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四边形 单元测试精选卷
（考试时间：120分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，已知∠BAC=35°，则∠BOC的度数是（ ）
A．65° B．70° C．75° D．80°
2．下列命题中，正确的命题是（ ）
A．有两边相等的平行四边形是菱形
B．有一个角是直角的四边形是矩形
C．四个角相等的菱形是正方形
D．两条对角线相等的四边形是矩形
3．如图， 四边形是平行四边形，平分，交边于点E，平分交边于点F，P是延长线上一点，则下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，在平行四边形中，若，则的度数为（ ）
A．140° B．120° C．110° D．100°
5．如图，在矩形中，，分别是，的中点，连接，，且，分别是，的中点，已知，则的长为( )
A． B． C． D．
6．用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，这就是平面图形的镶嵌给出以下多边形：等边三角形，正方形，正五边形，正六边形，能单独进行平面图形的镶嵌的有( )
A． B． C． D．
7．四边形的对角线、相交于点，不能判定四边形是平行四边形的条件是( )
A．， B．，
C．， D．，
8．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E为CD的中点.若OE=3，则菱形ABCD的周长为（ ）
A．6 B．12 C．24 D．48
9．一个多边形的内角和等于它的外角和的2倍，则这个多边形是（ ）
A．四边形 B．五边形 C．六边形 D．七边形
10．如图，E、F分别是平行四边形ABCD的边AB，CD上的点、AF每DE相交于点P、B与CE相交于点，若，则阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．如图，已知在长方形ABCD中，将△ABE沿着AE折叠至△AEF的位置，点F在对角线AC上，若BE=3，EC=5，则线段CD的长是 .
12．如图，在 ABCD 中，若∠A=2∠B，则∠D= °.
13．如图，在四边形中，点E，F分别是边的中点，，，，，则的度数为 ．
14． 如图，在中，以点为圆心长为半径作弧交于点，分别以点、为圆心，同样长度为半径作弧，交于点，连接并延长交于点，若，，则的长为 ．
15．如图：AB∥CD，AD∥BC，AD＝5，BE＝8，△DCE的面积为6，则四边形ABCD的面积为 ．
16．已知一个多边形的内角和再加上一个外角共 ， 则这个多边形的边数是
三、综合题(本大题有9个小题，每小题8分，共72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．如图，平行四边形的两条对角线相交于点O，
（1）求证：平行四边形是菱形；
（2）求菱形的面积．
18．如图，四边形的对角线，相交于点，其中，，，为上一点，连接，．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）若平分，且，求的度数．
19．如图，在中，，，点，分别是，的中点，连接，．
（1）求证：；
（2）过点作于点，求证：．
20．如图，正方形ABCD中，E是对角线BD上一点，连接AE，CE，延长AE交CD边于点F．
（1）求证：．
（2）若，，求证：．
21．如图，将两张长为10，宽为4的矩形纸条交叉叠放，使一组对角的顶点重合，其重叠部分是四边形AGCH．
（1）证明：四边形AGCH是菱形；
（2）求菱形AGCH的周长．
22．如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F是对角线AC上的两点，且，连接DE、DF、BE、BF．
（1）求证：≌；
（2）若，，求四边形BEDF的面积．
23．如图，已知四边形ABCD中，ABCD，BC＝AD＝4，AB＝CD＝10，∠DCB＝90°，E为CD边上的一点，DE＝7，动点P从点A出发，以每秒1个单位的速度沿着边AB向终点B运动，连接PE，设点P运动的时间为t秒.
（1）求BE的长；
（2）若△BPE为直角三角形，求t的值.
24．如图，将长方形ABCD沿EF折叠，使点D与点B重合．
（1）若∠AEB＝40°，求∠BFE的度数；
（2）若AB＝6，AD＝18，求CF的长．
25．如图，在△ABC中，AB＝AC，D为边BC的中点，四边形ABDE是平行四边形，AC，DE相交于点O.
（1）求证：四边形ADCE是矩形；
（2）若∠AOE＝90°，AE＝2，求矩形ADCE对角线的长.
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四边形 单元测试精选卷
（考试时间：120分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，已知∠BAC=35°，则∠BOC的度数是（ ）
A．65° B．70° C．75° D．80°
【答案】B
【解析】【解答】解：∵矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，
∴OA=OB，
∴∠BAC=∠DBA=35°，
∴∠BOC=∠BAC+∠DBA=70°.
故答案为：B.
