导数及其应用
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文档简介
第一章 导数及其应用
1.1 变化率与导数
1.1.1 变化率问题
教学目标：
1.理解平均变化率的概念;
2.了解平均变化率的几何意义;
3.会求函数在某点处附近的平均变化率.
教学重点：
平均变化率的概念、函数在某点处附近的平均变化率.
教学难点：
平均变化率的概念.
教学过程：
一、创设情景
为了描述现实世界中运动、过程等变化着的现象,在数学中引入了函数,随着对函数的研究,产生了微积分,微积分的创立以自然科学中四类问题的处理直接相关:
一、已知物体运动的路程作为时间的函数,求物体在任意时刻的速度与加速度等;
二、求曲线的切线;
三、求已知函数的最大值与最小值;
四、求长度、面积、体积和重心等.
导数是微积分的核心概念之一它是研究函数增减、变化快慢、最大(小)值等问题最一般、最有效的工具.
导数研究的问题即变化率问题:研究某个变量相对于另一个变量变化的快慢程度.
二、新课讲授
(一)问题提出
问题1 气球膨胀率
我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢
气球的体积(单位:)与半径(单位:)之间的函数关系是
如果将半径表示为体积的函数,那么
分析:
(1)当从增加到时,气球半径增加了
气球的平均膨胀率为
(2)当从增加到时,气球半径增加了
气球的平均膨胀率为
可以看出,随着气球体积逐渐增大,它的平均膨胀率逐渐变小了.
思考: 当空气容量从V1增加到V2时,气球的平均膨胀率是多少
问题2 高台跳水
在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度(单位:)与起跳后的时间(单位:)存在函数关系.如何用运动员在某些时间段内的平均速度粗略地描述其运动状态
思考计算: 和的平均速度
在这段时间里,
在这段时间里,
探究: 计算运动员在这段时间里的平均速度,并思考以下问题:
(1)运动员在这段时间内使静止的吗？
(2)你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？
探究过程: 如图是函数的图像,
结合图形可知,,所以
虽然运动员在这段时间里的平均速度为,
但实际情况是运动员仍然运动,并非静止,
可以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态.
(二)平均变化率概念
1.上述问题中的变化率可用式子表示,
称为函数从到的平均变化率.
2.若设, (这里看作是对于的一个“增量”可用代替,同样)
则平均变化率为
思考: 观察函数的图象
平均变化率表示什么
三、典例分析
例1 已知函数的图象上的一点及临近一点，则 .
解:
∴
例2 求在附近的平均变化率.
解:
所以
所以在附近的平均变化率为
四、课堂练习
1.质点运动规律为,则在时间中相应的平均速度为 .
2.物体按照的规律作直线运动,求在附近的平均变化率.
3.过曲线上两点和作曲线的割线,
求出当时割线的斜率.
五、回顾总结
1.平均变化率的概念.
2.函数在某点处附近的平均变化率.
六、布置作业
1.1.2 导数的概念
教学目标：
1.了解瞬时速度、瞬时变化率的概念;
2.理解导数的概念,知道瞬时变化率就是导数,体会导数的思想及其内涵;
3.会求函数在某点的导数.
教学重点：
瞬时速度、瞬时变化率的概念、导数的概念.
教学难点：
导数的概念.
教学过程：
一、创设情景
(一)平均变化率
(二)探究
探究: 计算运动员在这段时间里的平均速度,并思考以下问题:
(1)运动员在这段时间内使静止的吗？
(2)你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？
探究过程: 如图是函数的图像,
结合图形可知,,
所以
虽然运动员在这段时间里的平均速度为,
但实际情况是运动员仍然运动,并非静止,
可以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态.
二、新课讲授
1.瞬时速度
我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度.运动员的平均速度不能反映他在某一时刻的瞬时速度,那么,如何求运动员的瞬时速度呢？比如,时的瞬时速度是多少？考察附近的情况:
思考: 当趋近于时,平均速度有什么样的变化趋势？
结论: 当趋近于时,即无论从小于的一边,还是从大于的一边趋近于时,平均速度都趋近于一个确定的值.
从物理的角度看,时间间隔无限变小时,平均速度就无限趋近于史的瞬时速度.因此,运动员在时的瞬时速度是
为了表述方便,我们用
表示“当,趋近于时,平均速度趋近于定值”
小结: 局部以匀速代替变速,以平均速度代替瞬时速度,然后通过取极限,从瞬时速度的近似值过渡到瞬时速度的精确值.
2.导数的概念
从函数在处的瞬时变化率是:
我们称它为函数在出的导数,记作或
即
说明: (1)导数即为函数在处的瞬时变化率;
(2),当时,,所以.
三、典例分析
例1 (1)求函数在处的导数.
(2)求函数在附近的平均变化率,并求出该点处的导数.
分析: 先求,再求,最后求.
解: (1)法一 定义法(略)
法二
(2)
例2 将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品,需要对原油进行冷却和加热,如果第时,原油的温度(单位:)为,计算第时和第时,原油温度的瞬时变化率,并说明它们的意义.
解: 在第时和第时,原油温度的瞬时变化率就是和
根据导数定义
所以 同理可得:
在第时和第时,原油温度的瞬时变化率分别为和,
说明在第附近,原油温度大约以的速率下降
在第附近,原油温度大约以的速率上升.
注: 一般地,反映了原油温度在时刻附近的变化情况.
四、课堂练习
1.质点运动规律为,求质点在的瞬时速度为.
2.求曲线在时的导数.
3.例2中,计算第时和第时,原油温度的瞬时变化率,并说明它们的意义.
五、回顾总结
1.瞬时速度、瞬时变化率的概念.
2.导数的概念.
1.1.3 导数的几何意义
教学目标：
1.了解平均变化率与割线斜率之间的关系;
2.理解曲线的切线的概念;
3.通过函数的图像直观地理解导数的几何意义,并会用导数的几何意义解题.
教学重点：
曲线的切线的概念、切线的斜率、导数的几何意义.
教学难点：
导数的几何意义.
教学过程：
一、创设情景
(一)平均变化率、割线的斜率
(二)瞬时速度、导数
我们知道,导数表示函数在处的瞬时变化率,反映了函数在附近的变化情况,导数的几何意义是什么呢？
二、新课讲授
(一)曲线的切线及切线的斜率
如图3.1-2,当沿着曲线趋近于点时,割线的变化趋势是什么？
我们发现,当点沿着曲线无限接近点即时,割线趋近于确定的位置,这个确定位置的直线称为曲线在点处的切线.
问题: (1)割线的斜率与切线的斜率有什么关系？
(2)切线的斜率为多少？
容易知道,割线的斜率是,当点沿着曲线无限接近点时,无限趋近于切线的斜率,即
说明: (1)设切线的倾斜角为,
那么当时,割线的斜率,称为曲线在点处的切线的斜率.
这个概念: ①提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法;
②切线斜率的本质—函数在处的导数.
(2)曲线在某点处的切线:
1)与该点的位置有关;
2)要根据割线是否有极限位置来判断与求解.如有极限,则在此点有切线,且切线是唯一的;如不存在,则在此点处无切线;
3)曲线切线,并不一定与曲线只有一个交点,可以有多个,甚至可以无穷多.
(二)导数的几何意义
函数在处的导数等于在该点处的切线的斜率,
即
说明: 求曲线在某点处的切线方程的基本步骤:
①求出点的坐标;
②求出函数在点处的变化率得到曲线在点的切线的斜率;
③利用点斜式求切线方程.
(三)导函数
由函数在处求导数的过程可以看到,当时,是一个确定的数,那么,当变化时,便是的一个函数,我们叫它为的导函数.
记作:或,即.
注: 在不致发生混淆时,导函数也简称导数.
(四)函数在点处的导数、导函数、导数之间的区别与联系
(1)函数在一点处的导数,就是在该点的函数的改变量与自变量的改变量之比的极限,它是一个常数,不是变数.
(2)函数的导数,是指某一区间内任意点而言的,就是函数的导函数.
(3)函数在点处的导数就是导函数在处的函数值,这也是求函数在点处的导数的方法之一.
三、典例分析
例1 (1)求曲线在点处的切线方程.
(2)求函数在点处的导数.
解: (1)
所以,所求切线的斜率为
因此,所求的切线方程为即
(2)因为
所以,所求切线的斜率为,
因此,所求的切线方程为即
例2 如图3.1-3,它表示跳水运动中高度随时间变化的函数,根据图像,请描述、比较曲线在、、附近的变化情况.
解: 我们用曲线在、、处的切线,
刻画曲线在上述三个时刻附近的变化情况.
(1) 当时,曲线在处的切线平行于轴,
所以,在附近曲线比较平坦,几乎没有升降.
(2)当时,曲线在处的切线的斜率,
所以,在附近曲线下降,
即函数在附近单调递减.
(3)当时,曲线在处的切线的斜率,
所以,在附近曲线下降,
即函数在附近单调递减．
从图3.1-3可以看出,直线的倾斜程度小于直线的倾斜程度,
这说明曲线在附近比在附近下降的缓慢.
例3 如图3.1-4,它表示人体血管中药物浓度(单位:)随时间(单位:)变化的图象.根据图像,估计时,血管中药物浓度的瞬时变化率(精确到).
解: 血管中某一时刻药物浓度的瞬时变化率,就是药物浓度在此时刻的导数,从图像上看,它表示曲线在此点处的切线的斜率.如图3.1-4,画出曲线上某点处的切线,利用网格估计这条切线的斜率,可以得到此时刻药物浓度瞬时变化率的近似值.作处的切线,并在切线上去两点,如,,
则它的斜率为,所以
下表给出了药物浓度瞬时变化率的估计值:
0.2 0.4 0.6 0.8
药物浓度瞬时变化率 0.4 0 -0.7 -1.4
四、课堂练习
1.求曲线在点处的切线.
2.求曲线在点处的切线.
五、回顾总结
1.曲线的切线及切线的斜率.
2.导数的几何意义.
六、布置作业
1.2 导数的计算
1.2.1 几个常用函数的导数
教学目标：
1.使学生应用由定义求导数的三个步骤推导四种常见函数、、、的导数公式;
2.掌握并能运用这四个公式正确求函数的导数.
教学重点：
四种常见函数、、、的导数公式及应用.
教学难点：
四种常见函数、、、的导数公式.
教学过程：
一、创设情景
我们知道,导数的几何意义是曲线在某一点处的切线斜率,物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度.那么,对于函数,如何求它的导数呢？
由导数定义本身,给出了求导数的最基本的方法,但由于导数是用极限来定义的,所以求导数总是归结到求极限这在运算上很麻烦,有时甚至很困难,为了能够较快地求出某些函数的导数,这一单元我们将研究比较简捷的求导数的方法,下面我们求几个常用的函数的导数.
二、新课讲授
1.函数的导数
根据导数定义,因为
所以
函数 导数
表示函数图像(图3.2-1)上每一点处的切线的斜率都为.若表示路程关于时间的函数,则可以解释为某物体的瞬时速度始终为,即物体一直处于静止状态.
2.函数的导数
因为
所以
函数 导数
表示函数图像(图3.2-2)上每一点处的切线的斜率都为,若表示路程关于时间的函数,则可以解释为某物体做瞬时速度为的匀速运动.
3.函数的导数
因为
所以
函数 导数
表示函数图像上点处的切线的斜率都为,说明随着的变化,切线的斜率也在变化.另一方面,从导数作为函数在一点的瞬时变化率来看,表明:当时,随着的增加,函数减少得越来越慢;当时,随着的增加,函数增加得越来越快.若表示路程关于时间的函数,则可以解释为某物体做变速运动,它在时刻的瞬时速度为.
4.函数的导数
因为
所以
函数 导数
5.函数的导数
因为
所以
函数 导数
推广: 若,则
注:这里可以是全体实数.
三、课堂练习
1.课本P13探究1
2.课本P13探究2
四、回顾总结
函数 导数
五、布置作业
1.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则
教学目标：
1.熟练掌握基本初等函数的导数公式;
2.掌握导数的四则运算法则;
3.能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数.
教学重点：
基本初等函数的导数公式、导数的四则运算法则
教学难点：
基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则的应用
教学过程：
一、创设情景
五种常见函数、、、、的导数公式及应用
函数 导数
二、新课讲授
(一)基本初等函数的导数公式表
函数 导数
(二)导数的运算法则
导数运算法则
1．2．3．
推论: (常数与函数的积的导数,等于常数乘函数的导数)
(三)运算法则的证明
证明:令
.
即
法则1：两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差),
即:(
范例: (1)求的导数.(2)求的导数.
法则2：两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个函数乘以第二个函数的导数,即:
指导学生尝试法则2的证明:
令
.
因为在点处可导,所以它在点处连续,
于是当时,.
从而
即
说明:
1..
2.若为常数,则.即常数与函数的积的导数等于常数乘以函数的导数. .
法则3：两个函数的商的导数,等于分子的导数与分母的积,减去分母的导数与分子的积,再除以分母的平方：
回顾导数定义：
证明：设
则
.
因为在点处可导,所以在点处连续.
