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苏科版数学九年级下学期第一次月考
复习闯关卷
（考试时间：120分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．关于x的二次函数y=mx2-（2m-1）x-2（m≠0），甲同学认为：若m＜0，则当x≤1时，y随x的增大而增大．乙同学认为：若该二次函数的图象在x轴上截得的线段长为3，则m的值是1或，以下 对两位同学的看法判断正确的是（ ）
A．甲、乙都错误 B．甲、乙都正确
C．甲正确、乙错误 D．甲错误、乙正确
2．爬坡时坡面与水平面夹角为，则每爬耗能，若某人爬了，该坡角为，则他耗能 （参考数据：，
A． B． C． D．
3．抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数）的对称轴为x＝﹣2，过点（1，﹣2）和点（x0，y0），且c＞0．有下列结论：①a＜0；②对任意实数m都有：am2+bm≥4a﹣2b；③16a+c＞4b；④若x0＞﹣4，则y0＞c．其中正确结论的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．如图，在中，为上一点，连接，且交于点，，则（ ）
A．2：5 B．2：3 C．3：5 D．
5．若函数y=x2-2x+b的图象与坐标轴有三个交点，则b的取值范围是（ ）
A．b<1且b≠0 B．b>1 C．06．如图，抛物线的顶点坐标为下列结论：；；关于的一元二次方程有两个不相等实数根；抛物线上有两点和，若，且，则其中正确的结论共有( )
A．个 B．个 C．个 D．个
7．如图，在边长为4的正方形中，点E、F分别是、的中点，、交于点G，的中点为H，连接、．给出下列结论：①；②；③；④与相似．其中正确的结论有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
8．若菱形的周长为16，高为2，则菱形两邻角的度数之比为（ ）
A．4∶1 B．5∶1 C．6∶1 D．7∶1
9．已知二次函数的与的部分对应值如下表，则下列判断中错误的是（ ）
… 0 2 3 4 …
… 5 0 0 …
A．抛物线开口向上
B．抛物线的对称轴是直线
C．当时，
D．若，是图象上两点，则
10．如图，点D，E分别在的边AB，AC上，且，若，，则（ ）
A．4.5 B．6 C．8 D．9
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．如图，在等边三角形中，分别是边上的点，将沿折叠，点恰好落在边上的点处，若，则为 （用含m的式子表示）．
12．抛物线y=ax2+2ax+c经过点A（-3，0），则关于x的一元二次方程ax2+2ax+c=0的解是
13．布袋中装有3个红球和6个白球，它们除颜色外其他都相同，如果从布袋里随机摸出一个球，那么所摸到的球恰好为红球的概率是 ．
14．如图，在中，，AD平分，点E在AD上，射线BE交AC于点F．若，，则AF的长是 ．
15． 如图，在平面直角坐标系中，二次函数交x轴于A、B两点，交y轴于点C．将直线绕点A逆时针旋转得到直线l，点E为直线l上一点，且，连接，则 ．
16．对某一个函数给出如下定义：若存在实数，对于任意的函数值y，都满足，则称这个函数是有界函数，在所有满足条件的m中，其最小值称为这个函数的边界值．例如，如图中的函数是有界函数，其边界值是1．将二次函数（，）的图象向上平移t个单位，得到的函数的边界值n满足时，则t的取值范围是 ．
三、综合题(本大题有9个小题，每小题8分，共72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．如图，将矩形ABCD沿AF折叠，使点D落在BC边的点E处，过点E作EG//CD
交AF于点G，连接DG.
（1）求证：四边形EFDG是菱形，
（2）若GF=2， AG=3，求EG的长.
18．如图，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，点D为AB边上一点，连结CD，过D作DE⊥AB交AC于E.
（1）求证：△ADE∽△ACB；
（2）若CD=CB，，求.
19．如图所示，的顶点、在⊙上，顶点在⊙外，边与⊙相交于点，，连接、，已知.
（1）求证：直线是⊙的切线；
（2）若线段与线段相交于点，连接.
①求证：；
②若，求⊙的半径的长度.