【分析】由矩形的对角线互相平分且相等得OA=OB，由等边对等角得∠BAC=∠DBA=35°，进而根据三角形的任意一个外角等于与之不相邻的两个内角的和可算出∠BOC的度数.
2．下列命题中，正确的命题是（ ）
A．有两边相等的平行四边形是菱形
B．有一个角是直角的四边形是矩形
C．四个角相等的菱形是正方形
D．两条对角线相等的四边形是矩形
【答案】C
【解析】【解答】解：A、∵邻边相等的平行四边形为菱形，
∴有两边相等的平行四边形是菱形这个说法错误，是假命题， 则本项不符合题意；
B、∵有一个角是直角的平行四边形是矩形，
∴ 有一个角是直角的四边形是矩形 这个说法错误，是假命题，则本项不符合题意；
C、∵四个角相等的四边形是矩形，而既是矩形又是菱形的四边形是正方形，
∴ 四个角相等的菱形是正方形这个说法正确，是真命题，则本项符合题意；
D、∵两条对角线相等的平行四边形是矩形，
∴ 两条对角线相等的四边形是矩形 这个说法错误，是假命题，则本项不符合题意.
故答案为：C.
【分析】根据菱形、矩形和正方形的判定定理逐项分析判断即可求解.
3．如图， 四边形是平行四边形，平分，交边于点E，平分交边于点F，P是延长线上一点，则下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：四边形是平行四边形，
，
，
∵平分，
，
∵平分
，
，
∴，故A正确；
，
，
，
，
，不一定等于，故C不正确；
∴是的垂直平分线，
，故B正确．
同理可得：是的垂直平分线，
；
四边形是平行四边形，
，
∴；故D正确．
故选：C．
【分析】结合平行四边形的性质进行角度推理关系判断A，利用垂直平分线的判定和性质判断B、C，同理推导角度关系或垂直平分线的判定结合平行四边形对边相等性质判断D.
4．如图，在平行四边形中，若，则的度数为（ ）
A．140° B．120° C．110° D．100°
【答案】C
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A=∠C，∠A+∠B=180°，且∠A+∠C=140°，
∴∠A=70°，
∴∠B=110°，
故答案为：C．
【分析】由平行四边形的性质可得∠A=∠C，∠A+∠B=180°，即可求∠B的度数。
5．如图，在矩形中，，分别是，的中点，连接，，且，分别是，的中点，已知，则的长为( )
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：如图，连接AC、EF，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD=20，
∵E，F分别是AD，CD的中点，
∴EF是△ADC的中位线，
∴，
∵G，H分别是BE，BF的中点，
∴GH是△BEF的中位线，
∴.
故答案为：B.
【分析】连接AC、EF，由矩形的对角线相等得出AC的长，根据连接三角形任意两边中点的连线叫中位线，三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半可得求出EF的长，同理可求出GH的长.
6．用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，这就是平面图形的镶嵌给出以下多边形：等边三角形，正方形，正五边形，正六边形，能单独进行平面图形的镶嵌的有( )
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：①等边三角形的内角和是，，能镶嵌；
②正方形的内角和是，能镶嵌；
③正五边形的每个内角是，不能镶嵌；
④正六边形的每个内角是，，能镶嵌；
故答案为：B
【分析】根据平面面镶嵌（密铺）的定义：判断一种或几种图形是否能够镶嵌，要看一看拼在同一顶点处的几个角能否构成周角，若能构成360°，则说明能够进行平面镶嵌，反之则不能判断即可求解。
7．四边形的对角线、相交于点，不能判定四边形是平行四边形的条件是( )
A．， B．，
C．， D．，
【答案】D
【解析】【解答】解：A、∵，，
∴四边形是平行四边形，A不符合题意；
B、∵，，
∴四边形是平行四边形，B不符合题意；
C、∵，，
∴四边形是平行四边形，C不符合题意；
D、由，不能判定四边形是平行四边形，D符合题意，
故答案为：D
【分析】根据平行四边形的判定结合题意对选项逐一判断即可求解。
8．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E为CD的中点.若OE=3，则菱形ABCD的周长为（ ）
A．6 B．12 C．24 D．48
【答案】C
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴OB=OD，AB=BC=CD=AD，
∵E为CD的中点，
∴OE是三角形BCD的中位线，
∴OE=BC，
∵OE=3，
∴BC=2OE=6，
∴菱形ABCD的周长=4×6=24.
故答案为：C.
