北师大九下3.2 圆的对称性
图片预览
文档简介
(共26张PPT)
第三章 圆
3.2 圆的对称性
北师大版 数学 九年级 下册
学习目标
1.掌握圆的轴对称性和中心对称性
2.掌握圆心角的概念.
3.掌握在同圆或等圆中，圆心角、弦、弧中有一个量
相等就可以推出其他的两个量对应相等，以及它们在
解题中的应用.
情景导入
通过上面的观察，我们发现轴对称图形通过翻折能完全重合，那么圆是轴对称图形吗？它有几条对称轴呢？
轴对称图形
对称轴
对称轴
a
m
轴对称图形
情景导入
思考：为什么车轮要做成圆形？
核心知识点一：
圆的对称性
(1) 将⊙O沿直径折叠后，你有什么发现？
折叠后可以完全重合
结论：
圆是轴对称图形
(2)圆的对称轴是什么？
任意一条经过圆心的直线
圆有无数条对称轴
你能找到多少条对称轴？
探索新知
.
O
A
B
180°
（3）将圆绕圆心旋转180°后，得到的图形与原图形重合吗？由此你得到什么结论呢？将圆绕圆心旋转任意角度，得到的图形还与原图形重合吗？
圆的对称性：
圆是中心对称图形，对称中心为圆心.
圆是旋转对称图形，具有旋转不变性.
探索新知
练一练：下列命题中，正确的是（ ）
A. 圆和正方形都既是轴对称图形，又是中心对称图形
B. 圆和正方形的对称轴都有无数条
C. 圆和正方形绕其对称中心旋转任意
A
探索新知
分析：
紧扣圆和正方形的轴对称性及中心对称性进行辨析.
解：圆和正方形都既是轴对称图形，又是中心对称图形，所以A 中命题正确；圆的对称轴有无数条，正方形的对称轴有4 条，所以B，D 中命题错误；圆绕其对称中心旋转任意一个角度都能与原来的图形重合，而正方形只有绕它的对称中心旋转90°或90°的整数倍才能与原图形重合，所以C 中命题错误. 故选A.
探索新知
核心知识点二：
圆心角、弧、弦之间的关系
O
A
B
M
1.圆心角：顶点在圆心的角,叫圆心角，如∠AOB .
3.圆心角 ∠AOB所对的弦为AB.
任意给圆心角，对应出现两个量：
圆心角
弧
2.圆心角 ∠AOB 所对的弧为 AB.
⌒
弦
探索新知
在同圆中探究
在⊙O中，如果∠AOB= ∠A'OB'，那么，AB与A'B'，弦AB与弦A'B'有怎样的数量关系？
⌒
⌒
O
A
B
A′
B′
由圆的旋转不变性，我们发现：
在⊙O中，如果∠AOB= ∠A'OB'，
那么， 弦AB=弦A'B'
探索新知
如图，在等圆中，如果∠AOB＝∠A′O ′B′，你发现的等量关系是否依然成立？为什么？
在等圆中探究
通过平移和旋转将两个等圆变成同一个圆，我们发现：如果∠AOB＝∠A′O ′ B′，那么，
O
A
B
O ′
A′
B′
探索新知
归纳总结
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．
①∠AOB=∠COD
②AB=CD
⌒ ⌒
③AB=CD
A
B
O
D
C
弧、弦与圆心角的关系定理
探索新知
在一个圆中，如果圆心角相等，那么它们所对的弧_____，所对的弦_____.
在一个圆中，如果弧相等，那么所对的圆心角_____，所对的弦______.
在一个圆中，如果弦相等，那么所对的圆心角____，圆心角所对的弧____.
等圆中也同样.
相等
相等
相等
相等
相等
相等
探索新知
________________，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等.
________________，如果两个圆心角、两条弧、 两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等.
在同圆或等圆中
在同圆或等圆中
【定理】
【推论】
“一推二”定理及推论
探索新知
想一想：定理“在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．”中，可否把条件“在同圆或等圆中”去掉？为什么？
不可以，如图.
