∠E C．∠D＝∠E D．∠ABD＝∠CBE
【点拨】根据已知条件是两个三角形的两组对应边，所以需要添加的条件必须能得到这两边的夹角相等，整理得到角的可能情况，然后选择答案即可．
【解析】解：∵AB＝BD，BC＝BE，
∴要使△ABE≌△DBC，需添加的条件为∠ABE＝∠DBC，
又∠ABE﹣∠DBE＝∠DBC﹣∠DBE，
即∠ABD＝∠CBE，
∴可添加的条件为∠ABE＝∠DBC或∠ABD＝∠CBE．
综合各选项，D选项符合．
故选：D．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定，根据两边确定出需添加的条件必须是这两边的夹角是解题的关键．
3．（2024 桥西区一模）下列说法中不正确的是（　　）
A．全等三角形的周长相等 B．全等三角形的面积相等
C．全等三角形能重合 D．全等三角形一定是等边三角形
【点拨】根据全等三角形的性质得出AB＝DE，AC＝DF，BC＝EF，即可判断A；根据全等三角形的性质得出△ABC和△DEF放在一起，能够完全重合，即可判断B、C；根据图形即可判断D．
【解析】解：
A、∵△ABC≌△DEF，
∴AB＝DE，AC＝DF，BC＝EF，
∴AB+AC+BC＝DE+DF+EF，故本选项错误；
B、∵△ABC≌△DEF，
即△ABC和△DEF放在一起，能够完全重合，即两三角形的面积相等，故本选项错误；
C、∵△ABC≌△DEF，
即△ABC和△DEF放在一起，能够完全重合，故本选项错误；
D、如图△ABC和DEF不是等边三角形，但两三角形全等，故本选项正确；
故选：D．
【点睛】本题考查了全等三角形的定义和性质的应用，能运用全等三角形的有关性质进行说理是解此题的关键，题目较好，但是一道比较容易出错的题目．
4．（2024 钱塘区二模）在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别记为a，b，c，则符合下列条件的三角形不能唯一确定的是（　　）
A．a＝，b＝2，∠A＝45° B．a＝5，b＝12，c＝13
C．a＝5，∠A＝30°，∠B＝120° D．a＝5，b＝2，∠A＝60°
【点拨】根据全等三角形的判定方法一一判断．
【解析】解：A、SSA不能确定三角形，本选项符合题意；
B、SSS能确定三角形，本选项不符合题意；
C、AAS能确定三角形，本选项不符合题意；
D、△ABC只能是钝角三角形，能唯一确定，本选项不符合题意．
故选：A．
【点睛】本题考查全等三角形的判定，解题的关键是掌握全等三角形的判定方法．
5．（2024 邗江区二模）工人师傅常用角尺平分一个任意角，做法是：如图在∠AOB的边OA、OB上分别取OM＝ON，移动角尺，使角尺的两边相同的刻度分别与M、N重合，得到∠AOB的平分线OP，做法中用到三角形全等的判定方法是（　　）
A．SSS B．SAS C．ASA D．HL
【点拨】已知两三角形三边分别相等，可考虑SSS证明三角形全等，从而证明角相等．
【解析】解：做法中用到的三角形全等的判定方法是SSS
证明如下：
由题意得，PN＝PM，
在△ONP和△OMP中，
，
∴△ONP≌△OMP（SSS）
所以∠NOP＝∠MOP
故OP为∠AOB的平分线．
故选：A．
【点睛】本题考查全等三角形在实际生活中的应用．对于难以确定角平分线的情况，利用全等三角形中对应角相等，从而轻松确定角平分线．
6．（2024 岱岳区校级模拟）已知：如图，AC＝CD，∠B＝∠E＝90°，AC⊥CD，则不正确的结论是（　　）
A．∠A与∠D互为余角 B．∠A＝∠2 C．△ABC≌△CED D．∠1＝∠2
【点拨】先根据角角边证明△ABC与△CED全等，再根据全等三角形对应边相等，全等三角形的对应角相等的性质对各选项判断后，利用排除法求解．
【解析】解：∵AC⊥CD，
∴∠1+∠2＝90°，
∵∠B＝90°，
∴∠1+∠A＝90°，
∴∠A＝∠2，
在△ABC和△CED中，
，