【分析】由菱形的性质“菱形的对角线互相平分，四边都相等”可得OB=OD，AB=BC=CD=AD，根据三角形的中位线定理得OE=BC可求出BC的值，然后根据菱形的周长等于四边之和可求解.
9．一个多边形的内角和等于它的外角和的2倍，则这个多边形是（ ）
A．四边形 B．五边形 C．六边形 D．七边形
【答案】C
【解析】【解答】解：设这个多边形的边数为，
由题意得，
解得：，
即这个多边形是六边形，
故答案为：C．
【分析】设多边形的边数为，利用多边形的内角公式，以及外角和是360°列方程求解即可．
10．如图，E、F分别是平行四边形ABCD的边AB，CD上的点、AF每DE相交于点P、B与CE相交于点，若，则阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：连接EF，易知
由AE||DF得，故即=b
同理可得
故答案为：B.
【分析】由同底等高可知CDE面积为平行四边形ABCD的一半，由同底等高知得=b，同理得，由此可知阴影部分的面积.
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．如图，已知在长方形ABCD中，将△ABE沿着AE折叠至△AEF的位置，点F在对角线AC上，若BE=3，EC=5，则线段CD的长是 .
【答案】6
【解析】【解答】解：由折叠可得：AB=AF，BE=FE=3，∠AFE=∠B=90°，
∴Rt△CEF中，CF4．
设AB= x，则AF=x ，AC=x+4．
∵Rt△ABC中，AB2+BC2=AC2，
∴x2+82=（x+4）2，
解得：x=6，
∴AB=6．
∵四边形ABCD是矩形，
∴CD=AB=6．
故答案为：6．
【分析】由折叠可得：∠AFE=∠B=90°，AB=AF，BE=FE=3，在Rt△CEF中，依据勾股定理算出CF，设AB= x，则AF=x ，AC=x+4，进而在Rt△ABC中，由勾股定理建立方程可求出AB的长，最后根据矩形的对边相等即可得出答案．
12．如图，在 ABCD 中，若∠A=2∠B，则∠D= °.
【答案】60
【解析】【解答】解：∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A +∠B=180°，∠B=∠D.
又∵∠A=2∠B， ∴3∠B=180°，
∴∠D=∠B=60°.
故答案为：60
【分析】根据平行四边形的性质即可解本题.
13．如图，在四边形中，点E，F分别是边的中点，，，，，则的度数为 ．
【答案】
【解析】【解答】解：如图，连接，
∵点、分别是边、的中点，
∴是的中位线，
，
，
，
，
在中，，
，
，
，
故答案为：．
【分析】
连接，根据三角形中位线定理得到，根据平行线的性质求出，根据勾股定理的逆定理求出，最后根据角度的运算计算即可．
14． 如图，在中，以点为圆心长为半径作弧交于点，分别以点、为圆心，同样长度为半径作弧，交于点，连接并延长交于点，若，，则的长为 ．
【答案】
【解析】【解答】解：如图，
连接EF，设AE交BF于点O，
由作图可知：AB=AF，AE平分∠BAD，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠EAF=∠AEB=∠EAB，
∴AB=BE，
∴AF=BE，
∵AF∥BE，
∴四边形ABEF是平行四边形，
∵AB=AF，
∴四边形ABEF是菱形，
∴AE⊥BF，
∴AO=OE=AE，BO=OF=3，
在Rt△AOB中，AO=，
∴AE=2AO=2.
故答案为：2.
【分析】连接EF，设AE交BF于点O，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得四边形ABEF是平行四边形，再根据一组邻边相等的平行四边形是菱形可得四边形ABEF是菱形，在Rt△AOB中，用勾股定理求出AO的值，然后根据菱形的性质得AE=2AO可求解.
15．如图：AB∥CD，AD∥BC，AD＝5，BE＝8，△DCE的面积为6，则四边形ABCD的面积为 ．
【答案】20
【解析】【解答】解：∵AB∥CD，AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，
∵AD=5，
∴BC=5，
∵BE=8，
∴CE=BE-BC=8-5=3，
又∵AD∥CD，
∴点A、D到BC的距离相等，设该距离为x，
∵的面积为6，
∴，
∴x=4，
∴四边形ABCD的面积为4×5=20.
故答案为：20.
【分析】根据平行四边形的判定证出四边形ABCD是平行四边形，再根据平行四边形的性质求出BC的长，从而得CE的长，利用“平行线间的距离处处相等”以及三角形面积公式求出平行四边形ABCD的高，最后根据平行四边形的面积公式进行求解即可.