于是当时,
从而
即
说明: 若两个函数可导,则它们的和、差、积、商(商的分母不为)必可导.
若两个函数均不可导,则它们的和、差、积、商不一定不可导.
例如: 设,,则在处均不可导,但它们的和在处可导.
三、典例分析
例1 假设某国家在年期间的年均通货膨胀率为,物价(单位:元)与时间(单位:年)有如下函数关系,其中为时的物价.假定某种商品的,那么在第个年头,这种商品的价格上涨的速度大约是多少(精确到)
解: 根据基本初等函数导数公式表,有
所以(元/年)
因此,在第个年头,这种商品的价格约为元/年的速度上涨.
例2 根据基本初等函数的导数公式和导数运算法则,求下列函数的导数.
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
解: (1)
。
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
，
。
(7)
点评: ①求导数是在定义域内实行的;
②求较复杂的函数积、商的导数,必须细心、耐心.
例3 日常生活中的饮水通常是经过净化的,随着水纯净度的提高,所需净化费用不断增加.已知将吨水净化到纯净度为时所需费用(单位:元)为
求净化到下列纯净度时,所需净化费用的瞬时变化率: (1) (2)
解: 净化费用的瞬时变化率就是净化费用函数的导数
(1)因为
所以,纯净度为时,费用的瞬时变化率是元/吨
(2)因为
所以,纯净度为时,费用的瞬时变化率是元/吨
注: 函数在某点处导数的大小表示函数在此点附近变化的快慢.由上述计算可知,.它表示纯净度为左右时净化费用的瞬时变化率,大约是纯净度为左右时净化费用的瞬时变化率的倍.这说明,水的纯净度越高,需要的净化费用就越多,而且净化费用增加的速度也越快.
例4 求曲线在点的切线方程.
分析: 先要求出函数的导函数,然后利用导函数求出曲线在点的切线的斜率,最后应用点斜式求出切线的方程.
解:
斜率
切线方程为化简得
故曲线在点的切线方程为
类型题: 求曲线在点的切线方程.
例5 试用求导的方法求和.
补充例题
例1 判断下列求导是否正确,加以改正.
例2 求下列函数的导数(1);(2).
例3 求在点处的导数.
例4 求下列函数的导数(1);(2);(3).
例5 求的导数.
解: 将函数变形为
’.
例6 求的导数.
注: 有的函数虽然表面形式为函数的商的形式,但在求导前利用代数或三角恒等变形将函数先化简,然后进行求导.有时可以避免使用商的求导法则,减少运算量.
例7 求曲线在点处的切线方程.
回顾导数的几何意义:
函数在处的导数就是曲线在点处的切线的斜率.
例8 曲线运动方程为,求时的速度.
回顾导数的物理意义:
瞬时速度是位移函数对时间的导数:.
例9 已知抛物线通过点,且在点处与直线相切,求的值.
四、课堂练习
1.课本P92练习
2.已知曲线,求曲线上横坐标为的点的切线方程.
答案:
五、回顾总结
1.基本初等函数的导数公式表;
2.导数的运算法则.
六、布置作业
1.2.3 复合函数的求导法则
教学目标：
理解并掌握复合函数的求导法则.
教学重点：
复合函数的求导方法:复合函数对自变量的导数,等于已知函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数之积.
教学难点：
正确分解复合函数的复合过程,做到不漏,不重,熟练,正确.
一、创设情景
(一)基本初等函数的导数公式表
函数 导数
(二)导数的运算法则
导数运算法则
1．2．3．
推论: (常数与函数的积的导数，等于常数乘函数的导数)
二、新课讲授
1.复合函数的概念
一般地,对于两个函数和,如果通过变量,可以表示成的函数,那么称这个函数为函数和的复合函数,记作.
2.复合函数的导数
复合函数的导数和函数和的导数间的关系为,即对的导数等于对的导数与对的导数的乘积.
若,则
三、典例分析
例1 求下列函数的导数:
(1)
(2)
(3)(其中均为常数)
解: (1)函数可以看作函数和的复合函数
根据复合函数求导法则有
=
(2)函数可以看作函数和的复合函数
根据复合函数求导法则有
=
(3)函数可以看作函数和的复合函数
根据复合函数求导法则有
=
例2 求的导数.
解:
点评: 求复合函数的导数,关键在于搞清楚复合函数的结构,明确复合次数,由外层向内层逐层求导,直到关于自变量求导,同时应注意不能遗漏求导环节并及时化简计算结果.
例3 求的导数.
解:
，
点评: 本题练习商的导数和复合函数的导数,求导数后要予以化简整理.
例4 求的导数.
解法一:
解法二:
点评: 解法一是先化简变形,简化求导数运算,要注意变形准确.
解法二是利用复合函数求导数,应注意不漏步.
例5 曲线有两条平行于直线的切线,
求此二切线之间的距离.
解:
令即 解得或
于是切点为
过点的切线方程为即
显然两切线间的距离等于点到此切线的距离
故所求距离为
补充例题
例1 指出下列函数的复合关系
(1); (2);
(3); (4);
(5).
例2 写出由下列函数复合而成的函数
(1); (2).
例3 求的导数(P122例1).
注意：要求步骤规范,首先设中间变量,再对几个简单函数分别求导,最后应强调把中间变量换成自变量的函数.复合函数求导步骤：分解——求导——回代.
例4 求下列函数的导数
(1); (2); (3);
(5); (6); (7).
注:这里有分式型,根式型,三角函数型的复合函数求导,熟练后可省写步骤,并作示范.如,解(1)可表达为,这里最后结果可写负指数或分数指数.
例5 求的导数.
例6 已知,求.
例7求证双曲线与椭圆在同一交点处的切线互相垂直.
四、课堂练习
求下列函数的导数:
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
五、回顾总结
六、布置作业
1.3 导数在研究函数中的应用
1.3.1 函数的单调性与导数（2课时）
教学目标：
1.了解可导函数的单调性与其导数的关系;
2.能利用导数研究函数的单调性,会求函数的单调区间.
教学重点：
利用导数研究函数的单调性,会求不超过三次的多项式函数的单调区间.
教学难点：
利用导数研究函数的单调性,会求不超过三次的多项式函数的单调区间.
教学过程：
一、创设情景
函数是客观描述世界变化规律的重要数学模型,研究函数时,了解函数的赠与减、增减的快与慢以及函数的最大值或最小值等性质是非常重要的.通过研究函数的这些性质,我们可以对数量的变化规律有一个基本的了解.下面,我们运用导数研究函数的性质,从中体会导数在研究函数中的作用.
二、新课讲授
1.问题
如右图(1),它表示跳水运动中高度随时间变化的函数的图像,右图(2)表示高台跳水运动员的速度随时间变化的函数的图像.
运动员从起跳到最高点,以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别？
通过观察图像,我们可以发现:
(1)运动员从起点到最高点,离水面的高度随时间的增加而增加,即是增函数.相应地,.
(2)从最高点到入水,运动员离水面的高度随时间的增加而减少,即是减函数.相应地,.
2.函数的单调性与导数的关系
观察下面函数的图像,探讨函数的单调性与其导数正负的关系.
如右图,导数表示函数在点处的切线的斜率.
在处,,切线是“左下右上”式的,这时,函数在附近单调递增;
在处,,切线是“左上右下”式的,这时,函数在附近单调递减.
结论: 函数的单调性与导数的关系
在某个区间内,如果,那么函数在这个区间内单调递增;如果,那么函数在这个区间内单调递减.
说明: 在某区间内为常数,当且仅当在该区间内“恒有”之时.否则可能只是“驻点”(曲线在该点处的切线与轴平行).
3.求解函数单调区间的步骤
(1)确定函数的定义域;
(2)求导数;
(3)解不等式,解集在定义域内的部分为增区间;
(4)解不等式，解集在定义域内的部分为减区间.
三、典例分析
例1 已知导函数的下列信息:
当时,;
当或时,;
当或时,.
试画出函数图像的大致形状.
解: 当时,,可知在此区间内单调递增;
当或时,,可知在此区间内单调递减;
当或时,,这两点比较特殊,我们把它称为“临界点”.
综上,函数图像的大致形状如上图所示.
例2 判断下列函数的单调性,并求出单调区间.
(1) (2)
(3) (4)
解: (1)因为,所以
因此在上单调递增,如下图左所示.
(2)因为,所以
当即时,函数单调递增;
当即时,函数单调递减;
函数的图象如上图右所示.
(3)因为,所以
因此,函数在单调递减,如下图左所示.
(4)因为,所以 .
当即 时,函数 ;
当即 时,函数 ;
函数的图象如下图右所示.
注: (3)、(4)生练.
例3 如图,水以常速(即单位时间内注入水的体积相同)注入下面四种底面积相同的容器中,请分别找出与各容器对应的水的高度与时间的函数关系图像.
分析: 以容器(2)为例,由于容器上细下粗,所以水以常速注入时,开始阶段高度增加得慢,以后高度增加得越来越快.反映在图像上,(A)符合上述变化情况.同理可知其它三种容器的情况.
解:
思考: 例3表明,通过函数图像,不仅可以看出函数的增减,还可以看出其变化的快慢.结合图像,你能从导数的角度解释变化快慢的情况吗？
一般的,如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大,那么函数在这个范围内变化的快,这时,函数的图像就比较“陡峭”;反之,函数的图像就“平缓”一些.
例4 求证:函数在区间内是减函数.
证明: 因为
当即时,
所以函数在区间内是减函数.
说明: 证明可导函数在内的单调性步骤:
(1)求导函数;
(2)判断在内的符号;
(3)做出结论:为增函数,为减函数.
例5 已知函数在区间上是增函数,
求实数的取值范围.
解:
因为在区间上是增函数
所以对恒成立
即对恒成立
解之得
所以实数的取值范围为.
说明: 已知函数的单调性求参数的取值范围是一种常见的题型,常利用导数与函数单调性关系:即“若函数单调递增,则;若函数单调递减,则”来求解,注意此时公式中的等号不能省略,否则漏解.
类型题1: 设函数,其中,
求的取值范围,使函数在上是单调函数.
解: ,其中
当时,
要使函数在上是单调函数
则必然要求,由此可知.
类型题2: 函数在上单调递增,求实数的取值范围.
例6 已知函数,试讨论出此函数的单调区间.
解: 令,解得或
∴的单调增区间是和
令解得或
∴的单调减区间是和
例7 当时,证明不等式成立.
证明: 作函数,
当时,知单调递减,
当时,知在时,;
作,
当时,知单调递减,
当时,知在时,.
综上
类型题1: 对于任意的实数,证明: .
类型题2: 当时,证明不等式.
四、课堂练习
1.求下列函数的单调区间
(1) (2)
(3), (4)
2.课本练习
五、回顾总结
1.函数的单调性与导数的关系
2.求解函数单调区间
3.证明可导函数在内的单调性
六、布置作业
3.3.2 函数的极值与导数（2课时）
教学目标：
1.理解极大值、极小值的概念;
2.能够运用判别极大值、极小值的方法来求函数的极值;
3.掌握求可导函数的极值的步骤.
教学重点：
极大、极小值的概念和判别方法,以及求可导函数的极值的步骤.
教学难点：
对极大、极小值概念的理解及求可导函数的极值的步骤.
教学过程：
一、创设情景
观察下左图,我们发现,时,高台跳水运动员距水面高度最大.那么,函数在此点的导数是多少呢？此点附近的图像有什么特点？相应地,导数的符号有什么变化规律？
放大附近函数的图像,如下右图,可以看出,在附近,当时,函数单调递增,;当时,函数单调递减,;这就说明,在附近,函数值先增(,)后减(,),这样,当在的附近从小到大经过时,先正后负,且连续变化,于是有.
对于一般的函数,是否也有这样的性质呢？
附: 对极大、极小值概念的理解,可以结合图象进行说明.并且要说明函数的极值是就函数在某一点附近的小区间而言的.从图象观察得出,判别极大、极小值的方法.判断极值点的关键是这点两侧的导数异号.
二、新课讲授
1.问题
从跳水运动中高度随时间变化的函数的图像及高台跳水运动员的速度随时间变化的函数的图像.运动员从起跳到最高点，以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别？
通过观察图像,我们可以发现:
(1)运动员从起点到最高点,离水面的高度随时间的增加而增加,即是增函数.相应地,.
(2)从最高点到入水,运动员离水面的高度随时间的增加而减少,即是减函数.相应地,.
2.函数的单调性与导数的关系
导数表示函数在点处的切线的斜率.在处,,切线是“左下右上”式的,这时,函数在附近单调递增;在处,,切线是“左上右下”式的,这时,函数在附近单调递减.
结论: 函数的单调性与导数的关系
在某个区间内,如果,那么函数在这个区间内单调递增;如果,那么函数在这个区间内单调递减.
说明: 在某区间内为常数,当且仅当在该区间内“恒有”之时.否则可能只是“驻点”(曲线在该点处的切线与轴平行).
3.函数的极值与导数
一般地,设函数在点附近有定义,如果对附近的所有点,都有,就说是函数的一个极大值,记作,是极大值点.
