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【50道填空题·专项集训】人教版数学八年级下册第十八章 平行四边形
1．如图，在矩形中，已知，则的度数为 °．
2．如图所示，在平面直角坐标系中，矩形ABCD定点A、B在y轴、x轴上，当B在x轴上运动时，A随之在y轴运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB＝2，BC＝1，运动过程中，点D到点O的最大距离为 ．
3．如图，在△ABC中，AB=AC，CD是高线，E是AC的中点，若AB=4，则DE= ．
4．如图，在中，的平分线交于点，的平分线交于点，若，，则的长是 ．
5．已知矩形中，，，点E在直线上，．则线段的长为 ．
6． 如图， 剪两张对边平行的纸条， 随意交叉叠放在一起， 转动其中一张， 重合的部分构成了一个四边形， 这个四边形是
7．在湖的两侧有A，B两个消防栓，为测定它们之间的距离，小明在岸上任选一点C，并量取了AC中点D和BC中点E之间的距离为16米，则A，B之间的距离应为 米.
8．如图，将长方形纸片沿EF折叠，使点与点重合，点落在点处，为折痕，，，则（重叠部分）的面积是 ．
9． 如图，，点是斜边的中点，平分，，则的长是 ．
10．已知四边形是菱形，的两边分别与相交于点E、F，且，设的面积为y，则y关于x之间的函数解析式为 ．
11．如图，在正方形中，分别为的中点，与交于点为的中点，连接，若，则的长度为 ．
12．如图，在正方形的外侧作等边，、相交于点，则为 度．
13．如图，把矩形沿翻折，点B恰好落在AD边的点处，若，，，，则矩形的面积是 ．
14．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，P是AD上不与A和D重合的一个动点，过点P分别作AC和BD的垂线，垂足分别为E、F．求PE+PF＝ ．
15．已知，如图，面积为30，，为的中线，若，则的周长为 ．
16．清代数学家李锐在其著作《勾股算术细草》中利用三个正方形出入相补的方法证明了勾股定理．如图，在中，，分别以、和为边，按如图所示的方式作正方形，和，与交于点J，与交于点E．若四边形和的面积和为5，四边形和的面积和为12，则的值为 ．
17．如图，正方形的边长为，等腰直角的直角边长为，，是的中点，是的中点，连接，则的长为 ．
18．如图，把一张长方形纸片沿AB折叠，已知∠1=74°，则∠2= °；
19．如图，将一边长为 的正方形纸片 的顶点 折叠至 边上的点 ，使 ，折痕为 ，则 的长 .
20．如图，菱形的面积为120，对角线与相交于点O，，则 ．
21．如图，正方形和正方形的边长分别为和，、相交于点，则的面积为．
22．如图，在边长为2的菱形ABCD中， ∠ABC＝120°， E，F分别为AD，CD上的动点，且AE+CF=2，则线段EF长的最小值是 ．
23．如图，在矩形纸片中，，，E为边上一点，将矩形纸片沿折叠，的对应边恰好经过点D，若设的长为x，则可列方程为 ．
24．如图，正方形的边长为3，、分别为、上的点，，将四边形沿翻折，得到四边形，恰好落在边上，交于，若连结，则的度数为 ，的长是 ．
25．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，M、N分别为边AB、BC的中点，连接MN．若MN＝1，BD，则菱形的周长为 .
26．如图，菱形 的边长为2， ，点Q是 的中点，点P是对角线 上一动点，则 最小值为 .
27．勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，最早是由中国西周数学家商高发现并证明的，早于西方五百到六百年．关于勾股定理的证明方法有很多，以下是出自于古代的一种证法．过正方形对角线交点做两条互相垂直的线段，将正方形分成四块四边形，如图1，然后将其拼成一个大正方形，如图2，若阴影部分图形面积为16，，则的长为 ．
28．如图，在矩形ABCD中，点E、F分别在AD、BC上，将△ABE沿BE翻折，使点A落在对角线BD上的M点，将△CDF沿DF翻折，使点C落在对角线BD上的N点．
（1）四边形BFDE的形状是 ．
（2）若四边形BFDE是菱形，BE=4，则菱形BFDE的面积为 ．
29．如图，在矩形中，，，O是的中点，连接，点E在线段上（点E不与B、C重合），过点E作于M，于N，则的值为 ．
30．如图，在平行四边形中，，，以为圆心画弧，分别交，于、两点；再分别以、为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在内交于点，作射线交线段于点，则的长为 ．
31．如图，四边形ABCD是菱形，，，点E是CD边上的一动点，过点E作EF⊥OC于点F，EG⊥OD于点G，连接FG，则FG的最小值为 ．
32．如图，中，，D为中点，E在上，且，若，，则边的长度为 .
