北京市第五十中学2024-2025学年度高二第二学期数学三月检测试卷 （PDF版，含答案）

北京市第五十中学 2024-2025学年度第二学期
（高二、数学）三月检测试卷 2025.3
1.【答案】
【解答】
解：由题意可知 ∩ = { |2 < 3}．
2.【答案】D
【解答】
解：由 = ( 1 ) = 2 = 1 ，
所以在复平面内 对应点的坐标为(1, 1)，位于第二象限．
故选：D．
3.【答案】
【解答】
1
1 1
解：对于 ， 3 = ≠ ， 不是；
1 3 2
1 3
1
对于 ， 2 = 2 = ， 是 ；
1 3 2
1 3

对于 ， 2
1
= ≠ 2， 不是；
1 2 3
√ 2 2√ 2 3
对于 ， = ≠ ， 不是．
1 2 3
故选： ．
4.【答案】
【解答】
1
解：函数定义域为(0, +∞)， ′( ) = 1，令 ′( ) > 0，解得：0 < < 1，

故 ( )的单调递增区间为(0,1)，
故选： ．
5.【答案】
【解答】
解：以 为原点， ， ， 1所在直线分别为 ， ， 轴建立空间直角坐标系，
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则 1(2,0,2)， (1,0,0)， (2,1,0)， (0,2,0)， 1(0,0,2)， (0,1,1)，
∴ 1 = ( 1,0, 2)， = ( 2,0,1)，
∴ 1 = 0，即 1 ⊥ ，
∴异面直线 1 与 所成角的余弦值为0．
故选： ．
6.【答案】
【解答】解：由 ( ) = ，得 ′( ) = + ，
∴ ′(1) = 2 ，又 (1) = 0，
∴曲线 ( ) = 在 = 1处的切线方程为 = 2 ( 1)，即 = 2 2 ．
取 = 0，得 = 2 ，取 = 0，得 = 1．
1
∴曲线 ( ) = 在 = 1处的切线与坐标轴所围成的三角形面积为 = × 2 × 1 = ．
2
故选： ．
7.【答案】
【解答】解：令 ( ) = ( + 1)，则 ′( ) = 1，
当 ≥ 0时， ′( ) > 0， ( )单调递增，所以 (0.01) = 0.01 1.01 > (0) = 0，即 0.01 > 1.01，
1 1
令 ( ) = ，则 ′( ) = 1 = ，

当 ≥ 1时， ′( ) < 0， ( )单调递减，所以 (1.01) = 1.01 1.01 < (1) = 1 < 0，即 1.01 <
1.01，
所以 > > ．
故选： ．
8.【答案】
【解答】
解：由题设， ( ) = + ( )，则 ′( ) = ′( )，
又直线 = 与曲线 = ( )相切于两点且横坐标为 1, 2且 1 < 2，
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所以 ′( ) = 0的两个零点为 1, 2，
由图知：存在 0 ∈ ( 1, 2)使 ′( 0) = 0，
综上， ′( )有三个不同零点 1 < 0 < 2，
由图：(0, 1)上 ′( ) < 0，( 1, 0)上 ′( ) > 0，( 0, 2)上 ′( ) < 0，( 2, +∞)上 ′( ) > 0，
所以 ( )在(0, 1)上递减，( 1, 0)上递增，( 0, 2)上递减，( 2, +∞)上递增．
故 ( )至少有两个极小值点和一个极大值点．
故选： ．
9.【答案】
【解答】
解：∵函数 ( )的定义域为 ，
且 ( ) = ( )2 ( )sin( ) = 2 = ( )，
∴ ( )为偶函数，故排除选项 B；
( ) = ( )，设 ( ) = ，则 ′( ) = 1 ≥ 0恒成立，
∴ ( )在 上单调递增，
∴当 > 0时， ( ) > (0) = 0，
∴当 > 0时， ( ) = ( ) > 0，且此时 ( )单调递增，故排除选项 A、 ；
故选： ．
10.【答案】
【解答】
+1 +1 ( +1)
解：设切点为 ( 00, ) ，由 ( ) = 可得
′( ) = = ，
0 2
0+1 所以在点 ( 0, ) 处的切线的斜率为 =
′( ) = 00 ， 0 0
+1 +1
所以在点 ( 0,
0
) 处的切线为：
0 = 0 ( 0) ， 0 0 0
+1
因为切线过点 ( 1, ) ，所以 0 = 0 ( 1 0) ， 0 0
2 2
( +1) ( +1)
即 = 0 ，即这个方程有三个不等实根即可，设 ( ) = ， 0
切线的条数即为直线 = 与 ( ) 图象交点的个数，
2
( +1)
设 ( ) = ，
(2 +2) ( 2+2 +1) 2+1
则 ′( ) = =

