中小学教育资源及组卷应用平台
北师大版数学九年级下学期第一次月考
综合能力测评卷
（考试时间：120分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下列各式中，y是x的二次函数的是（ ）
A．y=ax2+bx+c B．x2+y﹣2=0 C．y2﹣ax=﹣2 D．x2﹣y2+1=0
2．△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，以点C为圆心，CA为半径的圆与AB、BC分别交于点E、D，则AE的长为( )
A． B． C． D．
3．如图，四边形是的内接四边形，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
4．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，其对称轴为直线x＝﹣，且与x轴的一个交点坐标为（﹣2，0）．下列结论：①abc＞0；②a＝b；③2a+c＝0；④关于x的一元二次方程ax2+bx+c﹣1＝0有两个相等的实数根．其中正确结论的序号是（ ）
A．①③ B．②④ C．③④ D．②③
5．如图，分别与相切于两点，，则( )
A． B． C． D．
6．在半径等于5 cm的圆内有长为 cm的弦，则此弦所对的圆周角为（ ）
A．60° B．120° C．60°或120° D．30°或120°
7．sin58°、cos58°、cos28°的大小关系是（ ）
A．cos28°＜cos58°＜sin58° B．sin58°＜cos28°＜cos58°
C．cos58°＜sin58°＜cos28° D．sin58°＜cos58°＜cos28°
8．抛物线y=﹣x2+2kx+2与x轴交点的个数为（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．以上都不对
9．如图，顶点为的抛物线经过点，则下列结论中正确的是（ ）
A．
B．若点都在抛物线上，则
C．当时，y随x的增大而减小
D．关于x的一元二次方程有两个不等的实数根
10．若A，B为圆O上两个点，当A，B两点间优弧所对的圆周角为110°时，则圆O在A，B两点处的两条切线相交形成的锐角为（ ）
A．30° B．40° C．50° D．70°
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．将一个半径为3的圆形纸片，沿着两条半径剪开形成两个扇形，若其中的一个扇形的面积是6π， 则另一个扇形的圆心角的度数是 .
12．如图，在平面直角坐标系中，点在第二象限，以为顶点的抛物线经过原点，与轴负半轴交于点，点在抛物线上，且位于点、之间（不与、重合）.若四边形的周长为14，的周长大于8，则的取值范围为 ．
13．一个口袋中有红球、白球共10个，这些球除颜色外都相同，将口袋中的球搅拌均匀，从中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回口袋中，不断重复这一过程，共摸了100次球，发现有30次摸到白球，估计这个口袋中有 个红球.
14．二次函数 的图像向上平移5个单位长度后，再向右平移2个单位长度得到的图像.
15．在Rt△ABC中，∠C=90°，如果3a=b，那么sinA=
16．如图，点A、B、C在⊙O上，弦AC与半径OB互相平分，那么∠OAC的度数为 度.
三、综合题(本大题有9个小题，每小题8分，共72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．如图，⊙O是△ABC的外接圆，连接OA，过点C作一条射线CD．
（1）请从以下条件中：①CD∥AO，∠ABC=45°；②∠BCD=∠BAC；③CB平分∠ACD．选择一组能证明CD是⊙O的切线的条件，并写出证明过程；
（2）若OA=2，∠OAB=22.5°，AB=CB，求的长度．(结果保留π)
18．小红和父母计划寒假期间从A、B、C、D 四个景点中随机选择景点游玩.
（1）若小红一家从中随机选择一个景点游玩，则选中C景点的概率为 ；
（2）若小红一家从中随机选择两个景点游玩，求选中A、C两个景点的概率.
19．如图，是⊙O的直径，弦，垂足为H，E为上一点，过点E作⊙O的切线，分别交的延长线于点F，G，连接，交于点P.
（1）求证：；
（2）连接，若，求的长.
20．如图，在某海域内有一小岛P，在以P为圆心，半径 为 海里的圆形海域内有暗礁，一轮船自东向西航行，它在A处测得小岛P位于北偏西45°的方向上，当这艘轮船行驶4海里后到达B地，此时观测小岛P位于B地北偏西30°的方向上.