33．如图，正方形ABCD的面积是64，点F在边AD上，点E在边AB的延长线上.若CE⊥CF，且△CEF的面积是50，则DF的长度是 .
34．已知 是平行四边形 的对角线 与 的交点. ， ， ，那么 的周长等于 ．
35．如图，在边长为3的正方形纸片中，E是边上的一点，，连接，将正方形纸片折叠，使点D落在线段上的点G处，折痕．则的长为 ．
36．如图，在菱形中，，，取大于的长为半径，分别以点A，B为圆心作弧相交于两点，过此两点的直线交边于点E（作图痕迹如图所示），连接，则的长度为 ．
37．如图，在菱形中，对角线，相交于点，．线段与关于过点的直线对称，点的对应点在线段上，交于点，则与四边形的面积比为 ．
38．如图所示，中，，分别延长到点M，N，点P在的内部、的外部（即图中阴影部分）．若点P到三条边所在直线的距离相等，则的大小为 度，点P到边所在直线的距离为 ．
39．如图，正方形ABCD中，AE=AB，直线DE交BC于点F，则∠BEF= 度．
40．如图，在矩形中，，，点是对角线上一个动点（点与点，不重合），过点分别作于点，交于点，连接，则的最小值为 ．
41．如图，把含30°的直角三角板PMN放置在正方形ABCD中，∠PMN＝30°，直角顶点P在正方形ABCD的对角线BD上，点M，N分别在AB和CD边上，MN与BD交于点O，且点O为BD的中点，则∠AMP的度数为
42． 如图，点D，E分别是的边的中点，连接BE，过点C作，交的延长线于点F，若，则EF的长为 ．
43．如图，菱形的对角线，相交于点，点为边上一动点不与点，重合，于点，于点，若，，则的最小值为 ．
44．如图，菱形的对角线、相交于点，，，与交于点若，，则菱形的高为 ．
45．如图，正方形瓷砖图案中的阴影部分是四个全等且顶角为45°的等腰三角形．已知该瓷砖的面积是，则中间小正方形的面积为 ．
46．如图，矩形中，O为中点，过点O的直线分别与交于点E，F，连接，交于点M，连接．若，则下列结论：①；②四边形是菱形；③垂直平分线段；④．其中正确结论的个数是 个．
47．如图，正方形ABCD的顶点C，D均在双曲线在第一象限的分支上，顶点A，B分别在x轴、y轴上，则此正方形的边长为 ．
48．在菱形ABCD中，M是AD的中点，AB＝4，N是对角线AC上一动点，△DMN 的周长最小是2+，则BD的长为 ．
49．如图，在等边中，，交的平分线于点D，点E为上一点，点F为上一点，，连接，，则的最小值是 ．
50．如图，所有正方形的中心都在原点，且各边也都与x轴或y轴平行，从内向外，它们的边长依次为2，4，6，8，…顶点依次用A1、A2、A3、A4表示，则顶点A2020的坐标为 .
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【50道填空题·专项集训】人教版数学八年级下册第十八章 平行四边形
1．如图，在矩形中，已知，则的度数为 °．
【答案】
2．如图所示，在平面直角坐标系中，矩形ABCD定点A、B在y轴、x轴上，当B在x轴上运动时，A随之在y轴运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB＝2，BC＝1，运动过程中，点D到点O的最大距离为 ．
【答案】＋1
3．如图，在△ABC中，AB=AC，CD是高线，E是AC的中点，若AB=4，则DE= ．
【答案】2
【解析】【解答】解：∵AB=AC，AB=4，
∴AC=4．
在△ABC中，CD是高线，
∴∠ADC=90°，
又∵E是AC的中点，
∴DE= AC=2.