一般地,设函数在点附近有定义,如果对附近的所有点,都有,就说是函数的一个极小值,记作,是极小值点.
注: (1)极值是一个局部概念.由定义,极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小.
(2)函数的极值不是唯一的.即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个.
(3)极大值与极小值之间无确定的大小关系.即一个函数的极大值未必大于极小值,如下图所示,是极大值点,是极小值点,而.
(4)函数的极值点一定出现在区间的内部,区间的端点不能成为极值点.而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部,也可能在区间的端点.
4.判别是极大、极小值的方法
若满足,且在的两侧的导数异号,则是的极值点,是极值,并且如果在两侧满足“左正右负”,则是的极大值点,是极大值;如果在两侧满足“左负右正”,则是的极小值点,是极小值.
5.求可导函数的极值的步骤
(1)确定函数的定义区间,求导数
(2)求方程的根(导函数等于的点未必是极值点)
(3)用函数的导数为的点,顺次将函数的定义区间分成若干小开区间,并列成表格.检查在方程根左右的值的符号,如果左正右负,那么在这个根处取得极大值;如果左负右正,那么在这个根处取得极小值;如果左右不改变符号即都为正或都为负,那么在这个根处无极值.
如果函数在某些点处连续但不可导,也需要考虑这些点是否是极值点.
三、典例分析
例1 求的极值.
解: 因为,
所以
下面分两种情况讨论:
(1)当即或时 (2)当即时
当变化时,,的变化情况如下表:
+ － +
↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗
因此,当时,有极大值并且极大值为;
当时,有极小值并且极小值为.
函数的图像如图所示.
例2 求的极值.
解: 令解得
当变化时,的变化情况如下表:
－ － + +
↘ 无极值 ↘ 极小值0 ↗ 无极值 ↗
∴当时,有极小值且
例3 求的极值.
解: 略
例4 求函数的极值.
解: 记的定义域为,且
可知时,;而和时,不存在
由三点将定义域分成四个区间,列表：
- 不存在 + - 不存在 +
极小值 极大值 极小值
例5 已知函数在处有极小值,试确定的值,并求出的单调取间.
类型题：
1.已知函数在处有极值,求的值.
2.函数有极小值,求应满足的条件.
3.已知在处有极值,且极大值为,极小值为,试确定的值.
四、巩固练习
求下列函数的极值
(1) (2)
(1)解:
令解得
当变化时,的变化情况如下表:
－ +
↘ 极小值 ↗
∴当时,有极小值,且
(2)解:
令解得
当变化时,的变化情况如下表:
+ － +
↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗
∴当时,有极大值且
当时,有极小值且
五、课时小结
函数的极大、极小值的定义以及判别方法.求可导函数的极值的三个步骤.还有要弄清函数的极值是就函数在某一点附近的小区间而言的,在整个定义区间可能有多个极值,且要在这点处连续.可导函数极值点的导数为,但导数为零的点不一定是极值点,要看这点两侧的导数是否异号.函数的不可导点可能是极值点.
六、布置作业
1.3.3 函数的最大（小）值与导数（2课时）
教学目标：
1.使学生理解函数的最大值和最小值的概念;
2.掌握可导函数在闭区间上所有点(包括端点)处的函数中的最大(或最小)值必有的充分条件;
3.使学生掌握用导数求函数的极值及最值的方法和步骤.
教学重点：
利用导数求函数的最大值和最小值的方法.
教学难点：
函数的最大值、最小值与函数的极大值和极小值的区别与联系.
教学过程：
一、创设情景
我们知道,极值反映的是函数在某一点附近的局部性质,而不是函数在整个定义域内的性质.也就是说,如果是函数的极大(小)值点,那么在点附近找不到比更大(小)的值.但是,在解决实际问题或研究函数的性质时,我们更关心函数在某个区间上,哪个至最大,哪个值最小.如果是函数的最大(小)值,那么不小(大)于函数在相应区间上的所有函数值.
二、新课讲授
观察图中一个定义在闭区间上的函数的图象.图中与是极小值,是极大值.函数在上的最大值是,最小值是.
1.结论
一般地,在闭区间上函数的图像是一条连续不断的曲线,那么函数在上必有最大值与最小值.
说明: (1)如果在某一区间上函数的图像是一条连续不断的曲线,则称函数在这个区间上连续.(可以不给学生讲)
(2)给定函数的区间必须是闭区间,在开区间内连续的函数不一定有最大值与最小值.如函数在内连续,但没有最大值与最小值.
(3)在闭区间上的每一点必须连续,即函数图像没有间断.
(4)函数在闭区间上连续,是在闭区间上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件.(可以不给学生讲)
2.“最值”与“极值”的区别和联系
(1)最值”是整体概念,是比较整个定义域内的函数值得出的,具有绝对性;而“极值”是个局部概念,是比较极值点附近函数值得出的,具有相对性.
(2)从个数上看,一个函数在其定义域上的最值是唯一的,而极值不唯一.
(3)函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个,而函数的极值可能不止一个,也可能没有一个.
(4)极值只能在定义域内部取得,而最值可以在区间的端点处取得,有极值的未必有最值,有最值的未必有极值;极值有可能成为最值,最值只要不在端点必定是极值.
3.利用导数求函数的最值步骤
由上面函数的图象可以看出,只要把连续函数所有的极值与定义区间端点的函数值进行比较,就可以得出函数的最值了.
一般地,求函数在上的最大值与最小值的步骤如下:
(1)求在内的极值;
(2)将的各极值与端点处的函数值、比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值,得出函数在上的最值.
三、典例分析
例1 求在的最大值与最小值.
解: 由上节课例1可知,在上
当时,有极小值,并且极小值为
又由于,
因此,函数在的最大值是,最小值是.
上述结论可以从函数在上的图象得到直观验证.
例2 求函数在区间上的最大值与最小值.
解: 先求导数,得
令即解得
导数的正负以及,如下表
- ＋ - ＋
3
从上表知,当时,函数有最大值,当时,函数有最小值.
例3 已知,.是否存在实数,使同时满足下列两个条件:(1))在上是减函数,在上是增函数;(2)的最小值是.若存在,求出,若不存在,说明理由.
解: 设
∵在上是减函数,在上是增函数
∴在上是减函数，在上是增函数.
∴ ∴ 解得
经检验,时,满足题设的两个条件.
例4 已知为正实数,且满足关系式,求的最大值.
分析: 题中有两个变量,属于条件最值问题,将表示为某一变量的函数,再利用导求函数的最大值.
解: 由，∵ ∴,
由，解得
设, 当时,
令,得或(舍去)
当在内变化时,有如下变化情况：
由上表可知,当时,最大值为,亦即的最大值为.
例5 设,,的最大值为,最小值为,求常数的值.
分析: 闭区间上连续,开区间上可导的函数的最大值、最小值问题的解法应该先出极大值、极小值,然后再与端点处的函数值进行比较,分类讨论确定的值.
解:
令,解得,
当变化时,的变化情况如下表：
由表可知,最大值应为或
又,
故当时,有最大值
由已知,此时
由表可知,最小值应为或
若时,有最小值,则
从而,,与已知条件矛盾
若时,有最小值,则得.
此时
故当时,的最小值为.
综上所述，.
点拨: 列出表格,由表格观察分析,进行分类讨论,是解决本题的关键,最后的检验不可少,因为满足条件的可能是不存在的.
四、课堂练习
1.下列说法正确的是( )
A.函数的极大值就是函数的最大值 B.函数的极小值就是函数的最小值
C.函数的最值一定是极值 D.在闭区间上的连续函数一定存在最值
2.函数在区间上的最大值是,最小值是,若,则( )
A.等于 B.大于 C.小于 D.以上都有可能
3.函数,在上的最小值为( )
A. B. C. D.
4.求函数在区间上的最大值与最小值.
5.课本练习
五、回顾总结
1.函数在闭区间上的最值点必在下列各种点之中:导数等于零的点,导数不存在的点,区间端点;
2.函数在闭区间上连续,是在闭区间上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件;
3.闭区间上的连续函数一定有最值,开区间内的可导函数不一定有最值,若有唯一的极值,则此极值必是函数的最值.
4.利用导数求函数的最值方法.
六、布置作业
1.4生活中的优化问题举例
教学目标
利用导数解决一些生活中的优化问题．
教学重点：利用导数解决一些生活中的优化问题．
教学难点：利用导数解决一些生活中的优化问题．
一、复习引入：
1.函数的最大值和最小值:
在闭区间上连续的函数在上必有最大值与最小值．
（1）在开区间内连续的函数不一定有最大值与最小值．
（2）函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的；函数的极值是比较极值点附近函数值得出的．
（3）函数在闭区间上连续，是在闭区间上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件．
（4）函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个．
2．利用导数求函数的最值步骤：⑴求在内的极值；⑵将的各极值与、比较得出函数在上的最值．
二、讲解新课：
生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题．
通过前面的学习，我们知道，导数是求函数最大（小）值的强有力工具．这一节，我们利用导数，解决一些生活中的优化问题．
1．实例引入
问题1 汽油的使用效率何时最高
我们知道，汽油的消耗量（单位：L）与汽车的速度（单位：km/h）之间有一定的关系，汽油的消耗量是汽车速度的函数．根据你的生活经验，思考下面两个问题：
⑴是不是汽车的速度越快，汽油的消耗量越大？
⑵“汽油的使用效率最高”的含义是什么？
分析：研究汽油的使用效率（单位：L/m）就是研究汽油消耗量与汽车行驶路程的比值．如果用表示每千米平均的汽油消耗量，那么，其中，表示汽油消耗量（单位：L），表示汽油行驶的路程（单位：km）．这样，求“每千米路程的汽油消耗量最少”，就是求的最小值的问题．
问题：通过大量的统计数据，并对数据进行分析、研究，人们发现，汽车在行驶过程中，汽油平均消耗率（即每小时的汽油消耗量，单位：L/h）与汽车行驶的平均速度（单位：km/h）之间有如图所示的函数关系．
试利用图像中的数据信息，解决汽油使用效率最高的问题．
分析：从图中不能直接解决汽油使用效率最高的问题．因此，我们首先需要将问题转化为汽油平均消耗率与汽车行驶的平均速度之间关系的问题.
解：因为,这样,问题就转化为求的最小值.
从图象上看，表示经过原点与曲线上点的直线的斜率．进一步发现，当直线与曲线相切时，其斜率最小．在此切点处速度约为90．从数值上看，每千米的耗油量就是图中切线的斜率，即，约为 L．
问题2 磁盘的最大存储量问题
计算机把数据存储在磁盘上。磁盘是
带有磁性介质的圆盘，并有操作系统将其
格式化成磁道和扇区。磁道是指不同半径
所构成的同心轨道，扇区是指被同心角分
割所成的扇形区域。磁道上的定长弧段可
作为基本存储单元，根据其磁化与否可分
别记录数据0或1，这个基本单元通常被
称为比特（bit）。
为了保障磁盘的分辨率，磁道之间的宽度必需大于，每比特所占用的磁道长度不得小于。为了数据检索便利，磁盘格式化时要求所有磁道要具有相同的比特数。
问题：现有一张半径为的磁盘，它的存储区是半径介于与之间的环形区域．⑴是不是越小，磁盘的存储量越大？⑵为多少时，磁盘具有最大存储量（最外面的磁道不存储任何信息）？
解：由题意知：存储量=磁道数×每磁道的比特数。
设存储区的半径介于与R之间，由于磁道之间的宽度必需大于，且最外面的磁道不存储任何信息，故磁道数最多可达。由于每条磁道上的比特数相同，为获得最大存储量，最内一条磁道必须装满，即每条磁道上的比特数可达。
∴磁盘总存储量×
它是一个关于的二次函数，从函数解析式上可以判断，不是越小，磁盘的存储量越大．
为求的最大值，计算．
问题3：饮料瓶大小对饮料公司利润的 影响
（1）你是否注意过，市场上等量的小包装的物品一般比大包装的要贵些？
（2）是不是饮料瓶越大，饮料公司的利润越大？
背景知识：某制造商制造并出售球型瓶装的某种饮料。 瓶子的制造成本是 分，其中 r 是瓶子的半径，单位是厘米.已知每出售1 ml 的饮料，制造商可获利 0.2 分,且制造商能制作的瓶子的最大半径为 6cm.
问题(１)瓶子的半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大？
(２)瓶子的半径多大时，每瓶的利润最小？
解：由于瓶子的半径为r，所以每瓶饮料的利润是
当半径r＞２时，f ’(r)>0它表示 f(r) 单调递增， 即半径越大，利润越高；
当半径r＜２时，f ’(r)<0 它表示 f(r) 单调递减，
即半径越大，利润越低．
1.半径为２cm 时，利润最小，这时，表示此种瓶内饮料的利润还不够瓶子的成本，此时利润是负值。
２．半径为６cm时，利润最大。
注:如果不用导数工具,直接从函数的图象上观察,你有什么发现 (图见课本第40页)
三、课堂练习：
一条水渠，断面为等腰梯形，如图所示，在确定断面尺寸时，希望在断面ABCD的面积为定值S时，使得湿周l=AB+BC+CD最小，这样可使水流阻力小，渗透少，求此时的高h和下底边长b.
