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【50道综合题·专项集训】人教版数学八年级下册第十八章 平行四边形
1．如图，已知线段和线段.
（1）用直尺和圆规按下列要求作图.（请保留作图痕迹，并标明相应的字母，不写作法）
①作线段的垂直平分线，交线段于点；
②以线段为对角线，作矩形，使得，并且点在线段的上方.
（2）当，时，求（1）中所作矩形的面积.
2．如图，在矩形中，，点P从点A出发沿以的速度向点B运动；同时，点Q从点B出发沿以的速度向点C运动，点P运动到点B时，点Q也停止运动；当的面积等于时，求运动时间．
3．如图，已知：△ABC中，AB＝AC，M、D、E分别是BC、AB、AC的中点．
（1）求证：MD＝ME；
（2）若MD＝3，求AC的长.
4．如图，点B、E、C、F在一条直线上，AB=DF，AC=DE，BE=FC．
（1）求证：△ABC≌△DFE；
（2）连接AF、BD，求证：四边形ABDF是平行四边形．
5．如图，四边形ABCD是平行四边形，E，F是对角线BD上的点，∠1=∠2.
求证：
（1）BE=DF；
（2）AF∥CE.
6．如图，在四边形ABCD中，BD为一条对角线，AD∥BC，AD=2BC，∠ABD=90°，E为AD的中点，连接BE．
（1）求证：四边形BCDE为菱形；
（2）连接AC，若AC平分∠BAD，BC=1，求AC的长．
7．
（1）感知：如图①，在正方形中，E是一点，F是AD延长线上一点，且，求证：；
（2）拓展：在图①中，若G在AD，且，则成立吗？为什么？
（3）运用：如图②在四边形中，，，，E是AB上一点，且，，求DE的长．
8．如图，四边形ABCD中，点E在AD上，且EA＝EB，∠ADB＝∠CBD＝90°，∠AEB＋∠C＝180°，求证：
（1）四边形BCDE是平行四边形．
（2）若AB＝ ，DB＝4，求四边形ABCD的面积．
9．已知，如图，在四边形 中， ，对角线 交于点O，过点C作 交 的延长线于点E，联结 .
（1）求证： ；
（2）如果 平分 ，求证，四边形 是菱形.
10．在边长为1的正方形ABCD中，点E是射线BC上一动点，AE与BD相交于点M，AE或其延长线与DC或其延长线相交于点F，G是EF的中点，连接CG.
（1）如图1，当点E在BC边上时.求证：CG⊥CM.
（2）如图2，当点E在BC的延长线上时，（1）中的结论是否成立？请说明理由.
（3）在点E运动过程中，当BE的长度多少时，△MCE是等腰三角形？请说明理由.
11．如图，点O是线段AB上的一点，OA=OC，OD平分∠AOC交AC于点D，OF平分∠COB，CF⊥OF于点F．
（1）求证：四边形CDOF是矩形；
（2）当∠AOC多少度时，四边形CDOF是正方形？并说明理由．
12．如图，已知的对角线，交于点O，过点O且与，分别相交于点E、F．
（1）求证：；
（2）若，，，求的长．
13．如图，在正方形ABCD中，AB=BC=CD=AD，∠BAD=∠B=∠C=∠D=90°，点E、F分别在正方形ABCD的边DC、BC上，AG⊥EF且 AG=AB，垂足为G，则：
（1）△ABF与△ AGF全等吗？说明理由；
（2）求∠EAF的度数；
（3）若AG=4，△AEF的面积是7，求△CEF的面积．
14．如图，在矩形ABCD中，BD的垂直平分线分别交AB、CD、BD于E、F、O，连接DE、BF.
（1）求证：四边形BEDF是菱形；
（2）若AB＝8cm，BC＝4cm，求四边形DEBF的面积.
15．如图，在菱形ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，作DE⊥BC于点F，连接EF，
求证：
（1）△ADE≌△CDF；
（2）若∠A＝60°，AD＝4，求△EDF的周长.
16．如图，在平行四边形ABCD中，BC=AC，E，F分别是AB，CD的中点，连接CE并延长交DA的延长线于M，连接AF并延长交BC的延长线于N。
（1）求证：△ABN≌△CDM；
（2）当平行四边形ABCD的边或角满足什么关系时，四边形A ECF是正方形？请说明理由。
17．如图1，在平行四边形ABCD中，点E、F分别为AD，BC的中点，点G，H在对角线BD上，且BG＝DH．
（1）求证：四边形EHFG是平行四边形．
（2）如图2，连结AC交BD于点O，若AC⊥EH，OH＝BH，OH＝2，求AB的长．
18．如图，在△ABC中，O是AC上一动点（不与点A、C重合），过O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F．
（1）OE与OF相等吗？证明你的结论；
（2）试确定点O的位置，使四边形AECF是矩形，并加以证明．
19．
（1）如图所示，Rt△ABC中，∠BAC ＝ 90 °，AB＝，AC＝，点D是斜边BC的中点，连接AD，求AD的长．
（2）如图，在平行四边形ABCD中，DE⊥AB，BF⊥CD，垂足分别是E、F．求证：△ADE≌△CBF
20．如图，已知四边形ABCD是矩形．
（1）请用直尺和圆规在边AD上作点E，使得EB＝EC．（保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，若AB＝4，AD＝6，求EB的长．
21．如图，点B、F、C、E在同一直线上，且BF＝CE，点A、D分别在直线BE的两侧，AB//DE，∠A＝∠D.
（1）求证：△ABC≌△DEF；
（2）连接AD交BE于点O，若AO＝BO，请补全图形并证明：四边形ABDE是矩形.
