2025年浙江省中考数学一轮复习专题检测 专题19 直角三角形（含解析）

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专题19 直角三角形
一．选择题
1．（2024 潮州一模）如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝40°，则∠B的度数为（　　）
A．40° B．45° C．50° D．70°
2．（2024 庐阳区校级一模）如图，已知直线l1∥l2，将一个含45°角的三角尺按图中方式放置，如果∠1＝24°，那么∠2的度数为（　　）
A．24° B．45° C．66° D．21°
3．（2024 礼县模拟）如图，小明准备测量一段水渠的深度，他把一根竹竿AB竖直插到水底，此时竹竿AB离岸边点C处的距离CD＝1.5米．竹竿高出水面的部分AD长0.5米，如果把竹竿的顶端A拉向岸边点C处，竿顶和岸边的水面刚好相齐，则水渠的深度BD为（　　）
A．2米 B．2.5米 C．2.25米 D．3米
4．（2024 南通）“赵爽弦图”巧妙利用面积关系证明了勾股定理．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形的两条直角边长分别为m，n（m＞n）．若小正方形面积为5，（m+n）2＝21，则大正方形面积为（　　）
A．12 B．13 C．14 D．15
5．（2024 安徽一模）如图，△ABC的三个顶点在一组平行线上，∠ACB＝90°，∠BAC＝60°，若∠1＝α，则∠2＝（　　）
A．30°+α B．45°+α C．90°﹣α D．60°﹣α
6．（2024 长沙县一模）如图是某学校人行入口的智能闸机及其示意图，当它关闭时，双侧挡板边缘的端点A与B之间的距离为10cm，挡板边缘AC＝BD＝70cm，且与闸机侧立面夹角∠PCA＝∠BDQ＝30°．当挡板收起后，可以通过闸机的物体的最大宽度为（　　）
A． B．80cm C． D．90cm
7．（2024 广西模拟）生活中，可以用身体上的尺子：肘、拃、步长等来估计距离．某校教室新安装了一批屏幕为矩形的多媒体设备，某同学想知道屏幕有多大，他用手掌测量得多媒体屏幕的长是12拃，宽是5拃，请你帮他计算出多媒体屏幕的对角线长度大约是（1拃≈20cm）（　　）
A．100cm B．240cm C．260cm D．340cm
8．（2024 迁安市二模）如图，在等边△ABC中，AB＝4，BD∥AC，BD⊥CD，则BD＝（　　）
A．1 B．2 C． D．
9．（2024 石家庄模拟）已知等腰直角△ABC中，∠C＝90°，若，则m是（　　）
A．直角边AC的长 B．AB边上的中线的长 C．斜边AB的长 D．BC边上的中线的长
10．（2024 杭州一模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AB、BC为边在AB的同侧作正方形ABDE和正方形BCGF，点D在FG上，连结CE、EG．若要求四边形CDGE的面积，则只需知道（　　）
A．AB的长 B．BC的长 C．△ABC的面积 D．△ACE的面积
二．填空题
11．（2024 吉林）图①中有一首古算诗，根据诗中的描述可以计算出红莲所在位置的湖水深度，其示意图如图②，其中AB＝AB′，AB⊥B′C于点C，BC＝0.5尺，B′C＝2尺．设AC的长度为x尺，可列方程为 　 　．
12．（2024 台州模拟）小明用刻度尺（单位：cm）测量某三角形部件的尺寸．如图所示，已知∠ACB＝90°，D是AB的中点，点A，B对应的刻度分别是1，8，则CD＝　 　cm．
13．（2024 东阳市二模）如图，每个小正方形边长都为1，连接小正方形的三个顶点A，B，C，可得△ABC，则边BC上的高为 　 　．
14．（2024 富平县模拟）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝15°，AB的垂直平分线与AC交于点D，与AB交于点E，连接BD．若AD＝14，则BC的长为　 　．
15．（2024 大庆）如图①，直角三角形的两个锐角分别是40°和50°，其三边上分别有一个正方形．执行下面的操作：由两个小正方形向外分别作锐角为40°和50°的直角三角形，再分别以所得到的直角三角形的直角边为边长作正方形．图②是1次操作后的图形．图③是重复上述步骤若干次后得到的图形，人们把它称为“毕达哥拉斯树”．若图①中的直角三角形斜边长为2，则10次操作后图形中所有正方形的面积和为 　 　．
16．（2024 吉安三模）在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝90°，AC＝8，点D在边AB上，且BD＝，点P是△ABC边上的一个动点，若AP＝2PD时，则PD的长是 　 　．
三．解答题
17．（2024 金华三模）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB的垂直平分线交AB于D，交BC于E，连结AE．
（1）求证：∠AEC＝2∠B．
（2）若∠BAC＝60°，EC＝3，求BE的长．
18．（2024 桐乡市校级一模）已知△ABC的三边a＝m﹣n（m＞n＞0），，c＝m+n．
（1）求证：△ABC是直角三角形；
（2）利用（1）中的结论，写出两个直角三角形的边长，要求他们的边长均为正整数且至少有两个数是相邻的整数．
19．（2024 龙亭区校级一模）如图，在四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，点D是Rt△ABC外一点，连接CD，AD，且CD＝12，AD＝13．求四边形ABCD的面积．
20．（2024 台山市模拟）综合与实践
小明同学在延时课上进行了项目式学习实践探究，并绘制了如下记录表格：
课题 在放风筝时测量风筝离地面的垂直高度AD
模型抽象
测绘数据 ①测得水平距离ED的长为15米.