故答案为：2.
【分析】根据题意可得AB=AC=4，由高线的概念可得∠ADC=90°，根据直角三角形斜边上中线的性质可得DE=AC，据此计算.
4．如图，在中，的平分线交于点，的平分线交于点，若，，则的长是 ．
【答案】2
5．已知矩形中，，，点E在直线上，．则线段的长为 ．
【答案】5或
【解析】【解答】解：点E的位置存在两种情况，
当点E在线段CD上时，如图所示，
∵矩形ABCD，
在中，
当点E在线段CD延长线上时，如图所示，
∵矩形ABCD，
在中，
故答案为：5或．
【分析】分类讨论，结合图形，利用勾股定理计算求解即可。
6． 如图， 剪两张对边平行的纸条， 随意交叉叠放在一起， 转动其中一张， 重合的部分构成了一个四边形， 这个四边形是
【答案】平行四边形
【解析】【解答】解：根据题意可得：AD//BC，DC//AB，
∴四边形ABCD是平行四边形.
故答案为：平行四边形.
【分析】根据“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”可得结论.
7．在湖的两侧有A，B两个消防栓，为测定它们之间的距离，小明在岸上任选一点C，并量取了AC中点D和BC中点E之间的距离为16米，则A，B之间的距离应为 米.
【答案】32
【解析】【解答】解：∵D、E分别是CA，CB的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE∥AB，且AB=2DE，
∵DE=16米，
∴AB=32米.
故答案是：32.
【分析】可得DE是△ABC的中位线，然后根据三角形的中位线定理，可得DE∥AB，且AB=2DE，再根据DE的长度为16米，即可求出A、B两地之间的距离.
8．如图，将长方形纸片沿EF折叠，使点与点重合，点落在点处，为折痕，，，则（重叠部分）的面积是 ．
【答案】10
9． 如图，，点是斜边的中点，平分，，则的长是 ．
【答案】2
【解析】【解答】解：∵ ∠ACB=90°，点D是斜边AB的中点，
∴ AD=CD，
∵ DE平分∠ADC，
∴ AE=CE，
∴ DE=BC=2.
故答案为：2.
【分析】根据直角三角形的斜边的性质可得AD=CD，根据等腰三角形的三线合一可得AE=CE，再根据三角形的中位线定理即可求得DE=BC.
10．已知四边形是菱形，的两边分别与相交于点E、F，且，设的面积为y，则y关于x之间的函数解析式为 ．
【答案】
11．如图，在正方形中，分别为的中点，与交于点为的中点，连接，若，则的长度为 ．
【答案】
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=DC=CB=BA，∠ADC=∠DCE=90°，
∵E、F分别为BC、CD的中点，
∴DF=CE，
∴△ADF≌△DCE，
∴∠DAF=∠CDE，
∵∠DAF+∠AFD=90°，
∴∠CDE+∠AFD=90°，
∴∠DNF=90°，
∴∠AME=90°，
∵点N是AE的中点，
∴MN=
在Rt△ABE中，∠B=90°，
∴AE=，
∴MN=。
故答案为：.
