2025年浙江省中考数学一轮复习专题检测 专题18 等腰三角形（含解析）

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专题18 等腰三角形
一．选择题
1．（2024 宿迁二模）等腰三角形的一个内角为80°，则这个等腰三角形的底角为（　　）
A．80°或50° B．80° C．50° D．50°或20°
2．（2024 兰州）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝130°，DA⊥AC，则∠ADB＝（　　）
A．100° B．115° C．130° D．145°
3．（2024 大荔县校级二模）如图，在△ABC中，点D是BC上一点．连接AD，已知AB＝5，∠B＝70°，∠C＝35°，若∠BAD＝40°，则CD的长为（　　）
A．4 B．5 C．6 D．7
4．（2024 邯山区校级四模）如图，△ABC为等边三角形，△ACD为等腰直角三角形，AC＝CD，则直线BC与直线AD的夹角为（　　）
A．10° B．15° C．20° D．30°
5．（2024 黄岩区一模）如图，△ABC是等腰三角形，AB＝AC，∠BAC是钝角．点D在底边BC上，连接AD，恰好把△ABC分割成两个等腰三角形，则∠B的度数是（　　）
A．30° B．36° C．45° D．60°
6．（2024 自贡）如图，等边△ABC钢架的立柱CD⊥AB于点D，AB长12m．现将钢架立柱缩短成DE，∠BED＝60°．则新钢架减少用钢（　　）
A．（24﹣12）m B．（24﹣8）m C．（24﹣6）m D．（24﹣4）m
7．（2024 海宁市校级模拟）如图所示的△ABC，进行以下操作：①以A，B为圆心，大于AB为半径作圆弧，相交点D，E；②以A，C为圆心，大于AC为半径作圆弧，相交于点F，G．两直线DE，FG相交于△ABC外一点P，且分别交BC点M，N．若∠MAN＝50°，则∠MPN等于（　　）
A．60° B．65° C．70° D．75°
8．（2024 山海关区一模）如图，在△ABC中，AB＝AC，M为BC边上一点，且AM＝AN，则∠BAM与∠NMC的关系一定成立的是（　　）
A．∠BAM＝∠NMC B．∠BAM+∠NMC＝∠BAC
C．∠BAM+∠NMC＝∠B D．∠BAM＝2∠NMC
9．（2024 花溪区一模）如图，在△ABC中，BC＝7，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点D，过点D作BC的平行线交AB于点E，交AC于点F，若△AEF的周长为14，则△ABC的周长是（　　）
A．14 B．19 C．21 D．23
10．（2024 天津一模）已知等边三角形ABC的边长为3，D为BC边上的一点（点D不与点B，C重合），过D点作AB边的垂线，交AB于点G，用x表示线段AG的长度，y表示Rt△GBD的面积，有下列结论：①＜x＜3；②DB＝x；③y＝（3﹣x）2，其中，正确结论的个数是（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
二．填空题
11．（2024 嘉善县一模）已知等腰三角形的两边长是4和8，则这个三角形的周长是 　 　．
12．（2024 贵州）如图，在△ABC中，以点A为圆心，线段AB的长为半径画弧，交BC于点D，连接AD．若AB＝5，则AD的长为 　 　．
13．（2024 镇江）如图，△ABC的边AB的垂直平分线交AC于点D，连接BD．若AC＝8，CD＝5，则BD＝ 　 　．
14．（2024 钱塘区三模）如图，△ABC为等边三角形，点D为BC延长线上一点．若，∠CAD＝15°，则AB的长为 　 　．
15．（2024 蒙阴县二模）“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒OA，OB组成，两根棒在O点相连并可绕O转动，C点固定，OC＝CD＝DE，点D、E可在槽中滑动．若∠BDE＝75°，则∠CDE的度数是 　 　．