22．如图，已知E、F分别是 ABCD的边BC、AD上的点，且BE=DF．
（1）求证：四边形AECF是平行四边形；
（2）若四边形AECF是菱形，且BC=10，∠BAC=90°，求BE的长．
23．如图，△ABC为等边三角形，射线AM∥BC．
（1）请用尺规作图法作△ABC的对称轴，交射线AM于点E（点E异于点A）；（不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，连接CE，得四边形ABCE的形状为 ．
24．如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别为OB，OD的中点，延长AE至点G，使AE＝GE，连接CG，CF.
（1）求证：△AOE≌△COF；
（2）只需添加一个条件，即 ▲
，可使四边形CGEF为矩形，请加以证明.
25．如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，四边形OBEC是矩形，△BOC≌△DOA．
（1）求证：四边形ABCD是菱形．
（2）若BC＝13，AC＝24，求菱形ABCD的面积．
26．如图，在四边形ABCD中，AB=BC，对角线BD平分∠ABC，P是BD上一点，过点P作PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分别为M，N．
（1）求证：∠ADB=∠CDB；
（2）若∠ADC=90°，求证：四边形MPND是正方形．
27．已知，四边形 是菱形，
（1）若 ，则菱形 的周长 ；
（2）如图①， ， 是对角线，则 与 的位置关系是 ；
（3）如图②，点 ， 分别在 ， 上，且 ， ， ，点 ， 分别在 ， 上， 与 相交于点 ．
求证：四边形 是菱形．
28．在中，E，F为上的两点，且，．
（1）求证：；
（2）求证：是矩形；
（3）连接，若是的平分线，，，求四边形的面积．
29．如图，在矩形ABCD中，点E在边AB上，，．
（1）尺规作图：在CD的延长线上求作点F，使．（要求：保留作图痕迹，不写作法）
（2）在（1）的条件下：
①求证：CE平分∠BEF；
②求线段CF的长．
30．已知 ．
（1）化简M；
（2）x是面积为5的正方形边长，求M的值．
31．如图，在矩形ABCD中，对角线AC的垂直平分线EF分别交AD、AC、BC于点E、O、F，连接CE和AF.
（1）求证：四边形AECF为菱形；
（2）若AB＝4，BC＝8，求菱形AECF的周长.
32．施工队要修建一个横断面为抛物线的公路隧道，其高度为6米，宽度为12米，现在点为原点，所在直线为轴建立直角坐标系（如图所示）．
（1）求出这条抛物线的函数解析式；
（2）施工队计划在隧道门口搭建一个矩形“脚手架”，使、点在拋物线上，、点在地面上，设的横坐标为，求________，________．（用含的代数式表示）
（3）为了筹备材料，需求出“脚手架”三根木杆、、的长度之和的最大值是多少？
33．如图，在 ABCD中，∠ABD＝90°，延长AB至点E，使BE＝AB，连接CE．
（1）求证：四边形BECD是矩形；
（2）连接DE交BC于点F，连接AF，若CE＝2，∠DAB＝30°，求AF的长．
34．如图，在 ABCD中，点O为对角线BD的中点，EF过点O且分别交AB、DC于点E、F，连接DE、BF.
求证：
（1）△DOF≌△BOE；
（2）DE=BF.
35．如图：
（1）基础探究：如图①，在正方形ABCD中，点E为AD上一点，DF⊥CE交AB于F，垂足为点O．求证：CE＝DF．
（2）应用拓展：如图②，在正方形ABCD中，点E为AD上一点，FG⊥CE分别交AB、CD于F、G，垂足为点O．若正方形ABCD的边长为12，DE＝5，则四边形EFCG的面积为 ．
36．已知：如图，在四边形ABCD中，DE⊥AC，BF⊥AC，垂足分别为E，F，延长DE、BF，分别交AB于点H，交BC于点G，若AD∥BC，AE＝CF．
（1）求证：四边形ABCD为平行四边形；
（2）若∠DAH＝∠GBA，GF＝2，CF＝4，求AD的长．
37．如图，E是 ABCD的边CD的中点，延长AE交BC的延长线于点F．
（1）求证：△ADE≌△FCE．
（2）若∠BAF=90°，BC=5，EF=3，求CD的长．
38．如图，正方形 中， 是 上的一点，连接 ，过 点作 ，垂足为点 ，延长 交 于点 ，连接 .
（1）求证： .
（2）若正方形边长是5， ，求 的长.
39．如图，菱形ABCD中，E为对角线BD的延长线上一点.
（1）求证：AE=CE；
（2）若BC=6，AE=10，∠BAE=120°，求DE的长.
40．如图，四边形ABCD是菱形，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F．
（1）求证：△ABE≌△ADF；
（2）若AE=4，CF=2，求菱形的边长．
41．如图，在 ABCD中，M为AD的中点，BM＝CM．
求证：
（1）△ABM≌△DCM；
（2）四边形ABCD是矩形．
42．如图，用一张如图A的正方形硬纸板、三张如图B的长方形硬纸板、两张如图C的正方形硬纸板拼成一个长方形（如图D）.
（1）请用不同的式子表示图D的面积（写出两种即可）；
（2）根据（1）所得结果，写出一个表示因式分解的等式.
43．在正方形中，P是边BC上一动点（不与点B、C重合）连接AP.
（1）如图①，过点B作BQ⊥AP垂足为点O，交CD于点Q，求证：△ABP≌△BCQ；
（2）如图②，E是AP上的一点，过点E作MN⊥AP，分别交AB，CD于点M，N.求证：AP=MN.
