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沪科版数学八年级下学期第一次月考
综合培优卷
（考试时间：120分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下列计算不正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．关于x的方程，其中a，b，c满足和．则该方程的根是（ ）
A．1，2 B．1， C．，2 D．，
3．把方程配方成的形式，则m、n的值分别是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
4．下列算式中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
5． 当时，化简的值为（ ）
A．2 B． C． D．
6．已知x=1是一元二次方程x2+mx+2=0的一个解，则m的值是（ ）
A．﹣3 B．3 C．0 D．0或3
7．三角形两边长分别为2和4，第三边长是方程x（x﹣4）﹣2（x﹣4）=0的解，则这个三角形周长为（ ）
A．8 B．8和10 C．10 D．8 或10
8．若要在（5 ﹣ ）□ 的“□”中填上一个运算符号，使计算结果最大，则这个运算符号应该填（ ）
A．+ B．﹣ C．× D．÷
9．下列各式：① +3= ；② =1；③ + = =2 ；④ =2 ，其中错误的有（ ）
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
10．如果一元二次方程 满足 ，那么我们称这个方程为“阿凡达”方程，已知 是“阿凡达”方程，且有两个相等的实数根，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．计算结果是 ．
12．若，则的值是 ．
13．关于x的一元二次方程有两个实数根，则实数k的取值范围是 ．
14．用公式法解方程，计算 ．
15．如图，从一个大正方形中可以裁去面积为8cm2和32cm2的两个小正方形，则大正方形的边长为 ．
16．某公司在2009年的盈利额为200万元，预计2011年的盈利额将达到242万元，若每年比上一年盈利额增长的百分率相同，那么该公司在2010年的盈利额为 万元．
三、综合题(本大题有9个小题，每小题8分，共72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．已知×=
+1，y=
-1，求下列代数式的值：
（1）×2-y2；
（2）x2+y2．
18．如图，有一农户要建一个长方形鸡舍，鸡舍的一边利用长为的墙，另外三边用长的篱笆围成，为方便进出，在垂直于墙的一边上留一个宽的门.
（1）若，则长方形的边长分别为多少时，鸡舍的面积为？
（2）问a的值在什么范围内时，题（1）的解有两个解？一个解？无解？
19．在实数范围内定义新运算“”，其规则为：，根据这个规则，解决下列问题：
（1）求中x的值；
（2）证明：中，无论m为何值，x总有两个不同的值．
20．如图所示，有一张边长为的正方形纸板，现将该纸板的四个角剪掉，制作成一个有底无盖的长方体盒子，剪掉的四个角是面积相等的小正方形，此小正方形的边长为，求：
（1）长方体盒子的底面积；
（2）长方体盒子的体积．
21．随着“共享经济”的概念迅速普及，共享汽车也进入了人们的视野．某共享汽车租赁公司年初在某地投放了一批共享汽车，
全天包车的租金定为每辆120元．据统计，三月份的全天包车数为25次，在租金不变的基础上，四、五月的全天包车数持续走高，五月份的全天包车数达到64次.
（1）若从三月份到五月份的全天包车数月平均增长率不变，求全天包车数的月平均增长率；
（2）从六月份起，该公司决定降低租金，经调查发现，租金每降价a元，全天包车数增加1.6a次，当租金降价多少元时，公司将获利8800元？
22．已知关于 的一元二次方程 .
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）如果方程的两个实数根为 ， ，且 ，求 的值.
23．
（1）若 ，则x的取值范围是 ；
（2）若 ＝ · ，则x的取值范围是 ．
24．如图，钢球（不计大小）在一个光滑的“”型轨道上滚动（表面光滑，摩擦阻力不计），其中左侧轨道长为，右侧轨道长为.钢球先由点静止开始沿左侧斜面滚下，速度每秒增加，到达底端后又沿着右侧斜面向上滚动，速度每秒减少.（提示：在同一侧斜面上，钢球滚动的距离=平均速度时间，，其中表示开始的速度，表示秒时的速度.）
（1）当钢球滚动时，它的速度为 ，经过的路程是 ；
（2）经过几秒，钢球到最低点的距离为？
25．对于形如 的式子可以用如下的方法化简： ＝ ＝ ＝ + ．请仿照这样的方法，解决下列问题．
（1）化简：
（2）化简求值：已知x＝ ，求( + )
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沪科版数学八年级下学期第一次月考
综合培优卷
（考试时间：120分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下列计算不正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：A、故此选项计算正确，不符合题意；
B、故此选项计算正确，不符合题意；
C、故此选项计算错误，符合题意；
D、故此选项计算正确，不符合题意.
故答案为：A.