16．（2024 萧县二模）如图，D，E，F是△ABC的边BC，AB，AC上的点，且满足DB＝DE，DC＝DF，DC＝DF，∠BDF＝∠CDE＝135°，连接BF，CE，过点C作CH⊥AB，垂足为H．
（1）∠A的度数是 　 　．
（2）若AH＝5，AF＝4，则EH＝　 　．
三．解答题
17．（2024 濠江区一模）如图，点C为∠AOB平分线上一点，CD∥OB交OA于点D．求证：△DOC是等腰三角形．
18．（2024 镇海区校级一模）如图，在△ABC中，D、E分别是△ABC边AB、AC上的点，已知DE∥BC且DB＝DE．
（1）求证：BE是△ABC的角平分线；
（2）若∠A＝65°，∠C＝45°，求∠AEB的度数．
19．（2024 利川市校级模拟）如图，△ABC为等边三角形，点M是线段BC上的任意一点，点N是线段CA上任意一点，且BM＝CN，直线BN与AM交于点Q．
（1）求证：△BAN≌△ACM；
（2）求∠BQM的大小．
20．（2024 越秀区校级一模）如图，已知点D是BC上一点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F，连接AD，若AD垂直平分EF，求证：AD是△ABC的角平分线．
21．（2024 龙亭区校级一模）如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，∠A＝60°，点E为AD上一点，连接BD，CE交于点F，CE∥AB．
（1）判断△DEF的形状，并说明理由；
（2）若AD＝12，CE＝7，则CF的长为 　 　．
22．（2024 路南区二模）等边△ABC的边长为2，P为△ABC内一点，连接BP，PC，延长PC到点D，使CD＝PC．
（1）如图1，延长BC到点E，使CE＝BC，连接AE，DE．
①求证：BP∥DE；
②若BP⊥AC，求∠AED的度数；
（2）如图2，连接AD，若BP⊥AD，BP＝1，则AD＝　 　．
答案与解析
一．选择题
1．（2024 宿迁二模）等腰三角形的一个内角为80°，则这个等腰三角形的底角为（　　）
A．80°或50° B．80° C．50° D．50°或20°
【点拨】由于不明确80°的角是等腰三角形的底角还是顶角，故应分80°的角是顶角和底角两种情况讨论．
【解析】解：分两种情况：
①当80°的角为等腰三角形的顶角时，
底角的度数＝（180°﹣80°）÷2＝50°；
②当80°的角为等腰三角形的底角时，其底角为80°，
故它的底角度数是50°或80°．
故选：A．
【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质及三角形内角和定理；解答此题时要注意80°的角是顶角和底角两种情况，不要漏解，分类讨论是正确解答本题的关键．
2．（2024 兰州）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝130°，DA⊥AC，则∠ADB＝（　　）
A．100° B．115° C．130° D．145°
【点拨】根据等边对等角得出∠B＝∠C，根据∠BAC＝130°即可求出∠C的度数，由DA⊥AC得出∠DAC＝90°，从而求出∠ADC的度数，问题得解．
【解析】解：在△ABC中，AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵∠BAC＝130°，
∴∠B＝∠C＝＝25°，
∵DA⊥AC，
∴∠DAC＝90°，
∴∠ADC＝90°﹣25°＝65°，
∴∠ADB＝180°﹣∠ADC＝180°﹣65°＝115°，
故选：B．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握这些知识点是解题的关键．