【分析】首先通过证明△ADF≌△DCE，可得出∠DAF=∠CDE，从而通过等量代换可以得出∠AME=90°，然后根据直角三角形斜边中线的性质，得出MN=再根据勾股定理求得AE的长，即可求得MN的长度。
12．如图，在正方形的外侧作等边，、相交于点，则为 度．
【答案】120
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD＝90°，AB＝AD，∠BAF＝45°，
∵△ADE是等边三角形，
∴∠DAE＝60°，AD＝AE，
∴∠BAE＝90°+60°＝150°，AB＝AE，
∴∠ABE＝∠AEB＝（180°﹣150°）＝15°，
∴∠BFC＝∠BAF+∠ABE＝45°+15°＝60°，
∴∠EFC＝180°﹣∠BFC＝120°；
故答案为：120．
【分析】先利用正方形和等边三角形的性质求出∠BAE＝90°+60°＝150°，AB＝AE，然后利用三角形的内角和可得∠ABE＝∠AEB＝（180°﹣150°）＝15°，再求出∠BFC＝∠BAF+∠ABE＝60°，最后利用邻补角求出∠EFC＝180°﹣∠BFC＝120°。
13．如图，把矩形沿翻折，点B恰好落在AD边的点处，若，，，，则矩形的面积是 ．
【答案】
14．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，P是AD上不与A和D重合的一个动点，过点P分别作AC和BD的垂线，垂足分别为E、F．求PE+PF＝ ．
【答案】
【解析】【解答】解：如图所示，连接OP，过点A作AG⊥BD于G，
∵AB=3，AD=4，
∴BD= ，S△ABD= AB AD= BD AG，
即 ×3×4= ×5×AG，
解得：AG= ，
在矩形ABCD中，OA=OD，
∵S△AOD= OA PE+ OD PF= OD AG，
∴PE+PF=AG= ．
故PE+PF= ．
故答案为： ．
【分析】连接OP，过点A作AG⊥BD于G，利用勾股定理求出BD的长，再根据S△ABD= AB AD= BD AG，求出AG的长，然后根据S△AOD= OA PE+ OD PF= OD AG，即可求出PE+PF=AG= ．
15．已知，如图，面积为30，，为的中线，若，则的周长为 ．
【答案】30
【解析】【解答】解：在中，CD为△ABC的中线，且，
∴AB=2CD=13，
设AC=a，BC=b，
∴a2+b2=132=169，ab=30，
∴（a+b）2=a2+b2+2ab=169+120=289，
∴a+b=17，
∴△ABC的周长为AB+AC +BC=13+a+b=13+17=30；
故答案为：30.
【分析】利用直角三角斜边中线的性质可得AB=2CD=13，设AC=a，BC=b，则a2+b2=132=169，ab=30，从而求出（a+b）2=a2+b2+2ab=289，即可求出a+b的值，最后求解即可。
16．清代数学家李锐在其著作《勾股算术细草》中利用三个正方形出入相补的方法证明了勾股定理．如图，在中，，分别以、和为边，按如图所示的方式作正方形，和，与交于点J，与交于点E．若四边形和的面积和为5，四边形和的面积和为12，则的值为 ．
【答案】
17．如图，正方形的边长为，等腰直角的直角边长为，，是的中点，是的中点，连接，则的长为 ．
【答案】
18．如图，把一张长方形纸片沿AB折叠，已知∠1=74°，则∠2= °；
【答案】32；
19．如图，将一边长为 的正方形纸片 的顶点 折叠至 边上的点 ，使 ，折痕为 ，则 的长 .
【答案】13
【解析】【解答】过点P作PM⊥BC于点M，
由折叠得到PQ⊥AE，
∴∠DAE+∠APQ=90°，
又∠DAE+∠AED=90°，
∴∠AED=∠APQ，
∵AD∥BC，
∴∠APQ=∠PQM，
则∠PQM=∠APQ=∠AED，∠D=∠PMQ，PM=AD
∴△PQM≌△AED
∴PQ=AE= =13.
故答案是：13.
【分析】过点P作PM⊥BC于点M，根据折叠的性质可知PQ⊥AE，根据同角的余角相等得出∠AED=∠APQ，根据二直线平行，内错角相等得出∠APQ=∠PQM，从而利用AAS判断出△PQM≌△AED，根据全等三角形对应边相等即可得出PQ=AE，从而得出答案。
20．如图，菱形的面积为120，对角线与相交于点O，，则 ．
【答案】13
21．如图，正方形和正方形的边长分别为和，、相交于点，则的面积为．
【答案】9
22．如图，在边长为2的菱形ABCD中， ∠ABC＝120°， E，F分别为AD，CD上的动点，且AE+CF=2，则线段EF长的最小值是 ．
【答案】
【解析】【解答】解：∵四边形是边长为2的菱形，
∴AB=AD=BC=CD=2，∠A=∠C=60°，
∴都是边长为2的正三角形，
AE+DE=AD=2，
∴DE=CF，
又
在和中，
是正三角形，
如图，当即E为AD的中点时，BE取得最小值，
在Rt△ABE中，AB=2，AE=1，
∴BE=，
∴EF的最小值为.
故答案为：.