44．如图 ， 在平行四边形 中， ， 垂直平分 分别交 于点 ．
（1） 判断四边形 是何种特殊四边形？并说明理由．
（2）求四边形 的面积．
45．如图，在四边形 中， ， .
（1）求证：四边形 为平行四边形.
（2）若 ， ， ，求 的长.
46．如图，平行四边形ABCD中，AB=4cm，BC=6cm，∠B=60°，G是CD的中点，E是边AD上的动点，EG的延长线与BC的延长线交于点F，连接CE，DF．
（1）求证：四边形CEDF是平行四边形；
（2）请直接写出当AE为何值时，四边形CEDF是菱形（不用证明）．
（3）当AE＝4时，请证明：四边形CEDF是矩形．
47．如图，在△ABC中，点D是边BC的中点，点E在△ABC内，AE平分∠BAC，CE⊥AE，点F在边AB上，EFBC．
（1）求证：四边形BDEF是平行四边形；
（2）线段BF、AB、AC的数量之间具有怎样的关系？证明你所得到的结论．
48．我们把依次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫做中点四边形．如图，E、F、G、H分别是四边形各边的中点．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）如果我们对四边形的对角线与添加一定的条件，则可使四边形成为特殊的平行四边形，请你经过探究后直接填写答案：
①当时，四边形为 ；
②当 时，四边形为矩形；
③当且时，四边形为 ．
49．如图，矩形AOBC，点A、B分别在x、y轴上，对角线AB、OC交于点D，点C（ ，1），点M是射线OC上一动点．
（1）求证：△ACD是等边三角形；
（2）若△OAM是等腰三角形，求点M的坐标；
（3）若N是OA上的动点，则MA+MN是否存在最小值？若存在，请求出这个最小值；若不存在，请说明理由．
50．如图，点P是∠AOB内的一点，过点P作PC∥OB，PD∥OA，分别交OA、OB于点C、D，且PE⊥OA，PF⊥OB，垂足分别为点E、F．
（1）求证：OC CE=OD DF；
（2）当点P位于∠AOB的什么位置时，四边形CODP是菱形并证明你的结论．
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【50道综合题·专项集训】人教版数学八年级下册第十八章 平行四边形
1．如图，已知线段和线段.
（1）用直尺和圆规按下列要求作图.（请保留作图痕迹，并标明相应的字母，不写作法）
①作线段的垂直平分线，交线段于点；
②以线段为对角线，作矩形，使得，并且点在线段的上方.
（2）当，时，求（1）中所作矩形的面积.
【答案】（1）解：①线段的垂直平分线，如图所示，
②如图，矩形ABCD即为所求.
（2）解：如图所示，
∵在矩形中，，，，
∴在中，，
∴矩形的面积是，
【解析】【分析】（1）①分别以点A、C为圆心，大于AC长度一半的长度为半径画弧，两弧在AC的两侧分别相交于点M、N，过点M、N作直线l，交AC于点O，该直线就是线段AC的垂直平分线；②以点A为圆心，线段a的长为半径画弧，再以点O为圆心，OA的长度为半径画弧，两弧在AC的上方相交于点B，以点C为圆心，线段a的长为半径画弧，再以点O为圆心，OA的长度为半径画弧，两弧在AC的下方相交于点D，连接AB、BC、AD、CD，四边形ABCD就是所求的矩形；
（2）根据矩形的性质得∠B=90°，根据勾股定理算出BC的长，进而根据矩形的面积等于长×宽计算即可.
2．如图，在矩形中，，点P从点A出发沿以的速度向点B运动；同时，点Q从点B出发沿以的速度向点C运动，点P运动到点B时，点Q也停止运动；当的面积等于时，求运动时间．
【答案】
3．如图，已知：△ABC中，AB＝AC，M、D、E分别是BC、AB、AC的中点．
（1）求证：MD＝ME；
（2）若MD＝3，求AC的长.
【答案】（1）证明：连接AM，∵AB＝AC，M是BC的中点，∴AM⊥BC.∵在Rt△ABM和Rt△ACM中，∠BMA＝∠CMA＝90°，D、E分别是AB、AC的中点，∴MD＝ AB，ME＝ AC ．∵AB＝AC，∴MD＝ME ．
（2）解：∵MD＝3，
MD＝ AB，∴AC＝AB＝6.
【解析】【分析】（1）连接AM利用等腰三角形的三线合一得出AM⊥BC，然后利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出结论；
（2）由（1）知MD＝ AB又AB=AC，得出结论。
4．如图，点B、E、C、F在一条直线上，AB=DF，AC=DE，BE=FC．
（1）求证：△ABC≌△DFE；
（2）连接AF、BD，求证：四边形ABDF是平行四边形．
【答案】（1）证明：∵BE=FC，
∴BC=EF，
在△ABC和△DFE中，
，
∴△ABC≌△DFE（SSS）
（2）解：由（1）知△ABC≌△DFE，
∴∠ABC=∠DFE，
∴AB∥DF，
∵AB=DF，
∴四边形ABDF是平行四边形．
【解析】【分析】（1）由BE=FC得出BC=EF，然后利用SSS判断出△ABC≌△DFE；
（2）根据全等三角形对应角相等由△ABC≌△DFE，得出∠ABC=∠DFE，根据内错角相等，二直线平行得出AB∥DF，然后由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得出结论。
5．如图，四边形ABCD是平行四边形，E，F是对角线BD上的点，∠1=∠2.
求证：
（1）BE=DF；
（2）AF∥CE.