②根据手中剩余线的长度，计算出风筝线AB的长为17米.
③牵线放风筝的手到地面的距离BE为1.6米.
说明 点A，B，E，D在同一平面内
请根据表格信息，解答下列问题．
（1）求线段AD的长．
（2）若想要风筝沿DA方向再上升12米，则在ED长度不变的前提下，小明同学应该再放出多少米线？
21．（2024 清远模拟）三国时代吴国数学家赵爽第一次对勾股定理加以证明：用4个全等的直角三角形拼成如图所示“弦图”．Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝b，BC＝a，AB＝c，大正方形的面积＝小正方形的面积+4个直角三角形的面积，化简证得勾股定理：a2+b2＝c2．
（1）若b＝2a，则S小正方形：S大正方形＝　 　；
（2）如果大正方形的面积是13，a＝2，求小正方形的面积．
22．（2024 铜山区模拟）如图，△ABC中，∠ABC＝90°，D是BC上的一点，CD＝AB，过点D作DE⊥BC，并截取DE＝BC．
（1）求证：△ACE是等腰直角三角形；
（2）延长DE至F，使得EF＝CD，连结BF并与CE的延长线相交于点G，求∠BGC的度数．
答案与解析
一．选择题
1．（2024 潮州一模）如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝40°，则∠B的度数为（　　）
A．40° B．45° C．50° D．70°
【点拨】根据直角三角形的两个锐角互余解答即可．
【解析】解：∵∠C＝90°，∠A＝40°，
∴∠B＝90°﹣40°＝50°，
故选：C．
【点睛】此题考查直角三角形的性质，关键是根据直角三角形的两个锐角互余解答．
2．（2024 庐阳区校级一模）如图，已知直线l1∥l2，将一个含45°角的三角尺按图中方式放置，如果∠1＝24°，那么∠2的度数为（　　）
A．24° B．45° C．66° D．21°
【点拨】利用平行线的性质同旁内角互补，计算可得结论．
【解析】解：由题意含45°角的三角尺可知，
∠3＝45°，∠4＝90°．
∵l1∥l2，
∴∠1+∠3+∠2+∠4＝180°．
∴∠2＝180°﹣∠1﹣∠3﹣∠4
＝180°﹣24°﹣45°﹣90°
＝21°．
故选：D．
【点睛】本题考查了平行线的性质，掌握“两直线平行，同旁内角互补”是解决本题的关键．解决本题亦可过三角形的另一个顶点作l1的平行线，利用45°角求解．
3．（2024 礼县模拟）如图，小明准备测量一段水渠的深度，他把一根竹竿AB竖直插到水底，此时竹竿AB离岸边点C处的距离CD＝1.5米．竹竿高出水面的部分AD长0.5米，如果把竹竿的顶端A拉向岸边点C处，竿顶和岸边的水面刚好相齐，则水渠的深度BD为（　　）
A．2米 B．2.5米 C．2.25米 D．3米
【点拨】设BD＝x米，则AB＝BC＝（x+0.5）米，由勾股定理得CD2+BD2＝BC2，列出方程，解方程即可．
【解析】解：设BD＝x米，则AB＝BC＝（x+0.5）米，
在Rt△CDB中，由勾股定理得：CD2+BD2＝BC2，
即1.52+x2＝（x+0.5）2，
解得：x＝2，
∴水渠的深度BD为2米，
故选：A．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
4．（2024 南通）“赵爽弦图”巧妙利用面积关系证明了勾股定理．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形的两条直角边长分别为m，n（m＞n）．若小正方形面积为5，（m+n）2＝21，则大正方形面积为（　　）
A．12 B．13 C．14 D．15
【点拨】依据题意，由中间小正方形的边长为（m﹣n），根据勾股定理以及题目给出的已知数据即可求出大正方形的面积为（m2+n2），进而可以得解．
【解析】解：由题意可知，中间小正方形的边长为m﹣n，
∴（m﹣n）2＝5，即m2+n2﹣2mn＝5①，
∵（m+n）2＝21，
∴m2+n2+2mn＝21②，
①+②得2（m2+n2）＝26，
