北师大九下3.4.2 圆周角和圆心角的关系2

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第三章 圆
3.4.2 圆周角和圆心角的关系2
北师大版 数学 九年级 下册
学习目标
1.掌握圆周角定理推论。
2.理解圆内接四边形定义及性质。
情景导入
圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半.
圆周角定理推论：
圆周角定理:
同弧或等弧所对的圆周角相等.
情景导入
小明想用直尺检查某些工件是否恰好为半圆，下图所示的四种圆弧形，你能判断哪个是半圆形吗？
核心知识点一：
直径所对应的圆周角
如图，点A、B、C在⊙O 上，BC是⊙O的直径，观察它所对的圆周角有什么特点？ 你是怎么发现的？
解：直径BC所对的圆周角∠BAC=90°
结论1：直径所对的圆周角是直角
=90°
理由： ∵BC为直径
∴∠BOC=180°
∴
探索新知
观察图，圆周角∠BAC=90°，弦BC是直径吗？为什么？
解：弦BC是直径，连接OC、OB
∵∠BAC=90°
∴∠BOC=2∠BAC=180°
（圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角的度数的一半）
∴B、O、C三点在同一直线上
∴BC是⊙O的一条直径
结论2：90°的圆周角所对的弦是直径
思考：这两个结论用什么定理证明？
圆周角定理
探索新知
归纳总结
圆周角定理推论
直径所对的圆周角是直角；
几何语言：
∵BC为直径
∴∠BAC=90°
90°的圆周角所对的弦是直径
几何语言：
∵∠BAC=90°
∴BC为直径
探索新知
练一练：如图， ⊙O的直径AB = 10cm，C为⊙O上的一点，∠B = 30°，求AC的长.
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°.
在Rt△ACB中，
sin ∠ABC＝ ，
∴AC＝AB sin ∠ABC＝10×sin 30°
＝10× ＝5(cm)．
∴AC的长为5 cm.
解：
探索新知
解答圆周角有关问题时，若题中出现“直径”这个条件，则考虑构造直角三角形来求解.
归纳总结
探索新知
核心知识点二：
圆内接四边形及其性质
（1）如图，A，B，C，D是⊙O上的四点，AC为⊙O的直径，
请问∠BAD与∠BCD之间有什么关系？为什么？
解：∠BAD与∠BCD互补.
∵AC为直径，
∴∠ABC=90°，∠ADC=90°.
∵∠ABC+∠BCD+∠ADC+∠BAD=360°，
∴∠BAD+∠BCD=180°.
∴∠BAD与∠BCD互补.
A
B
C
O
D
探索新知
（2）若C点的位置发生了变化，∠BAD与∠BCD之间的关系
还成立吗？为什么？
A
B
C
O
D
1
2
∵ ∠2=2∠BAD，∠1=2∠BCD，
（圆周角的度数等于它所对弧上圆心角的一半），
∵∠1+∠2=360°，
∴∠BAD+∠BCD=180°.
∴∠BAD与∠BCD互补.
解：∠BAD与∠BCD的关系仍然成立.
如图8，连接OB，OD.
探索新知
（3）观察图9，两个四边形ABCD有什么共同的特点？
四边形ABCD的的四个顶点都在⊙O上，这样的四边形叫做圆内接四边形.这个圆叫做四边形的外接圆..
A
B
C
O
D
A
B
C
O
D
探索新知
A
B
C
O
D
（4）观察，∠BAD与∠BCD之间有什么关系？
圆内接四边形的对角互补.
几何语言：
∵四边形ABCD为圆内接四边形，
∴∠BAD+∠BCD=180°（圆内接四边形的对角互补）.
A
B
C
O
D
探索新知
圆内接四边形外角的性质
思考：如图， ∠DCE是圆内接四边形ABCD的一个 外角，
∠A与∠DCE的大小有什么关系？
推论：圆内接四边形的一个外角等于它的内对角．
探索新知
证明：∠A=∠DCE.
∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠A+∠BCD=180°
（圆内角四边形的对角互补）.
∵∠BCD+∠DCE=180°，
∴∠A=∠DCE.
A
B
C
O
D
E
探索新知
当堂检测
1.如图所示,AB为☉O的直径,点C在☉O上,∠A=30°,则∠B的度为(　 　)
A.15° B.30° C.45° D.60°
D
当堂检测
2.如图所示,四边形ABCD内接于☉O,M为边CB延长线上一点.若∠AOC=98°,则∠ABM的度数是(　 　)
A.42° B.49° C.51° D.59°
B
当堂检测
C
当堂检测
C
当堂检测
5.四边形ABCD内接于O,∠A∶∠B∶∠C∶∠D=5∶m∶4∶n,则m,n满足的条件是(　 　)
A.5m=4n B. 4m=5n C.m+n=9 D.m+n=180°
6.如图所示,四边形ABCD内接于☉O,OC∥AD,∠DAB=60°,∠ADC=106°,
则∠OCB等于　 　°.
C
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当堂检测
7.如图所示,在圆内接四边形ADBC中,DC=DB,M为CA延长线上一点.
求证:AD平分∠BAM.
证明:∵四边形ADBC是圆内接四边形,
∴∠MAD=∠DBC,∠DAB=∠DCB.
∵DC=DB,
∴∠DBC=∠DCB,
∴∠MAD=∠DAB,
即AD平分∠BAM.
当堂检测
8.如图所示,在☉O中,有内接四边形ABCD,AB=AD,E为弧AD上一点.
(1)若∠C=110°,求∠BAD和∠E的度数;
(1)解:∵四边形ABCD内接于☉O,
∴∠BAD+∠C=180°.
∵∠C=110°,∴∠BAD=70°.
∵AB=AD,∴∠ABD=∠ADB=55°.
∵四边形ABDE内接于☉O,
∴∠ABD+∠E=180°,∴∠E=125°.
当堂检测
(2)若∠E=∠C,求证:△ABD为等边三角形.
(2)证明:∵四边形ABCD是☉O的内接四边形,
∴∠BAD+∠C=180°.
∵四边形ABDE是☉O的内接四边形,
∴∠ABD+∠E=180°.
又∵∠E=∠C,∴∠BAD=∠ABD,
∴AD=BD.
∵AB=AD,∴AD=BD=AB,
∴△ABD为等边三角形.
圆周角定理
推论2
推论3
圆内接四边形的对角互补.
直径所所对的圆周角是直角；
90°的圆周角所对的弦是直径
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