∴△ABC≌△CED（AAS），
故B、C选项正确；
∵∠2+∠D＝90°，
∴∠A+∠D＝90°，
故A选项正确；
∵AC⊥CD，
∴∠ACD＝90°，
∠1+∠2＝90°，
但∠1不一定等于∠2，
故D选项错误．
故选：D．
【点睛】本题主要考查全等三角形的性质，先证明三角形全等是解决本题的突破口，也是难点所在．做题时，要结合已知条件与全等的判定方法对选项逐一验证．
7．（2024 益阳三模）如图，△AOB≌△ADC，∠O＝∠D＝90°，记∠OAD＝α，∠ABO＝β，当BC∥OA时，α与β之间的数量关系为（　　）
A．α＝β B．α＝2β C．α+β＝90° D．α+2β＝180°
【点拨】根据全等三角形对应边相等可得AB＝AC，全等三角形对应角相等可得∠BAO＝∠CAD，然后求出∠BAC＝α，再根据等腰三角形两底角相等求出∠ABC，然后根据两直线平行，同旁内角互补表示出∠OBC，整理即可．
【解析】解：∵△AOB≌△ADC，
∴AB＝AC，∠BAO＝∠CAD，
∴∠BAC＝∠OAD＝α，
在△ABC中，，
∵BC∥OA，
∴∠OBC＝180°﹣∠O＝180°﹣90°＝90°，
∴，
整理得，α＝2β．
故选：B．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质，等腰三角形两底角相等的性质，平行线的性质，解题的关键是熟记各性质并准确识图理清图中各角度之间的关系．
8．（2024 重庆）如图，在正方形ABCD的边CD上有一点E，连接AE，把AE绕点E逆时针旋转90°，得到FE，连接CF并延长与AB的延长线交于点G．则的值为（　　）
A． B． C． D．
【点拨】过点F作FH⊥DC交DC延长线于点H，证明△ADE和△EHF全等，得到∠FCH＝45°，再根据等腰直角三角形三边关系，求出比值．
【解析】解：过点F作FH⊥DC交DC延长线于点H，
∴∠H＝90°
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠D＝90°，AD＝DC，
∵AE绕点E逆时针旋转90°，得到FE，
∴AE＝FE，∠AEF＝90°，
∵∠DAE+∠AED＝90°，∠HEF+∠AED＝90°，
∴∠DAE＝∠HEF，
在△ADE和△EHF中，
，
∴△ADE≌△EHF（AAS），
∴AD＝EH，DE＝HF，
∴EH＝DC，
∴DE＝CH＝HF，
∴∠HCF＝45°，
∴∠G＝45°，
设CH＝HF＝DE＝x，正方形边长为y，
则CE＝y﹣x，CF＝，CG＝，
∴FG＝CG﹣CF＝，
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，旋转的性质，正方形的性质，掌握全等三角形的性质与判定方法是解题的关键．
9．（2024 黄岩区一模）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，分别以三角形的三边为边作正方形BAGF，ACHI，BCDE．DE，AG相交于点P，AI，CD相交于点Q，连接EI．则下列结论错误的是（　　）
A．△BEF≌△BCA B．AI＝EG C． D．S△EPG+S四边形CHIQ＝S△ABC
【点拨】由正方形性质得BF＝BA，BE＝BC，∠FBA＝∠EBC＝90°，则∠FBE＝∠ABC，进而可依据“SAS”判定△BEF和△BCA全等，由此可对选项A进行判断；设BC＝a，AC＝b，AB＝c，则AI＝AC＝b，FG＝AB＝c，根据△BEF≌△BCA得FE＝AC＝b，则EG＝FG﹣FE＝c﹣b，假设AI＝EG，则b＝c﹣b，由此得c＝2b，根据已知条件无法判定c＝2b，由此可对选项B进行判断；连接AF，证四边形AIEF为平行四边形得EI＝AF，在Rt△AFG中由勾股定理得AF＝FG，由此可对选项C进行判断；