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由 ′( ) > 0 可得 1 < < 1 ，由 ′( ) < 0 可得： < 1 或 > 1 ，
2
( +1)
所以 ( ) = 在 ( ∞, 1) 和 (1, +∞) 上单调递减，在 ( 1,1) 上单调递增，
当 趋近于正无穷， ( ) 趋近于0，当 趋近于负无穷， ( ) 趋近于正无穷，
4
( ) 的图象如下图，且 (1) = ，

2
( +1) 4
要使 = 与 ( ) = 的图象有三个交点，则 0 < < ．
4
则 的取值范围是： (0, ) ．

故选： ．
11.【答案】1
【解答】
2 0
解：因为直线过点( 2,0)和(0,2)，所以切线方程的斜率为 = = 1，
0 ( 2)
lim (0+ ) (0)
所以 = ( )在点(0,2)处的导数为 → 0 = 1．

故答案为：1．
12.【答案】2 2
【解答】
解：∵ ( ) = 2 ，
∴ ′( ) = 2 2 ．
故答案为：2 2 ．
13.【答案】( ∞, 1) ∪ (2,+∞)．
1
【详解】∵函数 = 3 + 2 + ( + 2) + 3，
3
∴ ′( ) = 2 + 2 + + 2，
1
∵函数 = 3 + 2 + ( + 2) + 3在 上不是增函数，
3
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∴ ′( ) = 2 + 2 + + 2 ≥ 0不恒成立，
∴判别式△= 4 2 4( + 2) > 0，
∴ 2 2 > 0，
即 < 1或 > 2，
故答案为( ∞, 1) ∪ (2,+∞)．

14.【答案】( , ) , (0, )
2 2
【解答】
解：由题意 ′( ) = sin + cos sin = cos , ∈ ( , )，

令 ′( ) = cos > 0，则其在区间( , )上的解集为( , ) ∪ (0, )，
2 2

所以 ( )的单调递增区间为( , ) , (0, )．
2 2

故答案为：( , ) , (0, )．
2 2
15.【答案】2
【解答】
+ 2 +
解：由题意可得lim = lim = lim = 2．
→0 1 cos →0 sin →0 cos
故答案为：2．
16.【答案】①②④
【解答】
解：根据题意，依次分析4个命题：
对于①、 ( ) = ，定义域是 ，
且 ( ) = = ( )， ( )是奇函数；故①正确；
对于②、若 ( ) = ，
则 ′( ) = + > 0，故 ( )在 递增；故②正确；
对于③、 ( ) = 2 + 2 ，令 ( ) = 2 2 ，
令 = 0可得， (0) = 0，即方程 ( ) = 2 + 2 有一根 = 0，
1 1
(2) = 2 2 8 < 0， (4) =
4 4 24 > 0，
则方程 ( ) = 2 + 2 有一根在(2,4)之间，故③错误；
对于④、如果对任意 ∈ (0,+∞)，都有 ( ) > ，即 > 0恒成立，
令 ( ) = ，且 (0) = 0，
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′( ) = + ，
1 1 + ≥ 2，当且仅当 = 0时等号成立，但是 > 0，等号取不到，故 + > 2，