解：由梯形面积公式，得S= (AD+BC)h,其中AD=2DE+BC，DE=h,BC=b∴AD=h+b,
∴S=①
∵CD=,AB=CD.∴l=×2+b②
由①得b=h,代入②,∴l=
l′==0,∴h=, 当h<时，l′<0,h>时，l′>0.
∴h=时，l取最小值，此时b=.
四、课堂小结：
利用导数解决优化问题的基本思路：
五、作业：
1.5 定积分的概念
1．5.1 曲边梯形的面积
教学目标：通过探求曲边梯形的面积，使学生了解定积分的实际背景，了解“以直代曲”“逼近”的思想方法，建立微积分的概念的认识基础.
教学重点：了解定积分的基本思想“以直代曲” “逼近”的思想.
教学难点：“以直代曲” “逼近”的思想的形成求和符号
教学过程：
复习引入
问题一：你会求哪些平面图形的面积？这些平面图形有什么特点？
问题二：圆的面积是怎样求得的？
问题三：如图：阴影部分类似于一个梯形，但有一边是曲线y=f(x)的一段.我们吧由直线x=a，x=b
(a≠b)，y=0和曲线y=f(x)所围成的图形称为曲边梯形.如何计算这个曲边梯形的面积呢？
问题四：能否将求曲边梯形的面积转化为求“直边梯形”面积？
问题五：求曲边梯形面积时，能否对整个曲边梯形进行“以直代曲”呢？怎样减少误差？
问题六：对每个小曲边梯形怎样“以直代曲”
问题七：如何从曲边梯形的近似值求出曲边梯形的面积？
问题八：具体怎样实施“以直代曲”和“逼近”的思想求曲边梯形面积？
问题九：
练习：P42面练习
归纳：如何求曲边梯形的面积？
小结：
1.求曲边梯形面积的思想方法是什么？2.具体步骤是什么？3.最终形式是什么？
1.5.2 汽车行使的路程
教学目标：通过探求汽车行使的路程，使学生了解定积分的实际背景，了解“以不变代变”“逼近”的思想方法，建立微积分的概念的认识基础.
教学重点：了解定积分的基本思想“以不变代变” “逼近”的思想.
教学难点：“以不变代变” “逼近”的思想的形成求和符号
教学过程：
思考1：已知物体运动路程与时间的关系怎样求物体的运动速度？
例如 S(t)=3t2+2. 则v(t)= S (t)=6t+0.
思考2：已知物体运动速度为v(常量)及时间t，怎么求路程？
S=vt 直接求出
思考3：如果汽车作匀速直线运动，在时刻t的速度为v(t)=- t2+2.那么它在0≤t≤1这段时间内行驶的路程S是多少呢？
思考4：结合求曲边梯形面积的过程，你认为汽车行驶的路程S由直线t=0，t=1，v=0和曲线v=- t2+2所围成的曲边梯形的面积有什么关系？
图中矩形面积和就是曲边梯形的面积，从而汽车行驶的路程在数值上就等于相应曲边梯形面积.
思考5：在上面的第二步“近似代替”中，如果我们认为在每个小时间间隔上，汽车进似地以时刻处的速度作匀速行驶，从而得到汽车行驶的总路程s的近似值，用这种方法能求出s的值吗？若能求出，这个值也是吗？
练习：P45面练习第2题.
思考：怎样求上式中汽车在2≤t≤4这段时间行驶的路程？
1.5.3 定积分的概念
教学目标：
1. 了解曲边梯形面积与变速直线运动的共同特征.
2. 理解定积分及几何意义.
3. 掌握定积分的基本性质及其计算
教学重点与难点：
1. 定积分的概念及几何意义
2. 定积分的基本性质及运算
教学过程：
1. 定积分的定义：
2. 怎样用定积分表示：
x=0，x=1，y=0及f(x)=x2所围成图形的面积？
t=0，t=1，v=0及v=-t2-1所围成图形的面积？
3. 你能说说定积分的几何意义吗？例如的几何意义是什么
4. 根据定积分的几何意义，你能用定积分表示下图中阴影部分的面积吗？
思考：试用定积分的几何意义说明
1.的大小
由直线x=0，x=2，y=0及所围成的曲边梯形的面积，即圆x2+y2=22的面积的，
2.
5. 例：利用定积分的定义，计算的值.
6.由定积分的定义可得到哪些性质？
常数与积分的关系
和差的积分 推广到有限个也成立
区间和的积分等于各段积分和
7练习：计算下列定积分
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
www.
1.6微积分基本定理
一：教学目标
知识与技能目标
1、通过实例了解导数和定积分的联系；
2、通过实例，直观了解微积分基本定理的含义，会用牛顿-莱布尼兹公式求简单的定积分
3、了解微积分基本定量，并能用它来求简单函数的定积分。
过程与方法
通过实例体会用微积分基本定理求定积分的方法
情感态度与价值观
通过微积分基本定理的学习，体会事物间的相互转化、对立统一的辩证关系，培养学生辩证唯物主义观点，提高理性思维能力。
二：教学重难点
重点通过探究变速直线运动物体的速度与位移的关系，使学生直观了解微积分基本定理的含义，并能正确运用基本定理计算简单的定积分。
难点 了解微积分基本定理的含义
三：教学过程：
1、复习：
定积分的概念及用定义计算
2、引入新课
我们讲过用定积分定义计算定积分,但其计算过程比较复杂，所以不是求定积分的一般方法。我们必须寻求计算定积分的新方法，也是比较一般的方法。
变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系
设一物体沿直线作变速运动，在时刻t时物体所在位置为S(t),速度为v(t)（），
则物体在时间间隔内经过的路程可用速度函数表示为。
另一方面，这段路程还可以通过位置函数S（t）在上的增量来表达，即
=
而。
对于一般函数，设，是否也有
若上式成立，我们就找到了用的原函数（即满足）的数值差来计算在上的定积分的方法。
注：1：定理 如果函数是上的连续函数的任意一个原函数，则
为了方便起见，还常用表示，即
该式称之为微积分基本公式或牛顿—莱布尼兹公式。它指出了求连续函数定积分的一般方法，把求定积分的问题，转化成求原函数的问题，是微分学与积分学之间联系的桥梁。 它不仅揭示了导数和定积分之间的内在联系，同时也提供计算定积分的一种有效方法，为后面的学习奠定了基础。因此它在教材中处于极其重要的地位，起到了承上启下的作用，不仅如此，它甚至给微积分学的发展带来了深远的影响，是微积分学中最重要最辉煌的成果。
例1．计算下列定积分：
（1） （2） （3）
（4）； （5）。
解：（1）=
（2）
（3）=
（4）因为，
所以。
（5））因为，
所以
。
小结：
例2．计算下列定积分：
。
由计算结果你能发现什么结论？试利用曲边梯形的面积表示所发现的结论。
解：因为，
所以
，
，
.
可以发现，定积分的值可能取正值也可能取负值，还可能是0:
( l ）当对应的曲边梯形位于 x 轴上方时（图1.6一3 ) ，定积分的值取正值，且等于曲边梯形的面积；
图1 . 6 一 3 ( 2 ）
（2）当对应的曲边梯形位于 x 轴下方时（图 1 . 6 一 4 ) ，定积分的值取负值，且等于曲边梯形的面积的相反数；
( 3）当位于 x 轴上方的曲边梯形面积等于位于 x 轴下方的曲边梯形面积时，定积分的值为0（图 1 . 6 一 5 ) ，且等于位于 x 轴上方的曲边梯形面积减去位于 x 轴下方的曲边梯形面积．
例3．汽车以每小时32公里速度行驶，到某处需要减速停车。设汽车以等减速度=1.8米/秒2刹车，问从开始刹车到停车，汽车走了多少距离？
解:首先要求出从刹车开始到停车经过了多少时间。当t=0时，汽车速度=32公里/小时=米/秒8.88米/秒,刹车后汽车减速行驶,其速度为当汽车停住时,速度,故从解得秒
于是在这段时间内,汽车所走过的距离是
=米,即在刹车后,汽车需走过21.90米才能停住.
微积分基本定理揭示了导数和定积分之间的内在联系，同时它也提供了计算定积分的一种有效方法．微积分基本定理是微积分学中最重要的定理，它使微积分学蓬勃发展起来，成为一门影响深远的学科，可以毫不夸张地说，微积分基本定理是微积分中最重要、最辉煌的成果．
三、课堂练习：
P55 T1（1）（3）（5）（7）
四：课堂小结：
本节课借助于变速运动物体的速度与路程的关系以及图形得出了特殊情况下的牛顿-莱布尼兹公式.成立，进而推广到了一般的函数，得出了微积分基本定理，得到了一种求定积分的简便方法，运用这种方法的关键是找到被积函数的原函数，这就要求大家前面的求导数的知识比较熟练，希望，不明白的同学，回头来多复习！
1.7 定积分的简单应用
一 学习目标：
1.使学生在定积分几何意义的基础上，通过自主探究，应用定积分解决曲线围成的平面图形的面积.
2.能应用定积分求变速直线运动的路程、变力所做的功.
二 重点难点：
重点：能够利用定积分解决实际问题，在解决问题的过程中体会定积分的价值.
难点：如何恰当选择积分变量和确定被积函数
三 知识链接
定积分的概念、定积分的计算、定积分的几何意义
四 学习指导
图形的面积为非负数，当图形在轴的下方时的情况需要注意；当图形比较复杂时，将图形分割成若干个比较简单的图形；
在物理中应用时，注意力或速度的方向，积分的上限、下限.
五 问题逻辑
（一）复习与思考
1.定积分的几何意义 .
热身训练：计算（1） （２）．计算
2.用定积分表示阴影部分的面积
3.汽车变速直线运动行驶的路程，等于其速度函数在时间区间[,]上的定积分，即 .
4.如果物体在变力的作用下做直线运动，并且物体沿着与相同的方向从移动到（），那么变力所做的功为 .
（二）定积分在几何中的应用
例１．计算由曲线与所围图形的面积．
探究过程.
1.找到图形----画图得到曲边形.
2.曲边形面积解法----转化为曲边梯形，做出辅助线.
3.定积分表示曲边梯形面积----确定积分区间、被积函数.
4.计算定积分.
变式训练：求曲线与直线围成的图形的面积.
例2. 计算由直线，曲线以及轴所围图形的面积.
讨论探究解法的过程
1．找到图形----画图得到曲边形.
2．曲边形面积解法----转化为曲边梯形，做出辅助线.
3．定积分表示曲边梯形面积----确定积分区间、被积函数.表示不到，那换成Y为积分变量呢？
4．计算定积分.
探讨：为积分变量
变式训练：求曲线与直线，围成的图形的面积.
反思：解由曲线所围的平面图形面积的解题步骤：
1．画草图，求出曲线的交点坐标．
2．将曲边形面积转化为曲边梯形面积．
3．根据图形特点选择适当的积分变量．（注意选择型积分变量时，要把函数变形成用表示的函数）
4．确定被积函数和积分区间．
5．计算定积分，求出面积.
（三）定积分在物理中的应用（变速直线运动的路程）
例3.（见课本例3）
变式训练：一点在直线上从时刻开始以速度运动，求
（1） 在时的位置；
（2） 在时运动的路程.
（四）定积分在物理中的应用（变力做功）
例4.（见课本例4）
变式训练：在底面积为的圆柱容器中盛有一定量的气体，在等温条件下，由于气体的膨胀，把容器中的一个活塞（面积为）从处推到处，计算在移动过程中，气体压力所做的功.
六 目标检测
1.抛物线与轴所围成的图形的面积为（ ）
A. B. C. D.
2.由抛物线，直线及轴所围成的图形的面积为（ ）
A. B. C. D.
3.质点做直线运动，其速度，则它在第2秒内所走的路程为（ ）
A.1 B.3 C.5 D.7
4.如果1N力能拉长弹簧1cm，为了将弹簧拉长6cm,所耗费的功为（ ）
A.0.18J B.0.26J C.0.12J D.0.28J
5.抛物线及其在点A（1，0）和点B（3，0）处的切线所围成的图形的面积为 .
6.某质点作直线运动，其速度，则它在第2秒内所走的路程是____________。
7.计算由曲线与及、所围平面图形的面积．
8.物体A以速度在一直线上运动，在此直线上与物体A出发的同时，物体B在物体A的正前方5m处以的速度与A同向运动，问两物体何时相遇？相遇时物体A的走过的路程是多少？（时间单位为：s，速度单位为：m/s）
七 布置作业
习题A组 1.（2） 5. 6.
八 课后小结
2
2
4
8
图3.1-2
o
t
h
o
t
h
O
y
x
4
S2
S1
2
2
4
8
O
y
4
x
-1
-1
1
1
D
C
B
A
O
y
x
D
C
B
A
O
M
N
y
x
D
C
B
A
b
O
M
N
y
x
优化问题
用函数表示的数学问题
优化问题的答案
用导数解决数学问题
PAGE
- 1 -
1.1 变化率与导数
1.1.1 变化率问题
教学目标：
1.理解平均变化率的概念;
2.了解平均变化率的几何意义;
3.会求函数在某点处附近的平均变化率.