证△GEP∽△ABC得GP：AC＝GE：AB，即GP＝，S△GPE＝GE GP＝，证△ABC∽△ACQ得AC：AQ＝AB：AC，即AQ＝，则QI＝AI﹣AQ＝，进而得S四边形CHIQ＝（QI+CH） HI＝，由此得S△GPE+S四边形CHIQ＝+＝，由此可对选项D进行判断，综上所述即可得出答案．
【解析】解：∵四边形BAGF，ACHI，BCDE均为正方形，
∴BF＝BA，BE＝BC，∠FBA＝∠EBC＝90°，
∴∠FBE+∠EBA＝∠EBA+∠ABC＝90°，
∴∠FBE＝∠ABC，
在△BEF和△BCA中，
，
∴△BEF≌△BCA（SAS），
故选项A正确，不符合题意；
设BC＝a，AC＝b，AB＝c，
∵四边形BAGF，ACHI，BCDE均为正方形，
∴AI＝AC＝b，FG＝AB＝c，
∵△BEF≌△BCA，
∵FE＝AC＝b，
∴EG＝FG﹣FE＝c﹣b，
假设AI＝EG，
∴b＝c﹣b，
∴c＝2b，
根据已知条件无法判定c＝2b，
∴假设AI＝EG是错误的，
故选项B是错误的，符合题意；
连接AF，如图所示：
∵AI＝AC＝b，FE＝AC＝b，
∴FE＝AI，
根据正方形的性质得：AI⊥CG，FE⊥CG，AG＝FG，
∴AI∥FE，
∴四边形AIEF为平行四边形，
∴EI＝AF，
在Rt△AFG中，由勾股定理得：AF＝＝AG，
∴EI＝AG，
故选项C正确，不符合题意；
根据正方形性质得：EG∥BA，EP∥BC，∠G＝∠BAC＝90°，
∴∠GEP＝∠ABC，
∴△GEP∽△ABC，
∴GP：AC＝GE：AB，
∴GP：b＝（c﹣b）：c，
∴GP＝，
∴S△GPE＝GE GP＝×＝，
∵∠BCQ＝∠BAC＝∠CAQ＝90°
∴∠ABC+∠ACB＝90°，∠ACQ+∠ACB＝90°，
∴∠ABC＝∠ACQ，
∴△ABC∽△ACQ，
∴AC：AQ＝AB：AC，
即b：AQ＝c：b，
∴AQ＝，
∴QI＝AI﹣AQ＝＝，
∴S四边形CHIQ＝（QI+CH） HI＝＝，
∴S△GPE+S四边形CHIQ＝+
＝×[（c﹣b）2+b（2c﹣b）]
＝×（c2﹣2bc+b2+2bc﹣b2）
＝×c2
＝，
∴S△ABC＝AC AB＝，
∴S△EPG+S四边形CHIQ＝S△ABC，
故选项D正确，不符合题意，
故选：B．
【点睛】此题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，三角形的面积等，理解正方形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，灵活运用勾股定理，三角形的面积进行计算是解决问题的关键．
10．（2024 宜宾）如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝2，以BC为边作Rt△BCD，BC＝BD，点D与点A在BC的两侧，则AD的最大值为（　　）
A．2+3 B．6+2 C．5 D．8
【点拨】由“SAS”可证△DBE≌△CBA，可得DE＝AC＝2，由三角形的三边关系可求解．
【解析】解：如图，将BA绕点B顺时针旋转90°，得到BE，连接AE，DE，
∴BE＝AB，∠ABE＝90°，
∴AE＝AB＝6，
∵∠DBC＝90°＝∠EBA，
∴∠DBE＝∠CBA，
又∵BD＝BC，AB＝BE，
∴△DBE≌△CBA（SAS），
∴DE＝AC＝2，
在△ADE中，AD＜AE+DE，
∴当A，D，E三点共线时，AD有最大值，
∴AD的最大值＝6+2＝8，
故选：D．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，旋转的性质，三角形的三边关系，等腰直角三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．
二．填空题
11．（2024 牡丹江）如图，△ABC中，D是AB上一点，CF∥AB，D、E、F三点共线，请添加一个条件 　DE＝EF　，使得AE＝CE．（只添一种情况即可）