（1）求A、P之间的距离（结果精确到0.1海里，参考数据： ， ）
（2）该轮船由B地继续向西行驶 海里到达C地，此时观测小岛P位于C地北偏西15°的方向上，同时接到总部通知，由于突发状况，该轮船必须驶离东西航线并沿北偏西某航向行驶，那么该轮船由C处开始沿北偏西至少多少度的方向航行才能避开小岛P周围的暗礁安全通过这一海域？
21．如图，山坡上有一颗大树AB与水平面EF垂直，海啸过后，大树被刮倾斜后折断倒在山坡上，树的顶部D恰好接触到坡面AE.已知山坡的坡角∠AEF＝24°，测得树干的倾斜角∠BAC＝39°，大树被折断部分CD和坡面的夹角∠ADC＝60°，AD＝4米.
（1）求∠DAC的度数；
（2）求这棵大树折断前高是多少米？（结果精确到个位）（≈1.4，，≈2.4 ）
22．已知函数y=（m2﹣m）x2+mx﹣2（m为常数），根据下列条件求m的值：
（1）y是x的一次函数；
（2）y是x的二次函数．
23．如图在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，二次函数y=x2+bx+c的图象经过点A（3，0）、点B（0，3），顶点为M．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）求∠OBM的正切值．
24．农场有100棵果树，每一棵树平均结600个果子．现准备多种一些果树以提高产量，根据经验估计，每多种一棵果树，平均每棵树就会少结5个果子．假设果园增种x棵果树，果子总产量为y个．
（1）增种多少棵果树，可以使果园的总产量最多？最多为多少？
（2）增种多少棵果树，可以使果子的总产量在60400个以上？
25．已知圆O的直径AB=12，点C是圆上一点，且∠ABC=30°，点P是弦BC上一动点，过点P作PD⊥OP交圆O于点D．
（1）如图1，当PD∥AB 时，求PD的长；
（2）如图2，当BP平分∠OPD时，求PC的长．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
北师大版数学九年级下学期第一次月考
综合能力测评卷
（考试时间：120分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下列各式中，y是x的二次函数的是（ ）
A．y=ax2+bx+c B．x2+y﹣2=0 C．y2﹣ax=﹣2 D．x2﹣y2+1=0
【答案】B
【解析】【解答】解：A、y=ax2+bx+c，应说明a≠0，故此选项错误；
B、x2+y﹣2=0可变为y=﹣x2+2，是二次函数，故此选项正确；
C、y2﹣ax=﹣2不是二次函数，故此选项错误；
D、x2﹣y2+1=0不是二次函数，故此选项错误；
故选：B．
【分析】利用二次函数的定义：一般地，形如y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数解答．
2．△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，以点C为圆心，CA为半径的圆与AB、BC分别交于点E、D，则AE的长为( )
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，
∴AB==5．
过C作CM⊥AB，交AB于点M，如图所示，
由垂径定理可得：AM=EM，
∵S△ABC=AC BC=AB CM，且AC=3，BC=4，AB=5，
∴CM=，
在Rt△ACM中，根据勾股定理得：AC2=AM2+CM2，
即9=AM2+（）2，
解得：AM=，
∴AE=2AM=．
故答案为：C．
【分析】在Rt△ABC中，由勾股定理可求得AB的长；过C作CM⊥AB，交AB于点M，由垂径定理可得M为AE的中点，根据直角三角形ABC的面积可得关于CM的方程，解方程求出CM的值；在Rt△ACM中，用勾股定理求得AM的长，然后 由垂径定理得AE=2AM可求解．
3．如图，四边形是的内接四边形，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵四边形是的内接四边形，
∴，
故选：B.