【答案】（1）证明： ∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB∥CD，
∴∠5=∠3，
∵∠1=∠2，
∴∠AEB=∠4，
在△ABE和△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（AAS），
∴BE=DF；
（2）证明：由（1）得△ABE≌△CDF，
∴AE=CF，
∵∠1=∠2，
∴AE∥CF，
∴四边形AECF是平行四边形，
∴AF∥CE．
【解析】【分析】（1）利用平行四边形的性质得出∠5=∠3，∠AEB=∠4，进而利用全等三角形的判定得出即可；（2）利用全等三角形的性质得出AE=CF，进而得出四边形AECF是平行四边形，即可得出答案．
6．如图，在四边形ABCD中，BD为一条对角线，AD∥BC，AD=2BC，∠ABD=90°，E为AD的中点，连接BE．
（1）求证：四边形BCDE为菱形；
（2）连接AC，若AC平分∠BAD，BC=1，求AC的长．
【答案】（1）证明：∵AD=2BC，E为AD的中点，
∴DE=BC，
∵AD∥BC，
∴四边形BCDE是平行四边形，
∵∠ABD=90°，AE=DE，
∴BE=DE，
∴四边形BCDE是菱形
（2）解：连接AC．
∵AD∥BC，AC平分∠BAD，
∴∠BAC=∠DAC=∠BCA，
∴AB=BC=1，
∵AD=2BC=2，
∴sin∠ADB= ，
∴∠ADB=30°，
∴∠DAC=30°，∠ADC=60°，
在Rt△ACD中，∵AD=2，
∴CD=1，AC= ．
【解析】【分析】（1）由DE=BC，DE∥BC，推出四边形BCDE是平行四边形，再证明BE=DE即可解决问题；（2）在Rt△只要证明∠ADC=60°，AD=2即可解决问题；
7．
（1）感知：如图①，在正方形中，E是一点，F是AD延长线上一点，且，求证：；
（2）拓展：在图①中，若G在AD，且，则成立吗？为什么？
（3）运用：如图②在四边形中，，，，E是AB上一点，且，，求DE的长．
【答案】（1）证明：如图1中，
在正方形ABCD中，
∵BC=CD，∠B=∠CDF=90°，BE=DF，
∴△CBE≌△CDF（SAS），
∴CE=CF；
（2）解：成立，
∵∠GCE=45°，
∴∠BCE+∠GCD=45°，
∵△BEC≌△DFC，
∴∠BCE=∠DCF，
∴∠DCF+∠GCD=45°，即∠GCF=45°，
∴∠GCE=∠GCF，且GC=GC，CE=CF，
∴△GCE≌△GCF（SAS），
∴EG=GF，
∴EG=GD+DF=BE+GD；
（3）解：如图：过点C作CF⊥AD于F，
∵AD∥BC，∠B=90°，
∴∠A=90°，
∵∠A=∠B=90°，FC⊥AD，
∴四边形ABCF是矩形，且AB=BC=16，
∴四边形ABCF是正方形，
∴AF=16，
由拓展可得DE=DF+BE，
∴DE=4+DF
在△ADE中，AE2+DA2=DE2．
∴（164）2+（16DF）2=（4+DF）2．
解得DF=9.6．
∴DE=4+9.6=13.6．
【解析】【分析】（1）根据正方形的性质证明△CBE≌△CDF（SAS）即可；
（2）根据△BEC≌△DFC证明△GCE≌△GCF（SAS）， 则EG=GF，即EG=GD+DF=BE+GD；
（3）过点C作CF⊥AD于F，证明四边形ABCF是正方形， AF=16，由（2）可得DE=DF+BE，DE=4+DF在△ADE中，AE2+DA2=DE2，（16-4）2+（16-DF）2=（4+DF）2，解得DF=9.6，DE=4+9.6=13.6。
8．如图，四边形ABCD中，点E在AD上，且EA＝EB，∠ADB＝∠CBD＝90°，∠AEB＋∠C＝180°，求证：
（1）四边形BCDE是平行四边形．
（2）若AB＝ ，DB＝4，求四边形ABCD的面积．
【答案】（1）解：∵∠ADB＝∠CBD＝90°，
∴DE∥CB
∵∠AEB＋∠C＝180°，
又 ∵∠AEB＋∠BED＝180°
∴∠C＝∠BED
∴∠CDB＝∠EBD
∴BE∥CD，
∴四边形BEDC是平行四边形
（2）解：∵四边形BEDC是平行四边形．
∴BC＝DE 在Rt△ABD中，由勾股定理得AD＝8.
设DE＝x，则EA＝8－x，
∴EB＝EA＝8－x．在Rt△BDE中，由勾股定理得 DE2＋DB2＝EB2，
∴x2＋42＝（8－x）2.解得x＝3.
∴BC＝DE＝3
∴S四边形ABCD＝S△ABD＋S△BDC＝ AD·DB＋ DB·BC＝16＋6＝22.
【解析】【分析】（1） 由∠ADB＝∠CBD＝90°可得DE∥CB，根据补角的性质可得∠C＝∠BED，利用三角形内角和可求出∠CDB＝∠EBD ，可证BE∥CD，根据平行四边形的定义可证四边形BEDC是平行四边形；
（2）由四边形BEDC是平行四边形可得BC＝DE，利用勾股定理求出AD=8，设DE＝x，则EB=EA＝8－x，在Rt△BDE中，由勾股定理得 DE2＋DB2＝EB2，即得x2＋42＝（8－x）2.解得x＝3，即得BC＝DE＝3 ， 利用S四边形ABCD＝S△ABD＋S△BDC＝ AD·DB＋ DB·BC即可求出结论.