【点拨】根据题目中的条件和全等三角形的判定，可以写出添加的条件，注意本题答案不唯一．
【解析】解：∵CF∥AB，
∴∠A＝∠ECF，∠ADE＝∠CFE，
∴添加条件DE＝EF，可以使得△ADE≌△CFE（AAS），
添加条件AD＝CF，可以使得△ADE≌△CFE（ASA），
故答案为：DE＝EF或AD＝CF（答案不唯一）．
【点睛】本题考查全等三角形的判定，解答本题的关键是明确题意，利用全等三角形的判定解答．
12．（2024 浙江模拟）如图，已知在△ABC和△DEF中，点B，E，C，F在同一条直线上，AB∥DE，BE＝CF．请你添加一个条件 　AB＝DE或∠A＝∠D或∠ACB＝∠F（答案不唯一）　，使得△ABC≌△DEF．
【点拨】由BE＝CF可得到BC＝EF，结合条件利用三角形全等的判定方法解答即可．
【解析】解：∵BE＝CF，
∴BE+EC＝CF+EC，
即BC＝EF，
∵AB∥DE，
∴∠B＝∠DEF，
添加AB＝DE，利用SAS使得△ABC≌△DEF．
添加∠A＝∠D，利用AAS使得△ABC≌△DEF．
添加∠ACB＝∠F，利用ASA使得△ABC≌△DEF．
故答案为：AB＝DE或∠A＝∠D或∠ACB＝∠F（答案不唯一）．
【点睛】本题主要考查全等三角形的判定方法，掌握全等三角形的判定方法，即SSS、SAS、ASA、AAS和HL是解题的关键．
13．（2024 单县三模）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，△ABC≌△EDC，点D在边AB上，AC、ED交于点F，若∠A＝24°，则∠EFC的度数是 　108°　．
【点拨】先证明BC＝CD，∠A＝∠E＝24°，∠ACB＝∠DCE＝90°，可得∠ACE＝∠BCD，再求解∠B＝∠BDC＝90°﹣24°＝66°，再进一步可得答案．
【解析】解：∵△ABC≌△EDC，∠A＝24°，
∴BC＝CD，∠A＝∠E＝24°，∠ACB＝∠DCE＝90°，
∴∠ACE＝∠BCD，
∵∠ACB＝90°，
∴∠B＝∠BDC＝90°﹣24°＝66°，
∴∠BCD＝180°﹣2×66°＝48°＝∠ACE，
∴∠EFC＝180°﹣∠ECF﹣∠E＝108°．
故答案为：108°．
【点睛】本题考查的是全等三角形的性质，三角形的内角和定理的应用，等腰三角形的性质，熟练的利用全等三角形的性质解决问题是关键．
14．（2024 晋江市模拟）如图，点D在△ABC内部，△DAB≌△EAC，若添加一个条件：　AD＝DE或∠DAE＝60°或∠∠BAC＝60°或AB＝BC等　，则△ADE等边三角形．
【点拨】根据全等三角形的性质和等边三角形的判定即可得到结论．
【解析】解：∵△DAB≌△EAC，
∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAD＝∠CAE，
添加AD＝DE或∠DAE＝60°或∠∠BAC＝60°或AB＝BC等，
∴△ADE是等边三角形，
故答案为：AD＝DE或∠DAE＝60°或∠∠BAC＝60°或AB＝BC等．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质，等边三角形的判定，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键．
15．（2024 武威三模）如图，MN∥PQ，AB⊥PQ，点A、D、B、C分别在直线MN与PQ上，点E在AB上，AD+BC＝7，AD＝EB，DE＝EC，则AB＝　7　．
【点拨】可判定△ADE≌△BCE，从而得出AE＝BC，则AB＝AD+BC．
【解析】解：∵MN∥PQ，AB⊥PQ，
∴AB⊥MN，
∴∠DAE＝∠EBC＝90°，
在Rt△ADE和Rt△BCE中，
，
∴△ADE≌△BEC（HL），
∴AE＝BC，
∵AD+BC＝7，
∴AB＝AE+BE＝AD+BC＝7．
故答案为7．
【点睛】本题考查了直角三角形全等的判定和性质以及平行线的性质是基础知识比较简单．