3．（2024 大荔县校级二模）如图，在△ABC中，点D是BC上一点．连接AD，已知AB＝5，∠B＝70°，∠C＝35°，若∠BAD＝40°，则CD的长为（　　）
A．4 B．5 C．6 D．7
【点拨】根据三角形的面积好多了，等腰三角形的判定和性质定理，以及三角形外角的性质即可得到结论．
【解析】解：∵∠B＝70°，∠BAD＝40°，
∴∠ADB＝180°﹣∠B﹣∠BAD＝70°，
∴AD＝AB＝5，
∵∠ADB＝∠CAD+∠C，
∴∠CAD＝∠ADB﹣∠C＝35°，
∴∠CAD＝∠C，
∴CD＝AD＝5，
故选：B．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，三角形外角的性质，熟练掌握等腰三角形的判定和性质定理是解题的关键．
4．（2024 邯山区校级四模）如图，△ABC为等边三角形，△ACD为等腰直角三角形，AC＝CD，则直线BC与直线AD的夹角为（　　）
A．10° B．15° C．20° D．30°
【点拨】延长AD与BC交于点E，根据等边三角形和等腰直角三角形性质得∠ABC＝∠BAC＝60°，∠CAD＝45°，进而得∠BAD＝105°，然后根据三角形内角和定理求出∠E即可．
【解析】解：延长AD与BC交于点E，如图所示：
∵△ABC为等边三角形，
∴∠ABC＝∠BAC＝60°，
又∵△ACD为等腰直角三角形，AC＝CD，
∴∠CAD＝45°，
∴∠BAD＝∠BAC+∠CAD＝60°+45°＝105°，
∴∠E＝180°﹣（∠ABC+∠BAD）＝180°﹣（60°+105°）＝15°．
即直线BC与直线AD的夹角为15°．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了据等边三角形和等腰直角三角形性质，三角形的内角和定理，熟练掌握等边三角形和等腰直角三角形性质，三角形的内角和定理是解决问题的关键．
5．（2024 黄岩区一模）如图，△ABC是等腰三角形，AB＝AC，∠BAC是钝角．点D在底边BC上，连接AD，恰好把△ABC分割成两个等腰三角形，则∠B的度数是（　　）
A．30° B．36° C．45° D．60°
【点拨】由等腰三角形的性质得出∠B＝∠C＝∠BAD，∠ADC＝∠DAC，根据三角形外角的性质得∠ADC＝∠DAC＝∠B+∠BAD＝2∠B＝2∠C，设∠C＝x，在△ADC中，由三角形内角和定理得出方程，解方程即可．
【解析】解：∵AB＝AC，AD，恰好把△ABC分割成两个等腰三角形，
∴∠B＝∠C，∠B＝∠BAD，∠ADC＝∠DAC，
∵∠ADC＝∠B+∠BAD，
∴∠ADC＝∠DAC＝∠B+∠BAD＝2∠B＝2∠C，
设∠C＝x，
在△ADC中，∠CAD+∠ADC+∠C＝180°，
即x+2x+2x＝180°，
解得：x＝36°，
∴∠C＝36°，
∴∠B＝36°，
故选：B．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、三角形内角和定理、三角形的外角性质等知识，解题的关键是理解题意，学会利用方程去思考问题．
6．（2024 自贡）如图，等边△ABC钢架的立柱CD⊥AB于点D，AB长12m．现将钢架立柱缩短成DE，∠BED＝60°．则新钢架减少用钢（　　）
A．（24﹣12）m B．（24﹣8）m C．（24﹣6）m D．（24﹣4）m
【点拨】根据特殊直角三角形求出DE，CD和BE的长，从而得出减少用钢的长度．
【解析】解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝60°，AB＝BC＝AC＝12，BD＝6，
∴CD＝，
∵∠BED＝60°，
∴DE＝，BE＝AE＝，
∴减少用钢为（AB+AC+BC+CD）﹣（AE+BE+AB+DE）＝AC+BC+CD﹣AE﹣BE﹣DE＝24﹣（cm），
故选：D．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，特殊直角三角形的三边关系，掌握特殊角的三边关系是解题的关键．
