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人教版数学九年级下学期第一次月考
全真模拟卷
（考试时间：120分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知点在反比例的数的图象上.其中.下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，在△ABC中，∠C=90°，BC=a，AC=b，AB=c，则下列选项正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．将一副三角板如图摆放在一起，组成四边形，，，，连接，则的值等于（ ）
A． B． C． D．
4．在同一平面直角坐标系中，函数y＝kx+1（k≠0）和y=（k≠0）的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
5．综合实践小组的同学们利用自制密度计测量液体的密度，密度计悬浮在不同的液体中时，浸在液体中的高度是液体的密度的反比例函数，其图象如图所示．下列说法正确的是（ ）
A．当液体密度时，浸在液体中的高度
B．当液体密度时，浸在液体中的高度
C．当浸在液体中的高度时，该液体的密度
D．当液体的密度时，浸在液体中的高度
6．如图所示，AB为☉O的直径，弦CD交AB于点E，=，∠CDB= 30°，AC=2，则OE等于（ ）
A． B． C．1 D．2
7．某反比例函数图象上四个点的坐标分别为，，，，则，，，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
8．已知反比例函数，下列结论错误的是（ ）
A．图象在第二、四象限内
B．在每个象限内，y随x的增大而增大
C．当时，
D．当时，
9．八个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，其主视图是（ ）
A． B．
C． D．
10．如图，的两条高线AD、BE交于H，其外接圆圆心为O，过O作OF垂直BC于F，OH与AF相交于G，则与面积之比为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．已知：中，是中线，点在上，且，．则 ．
12．如图，点在函数的图象上，过点作垂直轴，垂足为，过点作垂直轴，垂足为，矩形的面积是6，则 ．
13．如下图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，若，，，则BC的长为 ．
14．如图，和是以点为位似中心的位似图形，，则和的面积比值是 ．
15．如图，是反比例函数的图象第二象限上的一点，且矩形的面积为2，则k= ．
16．如图所示，已知△ABC的外接圆☉O的半径为3，AC=4，则sin B= .
三、综合题(本大题有9个小题，每小题8分，共72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．在平面直角坐标系中，过一点分别作坐标轴的垂线，若两垂线与坐标轴围成矩形的周长数值和面积数值相等，则称这个点为“等值点”例如：点，因为，，所以是“等值点”．
（1）若点为双曲线上任意一点，将点向右平移个单位，再向上平移个单位得到点，求证：点为“等值点”；
（2）在第一象限内，若一次函数的图象上有两个“等值点”，求的取值范围．
18．如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象都经过A（-3，a）.
（1）求点的坐标和反比例函数表达式.
（2）若点在该反比例函数图象上，且它到x轴的距离小于2，请根据图象直接写出m的取值范围.
19．如图，在中，点是上的点，过点作交于点，，过作交于点.
（1）若，求线段的长；
（2）若的面积为16，求的面积.
20．如图是的外接圆，点O在上，的角平分线交于点D，连接，，过点D作的平行线与的延长线相交于点P.
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求与的值.
21．
（1）计算：
（2）先化简，再求值：，其中.
22．如图，在△ABC中，AD是角平分线，点E是边AC上一点，且满足∠ADE＝∠B．
（1）求证：△ADB∽△AED．
（2）若AE＝3，AD＝5，求AB的长．
23．已知，如图，抛物线经过直线与坐标轴的两个交点，，此抛物线与轴的另一个交点为，抛物线的顶点为.
（1）求此抛物线的解析式及顶点的坐标；
（2）在轴上是否存在点使为直角三角形 若存在，确定点的坐标：若不存在，请说明理由.
24．如图，是半圆的直径，为半圆上的点（不与，重合），连接，点为的中点，过点作，交的延长线于点，连接，交于点.
（1）求证：是半圆的切线；
（2）若，，求半圆的半径及的长.
25．已知矩形，将其绕着点A逆时针旋转得到矩形．
（1）如图1，若点E在上，连接．
①求证：平分；
②连接交于点O，若，，求的长．
（2）如图2，若点A，E，C在同一条直线上，与交于点M，，，求的长．
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人教版数学九年级下学期第一次月考
全真模拟卷
（考试时间：120分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知点在反比例的数的图象上.其中.下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：∵反比例函数，
∴函数图象在第二、四象限，在每个象限内，y随着x的增大而增大，
又∵，
∴，
∴，
故答案为：A.