【分析】本题考查圆内接四边形的性质，圆周角定理.先利用圆周角定理可得：，再根据圆内接四边形的性质可得：，代入数据进行计算可求出的度数．
4．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，其对称轴为直线x＝﹣，且与x轴的一个交点坐标为（﹣2，0）．下列结论：①abc＞0；②a＝b；③2a+c＝0；④关于x的一元二次方程ax2+bx+c﹣1＝0有两个相等的实数根．其中正确结论的序号是（ ）
A．①③ B．②④ C．③④ D．②③
【答案】D
【解析】【解答】解：①由图可知：a＞0，c＜0，＜0，
∴b＞0，
∴abc＜0，故①不符合题意．
②由题意可知：＝，
∴b＝a，故②符合题意．
③将（﹣2，0）代入y＝ax2+bx+c，
∴4a﹣2b+c＝0，
∵a＝b，
∴2a+c＝0，故③符合题意．
④由图象可知：二次函数y＝ax2+bx+c的最小值小于0，
令y＝1代入y＝ax2+bx+c，
∴ax2+bx+c＝1有两个不相同的解，故④不符合题意．
故答案为：D．
【分析】根据二次函数的图象，性质与系数的关系即可求出答案.
5．如图，分别与相切于两点，，则( )
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：连接OA、OB，
∵直线PA、PB分别与⊙O相切于点A、B，
∴OA⊥PA，OB⊥PB，
∵∠P=72°，
∴∠AOB=108°，
∵C是⊙O上一点，
∴∠ACB=54°．
故答案为：C．
【分析】连接OA、OB，根据切线的性质定理，结合四边形AOBP的内角和为360°，即可推出∠AOB的度数，然后根据圆周角定理，即可推出∠C的度数．
6．在半径等于5 cm的圆内有长为 cm的弦，则此弦所对的圆周角为（ ）
A．60° B．120° C．60°或120° D．30°或120°
【答案】C
【解析】【解答】解：如图所示，
∵OD⊥AB，
∴D为AB的中点，即AD=BD= ，
在Rt△AOD中，OA=5，AD= ，
∴sin∠AOD= ，
又∵∠AOD为锐角，
∴∠AOD=60°，
∴∠AOB=120°，
∴∠ACB= ∠AOB=60°，
又∵圆内接四边形AEBC对角互补，
∴∠AEB=120°，
则此弦所对的圆周角为60°或120°．
故答案为：C．
【分析】根据题意画出相应的图形，由OD⊥AB，利用垂径定理得到D为AB的中点，由AB的长求出AD与BD的长，且得出OD为角平分线，在Rt△AOD中，利用锐角三角形函数定义及特殊的三角函数值求出∠AOD的度数，进而确定出∠AOB的度数，利用同弧所对的圆心角等于所对圆周角的2倍，即可求出弦AB所对圆周角的度数。
7．sin58°、cos58°、cos28°的大小关系是（ ）
A．cos28°＜cos58°＜sin58° B．sin58°＜cos28°＜cos58°
C．cos58°＜sin58°＜cos28° D．sin58°＜cos58°＜cos28°
【答案】C
【解析】【解答】解：sin58°=cos32°．
∵58°＞32°＞28°，
∴cos58°＜cos32°＜cos28°，
∴cos58°＜sin58°＜cos28°．
故选C．
【分析】先把正弦化成余弦，然后根据锐角三角函数值的变化规律：锐角余弦值随着角度的增大而减小进行排列大小．
8．抛物线y=﹣x2+2kx+2与x轴交点的个数为（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．以上都不对
【答案】C
【解析】【解答】解：当与x轴相交时，函数值为0．
0=﹣x2+2kx+2，
△=b2﹣4ac=4k2+8＞0，
∴方程有2个不相等的实数根，
∴抛物线y=﹣x2+2kx+2与x轴交点的个数为2个，
故选C．
【分析】让函数值为0，得到一元二次方程，根据根的判别式判断有几个解就有与x轴有几个交点．
9．如图，顶点为的抛物线经过点，则下列结论中正确的是（ ）
A．
B．若点都在抛物线上，则
C．当时，y随x的增大而减小
D．关于x的一元二次方程有两个不等的实数根
【答案】C
【解析】【解答】解：A、图象与x轴有两个交点，方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根，b2-4ac＞0，故A选项不符合题意；
B、抛物线的对称轴为直线x=-3，因为-2离对称轴的距离等于-4离对称轴的距离，所以m=n，故B选项不符合题意；
C、顶点为（-3，-6），则对称轴为直线x=-3，抛物线开口向上，则当x＜-3时，y随x的增大而减小，故C选项符合题意；
D、由抛物线开口向上及顶点为（-3，-6）可知，此函数的最小值为-6，则ax2+bx+c=-7（a≠0）没有实数根，故D选项不符合题意.