7．（2024 海宁市校级模拟）如图所示的△ABC，进行以下操作：①以A，B为圆心，大于AB为半径作圆弧，相交点D，E；②以A，C为圆心，大于AC为半径作圆弧，相交于点F，G．两直线DE，FG相交于△ABC外一点P，且分别交BC点M，N．若∠MAN＝50°，则∠MPN等于（　　）
A．60° B．65° C．70° D．75°
【点拨】根据作法知，DE、FG分别是AB、AC的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质得出AM＝BM，AN＝CN，AP＝BP＝CP，根据等腰三角形的性质得出∠ABM＝∠BAM，∠ACN＝∠CAN，∠ABP＝∠BAP，∠ACP＝∠CAP，∠APD＝∠APB，∠APF＝∠APC，根据三角形内角和定理求出∠ANM+∠AMN＝130°，根据三角形外角性质及角的和差求出∠BAC＝115°，根据四边形内角和定理求出∠BPC＝130°，再根据∠MPN＝∠APD+∠APF求解即可．
【解析】解：如图，连接AP、BP、CP，
根据作法知，DE、FG分别是AB、AC的垂直平分线，
∴AM＝BM，AN＝CN，AP＝BP＝CP，
∴∠ABM＝∠BAM，∠ACN＝∠CAN，∠ABP＝∠BAP，∠ACP＝∠CAP，∠APD＝∠APB，∠APF＝∠APC，
∵∠MAN＝50°，
∴∠ANM+∠AMN＝180°﹣∠MAN＝130°，
∵∠AMN＝∠ABM+∠BAM，∠ANM＝∠ACN+∠CAN，
∴∠BAM+∠CAN＝65°，
∴∠BAC＝65°+50°＝115°，
∴∠ABP+∠ACP＝∠BAC＝115°，
∴∠BPC＝360°﹣∠BAC﹣∠ABP﹣∠ACP＝360°﹣115°﹣115°＝130°，
∴∠MPN＝∠APD+∠APF＝×130°＝65°，
故选：B．
【点睛】此题考查了线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质，熟记线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质是解题的关键．
8．（2024 山海关区一模）如图，在△ABC中，AB＝AC，M为BC边上一点，且AM＝AN，则∠BAM与∠NMC的关系一定成立的是（　　）
A．∠BAM＝∠NMC B．∠BAM+∠NMC＝∠BAC
C．∠BAM+∠NMC＝∠B D．∠BAM＝2∠NMC
【点拨】先证明∠B＝∠C，∠AMN＝∠ANM，再结合三角形的外角的性质进一步求解可得结论．
【解析】解：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵AM＝AN，
∴∠AMN＝∠ANM，
∴∠NMC+∠C＝∠ANM，
∴∠NMC＝∠AMN﹣∠B，
∵∠BAM+∠B＝∠AMN+∠NMC，
∴∠BAM＝∠AMN+∠NMC﹣∠B．
∴∠BAM＝2∠NMC．
故选：D．
【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质，三角形外角的性质，正确记忆修改知识点是解题关键．
9．（2024 花溪区一模）如图，在△ABC中，BC＝7，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点D，过点D作BC的平行线交AB于点E，交AC于点F，若△AEF的周长为14，则△ABC的周长是（　　）
A．14 B．19 C．21 D．23
【点拨】由角平分线的定义得到∠EBD＝∠CBD，由平行线的性质得到∠EDB＝∠DBC，因此∠EDB＝∠EBD，推出ED＝EB，同理：FD＝FC，于是得到BE+CF＝DE+DF＝EF，由△AEF的周长＝AE+AF+FE＝AB+AC＝14，即可求出△ABC的周长＝AC+AB+BC＝14+7＝21．
【解析】解：∵BD平分∠ABC，
∴∠EBD＝∠CBD，
∵EF//BC，
∴∠EDB＝∠DBC，