9．已知，如图，在四边形 中， ，对角线 交于点O，过点C作 交 的延长线于点E，联结 .
（1）求证： ；
（2）如果 平分 ，求证，四边形 是菱形.
【答案】（1）证明：如图，过点 作 于 ，
，
，
，
，
，
，
是 的中位线，
，
.
（2）证明： ，
，
在 和 中，
，
（ASA），
，
四边形 是平行四边形，
，
，
平分 ，
，
，
，
四边形 是菱形.
【解析】【分析】（1）过点O作OF⊥CE于F，根据等腰三角形的性质可得CF=FE，易得OF∥CD∥AB，推出OF是△ACE的中位线，得到OA=OC，然后结合OC=OE进行证明；
（2）由平行线的性质得∠OAB=∠OCD，证明△AOB≌△COD，得OB=OD，推出四边形ABCD是平行四边形，由平行线的性质得∠ADB=∠CBD，由角平分线的概念可得∠ADB=∠CDB，推出CB=CD，然后结合菱形的判定定理进行证明.
10．在边长为1的正方形ABCD中，点E是射线BC上一动点，AE与BD相交于点M，AE或其延长线与DC或其延长线相交于点F，G是EF的中点，连接CG.
（1）如图1，当点E在BC边上时.求证：CG⊥CM.
（2）如图2，当点E在BC的延长线上时，（1）中的结论是否成立？请说明理由.
（3）在点E运动过程中，当BE的长度多少时，△MCE是等腰三角形？请说明理由.
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠ABM＝∠CBM，
在△ABM和△CBM中，
，
∴△ABM≌△CBM（SAS）.
∴∠BAM＝∠BCM，
又∵∠ECF＝90°，G是EF的中点，
∴GC＝EF＝GF，
∴∠GCF＝∠GFC，
又∵AB∥DF，
∴∠BAM＝∠GFC，
∴∠BCM＝∠GCF，
∴∠BCM+∠GCE＝∠GCF+∠GCE＝90°，
∴GC⊥CM；
（2）解：成立；理由如下：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠ABM＝∠CBM，
在△ABM和△CBM中，
，
∴△ABM≌△CBM（SAS），
∴∠BAM＝∠BCM，
又∵∠ECF＝90°，G是EF的中点，
∴GC＝GF，
∴∠GCF＝∠GFC，
又∵AB∥DF，
∴∠BAM＝∠GFC，
∴∠BCM＝∠GCF，
∴∠GCF+∠MCF＝∠BCM+∠MCF＝90°，
∴GC⊥CM；
（3）解：分两种情况：①当点E在BC边上时，
∵∠MEC＞90°，要使△MCE是等腰三角形，必须EM＝EC，
∴∠EMC＝∠ECM，
∴∠AEB＝2∠BCM＝2∠BAE，
∴2∠BAE+∠BAE＝90°，
∴∠BAE＝30°，
∴，
∵，
∴
∴；
②当点E在BC的延长线上时，同①知BE＝ .
综上①②，当BE＝戓BE＝时，△MCE是等腰三角形.
【解析】【分析】（1）根据正方形的性质可得AB＝BC，∠ABM＝∠CBM，证明△ABM≌△CBM，得到∠BAM＝∠BCM，根据直角三角形斜边上中线的性质可得GC＝EF＝GF，结合等腰三角形的性质可得∠GCF＝∠GFC，根据平行线的性质可得∠BAM＝∠GFC，推出∠BCM＝∠GCF，则∠BCM+∠GCE=∠GCF+∠GCE＝90°，据此证明；
（2）同理证明△ABM≌△CBM，得到∠BAM＝∠BCM，根据直角三角形斜边上中线的性质可得GC=GF，根据等腰三角形的性质可得∠GCF＝∠GFC，由平行线的性质可得∠BAM＝∠GFC，推出∠BCM＝∠GCF，则∠GCF+∠MCF＝∠BCM+∠MCF＝90°，据此证明；
（3）①当点E在BC边上时，要使△MCE是等腰三角形，必须EM＝EC，则∠EMC＝∠ECM，易得∠BAE＝30°，根据含30°角的直角三角形的性质可得AE=2BE，利用勾股定理可得BE；②当点E在BC的延长线上时，同①可得BE的值.
11．如图，点O是线段AB上的一点，OA=OC，OD平分∠AOC交AC于点D，OF平分∠COB，CF⊥OF于点F．
（1）求证：四边形CDOF是矩形；
（2）当∠AOC多少度时，四边形CDOF是正方形？并说明理由．
【答案】（1）证明：∵OD平分∠AOC，OF平分∠COB（已知），∴∠AOC=2∠COD，∠COB=2∠COF。∵∠AOC+∠BOC=180°，∴2∠COD+2∠COF=180°。∴∠COD+∠COF=90°。∴∠DOF=90°。∵OA=OC，OD平分∠AOC（已知）。
∴OD⊥AC，AD=DC（等腰三角形的“三合一”的性质）。∴∠CDO=90°。
∵CF⊥OF，∴∠CFO=90°。
∴四边形CDOF是矩形。
（2）解：当∠AOC=90°时，四边形CDOF是正方形。理由如下：
∵∠AOC=90°，AD=DC，∴OD=DC。
又由（1）知四边形CDOF是矩形，则四边形CDOF是正方形。
因此，当∠AOC=90°时，四边形CDOF是正方形。
【解析】【分析】（1）根据角平分线的定义得到∠DOF=90°，根据等腰三角形的性质三线合一，得到∠CDO=90°，再由CF⊥OF，得到四边形CDOF是矩形；（2）根据正方形的判定方法有一组临边相等的矩形是正方形，当∠AOC=90°时OD=DC，得到四边形CDOF是正方形.
