九年级数学下册人教版 28.1《锐角三角函数》同步练习（含答案）

九年级数学下册人教版第二十八章第1节《锐角三角函数》同步练习
一、单选题
1．在中，，若，则的值（ ）
A． B． C． D．
2．如图，在中，，，垂足为D，则下列结论中正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．在中，，如果，那么等于（ ）
A． B． C． D．
4．如图所示，在矩形中，，点M，N分别在边上．连接，将四边形沿翻折，点C，D分别落在点A，E处．则的值是（　　）
A．2 B． C． D．
5．如图，正方形为一个密闭容器的轴截面，当与水平桌面的夹角为时，液面恰过点，cm，则液面的长度为（ ）
A．cm B．7cm C．8cm D．cm
6．魏晋时期，数学家刘徽利用如图所示的“青朱出入图”证明了勾股定理，其中四边形，和都是正方形．如果图中与的面积比为，则的值为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，在中，，分别以为边向外作正方形和正方形，连结，设，则的值为（ ）
A． B．2 C． D．
8．如图，分别与相切于点A，B，连接并延长与交于点C、D，若，则的值为 ．
A． B． C． D．
二、填空题
9．在中，，都是锐角，且，则的度数为 ．
10．如图，已知中，，，将绕点旋转至，如果直线，垂足记为点，那么的值为 ．
11．在中，若，，都是锐角，则是 三角形．
12．如图，内接于，为的直径，过点A作的切线交的延长线于点，若，，则的长为 ．
13．如图，四边形是矩形，连接，点、分别为、边的中点，连接，，交的延长线于点，点为的中点，连接，若，则 ．
14．已知菱形，，，点E是线段上的一个三等分点，将沿折叠至，连接，延长相交于点P，则的长度为 ．
三、解答题
15．计算：
16．计算：．
17．如图，在中，是边上的中线，和都是锐角且，，．
(1)求的长；
(2)求的值．
18．如图，在中，，D是边的中点，，垂足为E，，．
(1)求的长．
(2)求的正弦值．
19．在如图的直角三角形中，我们知道，，，
∴．即一个角的正弦和余弦的平方和为1．
(1)请你根据上面的探索过程，探究，与之间的关系；
(2)请你利用上面探究的结论解答下面问题：已知为锐角，且，求的值．
20．如图，是的内接三角形，是的直径，交弦于点E，过点C作于点F，延长交弦于点G，，．
(1)求的直径；
(2)若，求的值．
21．如图，点，，在上，且是的直径，过点作，垂足为，连接，且平分．
(1)求证：是的切线；
(2)若的半径为，，求的长．
22．如图，平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点、，且点在该拋物线上．
(1)求抛物线的解析式；
(2)连接，点是直线下方抛物线上一动点，过点作于点，求的最大值：
(3)将原拋物线向左平移个单位后得到新抛物线，是新抛物线对称轴上一点，点是原抛物线与新抛物线的交点，将点向上平移个单位得点，若，问：平面内是否存在点，使得四边形是菱形？若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由．
23．在中，，，为直线上任意一点（不与，重合），连接，将线段绕点按顺时针方向旋转得到线段，连接．
(1)如图1，当点在线段上时，求证：；
(2)如图2，当点在线段的延长线上时，猜想线段，与的数量关系并说明理由；
(3)若，请直接写出的值．
24．如图，抛物线与x轴交于A、B两点（A在B点左边），与y轴负半轴交于C点，．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点P是x轴下方抛物线上一点，若，求P点横坐标；
(3)如图2，直线与抛物线交于点E、F，点在抛物线上，连接、分别交y轴正半轴于点M、N，若，求证：直线经过定点，并求出这个定点的坐标．
25．定义：有一个公共顶点的三角形，将其中一个三角形绕公共点旋转一定角度，能与另一个三角形构成位似图形，我们称这两个三角形互为“旋转位似图形”．
(1)知识理解：①如图1，，都是等边三角形，则 的“旋转位似图形”（填“是”或“不是”）；
②如图2，若与互为“旋转位似图形”，，，则 ；
③如图2，若与互为“旋转位似图形”，若，则 ，若连接，则 ．
(2)知识运用：
如图3，在四边形中，，于E，，求证：和互为“旋转位似图形”；
(3)拓展提高：
如图4，为等腰直角三角形，点G为的中点，点F是上一点，D是延长线上一点，点E在线段上，且与互为“旋转位似图形”，若，求和的长．
26．在中，，点 O是的中点，点D是直线上一点，连接．
(1)【问题探究】
如图① ，当，点D在线段上时，将射线绕点 O 顺时针方向旋转交于点 E，连接，则 ______（填“>”“<”或“=”）；
(2)【问题推广】
如图②，当，点D在线段延长线上时，将射线绕点 O顺时针方向旋转交延长线于点 E，请写出三条线段之间的数量关系，并证明；
(3)【拓展延伸】
如图③，当，点D 在线段延长线上时，将线段绕点 O逆时针方向旋转得到，点E恰好落在线段的延长线上，若，求线段的长．
试卷第1页，共3页
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参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D D D A A A C A
