北京市第八十中学2024-2025年学年高三下3月月考数学试卷（PDF版，含答案）

2025北京八十中高三 3月月考
数 学
2025 年 03 月
班级 姓名 考号
(考试时间 120 分钟 满分 150 分)
提示：试卷答案请一律填涂或书写在答题卡上,在试卷上作答无效。
在答题卡上，选择题用 2B 铅笔作答，其他试题用黑色签字笔作答。
一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分．
1．设全集为R ，集合 A = x x 1 ，B = x lg x 0 ，则 ( R A) B =（ ）
A． (0,1 B． ( 1,1 C． ( 1,1) D． ( ,1
z
2．设复数 z 在复平面内对应的点为 (1, 3)，则 ( )
1+ i
A． 2 + i B．2 i C． 1+ 2i D． 1 2i
3．已知 x y ，则（ ）
x y
1 1
2 2
1 1
A． B． x y C． x x y y D．
x y
2 2
4．已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为 3 ，则圆锥的体积为（ ）
A． 2 3π B．3 3π C．6 3π D．9 3π
5．等比数列 an 各项均为正数， S 是其前nn 项和，若a2 = a3 + 2a4 , S2 = 32 ，则 S6 =（ ）
A．63 B．56 C．52 D．42
6．在 ABC 中， (a + c)(sin A sin C) = b(sin A sin B) ，则 C =（ ）
π π 2π 5π
A． B． C． D．
6 3 3 6
7．设函数 f ( x)的定义域为R ，则“ f ( x)是R 上的增函数”是“任意a 0， y = f (x + a) f (x)无零点”的
（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
8．已知点 在圆 (x 1)2 2P + y =1上，点A 的坐标为 ( 1, 3 ) ,O 为原点，则 AO AP 的取值范围是（ ）
A． 3,3 B． 3,5 C． 1,9 D． 3,7
9．近年来，人们越来越注意到家用冰箱使用的氟化物的释放对大气臭氧层的破坏作用.科学研究表明，臭
t

氧含量Q 与时间 t （单位：年）的关系为Q =Q e a ，其中Q0 是臭氧的初始含量，a为常数.经过测算，如0
果不对氟化物的使用和释放进行控制，经过 280 年将有一半的臭氧消失.如果继续不对氟化物的使用和释放
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进行控制，再．经过
n年，臭氧含量只剩下初始含量的 20%，n约为（ ）
（参考数据： ln 2 0.7 ， ln10 2.3）
A．280 B．300 C．360 D．640
*
10．数列 a 满足a1 = a2 =1，an = an 1 + an 2 (n 3,n Nn )，给出下列四个结论：
①不存在m *N ，使得am ， am 1， am 2 成等差数列；
②存在m *N ，使得am ， am 1， am 2 成等比数列；
③存在常数 t ，使得对任意 n *N ，都有 an ， tan+2 ，an+4 成等差数列；
④存在正整数 i1, i , , i ，且 i a + a + + a = 20252 m 1 i2 im ，使得 i1 i2 i . m
其中所有正确结论的是（ ）
A．①② B．①④ C．③④ D．②③
二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分．
2
11．抛物线 x = 2 y 的焦点坐标为 .
5
12．设 (2 mx) = a0 + a1x + + a5x
5 ，若a0 + a1 + a2 + a3 + a4 + a5 =1，则a3 = .
13．已知函数 f (x) = sin ( x)+ sin2x ，其中 *N ，若函数 f (x) 2 恒成立，则常数 的一个取值
为 .