12．如图，已知的对角线，交于点O，过点O且与，分别相交于点E、F．
（1）求证：；
（2）若，，，求的长．
【答案】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴．
在和中，，
∴≌（），
∴．
（2）解：在平行四边形中，
∵，
∴．
∵，．
中，，
∴，
∴，
由（1）可知，，
∴．
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质，得到，，，再根据全等三角形的判断（ASA）得到OE=OF；
（2）根据平行四边形的对角线定理得到，再根据勾股定理得到OE的长，由（1）可知OE=OF，即可求出EF的长.
13．如图，在正方形ABCD中，AB=BC=CD=AD，∠BAD=∠B=∠C=∠D=90°，点E、F分别在正方形ABCD的边DC、BC上，AG⊥EF且 AG=AB，垂足为G，则：
（1）△ABF与△ AGF全等吗？说明理由；
（2）求∠EAF的度数；
（3）若AG=4，△AEF的面积是7，求△CEF的面积．
【答案】（1）解：△ABF与△ AGF全等，理由如下：
在RtABF和Rt AGF中，
，
∴△ABF△ AGF.
（2）解：∵△ABF△ AGF，
∴BAF=GAF，
同理易得：△AGE△ ADE，有GAE=DAE，
即EAF=EAD+FAG=BAD=45.
（3）解：由(2)得△AGE△ ADE，△ABF△ AGF，AB=AG=4，
∴，
∴.
【解析】【分析】（1）根据HL可得出△ABF△ AGF；（2）只要证明BAF=GAF，GAE=DAE，即可求出EAF=45；（3）由全等三角形性质得出对应三角形面积之和，即可求出△CEF的面积．
14．如图，在矩形ABCD中，BD的垂直平分线分别交AB、CD、BD于E、F、O，连接DE、BF.
（1）求证：四边形BEDF是菱形；
（2）若AB＝8cm，BC＝4cm，求四边形DEBF的面积.
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，O是BD的中点，
∴∠A＝90°，AD＝BC＝4，AB∥DC，OB＝OD，
∴∠OBE＝∠ODF
在△BOE和△DOF中，
∴△BOE≌△DOF（ASA），
∴EO＝FO，且OB＝OD
∴四边形BEDF是平行四边形，
∵EF垂直平分BD
∴BE＝DE
∴四边形BEDF是菱形
（2）解：∵四边形BEDF是菱形
∴BE＝DE，
在Rt△ADE中，DE2＝AE2+DA2，
∴BE2＝（8﹣BE）2+16，
∴BE＝5
∴四边形DEBF的面积＝BE×AD＝20cm2.
【解析】【分析】(1)先证明△BOE≌△DOF，得出EO＝FO，且OB＝OD，再根据EF垂直平分BD，可得出四边形BEDF为菱形；(2) 由菱形的性质知BE＝DE，在Rt△ADE中，根据DE2＝AE2+DA2列式求解即可.
15．如图，在菱形ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，作DE⊥BC于点F，连接EF，
求证：
（1）△ADE≌△CDF；
（2）若∠A＝60°，AD＝4，求△EDF的周长.
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝CD，∠A＝∠C，
∵DE⊥BA，DF⊥CB，
∴∠AED＝∠CFD＝90°，
在△ADE和△CDF，
∵ ，
∴△ADE≌△CDF
（2）解：∵△ADE≌△CDF，
∴DE＝DF，∠ADE＝∠CDF，
∵菱形ABCD，DE⊥AB于点E，∠A＝60°，
∴∠ADC＝120°，∠ADE＝30°，
∴∠EDF＝60°，
∴△DEF是等边三角形，
在Rt△AED中，∵AD＝4，∠A＝60°，
∴DE＝sin60°AD＝2 ，
∴△EDF的周长＝3DE＝6
【解析】【分析】（1）利用菱形的性质得到AD=CD，∠A=∠C，进而利用AAS证明两三角形全等；（2）由△ADE≌△CDF得到DE=DF，进而证明出△DEF是等边三角形，再解直角三角形求出DF的长，即可求出△EDF的周长.
16．如图，在平行四边形ABCD中，BC=AC，E，F分别是AB，CD的中点，连接CE并延长交DA的延长线于M，连接AF并延长交BC的延长线于N。
（1）求证：△ABN≌△CDM；
（2）当平行四边形ABCD的边或角满足什么关系时，四边形A ECF是正方形？请说明理由。
【答案】（1）证明： ∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB//CD，∠B=∠D，
∵E，F分别是AB，CD的中点，
∴AE= AB，CF= CD，
∴AE=CF
∵AE//CF，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵AC=CB，
∴CE⊥AB ，
∴∠AEC= 90° ，
∴四边形AECF是矩形，
∴∠BAN=∠DCM = 90°
在△ABN与△CDM中，
∴△ABN≌△CDM(ASA) ；
（2）当∠B= 45°时，四边形AECF是正方形，
理由： ∵BC= AC
∴∠B=∠BAC= 45°
∵E是AB的中点，
∴CE⊥AB
∴AE= EC
∴矩形AECF是正方形。.