20．2022年4月15日是第七个全民国家安全教育日，某校七，八年举行了一次国家安全知识竞赛，经过评比后，七年级的两名学生（用，表示）和八年级的两名学生（用，表示）获得优秀奖.
（1）从获得优秀奖的学生中随机抽取一名分享经验，恰好抽到七年级学生的概率是 .
（2）从获得优秀奖的学生中随机抽取两名分享经验，请用列表法或画树状图法，求抽取的两名学生恰好一名来自七年级、一名来自八年级的概率.
21．如图，是的直径，C是上一点，P是的延长线上一点，且.
（1）判断直线与的位置关系，并说明理由；
（2）若的半径为3，，求图中阴影部分的面积.
22．如图1，是上的四个点，是的中点．
（1）若，判断的形状，并证明你的结论；
（2）如图2，若是的直径，交于点，过点的切线交的延长线于点，若，求的值．
23．如图，抛物线.与x轴交于A，B两点，与y轴交于直线经过点A且与抛物线交于另一点D.
（1）求抛物线的解析式；
（2）若P是位于直线上方的抛物线上的一个动点，连接，求的面积的最大值.
24．农经公司以30元 千克的价格收购一批农产品进行销售，为了得到日销售量 千克 与销售价格 元千克 之间的关系，经过市场调查获得部分数据如下表：
销售价格 元 千克 30 35 40 45 60
日销售量 千克 600 450 300 150 0
（1）请你根据表中的数据，用所学过的一次函数、二次函数、反比例函数的知识确定 与 之间的函数表达式；
（2）农经公司应该如何确定这批农产品的销售价格，才能使日销售利润最大？
25．如图，AB是⊙O的直径，AD平分∠BAC，点C，D在⊙O上，过点D作DE⊥AC，交AC的延长线于点E．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若，，求AD的长．
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苏科版数学九年级下学期第一次月考
复习闯关卷
（考试时间：120分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．关于x的二次函数y=mx2-（2m-1）x-2（m≠0），甲同学认为：若m＜0，则当x≤1时，y随x的增大而增大．乙同学认为：若该二次函数的图象在x轴上截得的线段长为3，则m的值是1或，以下 对两位同学的看法判断正确的是（ ）
A．甲、乙都错误 B．甲、乙都正确
C．甲正确、乙错误 D．甲错误、乙正确
【答案】B
【解析】【解答】解：，
抛物线对称轴为直线x=，
当m＜0时，＞1，
∴当x≤1时，y随x的增大而增大，故甲说法正确；
设二次函数图象与x轴的交点的横坐标为m、n，
则关于x方程为的两个根为m、n，
∴m+n=，mn=，
由题意知：，
∴（m-n）2=9，则(m+n)2-4mn=9，
∴（）2+4×（）=9，
整理得：5m2-4m-1=0，
解得m=1或m=，故乙说法正确.
故答案为：B.
【分析】先求出抛物线对称轴为直线x=，根据m＜0，则＞1，由函数的性质可判断甲正确；设二次函数图象与x轴的交点的横坐标为m、n，根据所截得的线段为3，则，从而得出(m+n)2-4mn=9，再利用根与系数的关系得出m+n=，mn=，再代入得出关于m方程并解之即可.
2．爬坡时坡面与水平面夹角为，则每爬耗能，若某人爬了，该坡角为，则他耗能 （参考数据：，
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：由题意得：某人爬了，该坡角为，则他耗能为：
故答案为：B.
【分析】根据题意得到爬了，该坡角为，则他耗能为：，进行计算即可.
3．抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数）的对称轴为x＝﹣2，过点（1，﹣2）和点（x0，y0），且c＞0．有下列结论：①a＜0；②对任意实数m都有：am2+bm≥4a﹣2b；③16a+c＞4b；④若x0＞﹣4，则y0＞c．其中正确结论的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【解析】【解答】解：∵该抛物线的对称轴为直线x=-2，过点（1，-2），且c>0.
∴该抛物线开口向下，则a<0，故①正确，
∵抛物线开口向下，对称轴为x=-2，
∴该函数的最大值为当x=-2时y的值，即y=4a-2b+c
∴对任意实数m都有，即故②错误；
∵该函数的对称轴为直线x=-2，c>0.