x2 y2
14．已知F A, B1, F2 分别为双曲线E : =1(a 0,b 0)的左、右焦点，过原点O 的直线 l 与 E 交于 两点
a2 b2
π
（点 A在第一象限），延长 AF2 交 E 于点C ，若 BF2 = AC , F1BF2 = ，则双曲线 E 的离心率为 ．
3
15．已知正方体 ABCD A1B1C1D1的边长为 2，且M 为棱 AA1 的中点，点 P 在正方形 ABCD的边界及其内部
π
运动，且满足MP 与底面 ABCD所成的角为 ，给出下列四个结论：
4
①存在点 P 使得MP ⊥ BD1；
π
②点 P 的轨迹长度为 ；
2
2
③三棱锥P A1BD1 的体积的最小值为 ；
3
34
④线段 PC1 长度最小值为 ．
2
其中所有正确结论的序号是
三、解答题：本大题共 6 小题，共 85 分．
16. (本小题 13 分)
在 ABC 中，cos 2A+ cos A = 0．
(1) 求 A的大小；
(2) 若a = 7，从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得 ABC 存在，求 ABC 最
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长边上高线的长．
5 3
条件①：sin C = ；条件②： ABC 的面积为10 3 ；条件③：b =10．
14
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得 0 分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个
解答计分．
17.(本小题 14 分)
如图，在直三棱柱 ABC A1B1C1 中，点 E、F在侧棱 BB1 、CC1 上，且 B1E = 2EB ，C1F = 2FC ，点 D、
G在侧棱 AB、 AC 上，且 BD = 2DA，CG = 2GA .
（1）证明：点 G在平面 EFD内；
（2）若 BAC = 90 ， AB = AC =1， AA1 = 2 ，求二面角 A1 AB1 C1 的余弦值.
18.(本小题 13 分)
某学校在寒假期间安排了“垃圾分类知识普及实践活动”.为了解学生的学习成果，该校从全校学生中随
机抽取了 50 名学生作为样本进行测试，记录他们的成绩，测试卷满分 100 分，将数据分成 6 组：
40,50)， 50,60)， 60,70)， 70,80)， 80,90)， 90,100 ，并整理得到如下频率分布直方图：
(1) 若全校学生参加同样的测试，试估计全校学生的平均成绩（每组成绩用中间值代替）；
(2) 在样本中，从其成绩在 80 分及以上的学生中随机抽取 3 人，用 X 表示其成绩在 90,100 中的人数，求
X 的分布列及数学期望；
(3) 在（2）抽取的 3 人中，用Y 表示其成绩在 80,90)的人数，试判断方差D (X )与D (Y )的大小.（直接写
结果）
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19.(本小题 15 分)
x2 y2
已知椭圆C : + =1(a b 0) 过点 A( 2, 1)，长轴长为4 2 .
a2 b2
(1) 求椭圆C 的方程及其焦距；
(2) 直线 l : y = kx +m 与椭圆C 交于不同的两点M , N ，直线 AM , AN 分别与直线 x = 4交于点P,Q ，O 为坐
标原点且 OP = OQ ，求证：直线 l 过定点，并求出定点坐标.
20.(本小题 15 分)
a
已知函数 f (x) = ln (ax)+ ，其中a 0 .
2(x a)
1
(1) 当a = 时，求曲线 y = f (x)在点 (1, f (1))处切线方程；
2
(2) 求 f ( x)的单调区间；
1
(3) 若区间 (1,+ ) x f (x) ，求实数a的取值范围.
2
21.(本小题 15 分)
21．已知 A为有限个实数构成的非空集合，设 A+ A = ai + a j ai ,a j A ， A A = ai a j ai ,a j A ，记集
合 A+ A 和 A A 其元素个数分别为 A+ A ， A A .设n (A) = A+ A A A .例如当 A = 1,2 时，
A+ A = 2,3,4 ， A A = 1,0,1 ， A+ A = A A ，所以n (A) = 0 .
(1) 若 A = 1,3,5 ，求n (A)的值；
(2) 设 A是由 3 个正实数组成的集合且 (A+ A) A = ， A = A 0 ；证明：n (A ) n (A)为定值；
(3) 若 an 是一个各项互不相同的无穷递增正整数列，对任意n N ，设 An = a1,a2 , ,an ，bn = n (An ) .已
知a1 =1， a2 = 2 ，且对任意n

N ，bn 0，求数列 an 的通项公式.