【解析】【分析】（1）根据四边形ABCD为平行四边形，由其性质即可得到四边形AECF为平行四边形，继而由∠AEC=90°，即可得到四边形AECF为矩形，证明得到△ABN≌△CDM。
（2）根据题意，证明得到∠B=∠BAC，根据E为AB的种地啊你，即可得到CE⊥AB，证明矩形AECF为正方形即可。
17．如图1，在平行四边形ABCD中，点E、F分别为AD，BC的中点，点G，H在对角线BD上，且BG＝DH．
（1）求证：四边形EHFG是平行四边形．
（2）如图2，连结AC交BD于点O，若AC⊥EH，OH＝BH，OH＝2，求AB的长．
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∴∠EDH＝∠FBG，
∵E、F分别为AD，BC的中点，
∴DE＝AE＝AD，BF＝CF＝BC，
∴DE＝BF，
在△DHE和△BGF中，
，
∴△DHE≌△BGF（SAS），
∴EH＝FG，∠EHD＝∠FGB，
∴EH∥FG，
∴四边形EHFG是平行四边形．
（2）解：如图②，设AC交EH于点L，连接OF，
∵OH＝BH，CF＝BF，
∴FH∥AC，
∵AC⊥EH，
∴∠FHE＝∠ALH＝90°，
∴四边形EHFG是矩形，
∴∠GFH＝90°，
∵OG＝OH＝2，
∴OF＝OG＝GH＝2，
∵CO＝AO，CF＝BF，
∴AB＝2OF＝2×2＝4，
∴AB的长是4．
【解析】【分析】（1）由平行四边形的性质可得AD＝BC，AD∥BC，根据平行线的性质可得∠EDH＝∠FBG，结合中点的概念可推出DE＝BF，利用SAS证明△DHE≌△BGF，得到EH＝FG，∠EHD＝∠FGB，推出EH∥FG，然后根据平行四边形的判定定理进行证明；
（2）设AC交EH于点L，连接OF，则FH∥AC，四边形EHFG是矩形，OF＝OG＝GH＝2，由题意可得OF为△ABC的中位线，则AB＝2OF，据此计算.
18．如图，在△ABC中，O是AC上一动点（不与点A、C重合），过O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F．
（1）OE与OF相等吗？证明你的结论；
（2）试确定点O的位置，使四边形AECF是矩形，并加以证明．
【答案】（1）解：OE=OF，
∵MN∥BC，
∴∠OEC=∠BCE，∠OFC=∠FCD，
∵CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，
∴∠BCE=∠ACE，∠OCF=∠FCD，
∴∠ACE=∠OEC，∠OCF=∠OFC，
∴OE=OC，OC=OF，
∴OE=OF．
（2）解：当O运动到AC中点时，四边形AECF是矩形，
∵AO=CO，OE=OF，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵∠ECA+∠ACF= ∠BCD，
∴∠ECF=90°，
∴四边形AECF是矩形
【解析】【分析】（1）根据角平分线的定义可得∠BCE=∠ACE，∠OCF=∠FCD，根据两直线平行，内错角相等可得∠OEC=∠BCE，∠OFC=∠FCD，然后求出∠ACE=∠OEC，∠OCF=∠OFC，再根据等角对等边可得OE=OC，同理可得OF=OC，从而得到OE=OF；（2）当O运动到AC中点时，四边形AECF是矩形，由AO=CO，OE=OF可得四边形AECF是平行四边形，然后再证明∠ECF=90°可得四边形AECF是矩形．
19．
（1）如图所示，Rt△ABC中，∠BAC ＝ 90 °，AB＝，AC＝，点D是斜边BC的中点，连接AD，求AD的长．
（2）如图，在平行四边形ABCD中，DE⊥AB，BF⊥CD，垂足分别是E、F．求证：△ADE≌△CBF
【答案】（1）解：在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=，AC=，
由勾股定理得，BC==3，
∵点D是BC的中点，BC是Rt△ABC的斜边，
∴AD=BC=1.5；
故AD的长为1.5．
（2）证明：∵DE⊥AB，BF⊥CD，
∴∠AED=∠CFB=90°，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD=BC，∠A=∠C，
在△ADE和△CBF中，
，
∴△ADE≌△CBF（AAS）；
【解析】【分析】（1）利用勾股定理求出BC=3，再计算求解即可；
（2）先求出 AD=BC，∠A=∠C， 再利用全等三角形的判定方法证明即可。
20．如图，已知四边形ABCD是矩形．
（1）请用直尺和圆规在边AD上作点E，使得EB＝EC．（保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，若AB＝4，AD＝6，求EB的长．
【答案】（1）解：如图所示，点E即为所求；
（2）解：连接EB，EC，
由（1）知EB＝EC，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠D＝90°，AB＝DC＝4，
∴Rt△ABE≌Rt△DCE（HL），
∴AE＝DE＝AD＝3，
在Rt△ABE中，EB＝＝＝5．
【解析】【分析】（1）作线段BC的垂直平分线，与AD的交点即为点E；
（2）连接EB，EC，由（1）知EB＝EC，根据矩形的性质可得∠A＝∠D＝90°，AB＝DC＝4，证明Rt△ABE≌Rt△DCE，得到AE＝DE＝AD＝3，然后在Rt△ABE中，利用勾股定理可得EB的长.
21．如图，点B、F、C、E在同一直线上，且BF＝CE，点A、D分别在直线BE的两侧，AB//DE，∠A＝∠D.
（1）求证：△ABC≌△DEF；
（2）连接AD交BE于点O，若AO＝BO，请补全图形并证明：四边形ABDE是矩形.