教学重点：
平均变化率的概念、函数在某点处附近的平均变化率.
教学难点：
平均变化率的概念.
教学过程：
一、创设情景
为了描述现实世界中运动、过程等变化着的现象,在数学中引入了函数,随着对函数的研究,产生了微积分,微积分的创立以自然科学中四类问题的处理直接相关:
一、已知物体运动的路程作为时间的函数,求物体在任意时刻的速度与加速度等;
二、求曲线的切线;
三、求已知函数的最大值与最小值;
四、求长度、面积、体积和重心等.
导数是微积分的核心概念之一它是研究函数增减、变化快慢、最大(小)值等问题最一般、最有效的工具.
导数研究的问题即变化率问题:研究某个变量相对于另一个变量变化的快慢程度.
二、新课讲授
(一)问题提出
问题1 气球膨胀率
我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢
气球的体积(单位:)与半径(单位:)之间的函数关系是
如果将半径表示为体积的函数,那么
分析:
(1)当从增加到时,气球半径增加了
气球的平均膨胀率为
(2)当从增加到时,气球半径增加了
气球的平均膨胀率为
可以看出,随着气球体积逐渐增大,它的平均膨胀率逐渐变小了.
思考: 当空气容量从V1增加到V2时,气球的平均膨胀率是多少
问题2 高台跳水
在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度(单位:)与起跳后的时间(单位:)存在函数关系.如何用运动员在某些时间段内的平均速度粗略地描述其运动状态
思考计算: 和的平均速度
在这段时间里,
在这段时间里,
探究: 计算运动员在这段时间里的平均速度,并思考以下问题:
(1)运动员在这段时间内使静止的吗？
(2)你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？
探究过程: 如图是函数的图像,
结合图形可知,,所以
虽然运动员在这段时间里的平均速度为,
但实际情况是运动员仍然运动,并非静止,
可以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态.
(二)平均变化率概念
1.上述问题中的变化率可用式子表示,
称为函数从到的平均变化率.
2.若设, (这里看作是对于的一个“增量”可用代替,同样)
则平均变化率为
思考: 观察函数的图象
平均变化率表示什么
三、典例分析
例1 已知函数的图象上的一点及临近一点，则 .
解:
∴
例2 求在附近的平均变化率.
解:
所以
所以在附近的平均变化率为
四、课堂练习
1.质点运动规律为,则在时间中相应的平均速度为 .
2.物体按照的规律作直线运动,求在附近的平均变化率.
3.过曲线上两点和作曲线的割线,
求出当时割线的斜率.
五、回顾总结
1.平均变化率的概念.
2.函数在某点处附近的平均变化率.
六、布置作业
1.1.2 导数的概念
教学目标：
1.了解瞬时速度、瞬时变化率的概念;
2.理解导数的概念,知道瞬时变化率就是导数,体会导数的思想及其内涵;
3.会求函数在某点的导数.
教学重点：
瞬时速度、瞬时变化率的概念、导数的概念.
教学难点：
导数的概念.
教学过程：
一、创设情景
(一)平均变化率
(二)探究
探究: 计算运动员在这段时间里的平均速度,并思考以下问题:
(1)运动员在这段时间内使静止的吗？
(2)你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？
探究过程: 如图是函数的图像,
结合图形可知,,
所以
虽然运动员在这段时间里的平均速度为,
但实际情况是运动员仍然运动,并非静止,
可以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态.
二、新课讲授
1.瞬时速度
我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度.运动员的平均速度不能反映他在某一时刻的瞬时速度,那么,如何求运动员的瞬时速度呢？比如,时的瞬时速度是多少？考察附近的情况:
思考: 当趋近于时,平均速度有什么样的变化趋势？
结论: 当趋近于时,即无论从小于的一边,还是从大于的一边趋近于时,平均速度都趋近于一个确定的值.
从物理的角度看,时间间隔无限变小时,平均速度就无限趋近于史的瞬时速度.因此,运动员在时的瞬时速度是
为了表述方便,我们用
表示“当,趋近于时,平均速度趋近于定值”
小结: 局部以匀速代替变速,以平均速度代替瞬时速度,然后通过取极限,从瞬时速度的近似值过渡到瞬时速度的精确值.
2.导数的概念
从函数在处的瞬时变化率是:
我们称它为函数在出的导数,记作或
即
说明: (1)导数即为函数在处的瞬时变化率;
(2),当时,,所以.
三、典例分析
例1 (1)求函数在处的导数.
(2)求函数在附近的平均变化率,并求出该点处的导数.
分析: 先求,再求,最后求.
解: (1)法一 定义法(略)
法二
(2)
例2 将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品,需要对原油进行冷却和加热,如果第时,原油的温度(单位:)为,计算第时和第时,原油温度的瞬时变化率,并说明它们的意义.
解: 在第时和第时,原油温度的瞬时变化率就是和
根据导数定义
所以 同理可得:
在第时和第时,原油温度的瞬时变化率分别为和,
说明在第附近,原油温度大约以的速率下降
在第附近,原油温度大约以的速率上升.
注: 一般地,反映了原油温度在时刻附近的变化情况.
四、课堂练习
1.质点运动规律为,求质点在的瞬时速度为.
2.求曲线在时的导数.
3.例2中,计算第时和第时,原油温度的瞬时变化率,并说明它们的意义.
五、回顾总结
1.瞬时速度、瞬时变化率的概念.
2.导数的概念.
1.1.3 导数的几何意义
教学目标：
1.了解平均变化率与割线斜率之间的关系;
2.理解曲线的切线的概念;
3.通过函数的图像直观地理解导数的几何意义,并会用导数的几何意义解题.
教学重点：
曲线的切线的概念、切线的斜率、导数的几何意义.
教学难点：
导数的几何意义.
教学过程：
一、创设情景
(一)平均变化率、割线的斜率
(二)瞬时速度、导数
我们知道,导数表示函数在处的瞬时变化率,反映了函数在附近的变化情况,导数的几何意义是什么呢？
二、新课讲授
(一)曲线的切线及切线的斜率
如图3.1-2,当沿着曲线趋近于点时,割线的变化趋势是什么？
我们发现,当点沿着曲线无限接近点即时,割线趋近于确定的位置,这个确定位置的直线称为曲线在点处的切线.
问题: (1)割线的斜率与切线的斜率有什么关系？
(2)切线的斜率为多少？
容易知道,割线的斜率是,当点沿着曲线无限接近点时,无限趋近于切线的斜率,即
说明: (1)设切线的倾斜角为,
那么当时,割线的斜率,称为曲线在点处的切线的斜率.
这个概念: ①提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法;
②切线斜率的本质—函数在处的导数.
(2)曲线在某点处的切线:
1)与该点的位置有关;
2)要根据割线是否有极限位置来判断与求解.如有极限,则在此点有切线,且切线是唯一的;如不存在,则在此点处无切线;
3)曲线切线,并不一定与曲线只有一个交点,可以有多个,甚至可以无穷多.
(二)导数的几何意义
函数在处的导数等于在该点处的切线的斜率,
即
说明: 求曲线在某点处的切线方程的基本步骤:
①求出点的坐标;
②求出函数在点处的变化率得到曲线在点的切线的斜率;
③利用点斜式求切线方程.
(三)导函数
由函数在处求导数的过程可以看到,当时,是一个确定的数,那么,当变化时,便是的一个函数,我们叫它为的导函数.
记作:或,即.
注: 在不致发生混淆时,导函数也简称导数.
(四)函数在点处的导数、导函数、导数之间的区别与联系
(1)函数在一点处的导数,就是在该点的函数的改变量与自变量的改变量之比的极限,它是一个常数,不是变数.
(2)函数的导数,是指某一区间内任意点而言的,就是函数的导函数.
(3)函数在点处的导数就是导函数在处的函数值,这也是求函数在点处的导数的方法之一.
三、典例分析
例1 (1)求曲线在点处的切线方程.
(2)求函数在点处的导数.
解: (1)
所以,所求切线的斜率为
因此,所求的切线方程为即
(2)因为
所以,所求切线的斜率为,
因此,所求的切线方程为即
例2 如图3.1-3,它表示跳水运动中高度随时间变化的函数,根据图像,请描述、比较曲线在、、附近的变化情况.
解: 我们用曲线在、、处的切线,
刻画曲线在上述三个时刻附近的变化情况.
(1) 当时,曲线在处的切线平行于轴,
所以,在附近曲线比较平坦,几乎没有升降.
(2)当时,曲线在处的切线的斜率,
所以,在附近曲线下降,
即函数在附近单调递减.
(3)当时,曲线在处的切线的斜率,
所以,在附近曲线下降,
即函数在附近单调递减．
从图3.1-3可以看出,直线的倾斜程度小于直线的倾斜程度,
这说明曲线在附近比在附近下降的缓慢.
例3 如图3.1-4,它表示人体血管中药物浓度(单位:)随时间(单位:)变化的图象.根据图像,估计时,血管中药物浓度的瞬时变化率(精确到).
解: 血管中某一时刻药物浓度的瞬时变化率,就是药物浓度在此时刻的导数,从图像上看,它表示曲线在此点处的切线的斜率.如图3.1-4,画出曲线上某点处的切线,利用网格估计这条切线的斜率,可以得到此时刻药物浓度瞬时变化率的近似值.作处的切线,并在切线上去两点,如,,
则它的斜率为,所以
下表给出了药物浓度瞬时变化率的估计值:
0.2 0.4 0.6 0.8
药物浓度瞬时变化率 0.4 0 -0.7 -1.4
四、课堂练习
1.求曲线在点处的切线.
2.求曲线在点处的切线.
五、回顾总结
1.曲线的切线及切线的斜率.
2.导数的几何意义.
六、布置作业
1.2 导数的计算
1.2.1 几个常用函数的导数
教学目标：
1.使学生应用由定义求导数的三个步骤推导四种常见函数、、、的导数公式;
2.掌握并能运用这四个公式正确求函数的导数.
教学重点：
四种常见函数、、、的导数公式及应用.
教学难点：
四种常见函数、、、的导数公式.
教学过程：
一、创设情景
我们知道,导数的几何意义是曲线在某一点处的切线斜率,物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度.那么,对于函数,如何求它的导数呢？
由导数定义本身,给出了求导数的最基本的方法,但由于导数是用极限来定义的,所以求导数总是归结到求极限这在运算上很麻烦,有时甚至很困难,为了能够较快地求出某些函数的导数,这一单元我们将研究比较简捷的求导数的方法,下面我们求几个常用的函数的导数.
二、新课讲授
1.函数的导数
根据导数定义,因为
所以
函数 导数
表示函数图像(图3.2-1)上每一点处的切线的斜率都为.若表示路程关于时间的函数,则可以解释为某物体的瞬时速度始终为,即物体一直处于静止状态.
2.函数的导数
因为
所以
函数 导数
表示函数图像(图3.2-2)上每一点处的切线的斜率都为,若表示路程关于时间的函数,则可以解释为某物体做瞬时速度为的匀速运动.
3.函数的导数
因为
所以
函数 导数
表示函数图像上点处的切线的斜率都为,说明随着的变化,切线的斜率也在变化.另一方面,从导数作为函数在一点的瞬时变化率来看,表明:当时,随着的增加,函数减少得越来越慢;当时,随着的增加,函数增加得越来越快.若表示路程关于时间的函数,则可以解释为某物体做变速运动,它在时刻的瞬时速度为.
4.函数的导数
因为
所以
函数 导数
5.函数的导数
因为
所以
函数 导数
推广: 若,则
注:这里可以是全体实数.
三、课堂练习
1.课本P13探究1
2.课本P13探究2
四、回顾总结
函数 导数
五、布置作业
1.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则
教学目标：
1.熟练掌握基本初等函数的导数公式;
2.掌握导数的四则运算法则;
3.能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数.
教学重点：
基本初等函数的导数公式、导数的四则运算法则
教学难点：
基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则的应用
教学过程：
一、创设情景
五种常见函数、、、、的导数公式及应用
函数 导数
二、新课讲授
(一)基本初等函数的导数公式表
函数 导数
(二)导数的运算法则
导数运算法则
1．2．3．
推论: (常数与函数的积的导数,等于常数乘函数的导数)
(三)运算法则的证明
证明:令
.
即
法则1：两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差),
即:(
范例: (1)求的导数.(2)求的导数.
法则2：两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个函数乘以第二个函数的导数,即:
指导学生尝试法则2的证明:
令
.
因为在点处可导,所以它在点处连续,
于是当时,.
从而
即
说明:
1..
2.若为常数,则.即常数与函数的积的导数等于常数乘以函数的导数. .
法则3：两个函数的商的导数,等于分子的导数与分母的积,减去分母的导数与分子的积,再除以分母的平方：
回顾导数定义：
证明：设
则
.
因为在点处可导,所以在点处连续.