【解答】根据已知条件，边长为2的菱形ABCD中，∠ABC=120°，可以得到△ABD、△CBD都是边长为2的正三角形，从而根据SAS证得△BDE≌△BCF，因此证得△BEF是正三角形，由此得EF=BE，从而可得当BE⊥AD，即E为AD的中点时，线段BE长最小，即求得EF的最小值.
23．如图，在矩形纸片中，，，E为边上一点，将矩形纸片沿折叠，的对应边恰好经过点D，若设的长为x，则可列方程为 ．
【答案】
24．如图，正方形的边长为3，、分别为、上的点，，将四边形沿翻折，得到四边形，恰好落在边上，交于，若连结，则的度数为 ，的长是 ．
【答案】；
25．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，M、N分别为边AB、BC的中点，连接MN．若MN＝1，BD，则菱形的周长为 .
【答案】8
26．如图，菱形 的边长为2， ，点Q是 的中点，点P是对角线 上一动点，则 最小值为 .
【答案】
【解析】【解答】解：如图所示，连接 ， ，
点P是菱形对角线 上一动点，
，
，
当D，P，Q在同一直线上时， 的最小值等于线段 的长，
四边形 是菱形， ，
， ，
是等边三角形，
又 是 的中点，
，
中， ，
，
，
最小值为 ，
故答案为： .
【分析】连接 ， ，当D，P，Q在同一直线上时， 的最小值等于线段 的长，依据勾股定理求得 的长，即可得出 最小值.
27．勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，最早是由中国西周数学家商高发现并证明的，早于西方五百到六百年．关于勾股定理的证明方法有很多，以下是出自于古代的一种证法．过正方形对角线交点做两条互相垂直的线段，将正方形分成四块四边形，如图1，然后将其拼成一个大正方形，如图2，若阴影部分图形面积为16，，则的长为 ．
【答案】
28．如图，在矩形ABCD中，点E、F分别在AD、BC上，将△ABE沿BE翻折，使点A落在对角线BD上的M点，将△CDF沿DF翻折，使点C落在对角线BD上的N点．
（1）四边形BFDE的形状是 ．
（2）若四边形BFDE是菱形，BE=4，则菱形BFDE的面积为 ．
【答案】（1）平行四边形
（2）
【解析】【解答】解：（1）四边形BFDE为平行四边形，理由如下：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠C=90°，AB=CD，AB∥CD，
∴∠ABD=∠CDB，
由于折叠，∠ABE=∠EBD，∠DCF=∠FDB，
∴∠EBD=∠FDB，
∴EB∥DF，
∵ED∥BF，
∴四边形BFDE为平行四边形．
故答案是：平行四边形；
（2）∵四边形BFDE为菱形，
∴BE=ED，∠EBD=∠FBD=∠ABE，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC，∠ABC=90°，
∴∠ABE=30°，
∵∠A=90°，BE=4，
∴AE=2，BF=BE=2AE=4，
∴AB==2，
∴菱形BFDE的面积为：4×2=8．
故答案是：8．
【分析】（1）先求出∠ABD=∠CDB，再求出∠EBD=∠FDB，最后证明求解即可；
（2）先求出∠ABE=30°，再利用勾股定理和菱形的面积公式计算求解即可。
29．如图，在矩形中，，，O是的中点，连接，点E在线段上（点E不与B、C重合），过点E作于M，于N，则的值为 ．
【答案】
30．如图，在平行四边形中，，，以为圆心画弧，分别交，于、两点；再分别以、为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在内交于点，作射线交线段于点，则的长为 ．
【答案】
31．如图，四边形ABCD是菱形，，，点E是CD边上的一动点，过点E作EF⊥OC于点F，EG⊥OD于点G，连接FG，则FG的最小值为 ．
【答案】
32．如图，中，，D为中点，E在上，且，若，，则边的长度为 .
【答案】
【解析】【解答】解：∵BE⊥AC，
∴∠AEB＝90°，
∵D为AB中点，
∴AB＝AC=2DE＝2×＝5，
∵AE＝4，
∴BE＝＝=3，CE=AC-AE=1，
∴BC＝=＝.
故答案为：.