故答案为：C.
【分析】由抛物线与x轴有两个交点则可对A进行判断；根据抛物线上的点离对称轴的远近，则可对B进行判断；由抛物线的增减性可直接判断C选项；根据二次函数的最值可对D进行判断．
10．若A，B为圆O上两个点，当A，B两点间优弧所对的圆周角为110°时，则圆O在A，B两点处的两条切线相交形成的锐角为（ ）
A．30° B．40° C．50° D．70°
【答案】B
【解析】【解答】解：如图：连接OA、OB，
∵A，B两点间优弧所对的圆周角为110°，
∴优弧AB的度数为，
∴劣弧AB的度数为，
，
∵PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点，
∴OA⊥PA，OB⊥PB，
∴∠OAP=∠OBP=90°，
∴∠P=360° ∠OAP-∠OBP-∠AOB=360° 90°-90°-140°=40°.
故答案为：B.
【分析】连接OA、OB，由题意可得优弧AB的度数为220°，劣弧AB的度数为140°，则∠AOB=140°，根据切线的性质可得∠OAP=∠OBP=90°，然后根据四边形内角和为360°进行计算.
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．将一个半径为3的圆形纸片，沿着两条半径剪开形成两个扇形，若其中的一个扇形的面积是6π， 则另一个扇形的圆心角的度数是 .
【答案】120°
【解析】【解答】解：由题知：
解得：n=240
则另一个圆心角为：120°
故答案为：120°
【分析】先根据扇形公式求出圆心角的度数，进而可求出另外一个扇形圆心角度数。
12．如图，在平面直角坐标系中，点在第二象限，以为顶点的抛物线经过原点，与轴负半轴交于点，点在抛物线上，且位于点、之间（不与、重合）.若四边形的周长为14，的周长大于8，则的取值范围为 ．
【答案】
【解析】【解答】解：∵以A为顶点的抛物线经过原点，
∴，，
∵点B在x轴负半轴，
∴，
由题意得：，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵点A在第二象限，
∴，
∴，
故答案为：
【分析】先根据二次函数的图象与性质得到，，进而得到，由题意得，，再结合题意进行运算即可求出h的取值范围。
13．一个口袋中有红球、白球共10个，这些球除颜色外都相同，将口袋中的球搅拌均匀，从中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回口袋中，不断重复这一过程，共摸了100次球，发现有30次摸到白球，估计这个口袋中有 个红球.
【答案】7
【解析】【解答】解：设这个口袋中有x个红球，则有(10-x)个白球.由题意得：
解得：x=7.
故答案为：7.
【分析】利用频率估计概率，根据概率公式可得方程，求解方程即可.
14．二次函数 的图像向上平移5个单位长度后，再向右平移2个单位长度得到的图像.
【答案】
【解析】【解答】解：由题意可得：
向左平移两个单位得到：，再向下平移5个单位得到：
故答案为：
【分析】根据平移的性质：上加下减（对y），左加右减（对x），即可求出答案.
15．在Rt△ABC中，∠C=90°，如果3a=b，那么sinA=
【答案】
【解析】【解答】解：∵3a=b，
∴=；
令a=，
则b=3；c==2．
∴sinA==．
【分析】根据特殊角的三角函数值计算．
16．如图，点A、B、C在⊙O上，弦AC与半径OB互相平分，那么∠OAC的度数为 度.
【答案】30
【解析】【解答】解：∵弦AC与半径OB互相平分，
∴OA＝AB，
∵OA＝OC，
∴△OAB是等边三角形，
∴∠AOB＝60°，
∴∠AOC＝120°，
∴∠OAC＝∠OCA＝30°，
故答案为30.