∴大正方形的面积为：m2+n2＝13，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了勾股定理的证明，解题的关键是熟练运用勾股定理以及完全平方公式，本题属于基础题型．
5．（2024 安徽一模）如图，△ABC的三个顶点在一组平行线上，∠ACB＝90°，∠BAC＝60°，若∠1＝α，则∠2＝（　　）
A．30°+α B．45°+α C．90°﹣α D．60°﹣α
【点拨】先根据∠ACB＝90°，∠BAC＝60°可知∠ABC＝30°，再由∠1＝α可知∠BAF＝60°+α，再由BD∥AF可知∠BAF+∠2+∠ABC＝180°，据此得出结论．
【解析】解：∵∠ACB＝90°，∠BAC＝60°，
∴∠ABC＝30°，
∵∠1＝α，
∴∠BAF＝60°+α，
∵BD∥AF，
∴∠BAF+∠2+∠ABC＝180°，
即∠2＝180°﹣∠BAF﹣∠ABC＝180°﹣60°﹣α﹣30°＝90°﹣α，
故选：C．
【点睛】本题考查的是直角三角形的性质及平行线的性质，熟知在直角三角形中，两个锐角互余是解题的关键．
6．（2024 长沙县一模）如图是某学校人行入口的智能闸机及其示意图，当它关闭时，双侧挡板边缘的端点A与B之间的距离为10cm，挡板边缘AC＝BD＝70cm，且与闸机侧立面夹角∠PCA＝∠BDQ＝30°．当挡板收起后，可以通过闸机的物体的最大宽度为（　　）
A． B．80cm C． D．90cm
【点拨】过点A作AE⊥CP，过点B作BF⊥DQ，在Rt△ACE中，可求得AE，同理可求得BF，即可求解．
【解析】解：过点A作AE⊥CP，过点B作BF⊥DQ，如图，
则Rt△ACE中，AE＝（cm），
同理可得：BF＝35cm，
∵双翼边缘的端点A与B之间的距离为10cm，
∴当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为35+35+10＝80cm，
故选：B．
【点睛】本题考查了含30°角的直角三角形的，正确作出辅助线是关键．
7．（2024 广西模拟）生活中，可以用身体上的尺子：肘、拃、步长等来估计距离．某校教室新安装了一批屏幕为矩形的多媒体设备，某同学想知道屏幕有多大，他用手掌测量得多媒体屏幕的长是12拃，宽是5拃，请你帮他计算出多媒体屏幕的对角线长度大约是（1拃≈20cm）（　　）
A．100cm B．240cm C．260cm D．340cm
【点拨】根据勾股定理求出多媒体屏幕的对角线长度即可．
【解析】解：∵多媒体屏幕的长是12拃，宽是5拃，1拃≈20cm，
∴多媒体屏幕的长≈12×20＝240（cm），宽≈5×20＝100（cm），
∴多媒体屏幕的对角线长度≈＝260（cm），
即多媒体屏幕的对角线长度约260cm，
故选：C．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
8．（2024 迁安市二模）如图，在等边△ABC中，AB＝4，BD∥AC，BD⊥CD，则BD＝（　　）
A．1 B．2 C． D．
【点拨】根据等边三角形的性质得出AB＝BC＝4，∠ACB＝60°，进而利用平行线的性质和含30°角的直角三角形的性质解答即可．
【解析】解：∵三角形ABC是等边三角形，
∴AB＝BC＝4，∠ACB＝60°，
∵BD∥AC，
∴∠DBC＝∠ACB＝60°，
∵BD⊥CD，
∴∠BDC＝90°，
∴∠BCD＝30°，
∴BD＝BC＝2，
故选：B．
【点睛】此题考查含30°角的直角三角形的性质，关键是根据等边三角形的性质得出AB＝BC＝4，∠ACB＝60°解答．
9．（2024 石家庄模拟）已知等腰直角△ABC中，∠C＝90°，若，则m是（　　）
A．直角边AC的长 B．AB边上的中线的长 C．斜边AB的长 D．BC边上的中线的长
【点拨】根据等腰直角三角形的性质，得到CD＝AD＝BD＝m，CD⊥AB，所以△ABC的面积＝．
【解析】解：如图，取AB边上的中点D，连接CD，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴CD＝AD＝CD＝m，CD⊥AB，