∴当x=-4时，y>0，
∴16a-4b+c>0，即 16a+c＞4b，故③正确；
∵该函数对称轴为直线x=-2，点（0，c）的对称点为（-4，c）
又∵该抛物线开口向下
∴若x0＞﹣4 ，则y0故答案为：B.
【分析】本题考查二次函数的图象和性质.根据该二次函数的对称轴为直线x=-2，过点（1，-2），且c>0，据此可判断开口向下，判断出①正确；结合①可知当x=-2时取得最大值，即，化简后可判断②错误；根据二次函数图象的对称性可知当当x=-4时，函数值大于0，据此可判断③正确；根据二次函数图象的对称性可得：点（0，c）的对称点为（-4，c），再结合二次函数的性质可判断④错误.
4．如图，在中，为上一点，连接，且交于点，，则（ ）
A．2：5 B．2：3 C．3：5 D．
【答案】B
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD
∴∠EAB=∠DEF，∠AFB=∠DFE
∴△DEF∽△BAF
∴
∵，
∴DE：AB=2：5
∵AB=CD，
∴DE：EC=2：3
故答案为：B．
【分析】根据平行四边形的性质，结合相似三角形的判定定理，证明△DEF∽△BAF，根据相似三角形的性质求出DE∶AB的值，由AB=CD即可得出结论．
5．若函数y=x2-2x+b的图象与坐标轴有三个交点，则b的取值范围是（ ）
A．b<1且b≠0 B．b>1 C．0【答案】A
【解析】【解答】解：∵函数y=x2-2x+b的图象与坐标轴有三个交点，
∴△=(-2)2-4b>0，且b≠0，
解得，b<1且b≠0.
故答案为：A.
【分析】根据函数y=x2-2x+b的图象与坐标轴有三个交点，列出关于b的不等式求解.
6．如图，抛物线的顶点坐标为下列结论：；；关于的一元二次方程有两个不相等实数根；抛物线上有两点和，若，且，则其中正确的结论共有( )
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】D
【解析】【解答】解：①.∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵顶点坐标（1，n），
∴对称轴为直线x＝1，
∴＝1，
∴b＝﹣2a＞0，c＞0，
∴abc＜0，①正确；
②.∵点A（﹣1，0）关于直线x＝1的对称点为（3，0），
∴9a+3b+c＝0，
∵b＝﹣2a，
∴3a+c＝0，
∴8a+c＝8a-3c＝5a
∴8a+c＜0，②正确，
③.∵顶点坐标（1，n）
∴抛物线x2+bx+c＝n有唯一的解，当y＝n﹣1时，与抛物线有两个交点，③正确，
④.∵x1＜1＜x2，且x1+x2＞2，
∴|x2﹣1|＞|x1﹣1|
∵抛物线开口向下，抛物线关于x＝1对称，
∴x＜1时，y随x的增大而增大，x＞1时，y随x的增大而减小，
∴y1＞y2，④正确，
∴结论正确的是①②③④共4个．
故答案为：D．
【分析】本题考查二次函数、一元二次方程．结合图象，根据抛物线开口方向向下，据此可推出a<0，再根据对称轴为：据此可推出b>0，再根据图象交y轴于正半轴可推出c>0，根据符号法则可判断选项①；根据抛物线对称性可得9a+3b+c＝0，根据抛物线对称轴为：据此可得b＝﹣2a，结合抛物线开口方向的性质，通过计算即可判断②；根据抛物线图像和一元二次方程的根的分布可知：x2+bx+c＝n有唯一的解，当直线y=n向下平移1个单位后，y＝n﹣1与抛物线有两个交点据此可判断③；根据条件可推出|x2﹣1|＞|x1﹣1|，再根据抛物线对称性可推出增减性，根据开口向下离对称轴越远函数值越小，可判断出④；进而选出答案.