A
B
O
D
C
探索新知
例： 如图，在⊙O中， AB=AC ,∠ACB=60°,
求证：∠AOB=∠BOC=∠AOC.
）
）
C
A
B
O
证明 ∵AB=AC
）
）
∴ AB=AC．△ABC是等腰三角形.
又∠ACB=60°，
∴ △ABC是等边三角形 , AB=BC=CA.
∴ ∠AOB＝∠BOC＝∠AOC.
探索新知
当堂检测
1.如图，在⊙O中，若点C是AB的中点，∠OAB＝50°，则∠BOC等于( )
A．50° B．45°
C．40° D．35°
C
当堂检测
A．32° B．60°
C．68° D．64°
D
当堂检测
3.如图，AB是⊙O的直径，四边形ABCD内接于⊙O，若BC＝CD＝DA＝2 cm，则⊙O的周长为( )
A．4π cm B．6π cm
C．8π cm D．10π cm
A
当堂检测
60°
当堂检测
5．如图，点A，B，C在⊙O上，分别连接AB，BC，OC．若AB＝BC，∠B＝40°，则∠OCB＝______.
20°
当堂检测
6.如图，AB，AC是⊙O的两条弦，且AB＝AC．求证：∠1＝∠2.
证明：如答图，连接OB，OC．
∵AB＝AC，OC＝OB，OA＝OA，
∴△AOB≌△AOC(SSS)．
∴∠1＝∠2.
当堂检测
7.如图，C，D是以AB为直径的⊙O上的两点，且OD∥BC．
求证：AD＝DC．
证明：连接OC．如答图，
∵OD∥BC，
∴∠1＝∠B，∠2＝∠3.
又∵OB＝OC，
∴∠B＝∠3，
∴∠1＝∠2，
∴AD＝DC．
当堂检测
8.如图，AB，CD为⊙O内两条相交的弦，交点为E，且AB＝CD，
求证：AD∥BC．
证明：∵AB＝CD，
1. 圆的中心对称性：圆是中心对称图形，具有旋转不变性.
2. 弧、弦、圆心角之间的关系：
（1）在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等.
（2）在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等.
感谢收看
第三章 圆
3.2 圆的对称性
北师大版 数学 九年级 下册
学习目标
1.掌握圆的轴对称性和中心对称性
2.掌握圆心角的概念.
3.掌握在同圆或等圆中，圆心角、弦、弧中有一个量
相等就可以推出其他的两个量对应相等，以及它们在
解题中的应用.
情景导入
通过上面的观察，我们发现轴对称图形通过翻折能完全重合，那么圆是轴对称图形吗？它有几条对称轴呢？
轴对称图形
对称轴
对称轴
a
m
轴对称图形
情景导入
思考：为什么车轮要做成圆形？
核心知识点一：
圆的对称性
(1) 将⊙O沿直径折叠后，你有什么发现？
折叠后可以完全重合
结论：
圆是轴对称图形
(2)圆的对称轴是什么？
任意一条经过圆心的直线
圆有无数条对称轴
你能找到多少条对称轴？
探索新知
.
O
A
B
180°
（3）将圆绕圆心旋转180°后，得到的图形与原图形重合吗？由此你得到什么结论呢？将圆绕圆心旋转任意角度，得到的图形还与原图形重合吗？
圆的对称性：
圆是中心对称图形，对称中心为圆心.
圆是旋转对称图形，具有旋转不变性.
探索新知
练一练：下列命题中，正确的是（ ）
A. 圆和正方形都既是轴对称图形，又是中心对称图形
B. 圆和正方形的对称轴都有无数条
C. 圆和正方形绕其对称中心旋转任意
A
探索新知
分析：
紧扣圆和正方形的轴对称性及中心对称性进行辨析.
解：圆和正方形都既是轴对称图形，又是中心对称图形，所以A 中命题正确；圆的对称轴有无数条，正方形的对称轴有4 条，所以B，D 中命题错误；圆绕其对称中心旋转任意一个角度都能与原来的图形重合，而正方形只有绕它的对称中心旋转90°或90°的整数倍才能与原图形重合，所以C 中命题错误. 故选A.