16．已知一个多边形的内角和再加上一个外角共 ， 则这个多边形的边数是
【答案】5
【解析】【解答】解：设多边形的边数是，加的外角为，
则（n－2） 180°+=600°，
∴n=5，=60°，
即这个多边形的边数是 5．
故答案为：5.
【分析】设多边形的边数是n，加的外角为α，由题意可得(n-2) 180°+α=600°，据此求解.
三、综合题(本大题有9个小题，每小题8分，共72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．如图，平行四边形的两条对角线相交于点O，
（1）求证：平行四边形是菱形；
（2）求菱形的面积．
【答案】（1）解：在△AOB中，，
∴，
∴△AOB是直角三角形，即∠AOB=90°，
∴AC⊥BD，
又∵四边形ABCD四平行四边形，
∴四边形ABCD是菱形；
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，
∴，
∴．
【解析】【分析】（1）先根据勾股定理的逆定理即可得到△AOB是直角三角形，即∠AOB=90°，再结合菱形的判定即可求解；
（2）根据菱形的性质结合题意即可求解。
18．如图，四边形的对角线，相交于点，其中，，，为上一点，连接，．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）若平分，且，求的度数．
【答案】（1）证明：，，
四边形是平行四边形，
．
，
，
平行四边形是矩形．
（2）解：平行四边形是矩形，
，，，
平分，
，
，
，
．
，，
，
是等边三角形，
，
．
，，
，
．
故答案为：．
【解析】【分析】（1）先根据平行四边形的判定与性质即可得到，再结合题意运用矩形的判定即可求解；
（2）先根据矩形的性质即可得到，，，再根据角平分线的性质即可得到，进而结合题意运用等边三角形的判定与性质即可得到，从而结合题意运用等腰三角形的性质即可求解。
19．如图，在中，，，点，分别是，的中点，连接，．
（1）求证：；
（2）过点作于点，求证：．
【答案】（1）解：证明：∵在中，，，
∴；
又∵点D，E分别是，的中点，
∴是的中位线，
∴，
∴．
（2）证明：∵在中，，，
∴，
又∵，
∴是等边三角形，
∵，
∴，
∴．又，
∴，
∵是的中位线，，
∴，
∴在和中，有，，
∴，
即．
【解析】【分析】（1）先根据含30°角的直角三角形的性质即可得到，再根据三角形中位线定理即可得到，进而即可求解；
（2）先根据题意即可得到，进而根据等边三角形的判定与性质即可得到，从而结合题意运用三角形中位线定理即可得到，再根据直角三角形全等的判定即可求解。
20．如图，正方形ABCD中，E是对角线BD上一点，连接AE，CE，延长AE交CD边于点F．
（1）求证：．
（2）若，，求证：．
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴，，，在和中，，∴（SAS），∴；
（2）证明：由（1）知，，又∵，∴，∴，∴∴．
【解析】【分析】（1）先利用“SAS”证明，再利用全等三角形的性质可得；
（2）先求出，再利用三角形的内角和可得，再化简可得。
21．如图，将两张长为10，宽为4的矩形纸条交叉叠放，使一组对角的顶点重合，其重叠部分是四边形AGCH．
（1）证明：四边形AGCH是菱形；
（2）求菱形AGCH的周长．
【答案】（1）证明：∵证明四边形ABCD，四边形AECF都是矩形，
∴，，
∴四边形AHCG是平行四边形，
在和中，
∴，
∴，
∴四边形AHCG是菱形．
（2）解：设，则，
在中，根据勾股定理得，
∴，
∴，
∴，
∴菱形AHCG的周长为．
【解析】【分析】（1）先证明四边形AHCG是平行四边形，再结合AH=HC，即可得到四边形AHCG是菱形；
（2）设，则，利用勾股定理列出方程，求出x的值，再求出菱形的周长即可。
22．如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F是对角线AC上的两点，且，连接DE、DF、BE、BF．
（1）求证：≌；
（2）若，，求四边形BEDF的面积．
【答案】（1）证明：依题意，，
在和中，
，
∴≌（SAS）．
（2）解：∵，
∴．
由正方形性质可得：，，，
又∵，
∴，
∴EF=OE+OF=2
∴四边形BEDF为平行四边形，
又∵，
∴四边形BEDF为菱形．
∴菱形BEDF的面积为．
【解析】【分析】（1）根据正方形的性质即可得到∠DAE=∠BCF=45°，AD=BC，根据SAS证明△ADE≌△CBF，得到答案即可；
（2）首先证明四边形DFBE为菱形，计算得到面积即可。
23．如图，已知四边形ABCD中，ABCD，BC＝AD＝4，AB＝CD＝10，∠DCB＝90°，E为CD边上的一点，DE＝7，动点P从点A出发，以每秒1个单位的速度沿着边AB向终点B运动，连接PE，设点P运动的时间为t秒.