7．如图，在边长为4的正方形中，点E、F分别是、的中点，、交于点G，的中点为H，连接、．给出下列结论：①；②；③；④与相似．其中正确的结论有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为正方形，
∴∠ADC=∠BCD=90°，AD=CD=BC=4，
∵ 点E、F分别是、的中点，
∴DF=EC=2，
∴，
∴∠AFD=∠DEC，∠FAD=∠EDC，
∵∠EDC+∠DEC=90°，
∴∠EDC+∠AFD=90°，
∴∠DGF=90°，即DE⊥AF，故①正确；
∵AD=4，DF=2，
∴AF=，
∴DG==，故②错误；
∵H为AF中点，
∴HD=HF=AF=，
∴∠HDF=∠HFD，
∵AB||DC，
∴∠HDF=∠HFD=∠BAG，
∵AG=，AB=4，
∴，
∴△ABG∽△DHF，故④正确；
∴∠ABG=∠DHF，而AB≠AG，
则∠ABG和∠AGB不相等，
故∠AGB≠∠DHF，
故HD与BG不平行，故③错误；
综上所述，①④正确.
故答案为：B.
【分析】由"SAS"可证，，可得∠DAF=∠CDE，∠DFA=∠DEC，由余角的性质可得AF⊥DE，故①正确；由AD=4，DF=2，AF=，即可得出DG=，故②错误；当∠AED=∠DEC时，可证DH||BG，而∠AED不一定等于∠DEC，则DH与BG不一定平行，故③错误；由夹角和对应边成比例，可得△ABG与△DHF相似，故④正确，即可求解.
8．若菱形的周长为16，高为2，则菱形两邻角的度数之比为（ ）
A．4∶1 B．5∶1 C．6∶1 D．7∶1
【答案】B
【解析】【解答】解：如图，AH为菱形ABCD的高，AH＝2，
∵菱形的周长为16，
∴AB＝4，
在Rt△ABH中，sinB＝＝，
∴∠B＝30°，
∵AB∥CD，
∴∠C＝150°，
∴∠C：∠B＝5：1．
故答案为：B．
【分析】如图，AH为菱形ABCD的高，AH＝2，利用菱形的性质得到AB＝4，利用正弦的定义及特殊锐角三角函数值得到∠B＝30°，则∠C＝150°，从而得到∠C：∠B的比值．
9．已知二次函数的与的部分对应值如下表，则下列判断中错误的是（ ）
… 0 2 3 4 …
… 5 0 0 …
A．抛物线开口向上
B．抛物线的对称轴是直线
C．当时，
D．若，是图象上两点，则
【答案】D
【解析】【解答】解：设抛物线解析式为y=ax(x-4)，
把(-1，5)代入得5=a×(-1)×(-1-4)，解得a=1，
∴抛物线解析式为y=x2-4x，开口向上，所以A选项不符合题意；
抛物线的对称轴为直线x=2，所以B选项不符合题意；
∵抛物线与x轴的交点坐标为(0.0)，(4.0)，
∴当0若A(x1，2)，B(x2，3)是图象上两点，则不能判断x1与x2的大小，所以选项D符合题意.
故答案为：D.
【分析】先利用交点式求出抛物线解析式，则可对A进行判断；利用抛物线的对称性可对B进行判断；利用抛物线与x轴的交点坐标为(0，0)，(4，0)可对C进行判断；根据二次函数的增减性可对D进行判断.
10．如图，点D，E分别在的边AB，AC上，且，若，，则（ ）
A．4.5 B．6 C．8 D．9
【答案】D
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∴，
∵，
∴；
故选：D．
【分析】本题考查平行线所截线段成比例.已知，根据平行线分线段成比例可得：，代入数据可求出CE的长度．
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．如图，在等边三角形中，分别是边上的点，将沿折叠，点恰好落在边上的点处，若，则为 （用含m的式子表示）．
【答案】
【解析】【解答】解：是等边三角形，
，
，
由折叠的性质得到，
，
，
，
，
，
设，则，
∴，
∴，可化为，
∴，
∴，
∴，
又∵，即有，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】
本题考查了折叠的性质，等边三角形的性质，三角形内角和定理，三角形相似的判定与性质，根据等边三角形的性质可得，由三角形内角和定理得到，由折叠的性质得到，进而得到，推出，即可证明，得到，分别设，，表示出AB=BC=AC=m+1，通过比例等式转化，得到，进一步化简得到，在通过比例等式转化，得到，继而可表示出，最后算出。
12．抛物线y=ax2+2ax+c经过点A（-3，0），则关于x的一元二次方程ax2+2ax+c=0的解是
【答案】x1= -3，x2=1
【解析】【解答】解：抛物线的对称轴为直线，
∵y=ax2+2ax+c经过点A（-3，0）
∴y=ax2+2ax+c与x轴的另一个交点坐标为（1，0），
关于x的一元二次方程y=ax2+2ax+c的解为x1= -3，x2=1．
故答案为：x1= -3，x2=1.