探索新知
核心知识点二：
圆心角、弧、弦之间的关系
O
A
B
M
1.圆心角：顶点在圆心的角,叫圆心角，如∠AOB .
3.圆心角 ∠AOB所对的弦为AB.
任意给圆心角，对应出现两个量：
圆心角
弧
2.圆心角 ∠AOB 所对的弧为 AB.
⌒
弦
探索新知
在同圆中探究
在⊙O中，如果∠AOB= ∠A'OB'，那么，AB与A'B'，弦AB与弦A'B'有怎样的数量关系？
⌒
⌒
O
A
B
A′
B′
由圆的旋转不变性，我们发现：
在⊙O中，如果∠AOB= ∠A'OB'，
那么， 弦AB=弦A'B'
探索新知
如图，在等圆中，如果∠AOB＝∠A′O ′B′，你发现的等量关系是否依然成立？为什么？
在等圆中探究
通过平移和旋转将两个等圆变成同一个圆，我们发现：如果∠AOB＝∠A′O ′ B′，那么，
O
A
B
O ′
A′
B′
探索新知
归纳总结
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．
①∠AOB=∠COD
②AB=CD
⌒ ⌒
③AB=CD
A
B
O
D
C
弧、弦与圆心角的关系定理
探索新知
在一个圆中，如果圆心角相等，那么它们所对的弧_____，所对的弦_____.
在一个圆中，如果弧相等，那么所对的圆心角_____，所对的弦______.
在一个圆中，如果弦相等，那么所对的圆心角____，圆心角所对的弧____.
等圆中也同样.
相等
相等
相等
相等
相等
相等
探索新知
________________，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等.
________________，如果两个圆心角、两条弧、 两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等.
在同圆或等圆中
在同圆或等圆中
【定理】
【推论】
“一推二”定理及推论
探索新知
想一想：定理“在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．”中，可否把条件“在同圆或等圆中”去掉？为什么？
不可以，如图.
A
B
O
D
C
探索新知
例： 如图，在⊙O中， AB=AC ,∠ACB=60°,
求证：∠AOB=∠BOC=∠AOC.
）
）
C
A
B
O
证明 ∵AB=AC
）
）
∴ AB=AC．△ABC是等腰三角形.
又∠ACB=60°，
∴ △ABC是等边三角形 , AB=BC=CA.
∴ ∠AOB＝∠BOC＝∠AOC.
探索新知
当堂检测
1.如图，在⊙O中，若点C是AB的中点，∠OAB＝50°，则∠BOC等于( )
A．50° B．45°
C．40° D．35°
C
当堂检测
A．32° B．60°
C．68° D．64°
D
当堂检测
3.如图，AB是⊙O的直径，四边形ABCD内接于⊙O，若BC＝CD＝DA＝2 cm，则⊙O的周长为( )
A．4π cm B．6π cm
C．8π cm D．10π cm
A
当堂检测
60°
当堂检测
5．如图，点A，B，C在⊙O上，分别连接AB，BC，OC．若AB＝BC，∠B＝40°，则∠OCB＝______.
20°
当堂检测
6.如图，AB，AC是⊙O的两条弦，且AB＝AC．求证：∠1＝∠2.
证明：如答图，连接OB，OC．
∵AB＝AC，OC＝OB，OA＝OA，
∴△AOB≌△AOC(SSS)．
∴∠1＝∠2.
当堂检测
7.如图，C，D是以AB为直径的⊙O上的两点，且OD∥BC．
求证：AD＝DC．
证明：连接OC．如答图，
∵OD∥BC，
∴∠1＝∠B，∠2＝∠3.
又∵OB＝OC，
∴∠B＝∠3，
∴∠1＝∠2，
∴AD＝DC．
当堂检测
8.如图，AB，CD为⊙O内两条相交的弦，交点为E，且AB＝CD，
求证：AD∥BC．
证明：∵AB＝CD，
1. 圆的中心对称性：圆是中心对称图形，具有旋转不变性.
2. 弧、弦、圆心角之间的关系：
（1）在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等.
（2）在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等.
感谢收看