于是当时,
从而
即
说明: 若两个函数可导,则它们的和、差、积、商(商的分母不为)必可导.
若两个函数均不可导,则它们的和、差、积、商不一定不可导.
例如: 设,,则在处均不可导,但它们的和在处可导.
三、典例分析
例1 假设某国家在年期间的年均通货膨胀率为,物价(单位:元)与时间(单位:年)有如下函数关系,其中为时的物价.假定某种商品的,那么在第个年头,这种商品的价格上涨的速度大约是多少(精确到)
解: 根据基本初等函数导数公式表,有
所以(元/年)
因此,在第个年头,这种商品的价格约为元/年的速度上涨.
例2 根据基本初等函数的导数公式和导数运算法则,求下列函数的导数.
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
解: (1)
。
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
，
。
(7)
点评: ①求导数是在定义域内实行的;
②求较复杂的函数积、商的导数,必须细心、耐心.
例3 日常生活中的饮水通常是经过净化的,随着水纯净度的提高,所需净化费用不断增加.已知将吨水净化到纯净度为时所需费用(单位:元)为
求净化到下列纯净度时,所需净化费用的瞬时变化率: (1) (2)
解: 净化费用的瞬时变化率就是净化费用函数的导数
(1)因为
所以,纯净度为时,费用的瞬时变化率是元/吨
(2)因为
所以,纯净度为时,费用的瞬时变化率是元/吨
注: 函数在某点处导数的大小表示函数在此点附近变化的快慢.由上述计算可知,.它表示纯净度为左右时净化费用的瞬时变化率,大约是纯净度为左右时净化费用的瞬时变化率的倍.这说明,水的纯净度越高,需要的净化费用就越多,而且净化费用增加的速度也越快.
例4 求曲线在点的切线方程.
分析: 先要求出函数的导函数,然后利用导函数求出曲线在点的切线的斜率,最后应用点斜式求出切线的方程.
解:
斜率
切线方程为化简得
故曲线在点的切线方程为
类型题: 求曲线在点的切线方程.
例5 试用求导的方法求和.
补充例题
例1 判断下列求导是否正确,加以改正.
例2 求下列函数的导数(1);(2).
例3 求在点处的导数.
例4 求下列函数的导数(1);(2);(3).
例5 求的导数.
解: 将函数变形为
’.
例6 求的导数.
注: 有的函数虽然表面形式为函数的商的形式,但在求导前利用代数或三角恒等变形将函数先化简,然后进行求导.有时可以避免使用商的求导法则,减少运算量.
例7 求曲线在点处的切线方程.
回顾导数的几何意义:
函数在处的导数就是曲线在点处的切线的斜率.
例8 曲线运动方程为,求时的速度.
回顾导数的物理意义:
瞬时速度是位移函数对时间的导数:.
例9 已知抛物线通过点,且在点处与直线相切,求的值.
四、课堂练习
1.课本P92练习
2.已知曲线,求曲线上横坐标为的点的切线方程.
答案:
五、回顾总结
1.基本初等函数的导数公式表;
2.导数的运算法则.
六、布置作业
1.2.3 复合函数的求导法则
教学目标：
理解并掌握复合函数的求导法则.
教学重点：
复合函数的求导方法:复合函数对自变量的导数,等于已知函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数之积.
教学难点：
正确分解复合函数的复合过程,做到不漏,不重,熟练,正确.
一、创设情景
(一)基本初等函数的导数公式表
函数 导数
(二)导数的运算法则
导数运算法则
1．2．3．
推论: (常数与函数的积的导数，等于常数乘函数的导数)
二、新课讲授
1.复合函数的概念
一般地,对于两个函数和,如果通过变量,可以表示成的函数,那么称这个函数为函数和的复合函数,记作.
2.复合函数的导数
复合函数的导数和函数和的导数间的关系为,即对的导数等于对的导数与对的导数的乘积.
若,则
三、典例分析
例1 求下列函数的导数:
(1)
(2)
(3)(其中均为常数)
解: (1)函数可以看作函数和的复合函数
根据复合函数求导法则有
=
(2)函数可以看作函数和的复合函数
根据复合函数求导法则有
=
(3)函数可以看作函数和的复合函数
根据复合函数求导法则有
=
例2 求的导数.
解:
点评: 求复合函数的导数,关键在于搞清楚复合函数的结构,明确复合次数,由外层向内层逐层求导,直到关于自变量求导,同时应注意不能遗漏求导环节并及时化简计算结果.
例3 求的导数.
解:
，
点评: 本题练习商的导数和复合函数的导数,求导数后要予以化简整理.
例4 求的导数.
解法一:
解法二:
点评: 解法一是先化简变形,简化求导数运算,要注意变形准确.
解法二是利用复合函数求导数,应注意不漏步.
例5 曲线有两条平行于直线的切线,
求此二切线之间的距离.
解:
令即 解得或
于是切点为
过点的切线方程为即
显然两切线间的距离等于点到此切线的距离
故所求距离为
补充例题
例1 指出下列函数的复合关系
(1); (2);
(3); (4);
(5).
例2 写出由下列函数复合而成的函数
(1); (2).
例3 求的导数(P122例1).
注意：要求步骤规范,首先设中间变量,再对几个简单函数分别求导,最后应强调把中间变量换成自变量的函数.复合函数求导步骤：分解——求导——回代.
例4 求下列函数的导数
(1); (2); (3);
(5); (6); (7).
注:这里有分式型,根式型,三角函数型的复合函数求导,熟练后可省写步骤,并作示范.如,解(1)可表达为,这里最后结果可写负指数或分数指数.
例5 求的导数.
例6 已知,求.
例7求证双曲线与椭圆在同一交点处的切线互相垂直.
四、课堂练习
求下列函数的导数:
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
五、回顾总结
六、布置作业
1.3 导数在研究函数中的应用
1.3.1 函数的单调性与导数（2课时）
教学目标：
1.了解可导函数的单调性与其导数的关系;
2.能利用导数研究函数的单调性,会求函数的单调区间.
教学重点：
利用导数研究函数的单调性,会求不超过三次的多项式函数的单调区间.
教学难点：
利用导数研究函数的单调性,会求不超过三次的多项式函数的单调区间.
教学过程：
一、创设情景
函数是客观描述世界变化规律的重要数学模型,研究函数时,了解函数的赠与减、增减的快与慢以及函数的最大值或最小值等性质是非常重要的.通过研究函数的这些性质,我们可以对数量的变化规律有一个基本的了解.下面,我们运用导数研究函数的性质,从中体会导数在研究函数中的作用.
二、新课讲授
1.问题
如右图(1),它表示跳水运动中高度随时间变化的函数的图像,右图(2)表示高台跳水运动员的速度随时间变化的函数的图像.
运动员从起跳到最高点,以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别？
通过观察图像,我们可以发现:
(1)运动员从起点到最高点,离水面的高度随时间的增加而增加,即是增函数.相应地,.
(2)从最高点到入水,运动员离水面的高度随时间的增加而减少,即是减函数.相应地,.
2.函数的单调性与导数的关系
观察下面函数的图像,探讨函数的单调性与其导数正负的关系.
如右图,导数表示函数在点处的切线的斜率.
在处,,切线是“左下右上”式的,这时,函数在附近单调递增;
在处,,切线是“左上右下”式的,这时,函数在附近单调递减.
结论: 函数的单调性与导数的关系
在某个区间内,如果,那么函数在这个区间内单调递增;如果,那么函数在这个区间内单调递减.
说明: 在某区间内为常数,当且仅当在该区间内“恒有”之时.否则可能只是“驻点”(曲线在该点处的切线与轴平行).
3.求解函数单调区间的步骤
(1)确定函数的定义域;
(2)求导数;
(3)解不等式,解集在定义域内的部分为增区间;
(4)解不等式，解集在定义域内的部分为减区间.
三、典例分析
例1 已知导函数的下列信息:
当时,;
当或时,;
当或时,.
试画出函数图像的大致形状.
解: 当时,,可知在此区间内单调递增;
当或时,,可知在此区间内单调递减;
当或时,,这两点比较特殊,我们把它称为“临界点”.
综上,函数图像的大致形状如上图所示.
例2 判断下列函数的单调性,并求出单调区间.
(1) (2)
(3) (4)
解: (1)因为,所以
因此在上单调递增,如下图左所示.
(2)因为,所以
当即时,函数单调递增;
当即时,函数单调递减;
函数的图象如上图右所示.
(3)因为,所以
因此,函数在单调递减,如下图左所示.
(4)因为,所以 .
当即 时,函数 ;
当即 时,函数 ;
函数的图象如下图右所示.
注: (3)、(4)生练.
例3 如图,水以常速(即单位时间内注入水的体积相同)注入下面四种底面积相同的容器中,请分别找出与各容器对应的水的高度与时间的函数关系图像.
分析: 以容器(2)为例,由于容器上细下粗,所以水以常速注入时,开始阶段高度增加得慢,以后高度增加得越来越快.反映在图像上,(A)符合上述变化情况.同理可知其它三种容器的情况.
解:
思考: 例3表明,通过函数图像,不仅可以看出函数的增减,还可以看出其变化的快慢.结合图像,你能从导数的角度解释变化快慢的情况吗？
一般的,如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大,那么函数在这个范围内变化的快,这时,函数的图像就比较“陡峭”;反之,函数的图像就“平缓”一些.
例4 求证:函数在区间内是减函数.
证明: 因为
当即时,
所以函数在区间内是减函数.
说明: 证明可导函数在内的单调性步骤:
(1)求导函数;
(2)判断在内的符号;
(3)做出结论:为增函数,为减函数.
例5 已知函数在区间上是增函数,
求实数的取值范围.
解:
因为在区间上是增函数
所以对恒成立
即对恒成立
解之得
所以实数的取值范围为.
说明: 已知函数的单调性求参数的取值范围是一种常见的题型,常利用导数与函数单调性关系:即“若函数单调递增,则;若函数单调递减,则”来求解,注意此时公式中的等号不能省略,否则漏解.
类型题1: 设函数,其中,
求的取值范围,使函数在上是单调函数.
解: ,其中
当时,
要使函数在上是单调函数
则必然要求,由此可知.
类型题2: 函数在上单调递增,求实数的取值范围.
例6 已知函数,试讨论出此函数的单调区间.
解: 令,解得或
∴的单调增区间是和
令解得或
∴的单调减区间是和
例7 当时,证明不等式成立.
证明: 作函数,
当时,知单调递减,
当时,知在时,;
作,
当时,知单调递减,
当时,知在时,.
综上
类型题1: 对于任意的实数,证明: .
类型题2: 当时,证明不等式.
四、课堂练习
1.求下列函数的单调区间
(1) (2)
(3), (4)
2.课本练习
五、回顾总结
1.函数的单调性与导数的关系
2.求解函数单调区间
3.证明可导函数在内的单调性
六、布置作业
3.3.2 函数的极值与导数（2课时）
教学目标：
1.理解极大值、极小值的概念;
2.能够运用判别极大值、极小值的方法来求函数的极值;
3.掌握求可导函数的极值的步骤.
教学重点：
极大、极小值的概念和判别方法,以及求可导函数的极值的步骤.
教学难点：
对极大、极小值概念的理解及求可导函数的极值的步骤.
教学过程：
一、创设情景
观察下左图,我们发现,时,高台跳水运动员距水面高度最大.那么,函数在此点的导数是多少呢？此点附近的图像有什么特点？相应地,导数的符号有什么变化规律？
放大附近函数的图像,如下右图,可以看出,在附近,当时,函数单调递增,;当时,函数单调递减,;这就说明,在附近,函数值先增(,)后减(,),这样,当在的附近从小到大经过时,先正后负,且连续变化,于是有.
对于一般的函数,是否也有这样的性质呢？
附: 对极大、极小值概念的理解,可以结合图象进行说明.并且要说明函数的极值是就函数在某一点附近的小区间而言的.从图象观察得出,判别极大、极小值的方法.判断极值点的关键是这点两侧的导数异号.
二、新课讲授
1.问题
从跳水运动中高度随时间变化的函数的图像及高台跳水运动员的速度随时间变化的函数的图像.运动员从起跳到最高点，以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别？
通过观察图像,我们可以发现:
(1)运动员从起点到最高点,离水面的高度随时间的增加而增加,即是增函数.相应地,.
(2)从最高点到入水,运动员离水面的高度随时间的增加而减少,即是减函数.相应地,.
2.函数的单调性与导数的关系
导数表示函数在点处的切线的斜率.在处,,切线是“左下右上”式的,这时,函数在附近单调递增;在处,,切线是“左上右下”式的,这时,函数在附近单调递减.
结论: 函数的单调性与导数的关系
在某个区间内,如果,那么函数在这个区间内单调递增;如果,那么函数在这个区间内单调递减.
说明: 在某区间内为常数,当且仅当在该区间内“恒有”之时.否则可能只是“驻点”(曲线在该点处的切线与轴平行).
3.函数的极值与导数
一般地,设函数在点附近有定义,如果对附近的所有点,都有,就说是函数的一个极大值,记作,是极大值点.