∴△ABC的面积＝，
∴m是AB边上的中线的长，
故选：B．
【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，掌握性质是解题的关键．
10．（2024 杭州一模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AB、BC为边在AB的同侧作正方形ABDE和正方形BCGF，点D在FG上，连结CE、EG．若要求四边形CDGE的面积，则只需知道（　　）
A．AB的长 B．BC的长 C．△ABC的面积 D．△ACE的面积
【点拨】本题考查的是正方形的性质，全等三角形的判定与性质，过点H作EH1AG交于点H，由正方形的性质得出∠FBD＝∠ABC，得到△ABC≌△DBF（SAS），进而得出S△ABC＝S△DBF，再证明△AHE≌△ACB（AAS），得到S四边形CDGE＝S正方形BCGF﹣S△BDC＝BC CG﹣BC CG＝BC2即可求解．
【解析】解：∵四边形ABDE，BFGC是正方形，
∴AB＝BD＝AE，BC＝BF＝CG，∠BFG＝∠CBF＝90°，
∴∠FBD＝∠ABC，
在△ABC和△DBF中，
，
∴△ABC≌△DBF（SAS），
∴S△ABC＝S△DBF
过点H作EH⊥AG交于点H，则∠EAH＝∠ABC，∠AEH＝90°，
在△AHE和△ACB中，
，
∴△AHE≌△ACB（AAS），
∴EH＝AC，
S△CGE＝CG EH，
S△ACB＝BC AC，
BC＝CG，EH＝AC，
∴S四边形CDGE＝S正方形BCGF﹣S△BDC＝BC CG﹣BC CG＝BC2，
∴要求四边形CDGE的面积，只需知道BC的长，
故选：B．
【点睛】本题考查的是正方形的性质，全等三角形的判定与性质，作出合适的辅助线构建全等三角形是解本题的关键．
二．填空题
11．（2024 吉林）图①中有一首古算诗，根据诗中的描述可以计算出红莲所在位置的湖水深度，其示意图如图②，其中AB＝AB′，AB⊥B′C于点C，BC＝0.5尺，B′C＝2尺．设AC的长度为x尺，可列方程为 　x2+22＝（x+0.5）2　．
【点拨】在Rt△AB'C中，由勾股定理得出方程即可．
【解析】解：在Rt△AB'C中，由勾股定理得，
AC2+B'C2＝AB'2，
即x2+22＝（x+0.5）2，
故答案为：x2+22＝（x+0.5）2．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟记勾股定理是解题的关键．
12．（2024 台州模拟）小明用刻度尺（单位：cm）测量某三角形部件的尺寸．如图所示，已知∠ACB＝90°，D是AB的中点，点A，B对应的刻度分别是1，8，则CD＝　3.5　cm．
【点拨】根据图形和直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可以计算出CD的长．
【解析】解：由图可得，
∠ACB＝90°，AB＝8﹣1＝7（cm），点D为线段AB的中点，
∴CD＝AB＝3.5（cm），
故答案为：3.5．
【点睛】本题考查直角三角形斜边上的中线，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
13．（2024 东阳市二模）如图，每个小正方形边长都为1，连接小正方形的三个顶点A，B，C，可得△ABC，则边BC上的高为 　　．
【点拨】根据割补法求出三角形ABC的面积，再根据勾股定理求出BC的长即可推出结果．
【解析】解：∵S△ABC＝3×3﹣＝，BC＝，
∴边BC上的高为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了勾股定理，三角形的面积，利用割补法求出三角形ABC的面积是解题的关键．
14．（2024 富平县模拟）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝15°，AB的垂直平分线与AC交于点D，与AB交于点E，连接BD．若AD＝14，则BC的长为　7　．