∴∠EDB＝∠EBD，
∴ED＝EB，
同理：FD＝FC，
∴BE+CF＝DE+DF＝EF，
∵△AEF的周长＝AE+AF+FE＝AE+AF+BE+CF＝AB+AC＝14，
∴△ABC的周长＝AC+AB+BC＝14+7＝21．
故选：C．
【点睛】本题考查等腰三角形的判定，平行线的性质，角平分线定义，关键是由平行线的性质，角平分线定义推出FE＝BE+FC．
10．（2024 天津一模）已知等边三角形ABC的边长为3，D为BC边上的一点（点D不与点B，C重合），过D点作AB边的垂线，交AB于点G，用x表示线段AG的长度，y表示Rt△GBD的面积，有下列结论：①＜x＜3；②DB＝x；③y＝（3﹣x）2，其中，正确结论的个数是（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
【点拨】①过点C作CE⊥AB于E，根据等边三角形的性质得AE＝3/2，AE＜AG＜AB，据此可对结论①进行判断；
②根据AB＝3，AG＝x得GB＝3﹣x，证∠GDB＝30°，则DB＝2GB＝2（3﹣x），据此可对结论②进行判断；
③根据GB＝3﹣x，DB＝2（3﹣x），由勾股定理得DG＝（3﹣x），然后根据三角形的面积求出y即可对结论③进行判断，综上所述即可得出答案．
【解析】解：①过点C作CE⊥AB于E，如图所示：
∵△ABC为等边三角形，且边长为3，
∴AB＝3，AE＝AB＝，∠B＝60°，
∵D为BC边上的一点（点D不与点B，C重合），DG⊥AB于G，
∴AE＜AG＜AB，
∴＜x＜3，
故结论①正确；
②∵AB＝3，AG＝x，
∴GB＝AB﹣AG＝3﹣x，
又∵∠B＝60°，DG⊥AB于G，
∴∠GDB＝30°，
∴DB＝2GB＝2（3﹣x），
故结论②不正确；
③在Rt△GBD中，GB＝3﹣x，DB＝2（3﹣x），
由勾股定理得：DG＝＝（3﹣x），
∴y＝GB DG＝＝（3﹣x）2，
故结论③正确．
综上所述：正确的结论由①③，共2个．
故选：C．
【点睛】此题主要考查了等边三角形的性质，直角三角形的性质，三角形的面积，熟练掌握等边三角形的性质，直角三角形的性质，以及三角形的面积公式是解决问题的关键．
二．填空题
11．（2024 嘉善县一模）已知等腰三角形的两边长是4和8，则这个三角形的周长是 　20　．
【点拨】分两种情况：当等腰三角形的腰长为4，底边长为8时；当等腰三角形的腰长为8，底边长为4时；然后分别进行计算即可解答．
【解析】解：分两种情况：
当等腰三角形的腰长为4，底边长为8时，
∵4+4＝8，
∴不能组成三角形；
当等腰三角形的腰长为8，底边长为4时，
∴等腰三角形的周长＝8+8+4＝20；
综上所述：这个三角形的周长是20，
故答案为：20．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的三边关系，分两种情况讨论是解题的关键．
12．（2024 贵州）如图，在△ABC中，以点A为圆心，线段AB的长为半径画弧，交BC于点D，连接AD．若AB＝5，则AD的长为 　5　．
【点拨】根据作一条线段等于已知线段的作法可得出AD＝AB，即可求解．
【解析】解：由作图可知：AD＝AB，
∵AB＝5，
∴AD＝5，
故答案为：5．
【点睛】本题考查了尺规作图，掌握作一条线段等于已知线段的方法是解题的关键．
13．（2024 镇江）如图，△ABC的边AB的垂直平分线交AC于点D，连接BD．若AC＝8，CD＝5，则BD＝ 　3　．
【点拨】求出AD＝8﹣5＝3，由线段垂直平分线的性质推出BD＝AD＝3．
【解析】解：∵AC＝8，CD＝5，
∴AD＝8﹣5＝3，
∵D在AB的垂直平分线上，
∴BD＝AD＝3．
故答案为：3．
【点睛】本题考查线段垂直平分线的性质，关键是由线段垂直平分线的性质推出BD＝AD．
14．（2024 钱塘区三模）如图，△ABC为等边三角形，点D为BC延长线上一点．若，∠CAD＝15°，则AB的长为 　2　．