一般地,设函数在点附近有定义,如果对附近的所有点,都有,就说是函数的一个极小值,记作,是极小值点.
注: (1)极值是一个局部概念.由定义,极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小.
(2)函数的极值不是唯一的.即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个.
(3)极大值与极小值之间无确定的大小关系.即一个函数的极大值未必大于极小值,如下图所示,是极大值点,是极小值点,而.
(4)函数的极值点一定出现在区间的内部,区间的端点不能成为极值点.而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部,也可能在区间的端点.
4.判别是极大、极小值的方法
若满足,且在的两侧的导数异号,则是的极值点,是极值,并且如果在两侧满足“左正右负”,则是的极大值点,是极大值;如果在两侧满足“左负右正”,则是的极小值点,是极小值.
5.求可导函数的极值的步骤
(1)确定函数的定义区间,求导数
(2)求方程的根(导函数等于的点未必是极值点)
(3)用函数的导数为的点,顺次将函数的定义区间分成若干小开区间,并列成表格.检查在方程根左右的值的符号,如果左正右负,那么在这个根处取得极大值;如果左负右正,那么在这个根处取得极小值;如果左右不改变符号即都为正或都为负,那么在这个根处无极值.
如果函数在某些点处连续但不可导,也需要考虑这些点是否是极值点.
三、典例分析
例1 求的极值.
解: 因为,
所以
下面分两种情况讨论:
(1)当即或时 (2)当即时
当变化时,,的变化情况如下表:
+ － +
↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗
因此,当时,有极大值并且极大值为;
当时,有极小值并且极小值为.
函数的图像如图所示.
例2 求的极值.
解: 令解得
当变化时,的变化情况如下表:
－ － + +
↘ 无极值 ↘ 极小值0 ↗ 无极值 ↗
∴当时,有极小值且
例3 求的极值.
解: 略
例4 求函数的极值.
解: 记的定义域为,且
可知时,;而和时,不存在
由三点将定义域分成四个区间,列表：
- 不存在 + - 不存在 +
极小值 极大值 极小值
例5 已知函数在处有极小值,试确定的值,并求出的单调取间.
类型题：
1.已知函数在处有极值,求的值.
2.函数有极小值,求应满足的条件.
3.已知在处有极值,且极大值为,极小值为,试确定的值.
四、巩固练习
求下列函数的极值
(1) (2)
(1)解:
令解得
当变化时,的变化情况如下表:
－ +
↘ 极小值 ↗
∴当时,有极小值,且
(2)解:
令解得
当变化时,的变化情况如下表:
+ － +
↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗
∴当时,有极大值且
当时,有极小值且
五、课时小结
函数的极大、极小值的定义以及判别方法.求可导函数的极值的三个步骤.还有要弄清函数的极值是就函数在某一点附近的小区间而言的,在整个定义区间可能有多个极值,且要在这点处连续.可导函数极值点的导数为,但导数为零的点不一定是极值点,要看这点两侧的导数是否异号.函数的不可导点可能是极值点.
六、布置作业
1.3.3 函数的最大（小）值与导数（2课时）
教学目标：
1.使学生理解函数的最大值和最小值的概念;
2.掌握可导函数在闭区间上所有点(包括端点)处的函数中的最大(或最小)值必有的充分条件;
3.使学生掌握用导数求函数的极值及最值的方法和步骤.
教学重点：
利用导数求函数的最大值和最小值的方法.
教学难点：
函数的最大值、最小值与函数的极大值和极小值的区别与联系.
教学过程：
一、创设情景
我们知道,极值反映的是函数在某一点附近的局部性质,而不是函数在整个定义域内的性质.也就是说,如果是函数的极大(小)值点,那么在点附近找不到比更大(小)的值.但是,在解决实际问题或研究函数的性质时,我们更关心函数在某个区间上,哪个至最大,哪个值最小.如果是函数的最大(小)值,那么不小(大)于函数在相应区间上的所有函数值.
二、新课讲授
观察图中一个定义在闭区间上的函数的图象.图中与是极小值,是极大值.函数在上的最大值是,最小值是.
1.结论
一般地,在闭区间上函数的图像是一条连续不断的曲线,那么函数在上必有最大值与最小值.
说明: (1)如果在某一区间上函数的图像是一条连续不断的曲线,则称函数在这个区间上连续.(可以不给学生讲)
(2)给定函数的区间必须是闭区间,在开区间内连续的函数不一定有最大值与最小值.如函数在内连续,但没有最大值与最小值.
(3)在闭区间上的每一点必须连续,即函数图像没有间断.
(4)函数在闭区间上连续,是在闭区间上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件.(可以不给学生讲)
2.“最值”与“极值”的区别和联系
(1)最值”是整体概念,是比较整个定义域内的函数值得出的,具有绝对性;而“极值”是个局部概念,是比较极值点附近函数值得出的,具有相对性.
(2)从个数上看,一个函数在其定义域上的最值是唯一的,而极值不唯一.
(3)函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个,而函数的极值可能不止一个,也可能没有一个.
(4)极值只能在定义域内部取得,而最值可以在区间的端点处取得,有极值的未必有最值,有最值的未必有极值;极值有可能成为最值,最值只要不在端点必定是极值.
3.利用导数求函数的最值步骤
由上面函数的图象可以看出,只要把连续函数所有的极值与定义区间端点的函数值进行比较,就可以得出函数的最值了.
一般地,求函数在上的最大值与最小值的步骤如下:
(1)求在内的极值;
(2)将的各极值与端点处的函数值、比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值,得出函数在上的最值.
三、典例分析
例1 求在的最大值与最小值.
解: 由上节课例1可知,在上
当时,有极小值,并且极小值为
又由于,
因此,函数在的最大值是,最小值是.
上述结论可以从函数在上的图象得到直观验证.
例2 求函数在区间上的最大值与最小值.
解: 先求导数,得
令即解得
导数的正负以及,如下表
- ＋ - ＋
3
从上表知,当时,函数有最大值,当时,函数有最小值.
例3 已知,.是否存在实数,使同时满足下列两个条件:(1))在上是减函数,在上是增函数;(2)的最小值是.若存在,求出,若不存在,说明理由.
解: 设
∵在上是减函数,在上是增函数
∴在上是减函数，在上是增函数.
∴ ∴ 解得
经检验,时,满足题设的两个条件.
例4 已知为正实数,且满足关系式,求的最大值.
分析: 题中有两个变量,属于条件最值问题,将表示为某一变量的函数,再利用导求函数的最大值.
解: 由，∵ ∴,
由，解得
设, 当时,
令,得或(舍去)
当在内变化时,有如下变化情况：
由上表可知,当时,最大值为,亦即的最大值为.
例5 设,,的最大值为,最小值为,求常数的值.
分析: 闭区间上连续,开区间上可导的函数的最大值、最小值问题的解法应该先出极大值、极小值,然后再与端点处的函数值进行比较,分类讨论确定的值.
解:
令,解得,
当变化时,的变化情况如下表：
由表可知,最大值应为或
又,
故当时,有最大值
由已知,此时
由表可知,最小值应为或
若时,有最小值,则
从而,,与已知条件矛盾
若时,有最小值,则得.
此时
故当时,的最小值为.
综上所述，.
点拨: 列出表格,由表格观察分析,进行分类讨论,是解决本题的关键,最后的检验不可少,因为满足条件的可能是不存在的.
四、课堂练习
1.下列说法正确的是( )
A.函数的极大值就是函数的最大值 B.函数的极小值就是函数的最小值
C.函数的最值一定是极值 D.在闭区间上的连续函数一定存在最值
2.函数在区间上的最大值是,最小值是,若,则( )
A.等于 B.大于 C.小于 D.以上都有可能
3.函数,在上的最小值为( )
A. B. C. D.
4.求函数在区间上的最大值与最小值.
5.课本练习
五、回顾总结
1.函数在闭区间上的最值点必在下列各种点之中:导数等于零的点,导数不存在的点,区间端点;
2.函数在闭区间上连续,是在闭区间上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件;
3.闭区间上的连续函数一定有最值,开区间内的可导函数不一定有最值,若有唯一的极值,则此极值必是函数的最值.
4.利用导数求函数的最值方法.
六、布置作业
1.4生活中的优化问题举例
教学目标
利用导数解决一些生活中的优化问题．
教学重点：利用导数解决一些生活中的优化问题．
教学难点：利用导数解决一些生活中的优化问题．
一、复习引入：
1.函数的最大值和最小值:
在闭区间上连续的函数在上必有最大值与最小值．
（1）在开区间内连续的函数不一定有最大值与最小值．
（2）函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的；函数的极值是比较极值点附近函数值得出的．
（3）函数在闭区间上连续，是在闭区间上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件．
（4）函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个．
2．利用导数求函数的最值步骤：⑴求在内的极值；⑵将的各极值与、比较得出函数在上的最值．
二、讲解新课：
生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题．
通过前面的学习，我们知道，导数是求函数最大（小）值的强有力工具．这一节，我们利用导数，解决一些生活中的优化问题．
1．实例引入
问题1 汽油的使用效率何时最高
我们知道，汽油的消耗量（单位：L）与汽车的速度（单位：km/h）之间有一定的关系，汽油的消耗量是汽车速度的函数．根据你的生活经验，思考下面两个问题：
⑴是不是汽车的速度越快，汽油的消耗量越大？
⑵“汽油的使用效率最高”的含义是什么？
分析：研究汽油的使用效率（单位：L/m）就是研究汽油消耗量与汽车行驶路程的比值．如果用表示每千米平均的汽油消耗量，那么，其中，表示汽油消耗量（单位：L），表示汽油行驶的路程（单位：km）．这样，求“每千米路程的汽油消耗量最少”，就是求的最小值的问题．
问题：通过大量的统计数据，并对数据进行分析、研究，人们发现，汽车在行驶过程中，汽油平均消耗率（即每小时的汽油消耗量，单位：L/h）与汽车行驶的平均速度（单位：km/h）之间有如图所示的函数关系．
试利用图像中的数据信息，解决汽油使用效率最高的问题．
分析：从图中不能直接解决汽油使用效率最高的问题．因此，我们首先需要将问题转化为汽油平均消耗率与汽车行驶的平均速度之间关系的问题.
解：因为,这样,问题就转化为求的最小值.
从图象上看，表示经过原点与曲线上点的直线的斜率．进一步发现，当直线与曲线相切时，其斜率最小．在此切点处速度约为90．从数值上看，每千米的耗油量就是图中切线的斜率，即，约为 L．
问题2 磁盘的最大存储量问题
计算机把数据存储在磁盘上。磁盘是
带有磁性介质的圆盘，并有操作系统将其
格式化成磁道和扇区。磁道是指不同半径
所构成的同心轨道，扇区是指被同心角分
割所成的扇形区域。磁道上的定长弧段可
作为基本存储单元，根据其磁化与否可分
别记录数据0或1，这个基本单元通常被
称为比特（bit）。
为了保障磁盘的分辨率，磁道之间的宽度必需大于，每比特所占用的磁道长度不得小于。为了数据检索便利，磁盘格式化时要求所有磁道要具有相同的比特数。
问题：现有一张半径为的磁盘，它的存储区是半径介于与之间的环形区域．⑴是不是越小，磁盘的存储量越大？⑵为多少时，磁盘具有最大存储量（最外面的磁道不存储任何信息）？
解：由题意知：存储量=磁道数×每磁道的比特数。
设存储区的半径介于与R之间，由于磁道之间的宽度必需大于，且最外面的磁道不存储任何信息，故磁道数最多可达。由于每条磁道上的比特数相同，为获得最大存储量，最内一条磁道必须装满，即每条磁道上的比特数可达。
∴磁盘总存储量×
它是一个关于的二次函数，从函数解析式上可以判断，不是越小，磁盘的存储量越大．
为求的最大值，计算．
问题3：饮料瓶大小对饮料公司利润的 影响
（1）你是否注意过，市场上等量的小包装的物品一般比大包装的要贵些？
（2）是不是饮料瓶越大，饮料公司的利润越大？
背景知识：某制造商制造并出售球型瓶装的某种饮料。 瓶子的制造成本是 分，其中 r 是瓶子的半径，单位是厘米.已知每出售1 ml 的饮料，制造商可获利 0.2 分,且制造商能制作的瓶子的最大半径为 6cm.
问题(１)瓶子的半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大？
(２)瓶子的半径多大时，每瓶的利润最小？
解：由于瓶子的半径为r，所以每瓶饮料的利润是
当半径r＞２时，f ’(r)>0它表示 f(r) 单调递增， 即半径越大，利润越高；
当半径r＜２时，f ’(r)<0 它表示 f(r) 单调递减，
即半径越大，利润越低．
1.半径为２cm 时，利润最小，这时，表示此种瓶内饮料的利润还不够瓶子的成本，此时利润是负值。
２．半径为６cm时，利润最大。
注:如果不用导数工具,直接从函数的图象上观察,你有什么发现 (图见课本第40页)
三、课堂练习：
一条水渠，断面为等腰梯形，如图所示，在确定断面尺寸时，希望在断面ABCD的面积为定值S时，使得湿周l=AB+BC+CD最小，这样可使水流阻力小，渗透少，求此时的高h和下底边长b.
