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第8章三角形
8.1.2 三角形的内角和与外角和
学习目标与重难点
学习目标:
1.让学生在操作活动中,探索并了解三角形的内角和、三角形的外角的两条性质以及三角形的外角和.
2.利用平行线性质来证明三角形的内角和、三角形的外角的第一个性质以及三角形的外角和.
3.会利用“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和”进行有关计算.
学习重点:掌握三角形的内角和、三角形的外角的两条性质以及三角形的外角和,并能利用三角形内角和、外角和以及外角的两条性质进行有关计算.
学习难点:在三角形内角和、三角形的外角的两条性质以及三角形的外角和证明的过程中,涉及到添加辅助线来沟通证明思路的方法.
预习自测
一、知识链接
1.什么叫三角形 三角形的内角 三角形的外角
2.点D是BC边上一点,图中有几个三角形,分别表示出来 写出每个三角形的内角和外角.
自学自测
1.如图,直线DE经过点A,DE∥BC,∠B44°,∠C57°,则∠BAC的度数是( )
A.89° B.79° C.69° D.90°
2.如图,在△ABC中,∠B45°,∠C30°,延长线段BA至点E,则∠EAC的度数为( )
A.105° B.75° C.70° D.60°
3.如图,△ADC是含45°角的直角三角板,△ABE是含30°角的直角三角板,若CD与BE交于点F,则∠DFB的度数为 .
教学过程
创设情境、导入新课
如图 , 在小学我们曾剪下三角形的两个内角, 将它们与第三个内角拼在一起, 发现三个内角恰好拼成一个平角, 得出了如下结论:
三角形的内角和等于 .
如果我们不用剪拼办法,可不可以用说理的办法说明该结论正确呢?
二、合作交流、新知探究
探究一:情境导入
教材第84页:
1.三角形的内角和定理的推理证明.
如图,已知 ,分别用,,表示的三个内角,证明.
思考:多种方法说明三角形内角和等于180°的核心是什么?
总结:1.在这里,为了需要,在原来的图形上添画的线叫做辅助线.在平面几何里,辅助线通常画成虚线.
2.为了说明三角形三个内角的和为180°,常将三个角转化为一个平角,这种转化思想是数学中常用的方法.
探究二:新知探究
教材第85页:思考
思考:如图 , 在直角三角形中, ,与有什么关系
这就是说,直角三角形的两个锐角互余。
直角三角形可以用符号 “”表示,直角三角 形可以写成 .
思考:我们已经知道,直角三角形的两个锐角互余.反过来,有两个角互余的三角形是直角三角形吗
有两个角互余的三角形是直角三角形.
思考:你能说明其理由吗?
2.探索三角形的外角及外角和.
如图, 一个三角形的每一个外角对应一个相邻的内角和两个不相邻的内角.
思考:三角形的外角与内角有什么关系呢
三角形的外角的性质:
_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
如图,D是△ABC的边BC上一点,则有 .
()
3.探索证明“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和”的方法.
(1)你能用“三角形的内角和等于180°”来说明三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和吗
(2)你能否从前面的操作中,得到说明三角形外角性质的另一种方法?
4.探索三角形的外角和
与三角形的每个内角相邻的外角分别有两个,这两个外角是对顶角.
从与每个内角相邻的两个外角中分别取一个相加,得到的和称为三角形的外角和.
如图所示,就是的外角和.
做一做:在图中,
_______,_______,
_______.
三式相加可以得到
_______+_______+_______=_______①
而,②
将①与②相比较,你能得出什么结论
概括:
可以得到.
由此可知:三角形的外角和等于360°.
思考:你能由下图说明这一结论吗?
探究三:例题讲解
教材第85页
例1 如图, 是的边上的高,, . 求的度数.
例2如图,是的 边上一点,,,.
求:(1)的度数;
(2)的度数.
三、课堂练习、巩固提高
【知识技能类作业】
必做题:
1.将一块含有角的直角三角板和一把直尺按如图所示的方式摆放,若,则∠2的度数是( )
A. B. C. D.
2.小明观察“抖空竹”时发现,可以将某一时刻的情形抽象成数学问题:如图,已知,,则的度数是( )
A. B. C. D.
3.如图是某款婴儿手推车的平面示意图,若,,,则的度数为( )
A. B. C. D.
选做题:
4.已知一张三角形纸片(如图甲),其中.将纸片沿过点的直线折叠,使点落到边上的点处,折痕为(如图乙).再将纸片沿过点的直线折叠,使点恰好与点重合,折痕为(如图丙).原三角形纸片中,的大小为( )
A. B. C. D.
5.把一块直尺与一块三角板如图放置,若,则的度数为 .
6.在中,,射线平分,P为边上一点,,垂足为O,则的度数为 .
【综合拓展类作业】
7.如图,AD为△ABC的中线,BE为△ABD的中线.
(1)∠ABE=15°,∠BAD=40°,求∠BED的度数;
(2)若△ABC的面积为40,BD=5,则E到BC边的距离为多少.
总结反思、拓展升华
知识点:1、三角形的内角和定理:三角形的内角和为180°;
2、直角三角形的两个锐角互余;有两个锐角互余的三角形是直角三角形;
3、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和;
4、三角形的外角和为360°.