【点拨】由垂直平分线的性质可求得BD＝DA，且可求得∠BDC＝2∠A＝30°，在Rt△BCD中可求得BC＝BD．
【解析】解：
∵DE为线段AB的垂直平分线，
∴BD＝AD＝14，
∴∠BCD＝2∠A＝30°，
∵∠ACB＝90°，
∴BC＝BD＝7，
故答案为：7．
【点睛】本题主要考查线段垂直平分线的性质及直角三角形的性质，利用线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等求得BD的长是解题的关键．
15．（2024 大庆）如图①，直角三角形的两个锐角分别是40°和50°，其三边上分别有一个正方形．执行下面的操作：由两个小正方形向外分别作锐角为40°和50°的直角三角形，再分别以所得到的直角三角形的直角边为边长作正方形．图②是1次操作后的图形．图③是重复上述步骤若干次后得到的图形，人们把它称为“毕达哥拉斯树”．若图①中的直角三角形斜边长为2，则10次操作后图形中所有正方形的面积和为 　48　．
【点拨】根据勾股定理易得图①中所有正方形的面积和为8，那么经过一次操作后增加的4个小正方形的面积的和为4，那么经过一次操作后所有正方形的面积和＝8+4，同理可得经过2次操作后增加的8个小正方形的面积的和也为4，那么经过2次操作后所有正方形的面积和＝8+2×4，那么可推断10次操作后所有正方形的面积和＝图1中所有正方形的面积和+10×4．
【解析】解：把图②中各个小正方形标上字母，设正方形A的边长为x，正方形B的边长为y．
∴正方形A的面积为x2，正方形B的面积为y2．
由题意得：正方形C的边长为2，并且是直角三角形的斜边．
∴正方形C的面积为4．
根据勾股定理可得：x2+y2＝22＝4．
∴正方形A的面积+正方形B的面积＝4；
∴图①中所有正方形的面积和＝4+4＝8．
同理可得：正方形E的面积+正方形F的面积＝正方形A的面积，正方形G的面积+正方形H的面积＝正方形B的面积，
∴正方形E的面积+正方形F的面积+正方形G的面积+正方形H的面积＝正方形A的面积+正方形B的面积＝4．
∴图2中所有正方形的面积和＝图1中所有正方形的面积和+4＝12．
即一次操作后所有正方形的面积和＝图1中所有正方形的面积和+4＝12．
同理可得2次操作后增加的8个小正方形的面积和也是4．
∴2次操作后所有正方形的面积和＝图1中所有正方形的面积和+2×4＝8+8＝16．
∴10次操作后所有正方形的面积和＝图1中所有正方形的面积和+10×4＝8+40＝48．
【点睛】本题考查勾股定理的相关知识．根据勾股定理得到以直角三角形各边长为边长的正方形的面积之间的关系是解决本题的关键；难点是得到n次操作后，所有正方形的面积的和＝图①中正方形的面积的和+n×最大正方形的面积这个知识点．
16．（2024 吉安三模）在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝90°，AC＝8，点D在边AB上，且BD＝，点P是△ABC边上的一个动点，若AP＝2PD时，则PD的长是 　3或或　．
【点拨】根据含30°角的直角三角形的性质可得BC的长，根据勾股定理可得AB的长，进一步可得AD的长，分情况讨论：①当点P在AC边上时，②当点P在BC边上时，③当点P在AB边上时，分别求解即可．
【解析】解：∵∠A＝30°，∠B＝90°，AC＝8，
∴BC＝AC＝4，
根据勾股定理，得AB＝＝，
∵BD＝，
∴AD＝﹣＝，
①当点P在AC边上时，如图所示：
∵∠A＝30°，AP＝2PD，
∴PD⊥AB，
设PD＝x，则AP＝2x，
根据勾股定理，得，
解得x＝3或x＝﹣3（舍去），
∴PD＝3；
②当点P在BC边上时，如图所示：
∵∠B＝90°，
∴PD2﹣BD2＝PA2﹣AB2＝PB2，
∴PA2﹣AB2＝PD2﹣BD2
∴（2PD）2﹣（）2＝PD2﹣（）2，
∴PD＝或PD＝﹣（舍去）；
③当点P在AB边上时，如图所示：
∵AD＝，AP＝2DP，
∴3PD＝，
∴PD＝，