解：由梯形面积公式，得S= (AD+BC)h,其中AD=2DE+BC，DE=h,BC=b∴AD=h+b,
∴S=①
∵CD=,AB=CD.∴l=×2+b②
由①得b=h,代入②,∴l=
l′==0,∴h=, 当h<时，l′<0,h>时，l′>0.
∴h=时，l取最小值，此时b=.
四、课堂小结：
利用导数解决优化问题的基本思路：
五、作业：
1.5 定积分的概念
1．5.1 曲边梯形的面积
教学目标：通过探求曲边梯形的面积，使学生了解定积分的实际背景，了解“以直代曲”“逼近”的思想方法，建立微积分的概念的认识基础.
教学重点：了解定积分的基本思想“以直代曲” “逼近”的思想.
教学难点：“以直代曲” “逼近”的思想的形成求和符号
教学过程：
复习引入
问题一：你会求哪些平面图形的面积？这些平面图形有什么特点？
问题二：圆的面积是怎样求得的？
问题三：如图：阴影部分类似于一个梯形，但有一边是曲线y=f(x)的一段.我们吧由直线x=a，x=b
(a≠b)，y=0和曲线y=f(x)所围成的图形称为曲边梯形.如何计算这个曲边梯形的面积呢？
问题四：能否将求曲边梯形的面积转化为求“直边梯形”面积？
问题五：求曲边梯形面积时，能否对整个曲边梯形进行“以直代曲”呢？怎样减少误差？
问题六：对每个小曲边梯形怎样“以直代曲”
问题七：如何从曲边梯形的近似值求出曲边梯形的面积？
问题八：具体怎样实施“以直代曲”和“逼近”的思想求曲边梯形面积？
问题九：
练习：P42面练习
归纳：如何求曲边梯形的面积？
小结：
1.求曲边梯形面积的思想方法是什么？2.具体步骤是什么？3.最终形式是什么？
1.5.2 汽车行使的路程
教学目标：通过探求汽车行使的路程，使学生了解定积分的实际背景，了解“以不变代变”“逼近”的思想方法，建立微积分的概念的认识基础.
教学重点：了解定积分的基本思想“以不变代变” “逼近”的思想.
教学难点：“以不变代变” “逼近”的思想的形成求和符号
教学过程：
思考1：已知物体运动路程与时间的关系怎样求物体的运动速度？
例如 S(t)=3t2+2. 则v(t)= S (t)=6t+0.
思考2：已知物体运动速度为v(常量)及时间t，怎么求路程？
S=vt 直接求出
思考3：如果汽车作匀速直线运动，在时刻t的速度为v(t)=- t2+2.那么它在0≤t≤1这段时间内行驶的路程S是多少呢？
思考4：结合求曲边梯形面积的过程，你认为汽车行驶的路程S由直线t=0，t=1，v=0和曲线v=- t2+2所围成的曲边梯形的面积有什么关系？
图中矩形面积和就是曲边梯形的面积，从而汽车行驶的路程在数值上就等于相应曲边梯形面积.
思考5：在上面的第二步“近似代替”中，如果我们认为在每个小时间间隔上，汽车进似地以时刻处的速度作匀速行驶，从而得到汽车行驶的总路程s的近似值，用这种方法能求出s的值吗？若能求出，这个值也是吗？
练习：P45面练习第2题.
思考：怎样求上式中汽车在2≤t≤4这段时间行驶的路程？
1.5.3 定积分的概念
教学目标：
1. 了解曲边梯形面积与变速直线运动的共同特征.
2. 理解定积分及几何意义.
3. 掌握定积分的基本性质及其计算
教学重点与难点：
1. 定积分的概念及几何意义
2. 定积分的基本性质及运算
教学过程：
1. 定积分的定义：
2. 怎样用定积分表示：
x=0，x=1，y=0及f(x)=x2所围成图形的面积？
t=0，t=1，v=0及v=-t2-1所围成图形的面积？
3. 你能说说定积分的几何意义吗？例如的几何意义是什么
4. 根据定积分的几何意义，你能用定积分表示下图中阴影部分的面积吗？
思考：试用定积分的几何意义说明
1.的大小
由直线x=0，x=2，y=0及所围成的曲边梯形的面积，即圆x2+y2=22的面积的，
2.
5. 例：利用定积分的定义，计算的值.
6.由定积分的定义可得到哪些性质？
常数与积分的关系
和差的积分 推广到有限个也成立
区间和的积分等于各段积分和
7练习：计算下列定积分
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
www.
1.6微积分基本定理
一：教学目标
知识与技能目标
1、通过实例了解导数和定积分的联系；
2、通过实例，直观了解微积分基本定理的含义，会用牛顿-莱布尼兹公式求简单的定积分
3、了解微积分基本定量，并能用它来求简单函数的定积分。
过程与方法
通过实例体会用微积分基本定理求定积分的方法
情感态度与价值观
通过微积分基本定理的学习，体会事物间的相互转化、对立统一的辩证关系，培养学生辩证唯物主义观点，提高理性思维能力。
二：教学重难点
重点通过探究变速直线运动物体的速度与位移的关系，使学生直观了解微积分基本定理的含义，并能正确运用基本定理计算简单的定积分。
难点 了解微积分基本定理的含义
三：教学过程：
1、复习：
定积分的概念及用定义计算
2、引入新课
我们讲过用定积分定义计算定积分,但其计算过程比较复杂，所以不是求定积分的一般方法。我们必须寻求计算定积分的新方法，也是比较一般的方法。
变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系
设一物体沿直线作变速运动，在时刻t时物体所在位置为S(t),速度为v(t)（），
则物体在时间间隔内经过的路程可用速度函数表示为。
另一方面，这段路程还可以通过位置函数S（t）在上的增量来表达，即
=
而。
对于一般函数，设，是否也有
若上式成立，我们就找到了用的原函数（即满足）的数值差来计算在上的定积分的方法。
注：1：定理 如果函数是上的连续函数的任意一个原函数，则
为了方便起见，还常用表示，即
该式称之为微积分基本公式或牛顿—莱布尼兹公式。它指出了求连续函数定积分的一般方法，把求定积分的问题，转化成求原函数的问题，是微分学与积分学之间联系的桥梁。 它不仅揭示了导数和定积分之间的内在联系，同时也提供计算定积分的一种有效方法，为后面的学习奠定了基础。因此它在教材中处于极其重要的地位，起到了承上启下的作用，不仅如此，它甚至给微积分学的发展带来了深远的影响，是微积分学中最重要最辉煌的成果。
例1．计算下列定积分：
（1） （2） （3）
（4）； （5）。
解：（1）=
（2）
（3）=
（4）因为，
所以。
（5））因为，
所以
。
小结：
例2．计算下列定积分：
。
由计算结果你能发现什么结论？试利用曲边梯形的面积表示所发现的结论。
解：因为，
所以
，
，
.
可以发现，定积分的值可能取正值也可能取负值，还可能是0:
( l ）当对应的曲边梯形位于 x 轴上方时（图1.6一3 ) ，定积分的值取正值，且等于曲边梯形的面积；
图1 . 6 一 3 ( 2 ）
（2）当对应的曲边梯形位于 x 轴下方时（图 1 . 6 一 4 ) ，定积分的值取负值，且等于曲边梯形的面积的相反数；
( 3）当位于 x 轴上方的曲边梯形面积等于位于 x 轴下方的曲边梯形面积时，定积分的值为0（图 1 . 6 一 5 ) ，且等于位于 x 轴上方的曲边梯形面积减去位于 x 轴下方的曲边梯形面积．
例3．汽车以每小时32公里速度行驶，到某处需要减速停车。设汽车以等减速度=1.8米/秒2刹车，问从开始刹车到停车，汽车走了多少距离？
解:首先要求出从刹车开始到停车经过了多少时间。当t=0时，汽车速度=32公里/小时=米/秒8.88米/秒,刹车后汽车减速行驶,其速度为当汽车停住时,速度,故从解得秒
于是在这段时间内,汽车所走过的距离是
=米,即在刹车后,汽车需走过21.90米才能停住.
微积分基本定理揭示了导数和定积分之间的内在联系，同时它也提供了计算定积分的一种有效方法．微积分基本定理是微积分学中最重要的定理，它使微积分学蓬勃发展起来，成为一门影响深远的学科，可以毫不夸张地说，微积分基本定理是微积分中最重要、最辉煌的成果．
三、课堂练习：
P55 T1（1）（3）（5）（7）
四：课堂小结：
本节课借助于变速运动物体的速度与路程的关系以及图形得出了特殊情况下的牛顿-莱布尼兹公式.成立，进而推广到了一般的函数，得出了微积分基本定理，得到了一种求定积分的简便方法，运用这种方法的关键是找到被积函数的原函数，这就要求大家前面的求导数的知识比较熟练，希望，不明白的同学，回头来多复习！
1.7 定积分的简单应用
一 学习目标：
1.使学生在定积分几何意义的基础上，通过自主探究，应用定积分解决曲线围成的平面图形的面积.
2.能应用定积分求变速直线运动的路程、变力所做的功.
二 重点难点：
重点：能够利用定积分解决实际问题，在解决问题的过程中体会定积分的价值.
难点：如何恰当选择积分变量和确定被积函数
三 知识链接
定积分的概念、定积分的计算、定积分的几何意义
四 学习指导
图形的面积为非负数，当图形在轴的下方时的情况需要注意；当图形比较复杂时，将图形分割成若干个比较简单的图形；
在物理中应用时，注意力或速度的方向，积分的上限、下限.
五 问题逻辑
（一）复习与思考
1.定积分的几何意义 .
热身训练：计算（1） （２）．计算
2.用定积分表示阴影部分的面积
3.汽车变速直线运动行驶的路程，等于其速度函数在时间区间[,]上的定积分，即 .
4.如果物体在变力的作用下做直线运动，并且物体沿着与相同的方向从移动到（），那么变力所做的功为 .
（二）定积分在几何中的应用
例１．计算由曲线与所围图形的面积．
探究过程.
1.找到图形----画图得到曲边形.
2.曲边形面积解法----转化为曲边梯形，做出辅助线.
3.定积分表示曲边梯形面积----确定积分区间、被积函数.
4.计算定积分.
变式训练：求曲线与直线围成的图形的面积.
例2. 计算由直线，曲线以及轴所围图形的面积.
讨论探究解法的过程
1．找到图形----画图得到曲边形.
2．曲边形面积解法----转化为曲边梯形，做出辅助线.
3．定积分表示曲边梯形面积----确定积分区间、被积函数.表示不到，那换成Y为积分变量呢？
4．计算定积分.
探讨：为积分变量
变式训练：求曲线与直线，围成的图形的面积.
反思：解由曲线所围的平面图形面积的解题步骤：
1．画草图，求出曲线的交点坐标．
2．将曲边形面积转化为曲边梯形面积．
3．根据图形特点选择适当的积分变量．（注意选择型积分变量时，要把函数变形成用表示的函数）
4．确定被积函数和积分区间．
5．计算定积分，求出面积.
（三）定积分在物理中的应用（变速直线运动的路程）
例3.（见课本例3）
变式训练：一点在直线上从时刻开始以速度运动，求
（1） 在时的位置；
（2） 在时运动的路程.
（四）定积分在物理中的应用（变力做功）
例4.（见课本例4）
变式训练：在底面积为的圆柱容器中盛有一定量的气体，在等温条件下，由于气体的膨胀，把容器中的一个活塞（面积为）从处推到处，计算在移动过程中，气体压力所做的功.
六 目标检测
1.抛物线与轴所围成的图形的面积为（ ）
A. B. C. D.
2.由抛物线，直线及轴所围成的图形的面积为（ ）
A. B. C. D.
3.质点做直线运动，其速度，则它在第2秒内所走的路程为（ ）
A.1 B.3 C.5 D.7
4.如果1N力能拉长弹簧1cm，为了将弹簧拉长6cm,所耗费的功为（ ）
A.0.18J B.0.26J C.0.12J D.0.28J
5.抛物线及其在点A（1，0）和点B（3，0）处的切线所围成的图形的面积为 .
6.某质点作直线运动，其速度，则它在第2秒内所走的路程是____________。
7.计算由曲线与及、所围平面图形的面积．
8.物体A以速度在一直线上运动，在此直线上与物体A出发的同时，物体B在物体A的正前方5m处以的速度与A同向运动，问两物体何时相遇？相遇时物体A的走过的路程是多少？（时间单位为：s，速度单位为：m/s）
七 布置作业
习题A组 1.（2） 5. 6.
八 课后小结
2
2
4
8
图3.1-2
o
t
h
o
t
h
O
y
x
4
S2
S1
2
2
4
8
O
y
4
x
-1
-1
1
1
D
C
B
A
O
y
x
D
C
B
A
O
M
N
y
x
D
C
B
A
b
O
M
N
y
x
优化问题
用函数表示的数学问题
优化问题的答案
用导数解决数学问题
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