16．（2024 盐城三模）如图，△ABC中，AB＝AC＝12厘米，BC＝9厘米，点D为AB的中点，如果点P在线段BC上以y厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．若点Q的运动速度为3厘米/秒，则当△BPD与△CQP全等时，y的值为 　2.25或3　．
【点拨】分两种情况讨论：①若△BPD≌△CPQ，根据全等三角形的性质，则BD＝CQ＝6厘米，BP＝CP＝BC＝×9＝4.5（厘米），根据速度、路程、时间的关系即可求得；②若△BPD≌△CQP，则CP＝BD＝6厘米，BP＝CQ，得出，解得：v＝3．
【解析】解：∵△ABC中，AB＝AC＝12厘米，点D为AB的中点，
∴BD＝6厘米，
若△BPD≌△CPQ，则需BD＝CQ＝6厘米，BP＝CP＝BC＝×9＝4.5（厘米），
∵点Q的运动速度为3厘米/秒，
∴点Q的运动时间为：6÷3＝2（s），
∴v＝4.5÷2＝2.25（厘米/秒）；
若△BPD≌△CQP，则需CP＝BD＝6厘米，BP＝CQ，
∴，
解得：v＝3；
∴v的值为：2.25或3，
故答案为：2.25或3．
【点睛】此题考查了全等三角形的判定和线段垂直平分线的性质，掌握三角形全等的判定是解题关键．
17．（2025 莲湖区一模）如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝∠BCD＝90°，AC平分∠BCD，点E在边AC上，CE＝DE．若BC＝4，则△ABE的面积为 　4　．
【点拨】过点B作BH⊥AC于点H，证明△ABH≌△DAE，则BH＝AE，AH＝DE＝CE．设BH＝x，得到BH＝CH＝AE＝x在Rt△BCH中，BH2+CH2＝BC2，求出x2＝8，即可得到S△ABE＝BH AE＝＝4．
【解析】解：如图，过点B作BH⊥AC于点H，则∠ABH+∠BAE＝90°．
∵∠BAD＝90°，
∴∠BAE+∠DAE＝90°，
∴∠ABH＝∠EAD．
∵∠BCD＝90°，CA平分∠BCD，
∴∠ACD＝∠ACB＝45°．
∵DE＝CE，
∴∠EDC＝∠DCE＝45°，
∴∠DEA＝∠AHB＝90°．
∵AB＝AD，
在△ABH和△DAE中，
，
∴△ABH≌△DAE（AAS），
∴BH＝AE，AH＝DE＝CE．
设BH＝x，
∵∠BHC＝180°﹣∠AHB＝90°，∠BCH＝45°，
∴△BCH是等腰直角三角形，
∴BH＝CH＝AE＝x，
在Rt△BCH中，BH2+CH2＝BC2，
∴2x2＝16，
∴x2＝8，
∴S△ABE＝BH AE＝＝4．
故答案为：4．
【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，勾股定理，等腰直角三角形，解答本题的关键是熟练掌握全等三角形的判定定理．
18．（2024 内江校级二模）如图，在△OAB中，∠AOB＝90°，，P是OB的中点，若点D在直线AB上运动，连接OD，以OD为腰，向OD的右侧作等腰直角三角形ODE，连接PE，则在点D的运动过程中，线段PE的最小值为 　1　．
【点拨】取AO的中点Q，连接DQ，先证得△OQD≌△OPE，得出QD＝PE，根据点到直线的距离可知当QD⊥AB时，QD最小，然后根据等腰直角三角形的性质求得QD⊥AB时QD的值，即可求得线段PF的最小值．
【解析】解：如图，取AO的中点Q，连接DQ，
∵△DOE为等腰直角三角形，∠AOB＝90°，
∴∠AOB＝∠DOE＝90°，DO＝DE，
∴∠AOD＝∠BOE，
∵，P为BO中点，Q是AO的中点，
∴，
在△ODQ和△OPE中，
，
∴△OQD≌△OPE（SAS），
∴QD＝PE，
∵点D在直线AB上运动，
∴当QD⊥AB时，QD最小，
∵∠AOB＝90°，，
∴∠A＝45°，
∵QD⊥AB，
∴△QAD是等腰直角三角形，
∵，
∴AD＝DQ＝1，
∴线段PE的最小值是为1．
故答案为：1．