【点拨】过点A作AE⊥BC于点E，由等边三角形的性质得出BE＝CE，∠BAE＝∠CAE，∠BAC＝60°，AB＝AC，即可证得∠EAD＝45°，得出△AED是等腰直角三角形，设CE＝x，根据勾股定理即可求出AE的长，在Rt△AED中根据勾股定理即可求出x的值，从而得出AB的长．
【解析】解：过点A作AE⊥BC于点E，
∵△ABC是等边三角形，
∴BE＝CE，∠BAE＝∠CAE，∠BAC＝60°，AB＝AC，
∴∠BAE＝∠CAE＝30°，
∵∠CAD＝15°，
∴∠EAD＝∠CAE+∠CAD＝30°+15°＝45°，
∴△AED是等腰直角三角形，
设CE＝x，
∵∠CAE＝30°，AE⊥BC，
∴AC＝2CE＝2x，
由勾股定理得，AE＝，
∴DE＝AE＝，
由勾股定理得，AE2+DE2＝AD2，
∴，
解得x＝1，
∴AC＝2x＝2，
∴AB＝AC＝2，
故答案为：2．
【点睛】本题了等边三角形的性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，直角三角形的性质，熟练掌握等边三角形的性质是解题的关键．
15．（2024 蒙阴县二模）“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒OA，OB组成，两根棒在O点相连并可绕O转动，C点固定，OC＝CD＝DE，点D、E可在槽中滑动．若∠BDE＝75°，则∠CDE的度数是 　80°　．
【点拨】由等腰三角形的性质可得∠O＝∠CDO，∠DCE＝∠DEC，由外角性质可得∠O＝25°，即可求解．
【解析】解：∵OC＝CD＝DE，
∴∠O＝∠CDO，∠DCE＝∠DEC，
∵∠DCE＝∠O+∠CDO＝2∠O，
∴∠DEC＝2∠O，
∴∠BDE＝∠O+∠DEC＝3∠O＝75°，
∴∠O＝25°，
∴∠DCE＝∠DEC＝50°，
∴∠CDE＝80°，
故答案为：80°．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练运用这些性质进行推理是本题关键．
16．（2024 萧县二模）如图，D，E，F是△ABC的边BC，AB，AC上的点，且满足DB＝DE，DC＝DF，DC＝DF，∠BDF＝∠CDE＝135°，连接BF，CE，过点C作CH⊥AB，垂足为H．
（1）∠A的度数是 　45°　．
（2）若AH＝5，AF＝4，则EH＝　1　．
【点拨】（1）先根据邻补角定义及∠CDE＝135°得∠CDF＝45°，再根据等腰三角形性质及三角形内角和定理得∠DBE＝67.5°，同理∠DCF＝67.5°，由此可得∠A的度数；
（2）在AB上截取AG＝AF＝4，连接CG，则GH＝AH﹣AG＝1，证△BDF和△EDC全等得BF＝CE，再证△ACG和△ABF全等得CG＝BF，从而得CG＝CE，然后根据等腰三角形的性质可得EH的长．
【解析】解：（1）∵∠CDE+∠BDE＝180°，∠CDE＝135°，
∴∠CDF＝180°﹣∠BDF＝45°，
∵DB＝DE，
∴∠DBE＝∠DEB＝（180°﹣∠BDE）＝×（180°﹣45°）＝67.5°，
同理：∠DCF＝67.5°，
∴∠A＝180°﹣（∠DBE+∠DCF）＝180°﹣（67.5°+67.5°）＝45°，
故答案为：45°．
（2）在AB上截取AG＝AF＝4，连接CG，如图所示：
∵AH＝5，
∴GH＝AH﹣AG＝5﹣4＝1，
在△BDF和△EDC中，
，
∴△BDF≌△EDC（SAS），
∴BF＝CE，
由（1）可知：∠DCF＝67.5°，∠DBE＝67.5°，
∴∠DCF＝∠DBE，
即∠ACB＝∠ABC，
∴AC＝AB，
在△ACG和△ABF中，
，
∴△ACG≌△ABF
∴CG＝BF，
∴CG＝CE，
∵CH⊥AB，
∴EH＝GH＝1．
【点睛】此题主要考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质是解决问题的关键，正确地作出辅助线构造全等三角形和等腰三角形是解决问题的难点．