【分析】根据反比例函数的图象和系数之间的关系和性质“当k＜0时，函数图象在第二、四象限，在每个象限内，y随着x的增大而增大”并结合各点的横坐标的大小即可判断求解.
2．如图，在△ABC中，∠C=90°，BC=a，AC=b，AB=c，则下列选项正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：A、∵ △ABC中，∠C=90°，∴，故A不符合题意；
B、 ，故B不符合题意；
C、 ，故C不符合题意；
D、 ，故D符合题意；
故答案为：D.
【分析】利用锐角三角函数的定义，对各选项逐一判断即可.
3．将一副三角板如图摆放在一起，组成四边形，，，，连接，则的值等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：如图所示，连接BD，过点D作DE垂直于BC的延长线于点E
∵在Rt△ABC中，∠ACB＝45°，在Rt△ACD中，∠ACD＝90°
∴∠DCE＝45°，
∵DE⊥CE
∴∠CED＝90°，∠CDE＝45°
∴设DE＝CE＝x，则CD＝x
在Rt△ACD中，
∵∠CAD＝30°，
∴tan∠CAD＝，则AC＝x，
在Rt△ABC中，∠BAC＝∠BCA＝45°
∴BC＝x，
∴在Rt△BED中，tan∠CBD＝
故答案为：D．
【分析】本题考查用定义求三角函数，特殊角的三角函数值．连接BD，过点D作DE垂直于BC的延长线于点E，在Rt△ABC中，利用角的运算可求出∠ACB＝45°，在Rt△ACD中，利用角的运算可求出∠DCE＝45°.设DE＝CE＝x，根据题可得CD＝x，在Rt△ACD中，利用正切的定义可求出AC＝x，在Rt△ABC中，BC＝x，在Rt△BED中，利用正切的定义可求出答案．
4．在同一平面直角坐标系中，函数y＝kx+1（k≠0）和y=（k≠0）的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：分两种情况讨论，当k>0时，一次函数y＝kx+1经过第一、二、三象限，反比例函数 y= 经过一、三象限，结合选项可知，没有符合要求的象限；
当k<0时，一次函数y＝kx+1经过第一、二、四象限，反比例函数 y= 经过二、四象限，结合选项可知，D选项符合要求.
故答案为：D.
【分析】分两种情况讨论，当k>0和k<0时，根据一次函数和反比例函数图象性质，结合各选项判断即可.
5．综合实践小组的同学们利用自制密度计测量液体的密度，密度计悬浮在不同的液体中时，浸在液体中的高度是液体的密度的反比例函数，其图象如图所示．下列说法正确的是（ ）
A．当液体密度时，浸在液体中的高度
B．当液体密度时，浸在液体中的高度
C．当浸在液体中的高度时，该液体的密度
D．当液体的密度时，浸在液体中的高度
【答案】C
【解析】【解答】解：设h关于的函数解析式为，
把，代入解析式，得．
∴h关于的函数解析式为．
A. 当液体密度时，浸在液体中的高度，故该选项不正确，不符合题意；
B. 当液体密度时，浸在液体中的高度，故该选项不正确，不符合题意；
C. 当浸在液体中的高度时，该液体的密度，故该选项正确，符合题意；
D. 当液体的密度时，浸在液体中的高度，故该选项不正确，不符合题意；
故答案为：C．
【分析】由题意设，把，代入解析式，进而结合函数图象，逐项分析判断即可求出答案.
6．如图所示，AB为☉O的直径，弦CD交AB于点E，=，∠CDB= 30°，AC=2，则OE等于（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】C
【解析】【解答】解：如图，连接BC，
∵AB为直径，，
∴AB⊥CD，
∵∠BAC=∠CDB=30°， AC=2，
∴AE=AC·cos∠BAC=3×=，
∴AB=
∴OA=AB=3，
∴OE=AE-OA=-3=．
故答案为：C.
【分析】连接BC，根据垂径定理的推论可得AB与CD垂直，再由圆周角定理可得∠A的度数，根据锐角三角函数可得AE与AB的长，再进一步求解．
7．某反比例函数图象上四个点的坐标分别为，，，，则，，，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：∵ 反比例函数图象过点（1，2），
∴k=1×2=2>0.
∴图象经过一三象限，且再每个象限内，y随x的增大而减小，
∵-3<-2<0<2.