【分析】根据垂径定理可得OA＝AB，结合等边三角形的性质即可求出∠OAC的度数.
三、综合题(本大题有9个小题，每小题8分，共72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．如图，⊙O是△ABC的外接圆，连接OA，过点C作一条射线CD．
（1）请从以下条件中：①CD∥AO，∠ABC=45°；②∠BCD=∠BAC；③CB平分∠ACD．选择一组能证明CD是⊙O的切线的条件，并写出证明过程；
（2）若OA=2，∠OAB=22.5°，AB=CB，求的长度．(结果保留π)
【答案】（1）证明：选择①CD∥AO，∠ABC＝45°，
连接OC，则∠AOC＝2∠ABC＝90°，即OC⊥OA，
∵CD∥AO，
∴OC⊥CD，
∵OC是半径，
∴CD是⊙O的切线；
（2）解：连接OB，
∵AB＝CB，OB＝OB，OA＝OC，
∴△AOB≌△COB（SSS），
∴∠ABO＝∠CBO＝∠OAB＝22.5°，∠BOC＝∠AOB＝180°-22.5°-22.5°＝135°，
∴的长度：
【解析】【解答】（1）证明：选择①CD∥AO，∠ABC＝45°，
连接OC，则∠AOC＝2∠ABC＝90°，即OC⊥OA，
∵CD∥AO，
∴OC⊥CD，
∵OC是半径，
∴CD是⊙O的切线；
（2）解：连接OB，
∵AB＝CB，OB＝OB，OA＝OC，
∴△AOB≌△COB（SSS），
∴∠ABO＝∠CBO＝∠OAB＝22.5°，∠BOC＝∠AOB＝180°-22.5°-22.5°＝135°，
∴的长度：
【分析】（1）选择①，利用圆周角定理，平行线的性质得出OC⊥CD即可；
（2）求出弧BC所对圆心角的度数，利用弧长公式进行计算即可．
18．小红和父母计划寒假期间从A、B、C、D 四个景点中随机选择景点游玩.
（1）若小红一家从中随机选择一个景点游玩，则选中C景点的概率为 ；
（2）若小红一家从中随机选择两个景点游玩，求选中A、C两个景点的概率.
【答案】（1）
（2）解：用表格列出所有可能的结果：
A B C D
A （A，B） （A，C） （A，D）
B （B，A） （B，C） （B，D）
C （C，A） （C，B） （C，B）
D （D，A） （D，B） （D，C）
共有12种等可能结果，其中选中A、C两个景点的结果有2种，
故答案为：中A、C两个景点的概率为.
【解析】【解答】解：（1）∵共有4个风景名胜区，
∴选中C的概率为；
故答案为：；
【分析】（1）直接利用概率公式计算即可；
（2）此题是抽取不放回类型，根据题意画出树状图，由图可知， 共有12种等可能结果，其中选中A、C两个景点的结果有2种， 从而利用概率公式计算即可.
19．如图，是⊙O的直径，弦，垂足为H，E为上一点，过点E作⊙O的切线，分别交的延长线于点F，G，连接，交于点P.
（1）求证：；
（2）连接，若，求的长.
【答案】（1）证明：连接，
∵是的切线，
∴，
∴，
∴.
∵于，
∴，
∴.
∵，
∴，
∴.
∵，
∴，
∴.
（2）解：连接，设的半径为r，
∴直径于，，
∴.
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴.
∵在中，，
∴，
∴.
∵，
∴，
∴.
设OE=4x，OG=5x，则EG==3x，
∴，
∴.
【解析】【分析】（1）连接OE，根据切线的性质可得OE⊥EF，由等腰三角形的性质可得∠OAE=∠OEA，结合等角的余角相等可得∠AEF=∠APH，结合对顶角的性质可得∠EPF=∠AEF，据此证明；
（2）连接OD，设半径为r，由垂径定理可得CH=DH=4，由平行线的性质可得∠ADH=∠F，结合三角函数的概念可得AD，然后求出AH、OH，在Rt△DOH中，由勾股定理可得r的值，根据同角的余角相等可得∠GOE=∠F，根据勾股定理表示出EG，然后根据三角函数的概念进行计算.