【分析】先求出抛物线的对称轴，利用抛物线的对称性得到抛物线y=ax2+2ax+c与x轴的另一个交点坐标，然后根据抛物线与x轴的交点问题求解．
13．布袋中装有3个红球和6个白球，它们除颜色外其他都相同，如果从布袋里随机摸出一个球，那么所摸到的球恰好为红球的概率是 ．
【答案】
【解析】【解答】∵一个布袋里装有3个红球和6个白球，
∴摸出一个球摸到红球的概率为：．
【分析】求摸到红球的概率，即用红球除以小球总个数即可得出得到红球的概率．
14．如图，在中，，AD平分，点E在AD上，射线BE交AC于点F．若，，则AF的长是 ．
【答案】2
【解析】【解答】解：如图，取的中点G，连接，
在中，，平分，
点D为中点，
点G为中点，
是的中位线，
，，
，
，
，
，
设，则，
，
点G为中点，
，
，
，即，
，
，
故答案为：2．
【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形中位线的性质．取的中点G，连接，利用三角形中位线的性质可推出，进而证明，根据相似三角形的性质可知：，设，则，根据，可列出方程，解方程可求出x的值，进而求出答案．
15． 如图，在平面直角坐标系中，二次函数交x轴于A、B两点，交y轴于点C．将直线绕点A逆时针旋转得到直线l，点E为直线l上一点，且，连接，则 ．
【答案】
【解析】【解答】 二次函数交x轴于A、B两点，
当y=0时，可得x=-8或x=2，当x=0时。y=4，
A（-8，0），B（2，0），C（0，4），
OC=4，OA=8，
作CF⊥AE与点F，交AE于点F，如图，
可得
EF=
故答案为：.
【分析】根据二次函数的解析式求得点A，B，C的坐标，进而得到AC，的值，再由勾股定理和锐角三角函数的定义即可求解.
16．对某一个函数给出如下定义：若存在实数，对于任意的函数值y，都满足，则称这个函数是有界函数，在所有满足条件的m中，其最小值称为这个函数的边界值．例如，如图中的函数是有界函数，其边界值是1．将二次函数（，）的图象向上平移t个单位，得到的函数的边界值n满足时，则t的取值范围是 ．
【答案】或
【解析】【解答】解：向上平移t个单位后，得到的函数解析式为
分析可知：当x=0时，y最大值为t+1，
当x≤2时，x=-2时，y有最小值t-3，
当x＞2时，x=t时，y有最小值-t2+t+1，
由题意可知：n是函数值绝对值最大时的值，
（I）当x≤2时，
①t+1≥3-t且，
解得，
②当3-t≥t+1且，
解得
（II）当x＞2时，
①t2-t-1≥t+1且
无解；
②t2-t-1＜t+1且，
无解，
故答案为：或．
【分析】本题考查二次函数最大值和最小值的求法．仔细阅读材料理解题意，先求出平移后的函数解析式：，进而求出当x=0时；当x≤2时；当x＞2时；y的最大值和最小值，分析可知n的值就是函数值绝对值最大的值，所以根据函数表达式找出函数值的最大值和最小值，进行分类讨论：当x≤2时；当x＞2时；可列出对应的不等式，解不等式可求出对应t的取值范围．
三、综合题(本大题有9个小题，每小题8分，共72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．如图，将矩形ABCD沿AF折叠，使点D落在BC边的点E处，过点E作EG//CD
交AF于点G，连接DG.
（1）求证：四边形EFDG是菱形，
（2）若GF=2， AG=3，求EG的长.