【分析】根据二次根式的乘法法则“(a≥0，b≥0)”可判断A选项；根据分母有理化，可判断B选项；由于根号具有括号的作用，故先根据含乘方的混合运算的运算顺序计算出被开方数，据此可判断C选项；二次根式的加减法，就是将各个二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式，所谓同类二次根式，就是被开方数完全相同的最简二次根式，合并的时候，只需要将系数相加减，根号部分不变，不是同类二次根式的一定不能合并，据此可判断D选项.
2．关于x的方程，其中a，b，c满足和．则该方程的根是（ ）
A．1，2 B．1， C．，2 D．，
【答案】B
【解析】【解答】解：当x=1时，代入方程为得：a+b+c=0，
当x=-2时，代入方程得：4a-2b+c=0，
所以方程的根分别为1或-2；
故答案为：B.
【分析】根据能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解即可求解.
3．把方程配方成的形式，则m、n的值分别是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】A
【解析】【解答】解：
系数化为1得：
移项得：
配方得：
即
故
故答案为：A.
【分析】根据配方法解一元二次方程的步骤逐步计算，即可得到配方后的形式，于是可得m，n的值.
4．下列算式中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：A、与不是同类根式，不能合并，A错误；
B、计算无误，B正确；
C、，C错误；
D、，D错误；
故答案为：B.
【分析】对二次根式进行加减运算时，要先判断是否为同类根式；进行乘除运算时，可直接以根号下的数进行乘除后再加上根号，注意化简；若遇到根号下的加减运算，要先加减，后化简根式.
5． 当时，化简的值为（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：，
，
，
故答案为：D．
【分析】先判断出，再利用二次根式的性质化简即可.
6．已知x=1是一元二次方程x2+mx+2=0的一个解，则m的值是（ ）
A．﹣3 B．3 C．0 D．0或3
【答案】A
【解析】【解答】解：把x=1代入方程x2+mx+2=0得1+m+2=0，
解得m=﹣3．
故选A．
【分析】根据一元二次方程解的定义把x=1代入x2+mx+2=0得到关于m的方程，然后解关于m的方程即可．
7．三角形两边长分别为2和4，第三边长是方程x（x﹣4）﹣2（x﹣4）=0的解，则这个三角形周长为（ ）
A．8 B．8和10 C．10 D．8 或10
【答案】C
【解析】【解答】解：x（x﹣4）﹣2（x﹣4）=0，
解得：x=4或2，
①三角形的三边为2、2、4时，不符合三角形三边关系定理，此时不能组成三角形；
②三角形的三边为2、4、4时，符合三角形三边关系定理，此时能组成三角形，组成的三角形周长为2+4+4=10，
故选C．
【分析】先求出方程的解，得出三角形的三边长，看看是否能组成三角形，最后求出即可．
8．若要在（5 ﹣ ）□ 的“□”中填上一个运算符号，使计算结果最大，则这个运算符号应该填（ ）
A．+ B．﹣ C．× D．÷
【答案】C
【解析】【解答】解：（5 ﹣ ）+ =5 ，
（5 ﹣ ）× =10﹣2=8，
∵5 ＜8，
∴应该填：×，
故选：C．
【分析】根据二次根式的加法法则和乘方法则分别计算，比较即可．
9．下列各式：① +3= ；② =1；③ + = =2 ；④ =2 ，其中错误的有（ ）
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
【答案】A
【解析】【解答】解：3 与3不能合并，所以①错误； 是最简二次根式，所以②错误； 与 不能合并，所以③错误； = =2 ，所以④正确．
故选A．
【分析】根据二次根式的加减法对①②进行判断；根据最简二次根式的定义对③进行判断；根据二次根式的除法对④进行判断．
10．如果一元二次方程 满足 ，那么我们称这个方程为“阿凡达”方程，已知 是“阿凡达”方程，且有两个相等的实数根，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】由定义可知 4 a 2 b + c = 0，表示x=-2是 a x 2 + b x + c = 0 的一个解.
a x 2 + b x + c = 0 是“阿凡达”方程，且有两个相等的实数根，
则（1） 4 a 2 b + c = 0，且（2）b2-4ac=0，
由（1）得4a=2b-c，将它代入（2）得b2-(2b-c)c=0
即(b-c)2=0,
则b=c.
故选D.
【分析】由定义可知 4 a 2 b + c = 0，表示x=-2是 a x 2 + b x + c = 0 的一个解，再根据判别式得到相对应的关系.
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．计算结果是 ．
【答案】
【解析】【解答】解：.
故答案为：.
【分析】二次根式的加减运算，需要先化成最简二次根式，再进行合并.
12．若，则的值是 ．
【答案】
【解析】【解答】解：∵， 且，，
∴a+3=0，2a－b=0，
∴a=－3，b=-6.
∴.