∴
∴，
∴
故答案为：A.
【分析】先根据点过点（1，2），求出k的值，再利用反比例函数的性质比较函数值的大小即可.
8．已知反比例函数，下列结论错误的是（ ）
A．图象在第二、四象限内
B．在每个象限内，y随x的增大而增大
C．当时，
D．当时，
【答案】C
【解析】【解答】解：∵
∴图象经过二、四象限；在每个象限内，y随x的增大而增大 ； 当时， .
因此，A、B、D正确，
当时，无法确定 与 的大小，C错误.
故答案为：C.
【分析】根据反比例函数的图象及性质，逐一判断即可解答.
9．八个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，其主视图是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：由题意得该几何体的主视图为；
故答案为：C.
【分析】主视图是从几何体正面观察所得到的平面图形，据此判断.
10．如图，的两条高线AD、BE交于H，其外接圆圆心为O，过O作OF垂直BC于F，OH与AF相交于G，则与面积之比为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：过点O作于P，连接，如图所示：
∴P为中点，
∵，
∴，即，
又∵，且，
∴，且F为中点，
∴、，
∴，，
∵，，
∴，
∵，
∴
∴，即，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
故答案为：D
【分析】过点O作于P，连接，进而根据垂径定理结合平行线的判定得到，即，再结合平行线的性质进行角的运算得到，即，从而根据相似三角形判定与性质证明即可得到，再证明即可求解。
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．已知：中，是中线，点在上，且，．则 ．
【答案】
【解析】【解答】解：是边上的中线，
．
，
．
．
，
．
又，
．
．
．
．
．
故答案为：
【分析】本题考查相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、三角形外角与内角的关系．先利用等腰三角形的性质，三角形外角与内角的关系可推出，再根据已知条件可证明，利用相似三角形的性质可得：，化简可用表示出，再代入比例式可求出答案.
12．如图，点在函数的图象上，过点作垂直轴，垂足为，过点作垂直轴，垂足为，矩形的面积是6，则 ．
【答案】-6
【解析】【解答】解：由题意得：，
解得，
∵图象位于第二象限，
∴．
故答案为：．
【分析】本题考查反比例函数k的几何意义.根据题，利用矩形的面积公式可得：，解方程可得：，再根据反比函数图象分布的象限可确定k的值．
13．如下图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，若，，，则BC的长为 ．
【答案】15
【解析】【解答】解：，
∠ADE=∠B，∠AED=∠C，
，
，
，
，
即，
解得BC=15，
BC的长为15cm.
故答案为：15.
【分析】先证，再根据得出，然后利用相似三角形的性质建立方程求解即可得到BC的长.
14．如图，和是以点为位似中心的位似图形，，则和的面积比值是 ．
【答案】
【解析】【解答】解：∵△ABC和△DEF是以点O为位似中心的位似图形，
∴△ABC∽△DEF，
∵OA：OD=2：3，
∴AB：DE=2：3，
∴.
故答案为：.
【分析】根据位似的性质得△ABC∽△DEF，由已知OA：OD=2：3，得AB：DE=2：3，根据相似三角形的性质得，即可求解.
15．如图，是反比例函数的图象第二象限上的一点，且矩形的面积为2，则k= ．
【答案】-2
【解析】【解答】解：由图可得 矩形的面积为
反比例函数图象位于第二、四象限，
k<0，
故答案为：-2.
【分析】利用反比例函数k的几何意义得到结合函数图象所在的象限，即可求解.
16．如图所示，已知△ABC的外接圆☉O的半径为3，AC=4，则sin B= .
【答案】
【解析】【解答】连接AO并延长交 ☉O 于点E，连接CE，如图，
则
在Rt△ACE中，AC=4，AE=6，
又
故答案为： .
【分析】连接AO并延长交 ☉O 于点E，连接CE，构造直角三角形，利用锐角三角函数的定义求得∠E的正弦值，根据圆周角定理得到∠B=∠E，从而求解.