【点睛】本题考查了等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理的应用，全等三角形的判定与性质以及垂线段最短问题，通过分析条件添加辅助线构造全等三角形是解题的关键．
三．解答题
19．（2024 淄博）如图，已知AB＝CD，点E，F在线段BD上，且AF＝CE．
请从①BF＝DE；②∠BAF＝∠DCE；③AF＝CF中．选择一个合适的选项作为已知条件，使得△ABF≌△CDE．
你添加的条件是：　①（答案不唯一）　（只填写一个序号）．
添加条件后，请证明AE∥CF．
【点拨】当选择①BF＝DE时，可依据“SSS”判定△ABF≌△CDE，再根据全等三角形的性质得∠B＝∠D，进而可根据平行线的判定得出AE∥CF；当选择②∠BAF＝∠DCE时，可依据“SAS”判定△ABF≌△CDE，再根据全等三角形的性质得∠B＝∠D，进而可根据平行线的判定得出AE∥CF；当选择③AF＝CF时，不能判定△ABF≌△CDE；综上所述即可得出答案（答案不唯一）．
【解析】解：当选择①BF＝DE时，△ABF≌△CDE，证明如下：
在△ABF和△CDE中，
，
∴△ABF≌△CDE（SSS），
∴∠B＝∠D，BF＝DE，
∴BF+EF＝DE+EF，
即BE＝DE，
在△ABE和△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（SAS），
∴∠AEB＝∠CFD，
∴AE∥CF；
当选择②∠BAF＝∠DCE时，△ABF≌△CDE，证明如下：
在△ABF和△CDE中，
，
∴△ABF≌△CDE（SAS）；
∴∠B＝∠D，BF＝DE，
同理可证：△ABE≌△CDF（SAS），
∴∠AEB＝∠CFD，
∴AE∥CF；
当选择③AF＝CF时，不能判定△ABF≌△CDE，
故答案为：①（答案不唯一）．
【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定，准确识图，熟练掌握全等三角形的判定方法是解决问题的关键．
20．（2024 长沙）如图，点C在线段AD上，AB＝AD，∠B＝∠D，BC＝DE．
（1）求证：△ABC≌△ADE；
（2）若∠BAC＝60°，求∠ACE的度数．
【点拨】（1）由BC＝DE，∠B＝∠D，AB＝AD，根据“SAS”证明△ABC≌△ADE；
（2）由全等三角形的性质得AC＝AE，∠BAC＝∠DAE＝60°，则∠AEC＝∠ACE，由∠AEC+∠ACE＝2∠ACE＝120°，求得∠ACE＝60°．
【解析】（1）证明：在△ABC和△ADE中，
，
∴△ABC≌△ADE（SAS）．
（2）解：由（1）得△ABC≌△ADE，
∴AC＝AE，∠BAC＝∠DAE＝60°，
∴∠AEC＝∠ACE，
∵∠AEC+∠ACE＝2∠ACE＝180°﹣∠DAE＝120°，
∴∠ACE＝60°，
∴∠ACE的度数是60°．
【点睛】此题重点考查全等三角形的判定与性质，适当选择全等三角形的判定定理证明△ABC≌△ADE是解题的关键．
21．（2024 西湖区一模）已知：如图，点D在AB边上（不与点A，点B重合），E在AC边上（不与点A，点C重合），连接BE，CD，BE与CD相交于点O，AB＝AC，∠B＝∠C．
有以下四个结论：①BE＝CD；②BO＝CO；③DO＝EO；④BO＝BD．
（1）以上四个结论中正确的是 　①②③　.（只需填写序号）
（2）请从（1）中任选一个结论进行证明．
【点拨】（1）①证△ABE和△ACD全等可对结论①进行判断；
②由△ABE和△ACD全等得AD＝AE，进而得BD＝CE，由此可依据“AAS”判定△BOD和△COD全等，进而可对结论②进行判断；
③由△ABE和△ACD全等得BE＝CD，再根据△BOD和△COD全等得BO＝CO，由此可对结论③进行判断；
④根据已知条件无法判定BO＝BD，由此可对结论④进行判断，综上所述即可得出答案；
（2）选择①进行证明时，可依据“ASA”判定△ABE和△ACD全等；