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参考答案
一、选择题
1．B 2．D 3．C 4．B 5．D 6．B 7．A 8．D 9．C 10．C
二、填空题
1
11． 0,
2
12．-40
13．1；答案不唯一；只要常数 的取值不等于 2+8k(k N)即可
14． 3
15．①②③
三、解答题
16.（1）因为cos2A+ cosA = 0，所以 2cos2 A+ cosA 1= 0
所以 (2cosA 1)(cosA+1) = 0，
1
所以 cosA = , cosA = 1，因为 A (0,π)，所以 cosA = 1舍
2
1 π
所以 cosA = ，则 A = ；
2 3
（2）选择①
π c a
因为 A = ，由正弦定理 =
3 sinC sinA
c 7
=
代入 5 3 3 ，得 c = 5
14 2
法一：
由余弦定理 a2 = b2 + c2 2bccosA
49 = 25+b2
1
代入得 2 5b
2
所以 (b 8)(b +5) = 0
所以b =8或b= 5（舍），所以 AC 边最长，
5 3
AC 边上的高线 h = c sinA =
2
法二：
因为 c = 5, a = 7，所以C A，
π π
所以C ，所以B ，所以b 为最长边
3 3
5 3
AC 边上的高线 h = c sinA =
2
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选择②
1
因为 S = bcsinA =10 3
2
所以bc = 40
π
因为 A = ，由余弦定理 a2 = b2 + c2 2bccosA
3
所以 49 = b2 + c2 bc = b2 + c2 40
b = 8 b = 5
所以 或
c = 5 c = 8
5 3
所以最长边上的高线 h = 5 sinA = ，
2
若选择③， a = 7,b =10, A = 60 ，
a b bsin A
根据正弦定理， = ，则 sin B = 1，不成立，
sin A sin B a
此时 ABC 不存在.
17.（1）连接DG ， FG ，因为点 E、F在侧棱BB1 、CC1上，且B1E = 2EB ，C1F = 2FC ，
又 BB1 //CC1 且 BB1 =CC1，所以 EB//FC 且 EB = FC ，
所以四边形 BCFE 为平行四边形，所以 EF //BC ，
又因为点 D、G在侧棱 AB 、 AC 上，且BD = 2DA，CG = 2GA，
1 1
所以GD//BC ，且GD = BC ，所以 EF //GD 且GD = EF ，故四边形DEFG 为梯形.
3 3
即 D、E、F、G四点共面，所以点 G在平面 EFD内.
（2）由题意知 A1B1 、 A1C1、 A1A两两垂直，以 A1C1为 x轴， A1A为 y轴， A1B1 为 z轴，建立空间直角坐标
系 A1 xyz，
由 AB = AC =1， AA1 = 2，得 A1(0,0,0)， A(0,2,0)， B1(0,0,1)，(1，0，0)，
设平面 AB1C1的法向量为 n = (x, y, z) ，
因为 AC1 = (1, 2,0) ， B C = (1,0, 1)， 1 1
n AC1 = x 2y = 0
所以 ，取 y =1，则 x = z = 2，所以 n = (2,1,2) .
n B1C1 = x z = 0
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m n 2
又由m = (1,0,0) 是平面 AA1B1的一个法向量，所以 cos m,n = = ，
| m | | n | 3
2
即二面角 A1 AB1 C1的余弦值为 .
3
18.（1）由直方图可得第二组的频率为1 0.06 0.18 0.32 0.20 0.10 = 0.14 ，
∴全校学生的平均成绩为：
45 0.06+ 55 0.14+ 65 0.18+ 75 0.32+85 0.20+95 0.10 = 72.6
（2）由题可知成绩在 80 分及以上的学生共有50 (0.20+ 0.10) =15人，其中 90,100 中的人数为 5，
所以 X 可取 0,1,2,3，则
C3 2 1
P (X = 0) = 10
24 C C 45
= ，P (X =1) = 10 5 =3 3 ， C15 91 C15 91
C1 C2 20 C
3
2
P (X = 2) = 10 5 = ，P (X = 3) = 5 = ，
C3 91 C315 15 91
故 X 的分布列为：
X 0 1 2 3
24 45 20 2
P
91 91 91 91
24 45 20 2
E (X ) = 0 +1 + 2 +3 =1；
91 91 91 91
（3）D (X ) = D (Y ) .