三、综合题(本大题有9个小题，每小题8分，共72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．在平面直角坐标系中，过一点分别作坐标轴的垂线，若两垂线与坐标轴围成矩形的周长数值和面积数值相等，则称这个点为“等值点”例如：点，因为，，所以是“等值点”．
（1）若点为双曲线上任意一点，将点向右平移个单位，再向上平移个单位得到点，求证：点为“等值点”；
（2）在第一象限内，若一次函数的图象上有两个“等值点”，求的取值范围．
【答案】（1）证明：设，，向右平移个单位得，向上平移个单位，
则，，
所以点为“等值点”．
（2）解：由题意知，，设是图象上的“等值点”，
则，，
所以，即关于的方程有两个不相等的正实数根，
，
，
，
所以的取值范围是．
【解析】【分析】（1）设E（m，），m＞0，根据平移的性质可将点F的坐标用含m的代数式表示出来，结合题意分别计算C和S，由计算的结果可得S=C，根据“等值点”的意义可得证；
（2）设A（a，-a+b），是y=-x+b图象上的“等值点”，根据“等值点”的意义可得关于a的方程a2-a+b+2b=0有两个不相等的实数根，然后根的判别式即可求解.
18．如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象都经过A（-3，a）.
（1）求点的坐标和反比例函数表达式.
（2）若点在该反比例函数图象上，且它到x轴的距离小于2，请根据图象直接写出m的取值范围.
【答案】（1）解：把的坐标代入，即，
解得，
，
又点是反比例函数的图象上，
，
反比例函数的关系式为；
（2）解：或
【解析】【解答】解：（2）解：（2）点P（m，n）在该反比例函数图象上，且它到x轴距离小于2，
∴|n|＜2
或，
当n=-2时，，当时，，
∴m的取值范围为 或 .
【分析】（1）把点A（a，2）代入正比例函数的解析式可求出a的值，从而得到点A的坐标，进而将点A的坐标代入 反比例函数 可求出k的值，从而得到反比例函数的解析式；
（2）由点P（m，n）到x轴距离小于2得|n|＜2，即或，再由点P（m，n）在反比例函数图象上，故将n=2与=-2分别代入反比例函数的解析式算出对应的自变量的值，结合函数性质即可得出m的取值范围.
19．如图，在中，点是上的点，过点作交于点，，过作交于点.
（1）若，求线段的长；
（2）若的面积为16，求的面积.
【答案】（1）解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴AE=2BE
又∵，
∴，
∴，
∴线段的长为10；
（2）解：∵，
∴， ，，
∴，
∴，
∴，
∵的面积为，
∴，
∴，
∴的面积为4.
【解析】【分析】（1）首先判断出△AED∽△ABC，由相似三角形对应边成比例建立方程可求出DE的长；
（2）首先判断出△AED∽△ABC，由相似三角形对应边成比得 ， 再判断出△AED∽△DFC，由相似三角形对应边成比得 ， 进而根据相似三角形面积的比等于相似比的平方可求解.
20．如图是的外接圆，点O在上，的角平分线交于点D，连接，，过点D作的平行线与的延长线相交于点P.
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求与的值.
【答案】（1）证明：如图1，连接，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵是半径，
∴是的切线；
（2）解：∵是的直径，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴.
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，即，
∴.
【解析】【分析】（1）连接OD，由角平分线的概念可得∠BAD=∠CAD，根据圆周角定理可得∠BOD=∠COD=90°，根据平行线的性质可得∠ODP=∠BOD=90°，据此证明；
（2）根据圆周角定理可得∠BAC=∠BDC=90°，由勾股定理可得BC，根据平行线的性质可得∠PDC=∠BCD，由圆周角定理可得∠BCD=∠BAD，则∠BAD=∠PDC，根据同角的补角相等可得∠ABD=∠PCD，利用两角对应相等的两个三角形相似可得△ABD∽△DCP，然后根据相似三角形的性质进行计算.
21．
（1）计算：
（2）先化简，再求值：，其中.
【答案】（1）解：
；
（2）解：
当时，
原式.
【解析】【分析】（1）先代入特殊锐角三角函数值，根据负整数指数幂的性质、0指数幂的性质、二次根式的性质及绝对值的性质分别化简，再计算有理数的加法及合并同类二次根式即可；
（2）根据分式的混合运算的法则和步骤，先把括号内的部分通分计算，然后把除法化为乘法，因式分解后约分即可化简，再代入求值即可.