【答案】（1）证明：如图，连接DE交AF于H，
由折叠可得，AF⊥DE，DF=EF，∠DFG=∠EFG，
∵EG∥CD，
∴∠DFG=∠EGF，
∴∠EFG=∠EGF，
∴EG=EF，
∴DF=EG，
∵DF∥EG，
∴四边形DFEG是平行四边形，
∵GF⊥DE，
∴四边形EFDG是菱形；
（2）∵四边形EFDG是菱形，
∴DE⊥GF，
∴∠DAH+∠ADH=90°，
∵∠ADC=90°，
∴∠HDF+∠ADH=90°，
∴∠HDF=∠DAH，
又∠AHD=∠DHF=90°，
∴△AHD∽△DHF，
∴
∵AG=3，GF=2，GH=HF，
∴AH=4，HF=1，
设GE=x，则DF=x，AD=4x，
∵
∴ ，解得 .
∴EG= .
【解析】【分析】（1）连接DE交AF于H，利用折叠的性质可证得AF⊥DE，DF=EF，∠DFG=∠EFG，利用平行线的性质可证得∠DFG=∠EGF，可推出∠EFD=∠EGF，利用等角对等边，可证得EG=EF，可得到DF=EG，利用有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可证得四边形DFEG是平行四边形，再根据对角线互相垂直平分的四边形是菱形，可证得结论.
（2）利用菱形的性质和余角的性质可证得∠HDF=∠DAH，利用有两组对应角分别相等的两三角形相似，可证得△AHD∽△DHF，利用相似三角形的对应边成比例，可求出AH，HF的长；设GE=x，则DF=x，AD=4x，利用勾股定理可得到关于x的方程，解方程求出x的值，可得到EG的长.
18．如图，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，点D为AB边上一点，连结CD，过D作DE⊥AB交AC于E.
（1）求证：△ADE∽△ACB；
（2）若CD=CB，，求.
【答案】（1）证明：∵∠ACB=90°，DE⊥AB交AC于E，
∴∠ACB=∠ADE=90°.
∵∠A=∠A，
∴△ADE∽△ACB
（2）过点C作CF⊥AB于点F，
∴∠CDE+∠DCF=90°.
∵DE⊥AB，
∴∠CDE+∠BDC=90°.
∴∠DCF=∠CDE.
∵CD=CB，
∴∠B=∠BDC.
∵∠ACB=90°，
∴∠B+∠A=90°.
∴∠CDE=∠A.
∵∠ACD=∠DCE，
∴△ACD∽△DCE，
∴ .
∵ ，
∴ ，即 .
易证△AFC∽△BFC，
∴
∴ ，
∴ ，
∴ ，解得 = .
【解析】【分析】（1）利用垂直的定义可证得∠ACB=∠ADE=90°，图形中隐含公共角∠A，利用有两组对应角分别相等的两三角形相似，可证得结论.
（2）利用垂直的定义和余角的性质，可证得∠DCF=∠CDE，利用等边对等角可证得∠B=∠BDC，再证明∠CDE=∠A，可证得△ACD∽△DCE，利用相似三角形的对应边成比例，可表示出CD的长；然后证明△AFC∽△BFC，利用相似三角形的对应边成比例，可求出AD与BD的比值.
19．如图所示，的顶点、在⊙上，顶点在⊙外，边与⊙相交于点，，连接、，已知.
（1）求证：直线是⊙的切线；
（2）若线段与线段相交于点，连接.
①求证：；
②若，求⊙的半径的长度.
【答案】（1）证明∶
∵∠BAC=45°，
∴∠BOD=2∠BAC=90°，
∴OD⊥OB，
∵OD∥BC，
∴CB⊥OB，
∵OB为半径，
∴直线是⊙的切线；
（2）解：①∵∠BAC=45°，
∴∠BOD=2∠BAC=90°，OB=OD，
∴∠ODB=45°，
∴∠BAC=∠ODB，
∵∠ABD=∠DBE，
∴；
②∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴或（舍去）.
即⊙的半径的长为.
【解析】【分析】（1）根据圆周角定理可得∠BOD=2∠BAC=90°，利用平行线的性质可得CB⊥OB，根据切线的判定定理即证结论；
（2）①根据两角分别相等的两个三角形相似即证结论；②利用相似三角形的性质可得=6，由勾股定理可得， 据此求出OB即可.