2a = 4 2

19.（1）由题得 4 1 , a = 2 2,b = 2,c = 6 ，
+ =1
a
2 b2
x2 y2
所以椭圆C 的方程为 + =1，焦距为 2c = 2 6 .
8 2
（2）如图，
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x2 y2
直线 l : y = kx +m 与椭圆方程 + =1联立，
8 2
化简得 (4k 2 +1)x2 +8kmx + 4m2 8 = 0 ，
=128k 2 16m2 + 32 0，即8k 2 m2 + 2 0 .
8km 4m2 8
设M (x , y )， N (x2, y2 )1 1 ，则 x1 + x2 = ， ．
4k 2
x1x =+1 2 4k 2 +1
y1 +1 2(y +1)
直线MA的方程为 y +1= (x + 2) ，则 P( 4,
1 1)，
x1 + 2 x1 + 2
y2 +1 2(y +1)
直线 NA的方程为 y +1= (x + 2)，则Q( 4,
2 1) ，
x2 + 2 x2 + 2
2(y1 +1) 2(y2 +1)
因为 OP = OQ ，所以 1+ 1=0，
x1 + 2 x2 + 2
kx1 +m+1 kx2 +m+1
所以 + = 1，
x1 + 2 x2 + 2
所以 (2k +1)x1 x2 + (2k +m + 3)(x1 + x2 ) + 4m +8 = 0，
把韦达定理代入整理得 (m 2k +1)(m 4k) = 0, m = 2k 1或m = 4k ，
当m = 2k 1时，直线方程为 y = kx + 2k 1, y +1= k(x + 2)，过定点 ( 2, 1)，
即点A ，不符合题意，所以舍去.
当m = 4k 时，直线方程为 y = kx + 4k ，
y = k(x + 4)过定点( 4,0).
所以直线 l 经过定点.
1
1 x x 1
20.（1）当a = 时， f (x) = ln +
2 = ln + ，
2 2 1 2 4x 22 x
2
1 1 1
则 f (1) = ln + = ln 2，
2 4 2 2
1 4 1 1
f (x) = = 2 2 ，
x (4x 2) x (2x 1)
则 f (1) =1 1= 0，
1
故曲线 y = f (x)在点 (1, f (1))处切线方程为 y = ln 2；
2
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2
1 2a 2(x a) ax (2x a)(x 2a)
（2） f (x) = + = =2 2 2 ，
x 4(x a) 2x (x a) 2x (x a)
2
① 若 a 0，则 f ( x)定义域为 (0,a) (a,+ )，有 2x (x a) 0恒成立，
a
则当 x 0, (2a,+ )时， f (x) 0，
2
a
当 x ,a (a, 2a)时， f (x) 0，
2
a a
即 f ( x)在 0, 、 (2a,+ )上单调递增，在 ,a 、 (a, 2a)上单调递减；
2 2
2
② 若 a 0 ，则 f ( x)定义域为 ( ,a) (a,0)，有 2x (x a) 0 恒成立，
a
则当 x ( , 2a) ,0 时， f (x) 0，
2
a
当 x (2a,a) a, 时， f (x) 0，
2
a a
即 f ( x)在 ( , 2a)、 ,0 上单调递减，在 (2a, a)、 a, 上单调递增；
2 2
a
综上所述：当 a 0时， f ( x)在 0, 、 (2a,+ )上单调递增，
2
a
在 ,a 、 (a, 2a)上单调递减；
2
a
当 a 0 时 f ( x)在 ( , 2a)、 ,0 上单调递减，
2
a
在 (2a, a)、 a, 上单调递增；
2
1
（3）由 (1,+ ) x f (x) ，故 a 0，有 f ( x)定义域为 (0,a) (a,+ )，
2
故0 a 1，则 f ( x)在 (a, 2a)上单调递减，在 (2a,+ )上单调递增，
1
若 a 1 2a ，即 ≤a≤1时，
2
f ( x)在 (1, 2a)上单调递减，在 (2a,+ )上单调递增，
a 1 1
有 f (2a) = ln (2a2 )+ = ln 2a2 + ，
2(2a a) 2 2
2 2 2
解得 a 或a （舍去），即 a 1；
2 2 2
1
若0 2a 1，即0 a 时， f ( x)在 (1,+ )上单调递增，
2
a 1 1 a 2a 1
只需 f (1) = ln a + ，即 ln a = ，
2(1 a) 2 2 2(1 a) 2a 2
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1 2a 1
由0 a ，故 ln a 0， 0 ，故无解；
2 2a 2
2
故实数 a的取值范围为 ,1 .