故答案为：
【分析】根据 和算术平方根以及偶次方的非负性，可求出a，b的值，再代入二次根式求解即可.
13．关于x的一元二次方程有两个实数根，则实数k的取值范围是 ．
【答案】且k≠1
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程有两个实数根，
∴k-1≠0，，
解得且k≠1，
故答案为：且k≠1
【分析】根据一元二次方程的定义结合一元二次方程的判别式即可求解。
14．用公式法解方程，计算 ．
【答案】13
【解析】【解答】解：方程中，a=3，b=-1，c=-1，
则；
故答案为：13.
【分析】根据形式ax2+bx+c=0（a≠0）叫一元二次方程的一般形式，其中a叫做二次项系数、b叫做一次项系数、c叫做常数项，代入根的判别式计算即可求解.
15．如图，从一个大正方形中可以裁去面积为8cm2和32cm2的两个小正方形，则大正方形的边长为 ．
【答案】cm
【解析】【解答】∵ 从一个大正方形中可以裁去面积为8cm2和32cm2的两个小正方形 ，
∴这两个小正方形的边长分别为，
∴大正方形的边长为cm.
故答案为：cm
【分析】利用两各小正方形的面积，可求出两个小正方形的边长，然后求出大正方形的边长.
16．某公司在2009年的盈利额为200万元，预计2011年的盈利额将达到242万元，若每年比上一年盈利额增长的百分率相同，那么该公司在2010年的盈利额为 万元．
【答案】220
【解析】【解答】设每年比上一年盈利额增长的百分率为
，所以有
，解得
，所以该公司在2010年的盈利额为
万元
【分析】设每年比上一年盈利额增长的百分率为
，根据2009年的盈利额×（1+增长率）2=2011年的盈利额，据此求出盈利额增长的百分率，继而得解.
三、综合题(本大题有9个小题，每小题8分，共72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．已知×=
+1，y=
-1，求下列代数式的值：
（1）×2-y2；
（2）x2+y2．
【答案】（1）解：x2-y2=（x-y）（x+y）=2×2 =4
（2）解：x2+y2=（x+y）2-2xy=（2 ）2-2×2=8
【解析】【分析】（1）先利用平方差公式法将待求式子分解因式，再把x和y的值代入，最后化简计算即可求解；
（2）利用完全平方公式，先将原式变形为（x+y）2-2xy，再将x和y的值代入，最后化简计算即可求解.
18．如图，有一农户要建一个长方形鸡舍，鸡舍的一边利用长为的墙，另外三边用长的篱笆围成，为方便进出，在垂直于墙的一边上留一个宽的门.
（1）若，则长方形的边长分别为多少时，鸡舍的面积为？
（2）问a的值在什么范围内时，题（1）的解有两个解？一个解？无解？
【答案】（1）解：设长方形鸡舍垂直于房墙的一边长为，则长方形鸡舍的另一边长为.
依题意，得，
解得.
当时，（舍去），
当时，.
答：长方形鸡舍的长为，宽为；
（2）解：由（1）知，长方形中平行于墙的边长为或，
∴当时，（1）中的解有两个，
当时，（1）中的解有一个，
当时，无解.
【解析】【分析】（1）设长方形鸡舍垂直于房墙的一边长为xm，则长方形鸡舍的另一边长为(26-2x)m，根据矩形的面积公式结合鸡舍的面积为80m2可得关于x的方程，求出x的值，然后根据26-2x≤12对求出的x的值进行取舍；
（2）由（1）知：长方形中平行于墙的边长为10m或16m，然后结合墙长为a进行解答.
19．在实数范围内定义新运算“”，其规则为：，根据这个规则，解决下列问题：
（1）求中x的值；
（2）证明：中，无论m为何值，x总有两个不同的值．
【答案】（1）解：由题意可得：，
整理，得：，
解得：．
故x的值为-2或3；
（2）证明：由题意可得：，
整理，得：，
∴，
∴无论m为何值，方程总有两个不相等的实数根，即无论m为何值，x总有两个不同的值．
【解析】【分析】（1）根据所给的新运算法则求出 ， 再解方程即可；
（2）根据题意先求出 ， 再求解即可。
20．如图所示，有一张边长为的正方形纸板，现将该纸板的四个角剪掉，制作成一个有底无盖的长方体盒子，剪掉的四个角是面积相等的小正方形，此小正方形的边长为，求：
（1）长方体盒子的底面积；
（2）长方体盒子的体积．
【答案】（1）解∶ 长方体盒子的底面积
；
答：长方体盒子的底面积48cm2
（2）解∶长方体盒子的体积
．
答：长方体盒子的体积为cm3
【解析】【分析】（1）结合题意可知长方体盒子的底面是边长为的正方形，根据正方形的面积等于边长的平方计算即可求解；
（2）根据长方体盒子的体积等于底面积×高计算即可求解．
（1）解∶ 长方体盒子的底面积
；
（2）解∶长方体盒子的体积
．
21．随着“共享经济”的概念迅速普及，共享汽车也进入了人们的视野．某共享汽车租赁公司年初在某地投放了一批共享汽车，
全天包车的租金定为每辆120元．据统计，三月份的全天包车数为25次，在租金不变的基础上，四、五月的全天包车数持续走高，五月份的全天包车数达到64次.