20．如图，在某海域内有一小岛P，在以P为圆心，半径 为 海里的圆形海域内有暗礁，一轮船自东向西航行，它在A处测得小岛P位于北偏西45°的方向上，当这艘轮船行驶4海里后到达B地，此时观测小岛P位于B地北偏西30°的方向上.
（1）求A、P之间的距离（结果精确到0.1海里，参考数据： ， ）
（2）该轮船由B地继续向西行驶 海里到达C地，此时观测小岛P位于C地北偏西15°的方向上，同时接到总部通知，由于突发状况，该轮船必须驶离东西航线并沿北偏西某航向行驶，那么该轮船由C处开始沿北偏西至少多少度的方向航行才能避开小岛P周围的暗礁安全通过这一海域？
【答案】（1）解：如图所示，过点P作PD⊥AC于D，
由题意得：∠PAD=45°，∠PBD=60°，AB=4海里，
∴∠DPA=∠PAD=45°，
∴PD=AD，
设PD=AD=x海里，则 海里，
∵ ，
∴ ，
解得 ，
经检验 是原方程的解.
∴ 海里；
（2）解：如图所示，设轮船的新航向为射线CH的方向，过点P作PE⊥CH于E，连接PC，
∵要使轮船安全通过，
∴ 海里，
由（1）得 海里，
∴ 海里，
∴ 海里，
∴ ，
∴∠PCE=60°，
∴该轮船由C处开始沿北偏西至少60°+15°=75°的方向航行才能避开小岛P周围的暗礁安全通过这一海域.
【解析】【分析】（1）过点P作PD⊥AC于D，求出∠PAD=45°， ∠PBD=60°，AB=4海里，则可得出PD=AD，设PD=AD=x海里，则BD=(x-4)海里 ，根据 建立方程求解，最后在Rt△PAD中，解直角三角形求出PA长即可；
（2）设轮船的新航向为射线CH的方向，过点P作PE⊥CH于E，连接PC要使轮船安全通过，则 海里 ，由（1）得PD长，再求出CD长，根据勾股定理求出PC长，最后根据三角函数的定义求解即可.
21．如图，山坡上有一颗大树AB与水平面EF垂直，海啸过后，大树被刮倾斜后折断倒在山坡上，树的顶部D恰好接触到坡面AE.已知山坡的坡角∠AEF＝24°，测得树干的倾斜角∠BAC＝39°，大树被折断部分CD和坡面的夹角∠ADC＝60°，AD＝4米.
（1）求∠DAC的度数；
（2）求这棵大树折断前高是多少米？（结果精确到个位）（≈1.4，，≈2.4 ）
【答案】（1）解：延长BA交EF于点G，则BG⊥EF，
在Rt△AGE中，∠E=24°，
∴∠GAE=90°－24°=66°，
∵∠BAC=39°，
∴∠DAC=180°-66°-39°=75°；
（2）解：过点A作AH⊥CD，垂足为H，
在Rt△ADH中，∠ADH=60°，AD=4，则∠DAH=30°，
∴DH=2，
∵sin∠ADH
∴AH=，
在Rt△ACH中，∠C=180°-75°-60°=45°，
∴CH=AH=，
∴AC=AH =，
∴AB=AC+CD=++2≈10（米）.
答：这棵大树折断前高约10米.
【解析】【分析】（1）延长BA交EF于点G，则BG⊥EF，易得∠GAE=90°－AEF=66°，然后根据平角的概念进行计算；
（2）过点A作AH⊥CD，垂足为H，根据含30°角的直角三角形的性质可得AD=2DH=4，则DH=2，根据三角函数的概念可得AH，利用内角和定理可得∠C=45°，则CH=AH=，AC=AH =，然后根据AB=AC+CD进行计算.