综上所述，PD的值为3或或，
故答案为：3或或．
【点睛】本题考查了含30°角直角三角形的性质、勾股定理等，熟练掌握直角三角形的性质是解题的关键，注意分类讨论．
三．解答题
17．（2024 金华三模）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB的垂直平分线交AB于D，交BC于E，连结AE．
（1）求证：∠AEC＝2∠B．
（2）若∠BAC＝60°，EC＝3，求BE的长．
【点拨】（1）首先根据线段垂直平分线的性质得AE＝BE，进而得∠EAB＝∠B，然后再根据三角形的外角定理可得出结论；
（2）先求出∠B＝30°，再由（1）的结论得∠AEC＝2∠B＝60°，然后在Rt△ACE中求出∠CAE＝30°，进而得AE＝2CE＝6，最后根据线段垂直平分线的性质可得出答案．
【解析】（1）证明：∵DE垂直平分AB，
∴AE＝BE，
∴∠EAB＝∠B，
∴∠AEC＝∠EAB+∠B＝2∠B；
（2）解：∵∠ACB＝90°，∠BAC＝60°，
∴∠B＝180°﹣（∠ACB+∠BAC）＝30°，
由（1）可知∠AEC＝2∠B＝60°，
在Rt△ACE中，∠AEC＝60°，
∴∠CAE＝30°，
∴AE＝2CE＝6，
∵DE垂直平分AB，
∴AE＝BE＝6．
【点睛】此题主要考查了线段垂直平分线的性质，直角三角形的性质，理解线段垂直平分线是的点到线段两端的距离相等；直角三角形中，30°的角所对的直角边等于斜边的一半是解决问题的关键．
18．（2024 桐乡市校级一模）已知△ABC的三边a＝m﹣n（m＞n＞0），，c＝m+n．
（1）求证：△ABC是直角三角形；
（2）利用（1）中的结论，写出两个直角三角形的边长，要求他们的边长均为正整数且至少有两个数是相邻的整数．
【点拨】（1）由a＝m﹣n（m＞n＞0），b＝2，c＝m+n，求得a2+b2＝c2＝m2+2mn+n2，即可根据勾股定理的逆定理证明△ABC是直角三角形；
（2）由b＝2，且b为正整数，可以考虑m、n都取完全平方数，且n的值尽可能小些，比如，当m＝4，n＝1时，则a＝3，b＝4，c＝5；当m＝9，n＝4时，则a＝5，b＝12，c＝13；当m＝16，n＝9时，则a＝7，b＝24，c＝25．
【解析】（1）证明：∵△ABC的三边a＝m﹣n（m＞n＞0），b＝2，c＝m+n，
∴a2＝（m﹣n）2＝m2﹣2mn+n2，b2＝（2）2＝4mn，c2＝（m+n）2＝m2+2mn+n2，
∴a2+b2＝m2﹣2mn+n2+4mn＝m2+2mn+n2，
∴a2+b2＝c2，
∴△ABC是直角三角形．
（2）△ABC的三边a、b、c的长分别为3、4、5或5，12，13，
理由：当m＝4，n＝1时，则a＝3，b＝4，c＝5；
当m＝9，n＝4时，则a＝5，b＝12，c＝13．
注：答案不唯一，如当m＝16，n＝9时，则a＝7，b＝24，c＝25．
【点睛】此题重点考查勾股定理的逆定理，通过计算，推导出a2+b2＝c2是解题的关键．
19．（2024 龙亭区校级一模）如图，在四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，点D是Rt△ABC外一点，连接CD，AD，且CD＝12，AD＝13．求四边形ABCD的面积．
【点拨】根据勾股定理计算AC，根据勾股定理的逆定理判定△ADC是直角三角形，根据面积公式计算即可．
【解析】解：∵∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，
∴AC＝＝＝5，
∵CD＝12，AD＝13，AC＝5，
且CD2+AC2＝52+122＝132＝AD2，
∴∠ACD＝90°，
∴四边形ABCD面积为：
＝．
【点睛】本题考查了勾股定理及其逆定理，熟练掌握定理是解题的关键．
20．（2024 台山市模拟）综合与实践
小明同学在延时课上进行了项目式学习实践探究，并绘制了如下记录表格：
课题 在放风筝时测量风筝离地面的垂直高度AD
模型抽象
测绘数据 ①测得水平距离ED的长为15米.