9．/75度
10．或
11．等腰直角
12．
13．
14．或
15．解：
．
16．解：
．
17．（1）解：过点作于，如图所示：
设，
在中，，则，
即，解得，
，
，解得，
∴，
在中，，，则由勾股定理可得，
在中，，则，
，
∴，
∴；
（2）解：∵为中线，，
∴，
，
∴，
在中，，，则．
18．（1）解：∵在中，，，，
∴，
∴，
∵是边的中点，
∴，
所以的长为5．
（2）解：∵是斜边的中点，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
解得，
∴，
∴，
所以的正弦值为．
19．（1）解：∵，，，
∴，
∴．
（2）解：∵，且，
∴．
20．（1）解：如图所示，连接，
设的直径为，
∵
∴
∴，
在中，
在中，
∴
解得：（负值舍去）
∴的直径为
（2）解：如图所示，连接，
由（1）可得
又∵
∴
∴
∵是直径，
∴
又
∴
又∵
∴
∴
∴
21．（1）证明：连接，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
即，
∴，
∴是的切线；
（2）解：连接，
∵是的直径，
∴，
∵的半径为，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴,
∴，
∴．
22．（1）解：将，代入得
解得：
∴抛物线解析式为
（2）解：如图所示，过点作轴交于点，设抛物线与轴交于点，
当时，，解得：
∴，
设直线的解析式为，代入，
∴
解得：
∴直线的解析式为，
当时，
设直线与轴交于点，则
∴，则，
∴
∵
∴
∴，即
∴
∴当取得最大值时，取得最大值，
设，则
∴
∴当时，取得最大值为
∴的最大值为，
（3）解：∵向左平移个单位后得到新抛物线解析式为
新抛物线的对称轴为直线
∵是新抛物线对称轴上一点，
∴的横坐标为，
联立
解得：
∴
∵将点向上平移个单位得点，
∴
设点的坐标为，
∵
，，
四边形是菱形，
，即：，解得：或，
此时的中点与中点重合，
，解得：或，
或，
故答案为：点的坐标为或．
23．（1）∵，将线段绕点按顺时针方向旋转得到线段，
∴
∴
∴；
（2），理由如下：
如图所示，过点E作于点F，连接
同（1）可得，
又∵，
∴
∴，
∵
∴
∴，即
∴
又∵
∴是等腰直角三角形
∴
∵，，
∴
∴
∴
∴；
（3）设，则
如图所示，当点D在点A左边时，过点E作于点F，
同（2）可证，
∴，
∴
∴
∴；
如图所示，当点D在点A右边时，过点E作于点F，
同（2）可证，
∴，
∴
∴
∴；
综上所述，的值为或．
24．（1）解：令，解得，
∵抛物线与x轴交于A、B两点（A在B点左边），
∴，，
∴，，
∴，
∴，
把代入得，解得，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：如图，过作，使，连接，，，过作轴于，
∴，
∴点为直线与抛物线的交点，
∵，轴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，，，
∴，
设直线解析式为，把，代入得，
解得，
∴直线解析式为，
联立，解得或，
∵点为直线与抛物线的交点，，
∴P点横坐标为；
（3）证明：∵，
∴设直线解析式为，直线解析式为，
∵、分别交y轴正半轴于点M、N，
∴，，
∴，，
∵，
∴，
整理得，
联立得，
∴，即，
解得，
同理得到，
联立得到，
∴，，
∴，，
整理得，，
∵，
∴，
整理得，
∴，
当时，，
∴直线经过定点．
25．（1）解：①∵，都是等边三角形，
∴，
∵有公共顶点A，
∴是的“旋转位似图形”．
故答案为：是．
②∵与互为“旋转位似图形”，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴；
故答案为：50；
③如图：连接，
∵与互为“旋转位似图形”，
∴，，
∴，即，
解得：，
∵，
∴，
∴，
∴，即．
故答案为：10，．
（2）证明：∵，
∴，
∴，即，
又∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴绕点A逆时针旋转的度数后与构成位似图形，
∴和互为“旋转位似图形”．
（3）解：如图：如图，过E作于点H，
∵为等腰直角三角形，点G为中点，
∴，
∵与互为“旋转位似图形”，
∴，
∴，
∴，解得：，
∵，
∴，
∵，
∴，即，
∴，
∴，
∴，
∴．
综上，．
26．（1）解：连接，
∵是等腰直角三角形，，
∴，
∵点O为斜边中点，
∴，
∴，
∴，
∵将射线绕点O顺时针方向旋转交于点E，
∴，
∴，
∴，
∴；
故答案为：=；
（2）解：，
证明：连接，
∵是等腰直角三角形，，
∴，
∵点O为斜边中点，
∴，
∴，
∴，
∵将射线绕点O顺时针方向旋转交延长线于点E，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）解：连接，
∵点O是斜边的中点，
∴，
∵，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
∵将线段绕点O逆时针旋转得到线段，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∵，
∴．
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