【分析】根据垂直的概念可得∠AEB＝90°，根据直角三角形斜边上中线的性质可得AB=2DE＝5，利用勾股定理求出BE，由CE=AC-AE可得CE，再次利用勾股定理计算即可.
33．如图，正方形ABCD的面积是64，点F在边AD上，点E在边AB的延长线上.若CE⊥CF，且△CEF的面积是50，则DF的长度是 .
【答案】6
【解析】【解答】∵四边形ABCD是正方形，
∴CD=CB= =8，∠D=∠CBE=90°，
∵CE⊥CF，
∴∠DCF+∠FCB=90°，∠ECB+∠FCB=90°，
∴∠DCF=∠ECB，
∴△DCF≌△BCE.
∴CF=CE，
由△CEF的面积是50，可得CF=CE= =10，
在Rt△CDF中，DF= = =6.
故答案为：6.
【分析】根据等角的余角相等判断出∠ECB=∠FCD，又知∠CDF=∠CBE=90°，DC=CB，可得△DCF≌△BCE，从而得出CF=CE，根据三角形的面积公式求出三角形的边长，再利用勾股定理求出DF的长.
34．已知 是平行四边形 的对角线 与 的交点. ， ， ，那么 的周长等于 ．
【答案】59
【解析】【解答】解：如图，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴BO= BD=19，CO= AC=12，BC=AD=28，
∴BO+CO+BC=19+12+28=59，即△OBC的周长为59，
故答案为：59．
【分析】先求出BO= BD=19，CO= AC=12，BC=AD=28，再求三角形的周长即可。
35．如图，在边长为3的正方形纸片中，E是边上的一点，，连接，将正方形纸片折叠，使点D落在线段上的点G处，折痕．则的长为 ．
【答案】
36．如图，在菱形中，，，取大于的长为半径，分别以点A，B为圆心作弧相交于两点，过此两点的直线交边于点E（作图痕迹如图所示），连接，则的长度为 ．
【答案】
37．如图，在菱形中，对角线，相交于点，．线段与关于过点的直线对称，点的对应点在线段上，交于点，则与四边形的面积比为 ．
【答案】
【解析】【解答】解：连接OE，A'D，
∵ 线段与关于过点的直线对称，
∴点A'在线段BD的延长线上，OA=OA'，OB=OB'，∠A'=∠DAC，
∵，
∴设AC=5x，BD=3x，
∵四边形ABCD是菱形，
∴，∠A'=∠DAC=∠DCA，
∴，
在△A'DE和△CB'E中
∴△A'DE≌△CB'E（AAS），
∴DE=B'E，
∵OE=OE，
∴△DOE≌△B'OE，
∴S△DOE=S△B'OE，
设△EB'C的B'C边上的高为h，
∴
故答案为：
【分析】连接OE，A'D，利用轴对称的性质可证得点A'在线段BD的延长线上，OA=OA'，OB=OB'，∠A'=∠DAC，设AC=5x，BD=3x，利用菱形的性质可证得∠A'=∠DAC=∠DCA，同时可表示出CB'、OB'的长，利用AAS证明△A'DE≌△CB'E，可推出DE=B'E，利用SSS可证得△DOE≌△B'OE，可推出S△DOE=S△B'OE，设△EB'C的B'C边上的高为h，可证得，代入计算可求出结果.