20．2022年4月15日是第七个全民国家安全教育日，某校七，八年举行了一次国家安全知识竞赛，经过评比后，七年级的两名学生（用，表示）和八年级的两名学生（用，表示）获得优秀奖.
（1）从获得优秀奖的学生中随机抽取一名分享经验，恰好抽到七年级学生的概率是 .
（2）从获得优秀奖的学生中随机抽取两名分享经验，请用列表法或画树状图法，求抽取的两名学生恰好一名来自七年级、一名来自八年级的概率.
【答案】（1）
（2）解：树状图如下：
由表知，共有12种等可能结果，其中抽取的两名学生恰好一名来自七年级、一名来自八年级的有8种结果，
所以抽取的两名学生恰好一名来自七年级、一名来自八年级的概率为.
【解析】【解答】解：（1）从获得优秀奖的学生中随机抽取一名分享经验，恰好抽到七年级学生的概率是，
故答案为：；
【分析】（1）直接根据概率公式进行计算；
（2）画出树状图，找出总情况数以及抽取的两名学生恰好一名来自七年级、一名来自八年级的情况数，然后根据概率公式进行计算.
21．如图，是的直径，C是上一点，P是的延长线上一点，且.
（1）判断直线与的位置关系，并说明理由；
（2）若的半径为3，，求图中阴影部分的面积.
【答案】（1）解：与相切.
理由如下：
连接，
是的直径，
，
，
，
又，
，
，
，即，
，
又是的半径，
与相切；
（2）解：，
，
在中，，
，
，
，
，
，
，
图中阴影部分的面积为－.
【解析】【分析】（1）根据圆周角定理可得∠ACB=90°，由等腰三角形的性质可得∠OCA=∠A，由已知条件可知∠PCB=∠A，则∠OCA=∠PCB，结合∠OCA+∠OCB=90°可得∠OCP=90°，据此证明；
（2）由已知条件可得OP=2OB=6，求出cos∠COP的值，得到∠COP的度数，由勾股定理可得CP的值，然后根据S阴影=S△OCP-S扇形OCB进行计算.
22．如图1，是上的四个点，是的中点．
（1）若，判断的形状，并证明你的结论；
（2）如图2，若是的直径，交于点，过点的切线交的延长线于点，若，求的值．
【答案】（1）解：是等边三角形，
证明如下：是的中点
，
∴
，
，
∴∠ABC=∠BAC=60°，
是等边三角形；
（2）解：如图，连接，
是的中点，CP是的直径，
，，
由勾股定理得：，
是的切线，
，
，
，
，
，即，
解得：．
【解析】【分析】（1）根据弧的中点和圆周角定理可得∠APC=∠BPC=∠BAC=∠ABC=60°，即可判定△ABC为等边三角形；
（2）连接OA，根据垂径定理可得CP⊥AB，AE=，根据勾股定理可得OE，根据切线的性质得OA⊥AQ，从而根据有两组角对应相等得两个三角形相似得△OAE∽△OQA，根据相似三角形对应边成比例建立方程可求出AQ的长度.
23．如图，抛物线.与x轴交于A，B两点，与y轴交于直线经过点A且与抛物线交于另一点D.
（1）求抛物线的解析式；
（2）若P是位于直线上方的抛物线上的一个动点，连接，求的面积的最大值.
【答案】（1）解：∵直线y=-x-1经过点A，
∴令y=0，则0=-x-1，
∴x=-1，
∴A（-1，0），
将A（-1，0），C（0，3）代入y=ax2+2x+c
得，
解得，
∴抛物线的解析式为：y=-x2+2x+3；
（2）解：如图，过点P作PE⊥x轴，交x轴于点G，交AD于点F，作DE⊥PF于E，
由题意得，，
解得：x1=-1，x2=4，
当x=4时，y=-5，
∴D（4，-5），
设P（m，-m2+2m+3），F（m，-m-1），
∴PF=-m2+2m+3-（-m-1）=-m2+3m+4，
∴S△PAD=S△PAF+S△PDF= PF AG+ PF DE=PF（AG+DE），
∵AG+DE=|xD-xA|=5，
∴S△PAD=PF，
∴当PF取最大值时，S△PAD的值最大，
PF=-m2+3m+4=，
∴PF最大值为，
则△PAD的面积的最大值为.