三．解答题
17．（2024 濠江区一模）如图，点C为∠AOB平分线上一点，CD∥OB交OA于点D．求证：△DOC是等腰三角形．
【点拨】根据平行线的性质、角平分线的性质证明∠AOC＝∠DCO，由等腰三角形的判定即可求解．
【解析】证明：∵OC平分∠AOB，
∴∠AOC＝∠BOC．
∵CD∥OB，
∴∠DCO＝∠BOC，
∴∠AOC＝∠DCO，
∴OD＝CD，
∴△DOC是等腰三角形．
【点睛】此题主要考查等腰三角形的判定，平行线的性质，解题的关键是正确推理．
18．（2024 镇海区校级一模）如图，在△ABC中，D、E分别是△ABC边AB、AC上的点，已知DE∥BC且DB＝DE．
（1）求证：BE是△ABC的角平分线；
（2）若∠A＝65°，∠C＝45°，求∠AEB的度数．
【点拨】（1）根据DE∥BC证得∠DEB＝∠CBE，根据DB＝DE证得∠DBE＝∠DEB，等量代换证得∠CBE＝∠DBE，进而证得结论；
（2）根据∠A＝65°，∠C＝45°求出∠ABC＝70°，所以∠ABE＝35°，再利用三角形内角和求出∠AEB的度数．
【解析】（1）证明：∵DE∥BC，
∴∠DEB＝∠CBE，
∵DB＝DE，
∴∠DBE＝∠DEB，
∴∠CBE＝∠DBE，
∴BE是△ABC的角平分线；
（2）解：∵∠A＝65°，∠C＝45°，
∴∠ABC＝70°，
∵BE是△ABC的角平分线，
∴∠ABE＝35°，
∴∠AEB＝180°﹣∠A﹣∠ABE＝80°．
【点睛】本题考查了平行线的性质以及等腰三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握相关的性质定理．
19．（2024 利川市校级模拟）如图，△ABC为等边三角形，点M是线段BC上的任意一点，点N是线段CA上任意一点，且BM＝CN，直线BN与AM交于点Q．
（1）求证：△BAN≌△ACM；
（2）求∠BQM的大小．
【点拨】（1）根据等边三角形的性质求得∠BAC＝∠BCA＝60°，再根据等边三角形的边长相等求得CM＝AN，最后由SAS证明全等即可；
（2）根据全等三角形的性质：对应角相等，求得∠CAM＝∠ABN；然后由∠BQM＝∠ABN+∠BAQ来找∠BAC与其的关系．
【解析】解：（1）∵△ABC为等边三角形，
∴AB＝BC＝CA，∠BAC＝∠BCA＝60°，
∵BM＝CN，
∴CM＝AN，
又∵∠BAN＝∠ACM，
∴△BAN≌△ACM；
（2）∴∠CAM＝∠ABN，
∴∠BQM＝∠ABN+∠BAQ＝∠CAM+∠BAQ＝∠BAC＝60°．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质．利用性质和判定，学会准确地找出两个全等三角形中的对应边与对应角是关键．在写两个三角形全等时，一定把对应的顶点，角、边的顺序写一致，为找对应边，角提供方便．
20．（2024 越秀区校级一模）如图，已知点D是BC上一点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F，连接AD，若AD垂直平分EF，求证：AD是△ABC的角平分线．
【点拨】根据线段垂直平分线的性质得到DE＝DF，再根据角平分线的判定定理即可证得AD是△ABC的角平分线．
【解析】证明：∵AD垂直平分EF，
∴DE＝DF，
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴AD是△ABC的角平分线．
【点睛】本题考查了角平分线判定定理，线段垂直平分线性质；熟记“线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等”和“到角两边距离相等的点都在角的平分线上”是解决问题的关键．
21．（2024 龙亭区校级一模）如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，∠A＝60°，点E为AD上一点，连接BD，CE交于点F，CE∥AB．