②根据手中剩余线的长度，计算出风筝线AB的长为17米.
③牵线放风筝的手到地面的距离BE为1.6米.
说明 点A，B，E，D在同一平面内
请根据表格信息，解答下列问题．
（1）求线段AD的长．
（2）若想要风筝沿DA方向再上升12米，则在ED长度不变的前提下，小明同学应该再放出多少米线？
【点拨】（1）过点B作BC⊥AD于C，根据勾股定理得到AC＝＝＝8，于是得到AD＝AC+CD＝8+1.6＝9.6（米）；
（2）由风筝沿DA方向再上升12米后，风筝的高度为20米，得到此时风筝线的长为：25（米），于是得到结论．
【解析】解：（1）过点B作BC⊥AD于C，
在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝15米，AB＝17米，
由勾股定理，得AC＝＝＝8（米），
则AD＝AC+CD＝8+1.6＝9.6（米）；
（2）风筝沿DA方向再上升12米后，风筝的高度为20米，
则此时风筝线的长为25（米），
25﹣17＝8（米），
答：他应该再放出8米线．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
21．（2024 清远模拟）三国时代吴国数学家赵爽第一次对勾股定理加以证明：用4个全等的直角三角形拼成如图所示“弦图”．Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝b，BC＝a，AB＝c，大正方形的面积＝小正方形的面积+4个直角三角形的面积，化简证得勾股定理：a2+b2＝c2．
（1）若b＝2a，则S小正方形：S大正方形＝　1：5　；
（2）如果大正方形的面积是13，a＝2，求小正方形的面积．
【点拨】（1）根据题意得大正方形面积为c2，直角三角形面积为ab，小正方形面积为（b﹣a）2，然后根据b＝2a，a2+b2＝c2即可解决问题；
（2）根据大正方形的面积＝c2＝13，a＝2，得b2＝c2﹣a2＝9，求出b，进而可得小正方形的面积．
【解析】解：（1）∵大正方形面积为c2，直角三角形面积为ab，小正方形面积为（b﹣a）2，
∵b＝2a，a2+b2＝c2，
∴a2+（2a）2＝c2＝5a2
∴S小正方形：S大正方形＝（2a﹣a）2：（5a2）＝＝1：5，
故答案为：1：5；
（2）∵大正方形的面积＝c2＝13，a＝2，
∴b2＝c2﹣a2＝13﹣22＝13﹣4＝9，
∴b＝3（负值已经舍去），
∴小正方形的面积＝（b﹣a）2＝（3﹣2）2＝1．
【点睛】本题考查了勾股定理的证明直角三角形全等的判定，和以及非负数的性质，掌握三角形和正方形面积计算公式是解决问题的关键．
22．（2024 铜山区模拟）如图，△ABC中，∠ABC＝90°，D是BC上的一点，CD＝AB，过点D作DE⊥BC，并截取DE＝BC．
（1）求证：△ACE是等腰直角三角形；
（2）延长DE至F，使得EF＝CD，连结BF并与CE的延长线相交于点G，求∠BGC的度数．
【点拨】（1）根据已知条件由SAS证明△ABC≌△ODE，从而得到∠ACB＝∠DEC，AC＝CE，故∠DCE+∠DEC＝∠DCE+∠ACB＝∠ACE＝90°，即可得证；
（2）由AB∥DF及AB＝EF可得四边形 AEFB是平行四边形，所以∠BGC＝∠AEC＝45°．
【解析】（1）证明：DE⊥BC，
∴∠EDC＝90°＝∠CBA，∠DCE+∠DEC＝90°，
在△ABC和△CDE中，
，
∴△ABC≌△CDE（SAS），
∴∠ACB＝∠DEC，AC＝CE，
∴∠ACB+∠DCE＝∠ACE＝90°，
∴△ACE是等腰直角三角形；
（2）解：∵AB⊥BC，DE⊥BC，
∴AB∥DF，
∵△ABC≌△CDE（已证），
∴AB＝CD，
∵EF＝CD，
∴AB＝EF，
四边形AEFB是平行四边形，
∴BF∥AE，
∴∠BGC＝∠AEC，
∵△ACE是等腰直角三角形，
∴∠AEC＝45°，
∴∠BGC＝∠AEC＝45°．
【点睛】本题考查了三角形全等的性质、等腰三角形性质和判定，掌握等腰三角形性质是解题的关键．
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