【解析】【分析】（1）令直线y=-x-1中的y=0算出对应的自变量x的值，可得点A的坐标， 将A、C的坐标分别代入y=ax2+2x+c可得关于a、c的方程组，求解可得a、c的值，从而求出抛物线的解析式；
（2） 过点P作PE⊥x轴，交x轴于点G，交AD于点F，作DE⊥PF于E， 联立两函数解析式求解可得点D的坐标， 设P（m，-m2+2m+3），F（m，-m-1）， 根据两点间的距离公式表示出PF，进而根据 S△PAD=S△PAF+S△PDF = PF 得当PF取最大值时，S△PAD的值最大， 从而根据二次函数的性质即可解解决问题.
24．农经公司以30元 千克的价格收购一批农产品进行销售，为了得到日销售量 千克 与销售价格 元千克 之间的关系，经过市场调查获得部分数据如下表：
销售价格 元 千克 30 35 40 45 60
日销售量 千克 600 450 300 150 0
（1）请你根据表中的数据，用所学过的一次函数、二次函数、反比例函数的知识确定 与 之间的函数表达式；
（2）农经公司应该如何确定这批农产品的销售价格，才能使日销售利润最大？
【答案】（1）解：假设 与 成一次函数关系，设函数关系式为 ，
则 ，
解得： ， ，
，
检验：当 ， ；当 ， ；当 ， ，符合一次函数解析式，
所求的函数关系为 ；
（2）解：设日销售利润
即 ，
，
当 时， 有最大值，最大值为3000，
故这批农产品的销售价格定为40元，才能使日销售利润最大.
【解析】【分析】（1）根据表格中的数据可得x每增加5千克，则p减少150千克，推出p与x成一次函数关系，设函数关系式为P=kx+b，将（30，600）、（40，300）代入可求出k、b的值，据此可得P与x之间的函数表达式；
（2）设日利润为W，根据日利润=(售价-进价)×日销售量可得W与x的关系式，然后结合二次函数的性质进行解答.
25．如图，AB是⊙O的直径，AD平分∠BAC，点C，D在⊙O上，过点D作DE⊥AC，交AC的延长线于点E．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若，，求AD的长．
【答案】（1）证明：如下图，连接OD，
∵DE⊥AC，
∴∠DEA＝90°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠EAD＝∠DAB，
∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ODA，
∴∠EAD＝∠ADO，
∴AE∥OD，
∴∠ODE＋∠AED＝180°，
∴∠ODE＝180°－∠AED＝90°，
∵OD是⊙O的半径，
∴DE是⊙O的切线；
（2）解：如下图，连接DB，CD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠DAB＋∠B＝90°，
∵∠E＝90°，
∴∠EAD＋∠EDA＝90°，
∵∠EAD＝∠DAB，
∴∠B＝∠EDA，
∵四边形ABDC是⊙O的内接四边形，
∴∠ACD＋∠B＝180°，
∵∠ACD＋∠ECD＝180°，
∴∠B＝∠ECD，
∴∠ECD＝∠EDA，
∵∠E＝∠E，
∴△ECD∽△EDA，
∴ ，
∴，
∴，
∴
【解析】【分析】（1）连接OD，根据垂直的概念可得∠DEA＝90°，根据角平分线的概念可得∠EAD＝∠DAB，由等腰三角形的性质可得∠OAD＝∠ODA，推出AE∥OD，根据平行线的性质可得∠ODE＝180°-∠AED＝90°，据此证明；
（2）连接DB，CD，根据圆周角定理可得∠ADB＝90°，由等角的余角相等可得∠B＝∠EDA，根据圆内接四边形的性质解答∠ACD＋∠B＝180°，结合邻补角的性质可得∠B＝∠ECD，证明△ECD∽△EDA，根据相似三角形的性质求出AE，然后利用勾股定理进行计算.
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