五、【作业布置】
【知识技能类作业】
必做题:
1.已知三角形一个内角的度数为70°,则x+y的值为( )
A.180 B.110 C.100 D.70
2.在△ABC中,∠A=10°,∠B=60°,则△ABC的形状是( )
A.钝角三角形 B.直角三角形 C.锐角三角形 D.等边三角形
3.物理课上,小明研究一个小木块沿斜坡向下滑动时的运动状态,如图,∠C=90°,∠B=13°,小木块(△DEF)在AB上,且EF∥AC,则∠DFE的度数为( )
A.13° B.77° C.87° D.63°
选做题:
4.如果将一副三角板按如图所示的方式叠放,那么∠α的度数是( )
A.75° B.100° C.105° D.135°
5.如图,AD平分∠BAC,∠B=35°,∠ADC=82°,则∠C= °.
6.如图,CE是△ABC的外角∠ACD的平分线,且CE交BA的延长线于点E,若∠B=36°,∠E=24°,则∠BAC= °.
【综合拓展类作业】
7.实验证明平面镜反射光线的规律是:射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等.
阅读以上材料并解决下列问题.
(1)如图,一束光线m射到平面镜a上,被a反射到平面镜b上,又被b反射.若被b反射出的光线n与光线m平行,且∠1=50°,求∠2及∠3的度数.
解:易知∠1=∠4,∠5=∠6,∴∠7=180°-∠1-∠4= ,∵m∥n,
∴∠2+∠7=180°,∴∠2=180°-∠7= ,∴∠5=∠6= ,根据三角形内角和为180°,知∠3=180°-∠4-∠5= .
在(1)中,①若∠1=55°,则∠3= ;②若∠1=40°,则
∠3= .
(3)由(1)(2),请你猜想:当两平面镜a、b的夹角∠3为多少度时,可以使任何射到平面镜a上的光线m,经过平面镜a、b的两次反射后,入射光线m与反射光线n平行 请你写出推理过程.
答案:
自学测试:
1.B
2.B
3.15°
课堂巩固:
1.B
2.D
3.D
4.C
5.【答案】
【知识点】三角形的外角性质;同位角的概念
6.【答案】或
【知识点】三角形内角和定理;三角形的外角性质
7.【答案】(1)解:∵∠BED是△ABE的角∴∠BED=∠ABE+∠BAD又∴∠ABE=15°∠BAD=40°
∴∠BED=55°
(2)△BDE的面积=40×=10,所以E到BC边的距离 =10÷÷5=8.
作业布置:
1.B 由题图可知,x+y=180-70=110.故选B.
2.A ∵∠A=10°,∠B=60°,∴∠C=180°-∠A-∠B=180°-10°-60°=110°,∴△ABC是钝角三角形.故选A.
3.B ∵∠C=90°,∠B=13°,∴∠A=180°-∠C-∠B=77°,∵EF∥AC,∴∠DFE=∠A=77°.故选B.
4.C 解法一:如图,由题意可得∠1=30°,则∠2=45°-∠1=45°-30°=15°,∴∠α=90°+∠2=105°.故选C.
解法二:如上图,∵∠1=30°,∴∠3=180°-(30°+45°)=105°,
∴∠α=∠3=105°.故选C.
5.51
解析 ∵∠ADC是△ABD的外角,∴∠BAD=∠ADC-∠B=82°-35°=47°,∵AD平分∠BAC,∴∠BAC=2∠BAD=94°,
∴∠C=180°-∠B-∠BAC=51°.
6.84
解析 ∵∠B=36°,∠E=24°,∴∠ECD=∠B+∠E=36°+24°=60°.
∵CE为∠ACD的平分线,∴∠ACD=2∠ECD=120°.又∵∠ACD=∠B+∠BAC,∴∠BAC=∠ACD-∠B=120°-36°=84°.
7.解析 (1)80°;100°;40°;90°.
(2)①∵∠1=55°,∴∠4=∠1=55°,∴∠7=180°-(∠1+∠4)=180°-110°=70°.∵m∥n,∴∠2=180°-∠7=180°-70°=110°.∵∠5=∠6,∴∠5=(180°-∠2)=×70°=35°.又∵∠3+∠4+∠5=180°,
∴∠3=180°-∠4-∠5=180°-55°-35°=90°.
②∵∠1=40°,∴∠4=∠1=40°,∴∠7=180°-(∠1+∠4)=180°-80°=100°.∵m∥n,∴∠2=180°-∠7=180°-100°=80°.∵∠5=
∠6,∴∠5=(180°-∠2)=×100°=50°.又∵∠3+∠4+∠5=180°,
∴∠3=180°-∠4-∠5=180°-40°-50°=90°.
(3)根据平面镜反射光线的规律可知,∠1=∠4,∠5=∠6,∵m∥n,∴∠2+∠7=180°,∵∠1+∠4+∠7=180°,∠2+∠5+∠6=180°,∴2(∠5+∠4)+(∠2+∠7)=360°,∴∠5+∠4=×(360°-180°)=90°.∵∠3+∠4+∠5=180°,∴∠3=180°-(∠4+∠5)=180°-90°=90°,
∴当∠3=90°时,可以使任何射到平面镜a上的光线m,经过平面镜a、b的两次反射后,入射光线m与反射光线n平行.
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