（1）若从三月份到五月份的全天包车数月平均增长率不变，求全天包车数的月平均增长率；
（2）从六月份起，该公司决定降低租金，经调查发现，租金每降价a元，全天包车数增加1.6a次，当租金降价多少元时，公司将获利8800元？
【答案】（1）解：设二、三月这两个月的月平均增长率为x，则25(1 +x)2= 64，
∴x1=0.6，x2=-2.6 (舍)，
答：二、三月这两个月的月平均增长率为60%。
（2）解：由题意得(120-a)(64 +1.6a) = 8800，
∴a1=10，a2=70，
答：租金降价10或70元时，公司将获利8800元。
【解析】【分析】(1) 设二、三月这两个月的月平均增长率为x，根据五月份的全天包车数达到64次列方程求解即可；
(2) 由于租金每降价a元，全天包车数增加1.6a次，根据“利润=单件获利×数量”，公司将获利8800元列出方程求解即可.
22．已知关于 的一元二次方程 .
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）如果方程的两个实数根为 ， ，且 ，求 的值.
【答案】（1）证明： 方程 是关于 的一元二次方程，
此方程根的判别式为 ，
，
，
则方程有两个不相等的实数根
（2）解： 是方程 的两个实数根，
，
，
，
解得 ，
即 的值为
【解析】【分析】（1）求出一元二次方程根的判别式，根据判别式的符号可得方程根的情况；
（2）根据根与系数的关系可得x1+x2=2m-2，x1x2=m2-2m，然后根据x1+x2+x1x2=10进行求解可得m的值.
23．
（1）若 ，则x的取值范围是 ；
（2）若 ＝ · ，则x的取值范围是 ．
【答案】（1）x≥1
（2）－ ≤x≤2
【解析】【分析】根据二次根式的性质可知，二次根式的被开方数大于等于0，即可得出关于x的不等式组，求出x的取值范围即可。
24．如图，钢球（不计大小）在一个光滑的“”型轨道上滚动（表面光滑，摩擦阻力不计），其中左侧轨道长为，右侧轨道长为.钢球先由点静止开始沿左侧斜面滚下，速度每秒增加，到达底端后又沿着右侧斜面向上滚动，速度每秒减少.（提示：在同一侧斜面上，钢球滚动的距离=平均速度时间，，其中表示开始的速度，表示秒时的速度.）
（1）当钢球滚动时，它的速度为 ，经过的路程是 ；
（2）经过几秒，钢球到最低点的距离为？
【答案】（1）16；32
（2）解：设经过后，钢球在右侧轨道的滚动速度等于0，
由（1）可知，当钢球从点滚动到点时，所滚动时间为，速度为，
则，
解得，
设经过秒，钢球到最低点的距离为，
由题意，分以下两种情况：
①当钢球在左侧轨道上时，
则，
解得或（不符题意，舍去）；
②当钢球在右侧轨道上时，
则，
解得或（不符题意，舍去），
综上，经过秒或秒，钢球到最低点的距离为.
【解析】【解答】解：（1）设当钢球从点滚动到点时，所滚动时间为，
则，
解得或（不符题意，舍去），
此时，
所以当钢球滚动时，它的速度为，经过的路程是，
故答案为：16，32.
【分析】（1）当钢球从点滚动到点时，所滚动时间为，根据钢球滚动的距离=平均速度时间 列出方程并解之即可；
（2）设经过后，钢球在右侧轨道的滚动速度等于0，由（1）可知，当钢球从点滚动到点时，所滚动时间为，速度为，则，求出，设经过秒，钢球到最低点的距离为，分两种情况： ①当钢球在左侧轨道上时， ②当钢球在右侧轨道上时， 据此分别列出方程并解之即可.
25．对于形如 的式子可以用如下的方法化简： ＝ ＝ ＝ + ．请仿照这样的方法，解决下列问题．
（1）化简：
（2）化简求值：已知x＝ ，求( + )
【答案】（1）解：
（2）解： ，
∵x＝ ＝ ﹣1，
∴原式＝ ．
【解析】【分析】(1)根据二次根式的性质化简即可；(2)根据分式的混合运算的法则计算即可．
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