38．如图所示，中，，分别延长到点M，N，点P在的内部、的外部（即图中阴影部分）．若点P到三条边所在直线的距离相等，则的大小为 度，点P到边所在直线的距离为 ．
【答案】45；6
39．如图，正方形ABCD中，AE=AB，直线DE交BC于点F，则∠BEF= 度．
【答案】45
40．如图，在矩形中，，，点是对角线上一个动点（点与点，不重合），过点分别作于点，交于点，连接，则的最小值为 ．
【答案】
41．如图，把含30°的直角三角板PMN放置在正方形ABCD中，∠PMN＝30°，直角顶点P在正方形ABCD的对角线BD上，点M，N分别在AB和CD边上，MN与BD交于点O，且点O为BD的中点，则∠AMP的度数为
【答案】75°
42． 如图，点D，E分别是的边的中点，连接BE，过点C作，交的延长线于点F，若，则EF的长为 ．
【答案】
【解析】【解答】解：∵ 点D，E分别是的边的中点，
∴BC=2DE=4，DE∥BC，
∵，
∴四边形BCFE是平行四边形，
∴EF=BC=4。
故答案为：4。
【分析】首先根据三角形中位线定理，可得出BC=2DE=4，DE∥BC，然后再根据平行四边形的判定得出四边形BCFE是平行四边形，再根据平行四边形的性质，即可得出答案。
43．如图，菱形的对角线，相交于点，点为边上一动点不与点，重合，于点，于点，若，，则的最小值为 ．
【答案】
【解析】【解答】解：如图，连接PO，
∵四边形ABCD是菱形，AC=10，BD=5，
∴AC⊥BD，BO=，AO=5，
∴AB==，
∵，，
∴四边形PEOF是矩形，
∴EF=PO，
欲求EF的最小值，即求PO的最小值，
当OP⊥AB时，OP最小，
∴△AOB的面积=AO·OB=AB·OP，即××5=××OP，
∴OP=，
∴的最小值为 .
故答案为：.
【分析】连接PO，由菱形的性质及勾股定理求出AB的长，再证四边形PEOF是矩形，可得EF=PO，
欲求EF的最小值，即求PO的最小值，当OP⊥AB时，OP最小，根据三角形△AOB的面积求出此时OP的长即可.
44．如图，菱形的对角线、相交于点，，，与交于点若，，则菱形的高为 ．
【答案】
【解析】【解答】解：，，
四边形AEBO是平行四边形，
又菱形ABCD对角线交于点O，
，，，
．
平行四边形AOBE是矩形，
，
，
，
设菱形ABCD的高为，
，
，
即菱形ABCD的高为.
故答案为：.
【分析】易得四边形AEBO是平行四边形，由菱形的性质得OA=AC=4，OB=OD，AC⊥BD，则四边形AOBE是矩形，AB=OE=5，利用勾股定理可得OB，然后求出BD，设菱形ABCD的高为h，根据菱形的面积公式可得S菱形ABCD=AC·BD=AB·h，代入求解可得h的值.
45．如图，正方形瓷砖图案中的阴影部分是四个全等且顶角为45°的等腰三角形．已知该瓷砖的面积是，则中间小正方形的面积为 ．
【答案】
46．如图，矩形中，O为中点，过点O的直线分别与交于点E，F，连接，交于点M，连接．若，则下列结论：①；②四边形是菱形；③垂直平分线段；④．其中正确结论的个数是 个．
【答案】3
47．如图，正方形ABCD的顶点C，D均在双曲线在第一象限的分支上，顶点A，B分别在x轴、y轴上，则此正方形的边长为 ．
【答案】
48．在菱形ABCD中，M是AD的中点，AB＝4，N是对角线AC上一动点，△DMN 的周长最小是2+，则BD的长为 ．
【答案】4
49．如图，在等边中，，交的平分线于点D，点E为上一点，点F为上一点，，连接，，则的最小值是 ．
【答案】
50．如图，所有正方形的中心都在原点，且各边也都与x轴或y轴平行，从内向外，它们的边长依次为2，4，6，8，…顶点依次用A1、A2、A3、A4表示，则顶点A2020的坐标为 .
【答案】（505，﹣505）
【解析】【解答】解：观察发现：A1（﹣1，﹣1），A2（﹣1，1），A3（1，1），A4，（1，﹣1），A5（﹣2，﹣2），A6（﹣2，2），A7（2，2），A8（2，﹣2），A9（﹣3，﹣3），…，
∴A4n+1（﹣n﹣1，﹣n﹣1），A4n+2（﹣n﹣1，n+1），A4n+3（n+1，n+1），A4n+4（n+1，﹣n﹣1）（n为自然数）.
∵2020＝505×4，
∴A2020（505，﹣505）.
故答案为：（505，﹣505）.
【分析】根据正方形的性质找出部分An点的坐标，根据坐标的变化找出变化规律“A4n+1（﹣n﹣1，﹣n﹣1），A4n+2（﹣n﹣1，n+1），A4n+3（n+1，n+1），A4n+4（n+1，﹣n﹣1）（n为自然数）”，依此即可得出结论.
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