2
21.（1）当 A = 1,3,5 时， A + A = 2,4,6,8,10 ， A A = 4, 2,0,2,4 ，
A+ A = A A ，所以n (A) = 0 ；
（2）设 A = a,b,c ，其中0 a b c ，
则 A = A 0 = 0,a,b,c ，
n (A ) n (A) = A + A A A ( A+ A A A )
= ( A + A A+ A ) ( A A A A )，
因0 a 2a a + b 2b b + c 2c ，
A+ A = 2a, 2b, 2c,a +b,b + c a + c ，
因 (A+ A) A = ，
所以b 2a， c 2b， c 2a ， c a + b，
又 A + A = b,c 0,a, 2a, 2b, 2c, a +b,b + c a + c ，
a + c 0，a+c a，
所以 A + A A+ A = 4，
因 c b a 0 a b c， a c a b 0 b a c a ，b c 0 c b ，
A A = 0,a b,a c,b a,c a b c,c b ，
A A = a,b, a, b 0,c, c,a b,a c,b a,c a b c,c b ，
因b 2a， c 2b， c 2a ， c a + b，
所以 a b a，a c a，b c b， a c b，
b c 0，b c 0，b c c，b c c
所以 A A A A = 6
n (A ) n (A) = 2
所以n (A ) n (A)为定值；
（3） A = 1,2,a a N*3 3 ( 3 )，
a 4, a N*若 3 3 ，
则 4 1+ a3 2+ a3 2a3，
1 a3 2 a3 1 1 a3 2 a3 1 ,
故 A3 + A3 = 2,3,4,1+ a3 , 2+ a3 , 2a3 ，
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A3 A3 = 1 a3 , 2 a3, 1,0,1,a3 2,a3 1 ，
此时b3 = n (A3 ) = A3 + A3 A3 A3 = 1，不符合题意，
故 a3 = 3，
猜想 an = n ，下面给予证明，
当 n 3时，显然成立，
假设当 n k ， k N*时，都有 ak = k 成立，即 Ak = 1,2,3, ,k ，
此时 Ak + Ak = 2,3,4, , 2k ， Ak Ak = 1 k, 2 k,3 k, ,0,1,2, , k 1 ，
故 Ak + Ak = 2k 2+1= 2k 1， Ak Ak = k 1 (1 k )+1= 2k 1，
bk = n (Ak ) = 0，符合题意，
Ak+1 = 1,2, , k, ak+1 ， ak+1 N
*
则 Ak+1 + Ak+1 = 2,3,4, , 2k 2+ ak+1,3+ ak+1, ,k + ak+1 ，
Ak+1 Ak+1 = 1 k, 2 k,3 k, ,0,1,2, , k 1 1 ak+1, 2 ak+1, ,0,1, , ak+1 1 ，
若 ak+1 k + 2，
2,3,4, , 2k 2+ ak+1,3+ ak+1, , k + ak+1 的元素个数小于
1 k, 2 k,3 k, ,0,1,2, , k 1 1 ak+1, 2 ak+1, ,0,1, , ak+1 1 的元素个数，
则有bk+1 = n (Ak+1 ) = Ak+1 + Ak+1 Ak+1 Ak+1 Ak + Ak Ak Ak = n (Ak ) = 0，
不符合题意，故 ak+1 = k +1，
综上，对于任意的 n N*，都有 an = n ，
故数列 a a = nn 的通项公式 n .
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