当 ≤ 2时， ′( ) > 0， ( )在(0,+∞)上单调递增，
( ) > (0) = 0，符合题意；
当 > 2时，存在 0 ∈ (0,+∞)，使得 ′( 0) = 0
令 ( ) = + ， > 0，
则 ′( ) = > 0，故 ′( )在(0,+∞)上单调递增，
故当 ∈ (0, 0)时， ′( ) < 0， ( )单调递减，
此时 ( ) < (0) = 0，不符合题意，
所以 > 2不成立．
所以 ≤ 2，故④正确；
综合可得：①②④正确；
故答案为：①②④．
17.【答案】解：(Ⅰ)函数 ( )的定义域为 . ′( ) = 3 2 12，
令 ′( ) = 0，解得 = ±2，
则 ′( )， ( )随 的变化情况如下表：
( ∞, 2) 2 ( 2,2) 2 (2, +∞)
′( ) + 0 0 +
( ) ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗
故函数 ( )的单调增区间为( ∞, 2)和(2,+∞)，单调减区间为( 2,2)．
(Ⅱ)当 = 2时，函数 ( )取得极大值为 ( 2) = 16；
当 = 2时，函数 ( )取得极小值为 (2) = 16．
18.【答案】解：(1)证明：
连接 交 于点 ，连接 ，
因为 , 分别为 , 的中点，
所以 // ，
又 平面 ， 平面 ，
则 //平面 ；
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(2)
直线 ⊥平面 , 平面 ， 平面 ，
所以 ⊥ ， ⊥ ，且 ⊥ ，
则以 为原点， , , 所在直线为 , , 轴，建立空间直角坐标系；
1
(1,0,0), (0,2,0), ( , 0,1)，
2
1
(1,2,0), (0,0,1)， (0,1, )，
2
1
所以 = (0,1, ) , = (1,2,0)，
2
设平面 的法向量为 = ( , , )，
1
+ = 0
由{ = 0，得{ 2 ,
= 0 + 2 = 0
令 = 2，得 = 1， = 2，
故平面 的一个法向量为 = (2, 1,2)，
又 = (0, 2,1)，
4√ 5
所以|cos , | = | | = ，
| || | 15
4√ 5
直线 与平面 夹角的正弦值为 ；
15
(3)
因为
1
= ( , 0, 1)，
2
且平面 的一个法向量为 = (2, 1,2)，
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| |
则点 到平面 的距离 = = 1．
| |
1
19.【答案】解：(Ⅰ)当 = 1时，函数 ( ) = ，

令 = 1，得 (1) = 1，即切点坐标为(1, 1)，
1 1
′( ) = + 2，则 ′(1) = 2，即切线斜率 = 2，
故切线方程为 + 1 = 2( 1)，即 = 2 3．
1 +1
(Ⅱ)函数 ( )的定义域为(0, +∞)， ′( ) = + = ，
2 2
①当 ≥ 0时， ′( ) > 0恒成立，故函数 ( )的单调增区间为(0, +∞)．
1
②当 < 0时，令 ′( ) = 0，解得 = ，

1
当 ∈ (0, )， ′( ) > 0, ( )单调递增，

1
当 ∈ ( ,+∞)， ′( ) < 0, ( )单调递减，

1 1
所以函数 ( )的单调增区间为(0, )，单调减区间为( ,+∞)．

综上所述，当 ≥ 0时，函数 ( )的单调增区间为(0, +∞)；
1 1
当 < 0时，函数 ( )的单调增区间为(0, )，单调减区间为( ,+∞)．

(Ⅲ) 1．
1 1 1
由(Ⅱ)可知 < 0且 ≤ 2，解得 ≤ ，故 ∈ ( ∞, ]均为正确答案．
2 2
√ 6 √ 3
20.【答案】解：(1)由题知，椭圆 过点(1, )和( , )，
3 3
1 2
2 + 2 = 1
3 2
所以 2 1 ，解得{ = 32 ，
2 + 2 = 1 = 1
3
{ 2 = 2 + 2
2
所以椭圆 的方程为 + 2 = 1．
3
(2)假设在 轴上存在定点 ，使得∠ = 2∠ 恒成立，设 (0, 0)，
( 1, 1)， ( 2, 2)，
1
=
2
由{ 2 ，得(4 + 12
2) 2 12 9 = 0，