（1）判断△DEF的形状，并说明理由；
（2）若AD＝12，CE＝7，则CF的长为 　2　．
【点拨】（1）先证明△ABD为等边三角形，进而得到∠ADB＝60°，结合平行线的性质，推出△DEF是等边三角形即可；
（2）连接AC交BD于点O，易得AC垂直平分BD，三线合一，结合平行线的性质，推出CE＝AE，进而求出DE的长，等边三角形的性质，得到EF的长，利用CE﹣EF求出CF的长即可．
【解析】解：（1）△DEF是等边三角形，理由如下：
∵AB＝AD，∠A＝60°，
∴△ABD为等边三角形，
∴∠ADB＝60°，∠ABD＝60°，
∵CE∥AB，
∴∠DEF＝∠A＝60°，∠EFD＝∠ABD＝60°，
∴△DEF是等边三角形；
（2）连接AC交BD于点O，如图，
∵AB＝AD，CB＝CD，
∴AC垂直平分BD，
∴AO⊥BD，
∴∠BAO＝∠DAO＝30°，
∵CE∥AB，
∴∠ACE＝∠BAO＝∠DAO，
∴AE＝CE＝7，
∴DE＝AD﹣AE＝12﹣7＝5，
∵△DEF是等边三角形，
∴EF＝DE＝5，
∴CF＝CE﹣EF＝2；
故答案为：2．
【点睛】本题考查等边三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定与性质，证明AE＝CE是解题的关键．
22．（2024 路南区二模）等边△ABC的边长为2，P为△ABC内一点，连接BP，PC，延长PC到点D，使CD＝PC．
（1）如图1，延长BC到点E，使CE＝BC，连接AE，DE．
①求证：BP∥DE；
②若BP⊥AC，求∠AED的度数；
（2）如图2，连接AD，若BP⊥AD，BP＝1，则AD＝　　．
【点拨】（1）①证明△DEC和△PBC全等得∠DEC＝∠PBC，再根据平行线的判定可得出结论；
②延长AC交ED的延长线于F，根据等边三角形性质得BC＝AC，∠ACB＝60°，进而可求出∠CAE＝∠CEA＝30°，再由①BP∥DE，BP⊥AC得DE⊥AC，由此得∠CED＝30°，据此可得∠AED的度数；
（2）延长BC到E是CE＝BC，连接AE，DE，先求出∠BAE＝90°，BE＝4，由勾股定理得AE＝，根据△DEC≌△PBC得BP＝DE＝1，再根据BP⊥AD，BP∥DE得DE⊥AD，然后由勾股定理即可求出AD的长．
【解析】（1）①证明：在△DEC和△PBC中，
，
∴△DEC≌△PBC（SAS），
∴∠DEC＝∠PBC，
∴BP∥DE；
②解：延长AC交ED的延长线于F，如图1所示：
∵△ABC为等边三角形，
∴BC＝AC，∠ACB＝60°，
又∵CE＝BC，
∴AC＝CE，
∴∠CAE＝∠CEA，
∵∠CAE+∠CEA＝∠ACB＝60°，
∴∠CAE＝∠CEA＝30°，
由①可知：BP∥DE，
∵BP⊥AC，
∴DE⊥AC，即∠F＝90°，
又∵∠ECF＝∠ACB＝60°，
∴∠CED＝90°﹣∠ECF＝30°，
∴∠AED＝∠CEA+∠CED＝30°+30°＝60°；
（2）延长BC到E是CE＝BC，连接AE，DE，如图2所示：
由（1）②可知：∠CAE＝30°，
∵△ABC为等边三角形，且边长为2，
∴AB＝BC＝AC＝CE＝2，∠BAC＝60°，
∴∠BAE＝∠BAC+∠CAE＝90°，BE＝BC+CE＝4，
在Rt△ABE中，由勾股定理得：AE＝＝，
由（1）①可知：△DEC≌△PBC，
∴BP＝DE＝1，
又∵BP⊥AD，BP∥DE，
∴DE⊥AD，
在Rt△ADE中，由勾股定理得：AD＝＝．
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，理解等边三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，灵活运用勾股定理进行计算是解决问题的关键．
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