（1）求BE的长；
（2）若△BPE为直角三角形，求t的值.
【答案】（1）解：∵CD＝10，DE＝7，
∴CE＝10 7＝3，
∵∠DCB＝90°，
∴在Rt△CBE中，BE＝＝5；
（2）解：∵BC＝AD＝4，AB＝CD＝10，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵∠DCB＝90°，
∴平行四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠D＝90°，
当∠BPE＝90°时，即∠APE＝90°，如图1，
∴四边形APED是矩形，
∴AP＝DE＝7，
∴t＝7÷1＝7（秒），
当∠BEP＝90°时，过点P作PF⊥CD于F，如图2，
∵∠A＝∠D＝∠DFP＝90°，
∴四边形ADFP是矩形，
∴DF＝AP＝t，PF＝AD＝4，
∴，
∵在Rt△BEP中，，
∴
解得：t＝，
∴当t＝7或时，△BPE为直角三角形.
【解析】【分析】（1）由线段的和差关系可得CE=CD-DE=3，然后在Rt△CBE中，利用勾股定理进行计算；
（2）由题意可得：四边形ABCD是矩形，∠A＝∠D＝90°，当∠BPE＝90°时，即∠APE＝90°，四边形APED是矩形，由矩形的性质可得AP＝DE＝7，然后除以速度可得时间；当∠BEP＝90°时，过点P作PF⊥CD于F，四边形ADFP是矩形，DF＝AP＝t，PF＝AD＝4，然后在Rt△PEF、Rt△BEP中，根据勾股定理即可求出t的值.
24．如图，将长方形ABCD沿EF折叠，使点D与点B重合．
（1）若∠AEB＝40°，求∠BFE的度数；
（2）若AB＝6，AD＝18，求CF的长．
【答案】（1）解：∵∠AEB＝40°，
∴∠BED=140°，
∴由折叠的性质得：∠BEF=∠DEF=70°，BG=CD，GF=CF，∠G=∠D=90°，
∵四边形ABCD是长方形，
∴AD∥BC，CD=AB，BC=AD，
∴∠BFE=∠DEF=70°；
（2）解：∵BC=AD=18，
∴BF=18-CF，
∵∠G=90°，
∴BG2+GF2=BF2，
∵BG=CD=AB=6，GF=CF，
∴62+CF2=（18-CF）2，
∴CF=8.
【解析】【分析】（1）先求出∠BED=140°，根据折叠的性质得出∠BEF=∠DEF=70°，再根据平行线的性质得出∠BFE=∠DEF=70°，即可得出答案；
（2）先求出BF=18-CF，根据折叠及矩形的性质得出BG=CD=AB=6，GF=CF，∠G=∠D=90°，根据勾股定理得出BG2+GF2=BF2，从而得出62+CF2=（18-CF）2，解方程即可得出CF的长.
25．如图，在△ABC中，AB＝AC，D为边BC的中点，四边形ABDE是平行四边形，AC，DE相交于点O.
（1）求证：四边形ADCE是矩形；
（2）若∠AOE＝90°，AE＝2，求矩形ADCE对角线的长.
【答案】（1）证明：∵四边形ABDE是平行四边形，
∴BD＝AE，BDAE，
∵D为BC的中点，
∴CD＝BD，
∴CD＝AE.
∴四边形ADCE是平行四边形.
又∵AB＝AC，D为边BC的中点，
∴AD⊥BC，
∴∠ADC＝90°，
∴四边形ADCE是矩形.
（2）解：∵四边形ADCE是矩形，∠AOE＝90°，
∴矩形ADCE是正方形，
∴CE＝AE＝2，∠AEC＝90°，
∴ACAE＝2，
即矩形ADCE对角线的长为2.
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质可得BD＝AE，BD∥AE，由中点的概念可得CD＝BD，则CD＝AE，推出四边形ADCE是平行四边形，由等腰三角形三线合一的性质可得AD⊥BC，然后根据矩形的判定定理进行证明；
（2）由题意可得矩形ADCE是正方形，利用勾股定理可得AC的值，即为矩形ADCE对角线的长.
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