22．已知函数y=（m2﹣m）x2+mx﹣2（m为常数），根据下列条件求m的值：
（1）y是x的一次函数；
（2）y是x的二次函数．
【答案】（1）解：y是x的一次函数，则可以知道，m2﹣m=1，解之得：m=1，或m=0，又因为m≠0，所以，m=1．
（2）解：y是x的二次函数，只需m2﹣m≠0，
∴m≠1和m≠0．
【解析】【分析】（1）由y是x的一次函数，可得二次项的系数=0，一次项的系数≠0，建立关于m的方程和不等式，就可求出符合题意的m的值。
（2）由已知y是x的二次函数，可知二次项的系数不等于0，建立关于m的不等式求解即可。
23．如图在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，二次函数y=x2+bx+c的图象经过点A（3，0）、点B（0，3），顶点为M．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）求∠OBM的正切值．
【答案】（1）解：把A（3，0）、B（0，3）代入y=x2+bx+c得： ，
解得： ，所以y=x2﹣4x+3；
（2）解：作MH⊥y轴于H，如图，
∵y=x2﹣4x+3=（x﹣2）2﹣1，∴M（2，﹣1）．
∵MH⊥y轴，∴H（0，﹣1）．
在Rt△BMH中，tan∠HBM= = ，即∠OBM的正切值为 ．
【解析】【分析】 （1）将点A，B的坐标分别代入 y=x2+bx+c 列出关于b，c的二元一次方程组，求解算出b，c的值，从而求出抛物线的解析式；
（2） 作MH⊥y轴于H，如图， 将抛物线的解析式配成顶点式，求出M点的坐标，根据带你的坐标与图形的性质得出点H的坐标， 在Rt△BMH中 ，根据正切函数的定义即可得出答案。
24．农场有100棵果树，每一棵树平均结600个果子．现准备多种一些果树以提高产量，根据经验估计，每多种一棵果树，平均每棵树就会少结5个果子．假设果园增种x棵果树，果子总产量为y个．
（1）增种多少棵果树，可以使果园的总产量最多？最多为多少？
（2）增种多少棵果树，可以使果子的总产量在60400个以上？
【答案】（1）解：果园果子的总产量y=(100+x)(600－5x)= －5(x－10)2+60500，
故当增种10棵果树时，可以使果园的总产量最多，最多为60500个．
（2）解：由题意可知，当－5(x－10)2+60500=60400时，
，5.5∵抛物线对称轴为直线x=10，
∴增种6到14棵橙子树时，可以使果园橙子的总产量在60400个以上．
所以增种6、7、8、9、10、11、12、13、14棵果树，都可以使果子总产量在60400个以上
【解析】【分析】（1）根据题意设增种x棵树，就可求出每棵树的产量，然后求出总产量y，再配方即可求解； (2) 根据函数关系式y=-5x2+100x+60000=60400，结合一元二次方程解法得出即可．
25．已知圆O的直径AB=12，点C是圆上一点，且∠ABC=30°，点P是弦BC上一动点，过点P作PD⊥OP交圆O于点D．
（1）如图1，当PD∥AB 时，求PD的长；
（2）如图2，当BP平分∠OPD时，求PC的长．
【答案】（1）解：如图1，连接OD .
∵直径AB=12
∴OB=OD=6
∵PD⊥OP
∴∠DPO=90°
∵PD∥AB
∴∠DPO+∠POB=180°
∴∠POB=90°
又∵∠ABC=30°，OB=6
∴ ，
∵在Rt△POD 中，PO2+PD2=OD2
∴ ，
∴ ；
（2）解：如图2，过点O 作OH⊥BC，垂足为H
∵OH⊥BC
∴∠OHB=∠OHP=90°
∵∠ABC=30°，OB=6
∴ ， ，
∵在⊙O 中，OH⊥BC
∴ .
∵BP 平分∠OPD
∴∠BPO= ∠DPO=45°，
∴PH=OH cot45°=3
∴PC=CH-PH=
【解析】【分析】（1）先判断出∠POB=90°，进而求出OP＝OB tan30°＝2 最后用勾股定理即可得出结论；（2）先求出OH＝ OB＝3，BH＝OB cos30°＝3 ，进而求出CH＝BH＝3 ，即可得出结论．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)