+ 2 = 1
3
12 9
∴ 1 + 2 = ， 1 2 = ，
4+12 2 4+12 2
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= 144 2 + 36(4 + 12 2) > 0，
∵ ∠ = 2∠ ，
∴ ∠ = ∠ ，
∴ = = ，
∴点 在以 为直径的圆上，即 ⊥ ，
= ( , )， 1 1 0 = ( 2, 2 0)，
∴ = 1 2 + ( 1 0)( 2 0)
= 1 2 + 1 2 0( 1 + 2) +
2
0
1
= 21 2 + 1 2 ( 1 + 2) 0[ ( +
2
2 1 2
) 1] + +
4 0
1 1
= (1 + 2) 1 2 ( + 0)( 1 + 2) +
2
0 + 2 0
+
4
12( 20 1)
2+4 2
= 0
+4 0 8
2 = 0， 4+12
∴ 12( 20 1)
2 + 4 20 + 4 0 8 = 0恒成立，
20 1 = 0∴ { 2 ，解得 = 1， 4 0 + 4 0 8 = 0
0
∴ (0,1)，
∴存在定点 (0,1)，使得∠ = 2∠ 恒成立．
21.【答案】解：(1)证明：令 ( ) = 2 + + ( ≠ 0)．
设 ( 1, 1)， ( 2, 2)， ( 3, 3)( 1 < 2 < 3)是曲线 = ( )上三个不同的点．
( 2 2 3 3 1)+
( 3 1)
直线 的斜率 1 = = = ( 3 + 1) + ， 3 1 3 1
因为 ′( ) = 2 + ，所以曲线 = ( )在点 处的切线斜率 = ′( 2) = 2 2 + ，
因为直线 与曲线 = ( )在点 处的切线平行，所以 = ，即2 2 + = ( 3 + 1) + ，则2 2 =
3 + 1，故 ( )是“等差函数”．
(2)假设函数 ( ) = ln 为“等差函数”．
因为0 < 1 < 2 < 3，且 1， 2， 3成等差数列，所以 1 + 3 = 2 2．
3
3 1 ln 3 ln
ln
1 直线 的斜率 1 = = = ， 3 1 3 1 3 1
1 1 2
因为 ′( ) = ，所以曲线 = ( )在点 处的切线斜率 = ′( 2) = = ， 2 3+ 1
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3
+ +1
因为直线 与曲线 = ( )在点 处的切线平行，所以 3 1 3 1 3 = ，整理得2 = ln = ln ，令 3 1 1 3 1 11

= 3 > 1，即( + 1)ln 2( 1) = 0．
1
+1 1
令 ( ) = ( + 1)ln 2( 1)( > 1)，则 ′( ) = ln + 2 = ln + 1．

1 1 1 1
令 ( ) = ln + 1( > 1)，则 ′( ) = 2 = 2 > 0，故 ( )在(1, +∞)上单调递增，
( ) > (1) = 0，即 ′( ) > 0，则 ( )在(1, +∞)上单调递增， ( ) > (1) = 0．
故当 > 1时，( + 1)ln 2( 1) > 0，即( + 1)ln 2( 1) = 0无解，
故函数 ( ) = ln 不是“等差函数”．
(3)假设函数 ( ) = ln 为“等比函数”．
因为0 < 1 < 2 < 3，且 1， 2， 3成等比数列，
设公比为 ( > 1)，所以 2 = 1 ， 3 =
2
1 ，
3 1 ln
2
3 3 1ln 1 (ln +2ln ) ln 2
2ln
直线 的斜率 = = =
1 1 = ln
2 1 1
+
2
3 1 3 1 1
因为 ′( ) = ln + 1，所以曲线 = ( )在点 处的切线斜率 = ′( 2) = ln 2 + 1 = ln 1 + ln + 1，
因为直线 与曲线 = ( )在点 处的切线平行，
2 1
所以 = ，整理得ln 2 = 0． +1
2
2
1 1 4 ( 2 1)
令 ( ) = ln ( > 1)，则 ′( ) = = ≥ 0，
2+1 2 2( 2+1) ( 2+1)
2 1
所以 ( ) = ln 2 在(1, +∞)上单调递增，所以 ( ) > (1) = 0， +1
2 1
所以ln 2 = 0在 > 1时无实数解，所以函数 ( ) = ln 不是“等比函数”． +1
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