22．如图，在△ABC中，AD是角平分线，点E是边AC上一点，且满足∠ADE＝∠B．
（1）求证：△ADB∽△AED．
（2）若AE＝3，AD＝5，求AB的长．
【答案】（1）证明：因为AD平分∠ABC，
所以∠BAD＝∠DAE，
又因为∠ADE＝∠B，
所以△ADB∽△AED．
（2）解：因为△ADB∽△AED，
所以
所以AD2＝AB AE，即25=3AB，
解得AB ＝ ．
【解析】【分析】（1）根据角平分线的定义得∠BAD＝∠DAE，结合∠ADE＝∠B，根据两组角对应相等的两个三角形相似得△ADB∽△AED；
（2）根据相似三角形对应边成比例建立方程，求解即可得出AB的长.
23．已知，如图，抛物线经过直线与坐标轴的两个交点，，此抛物线与轴的另一个交点为，抛物线的顶点为.
（1）求此抛物线的解析式及顶点的坐标；
（2）在轴上是否存在点使为直角三角形 若存在，确定点的坐标：若不存在，请说明理由.
【答案】（1）解：将代入的解析式得：，
.
将代入的解析式得：，
解得，
即.
将点和点的坐标代入，得：
，
解得：.
抛物线的解析式为.
，
.
（2）解：①当时，如图所示：
时，
.
又
.
.
，，
.
②当时，则.
∴
，
即 ，
解得：.
，
.
综上所述，点的坐标为或.
【解析】【分析】（1）分别令直线y=-x+3中的x=0与y=0算出对应的y与x的值，可得点B、A的坐标，将点A、B的坐标分别代入y=-x2+bx+c可得关于字母b、c的方程组，求解可得b、c的值，从而得出抛物线的解析式，进而将抛物线的解析式配成顶点式可得点D的坐标；
（2）①当∠DNA=90°时，根据坐标与图形的性质可得点N的坐标，从而利用勾股定理算出AD即可；②当∠N'DA=90°时，由同角的余角相等得∠DN'A=∠NDA，由等角的同名三角函数值相等得 ， 据此可求出AN'的长，结合点A的坐标，即可求出点N'的坐标.
24．如图，是半圆的直径，为半圆上的点（不与，重合），连接，点为的中点，过点作，交的延长线于点，连接，交于点.
（1）求证：是半圆的切线；
（2）若，，求半圆的半径及的长.
【答案】（1）证明：连接，如图，
点为弧的中点，
，
，
又，
，
，
，
又，
，
是半圆的切线.
（2）解：连接，如图，
是半圆的直径，
，
，
，
，
，
，
，
半圆的半径为.
设与相交于点，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
即，
.
【解析】【分析】（1）连接OC，由等弧所对的圆周角相等得∠FAC=∠CAB，由等边对等角得∠CAB=∠ACO，则∠FAC=∠ACO，推出OC∥AF，进而根据平行线的性质可得CF⊥OC，从而根据切线的判定方法得出FC是半圆O的切线；
（2）连接BC，由直径所对的圆周角是直角得∠ACB=90°，然后根据两组角对应相等的两个三角形相似得△AFC∽△ACB，由相似三角形对应边成比例建立方程可求出AB的长，从而得该圆的半径； 设OC与BF相交于点P，由平行于三角形一边的直线截其它两边，所截的三角形与原三角形相似得△BOP∽△BAF，由相似三角形对应边成比例建立方程可求出OP的长； 由平行于三角形一边的直线截其它两边的延长线，所截的三角形与原三角形相似得△ECP∽△EAF，由相似三角形对应边成比例建立方程可求出AE的长.
25．已知矩形，将其绕着点A逆时针旋转得到矩形．
（1）如图1，若点E在上，连接．
①求证：平分；
②连接交于点O，若，，求的长．
（2）如图2，若点A，E，C在同一条直线上，与交于点M，，，求的长．
【答案】（1）解：①证明：根据题意可得，
，
，
，
，
平分．
②解：如图，过点B作于点H，连接．
四边形是矩形，
，，
由①得平分，
，
由旋转的性质可得且，
，，
四边形是平行四边形，
，，
在中，，，，
，，
在中，，，，
，．
（2）解：根据旋转的性质可得，
，，四边形是矩形，
，
在中，，
，
，
，
，
，
．
【解析】【分析】（1）①先证出，再利用平行线的性质可得，证出，即可得到EB平分；
②过点B作于点H，连接，先证出四边形是平行四边形，可得，，再求出，即可；
（2）先证出，可得，再将数据代入求出即可。
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