选择②证明时，先证△ABE和△ACD得AD＝AE，进而得BD＝CE，再依据“AAS”判定△BOD和△COD全等即可；
选择③证明时，先证△ABE和△ACD全等得BE＝CD，再证△BOD和△COD全等得BO＝CO，由此即可得出结论．
【解析】解：（1）正确的结论是①②③．
故答案为：①②③．
（2）选择①证明如下：
在△ABE和△ACD中，
，
∴△ABE≌△ACD（ASA），
∴BE＝CD；
选择②证明如下：
在△ABE和△ACD中，
，
∴△ABE≌△ACD（ASA），
∴AD＝AE，
∵AB＝AC，
∴AB﹣AD＝AC﹣AE，
即BD＝CE，
在△BOD和△COD中，
，
∴△BOD≌△COD（AAS），
∴BO＝CO；
选择③证明如下：
在△ABE和△ACD中，
，
∴△ABE≌△ACD（ASA），
∴BE＝CD，
∵AB＝AC，
∴BD＝CE，
在△BOD和△COD中，
，
∴△BOD≌△COD（AAS），
∴BO＝CO，
∴BE﹣BO＝CD﹣CO，
∴EO＝DO，
④根据已知条件无法判定BO＝BD，
故结论④不正确．
【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键．
22．（2024 工业园区校级二模）如图，已知△ABC≌△DEB，点E在AB上，AC与BD交于点F，AB＝6，BC＝3，∠C＝55°，∠D＝25°．
（1）求AE的长度；
（2）求∠AED的度数．
【点拨】（1）根据全等三角形的性质解答即可；
（2）根据全等三角形的性质解答即可．
【解析】解：（1）∵△ABC≌△DEB，
∴BE＝BC＝3，
∴AE＝AB﹣BE＝6﹣3＝3；
（2）∵△ABC≌△DEB，
∴∠A＝∠D＝25°，∠DBE＝∠C＝55°，
∴∠AED＝∠DBE+∠D＝55°+25°＝80°．
【点睛】此题考查全等三角形的性质，关键是根据全等三角形的对应角和对应边相等分析．
23．（2024 荔湾区一模）如图，点E，C在线段BF上，BE＝FC，∠A＝∠D，∠ACB＝∠DEF．求证：△ABC≌△DFE．
【点拨】先证明BC＝EF，然后根据“AAS”可判断△ABC≌△DFE．
【解析】证明：∵BE＝FC，
∴BE+EC＝EC+CF，
即BC＝EF，
在△ABC和△DFE中，
，
∴△ABC≌△DFE（AAS）．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法是解决问题的关键；选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件．
24．（2024 龙江县模拟）数学活动课上，老师出示两个大小不一样的等腰直角ABC和ADE摆在一起，其中直角顶点A重合，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝90°．
（1）用数学的眼光观察．
如图，连接BD，CE，判断BD与CE的数量关系为 　BD＝CD　．
（2）用数学的思维思考．
求证：△ABD≌△ACE．
【点拨】（1）观察判断BD＝CE；
（2）先证明∠BAD＝∠CAE，然后利用“SAS”可判断△ABD≌△ACE．
【解析】（1）解：BD＝CE；
故答案为：BD＝CE；
（2）证明：∵∠BAC＝∠DAE＝90°．
∴∠BAC+∠DAC＝∠DAE+∠DAC，
即∠BAD＝∠CAE，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS）．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法是解决问题的关键；选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件．
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