【答案】（1）证明：∵AB//DE，
∴∠B＝∠E，
∵BF＝CE，
∴BC＝EF，
在△ABC与△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（AAS）
（2）解：如图，
由（1）知，△ABC≌△DEF，BC＝EF，
∴∠BAC＝∠EDF，AC＝DF，
∵AO＝BO，
∴∠OAB＝∠OBA，
∵AB//DE，
∴∠ODE＝∠OAB，∠OED＝∠OBA，
∴ODE＝∠OED，∠CAO＝∠FDO，
∴OD＝OE，
∴AD＝BE，
在△ACO和△DFO中，
，
∴AO＝DO，CO＝FO，
∴BO＝EO，
∴四边形ABDE是平行四边形，
∴四边形ABDE是矩形.
【解析】【分析】（1） 由AB//DE得出∠B＝∠E，由BF＝CE，利用等式的性质得出BC＝EF，根据AAS可证 △ABC≌△DEF ；
（2）证明△OAC≌△ODF ，可得AO＝DO，CO＝FO，从而得出BO＝EO，可证四边形ABDE是平行四边形，由AO=DO，可得AD=BE，从而可证四边形ABDE是矩形.
22．如图，已知E、F分别是 ABCD的边BC、AD上的点，且BE=DF．
（1）求证：四边形AECF是平行四边形；
（2）若四边形AECF是菱形，且BC=10，∠BAC=90°，求BE的长．
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，且AD=BC，
∴AF∥EC，
∵BE=DF，
∴AF=EC，
∴四边形AECF是平行四边形
（2）解：∵四边形AECF是菱形，
∴AE=EC，
∴∠1=∠2，
∵∠BAC=90°，
∴∠3=90°﹣∠2，∠4=90°﹣∠1，
∴∠3=∠4，
∴AE=BE，
∴BE=AE=CE= BC=5．
【解析】【分析】（1）利用平行四边形的性质得出AF∥EC，进而得出AF=EC，进而求出即可；（2）利用菱形的性质以及三角形内角和定理得出∠1=∠2，进而求出∠3=∠4，再利用直角三角形的性质得出答案．
23．如图，△ABC为等边三角形，射线AM∥BC．
（1）请用尺规作图法作△ABC的对称轴，交射线AM于点E（点E异于点A）；（不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，连接CE，得四边形ABCE的形状为 ．
【答案】（1）解：如图所示：直线BE即为所求
（2）菱形
【解析】【解答】解：（2）四边形ABCE的形状为菱形，
∵BE是△ABC的对称轴，
∴BE是AC的垂直平分线，∠ABE＝∠CBE，
∵AM∥BC，
∴∠AEB＝∠CBE，
∴∠ABE＝∠AEB，
∴AB＝AE，
∵BE是AC的垂直平分线，
∴AB＝CB，AE＝CE，
∴AB＝AE＝BC＝CE，
∴四边形ABCE是菱形．
故答案为：菱形．
【分析】（1）利用线段垂直平分线的作法作AC的垂直平分线即可；
（2）证明四边形ABCE的四边相等即可．
24．如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别为OB，OD的中点，延长AE至点G，使AE＝GE，连接CG，CF.
（1）求证：△AOE≌△COF；
（2）只需添加一个条件，即 ▲
，可使四边形CGEF为矩形，请加以证明.
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB＝OD，OA＝OC，
∵点E、F分别为OB、OD的中点，
∴EO＝ OB，FO＝ OD，
∴OE＝OF，
在△AEO和△CFO中，
，
∴△AEO≌△CFO（SAS）；
（2）解：AC＝2AB；证明如下：
由（1）得：∠AEO＝∠CFO，
∴AE//CF，
∵EA＝EG，OA＝OC，
∴EO是△AGC的中位线，
∴EO//GC，
∴四边形CGEF是平行四边形，
∵AC＝2AB，AC＝2AO，
∴AB＝AO，
∵E是OB的中点，
∴AE⊥OB，
∴∠OEG＝90°，
∴平行四边形CGEF是矩形，
故答案为：AC＝2AB.
【解析】【分析】（1）由平行四边形的性质可得OB＝OD，OA＝OC，结合线段中点的概念可得OE＝OF，然后证明△AEO≌△CFO；
（2）由全等三角形的性质可得∠AEO＝∠CFO，推出AE//CF，由中位线的性质可得EO//GC，则四边形CGEF是平行四边形，根据AC＝2AB，AC＝2AO可得AB＝AO，由等腰三角形的性质可得AE⊥OB，据此解答.
25．如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，四边形OBEC是矩形，△BOC≌△DOA．
（1）求证：四边形ABCD是菱形．
（2）若BC＝13，AC＝24，求菱形ABCD的面积．
【答案】（1）证明：∵△BOC≌△DOA，
∴OB=OD，OC=OA，
∴四边形ABCD为平行四边形.
∵四边形OBEC为矩形，
∴∠BOC=90°，
∴AC⊥BD，
∴四边形ABCD是菱形.
（2）解：∵四边形ABCD为菱形，
∴AO=CO=AC=12，BO=DO.
∵BC=13，
∴OB==5，
∴BD=2OB=10，
∴菱形ABCD的面积=×AC·BD=×10×24=12.
【解析】【分析】（1）由全等三角形的性质可得OB=OD，OC=OA，推出四边形ABCD为平行四边形，根据矩形的性质可得∠BOC=90°，则AC⊥BD，然后根据菱形的判定定理进行证明；
（2）由菱形的性质可得AO=CO=AC=12，BO=DO，利用勾股定理可得OB的值，然后求出BD，再根据菱形的面积等于对角线乘积的一半进行计算.
26．如图，在四边形ABCD中，AB=BC，对角线BD平分∠ABC，P是BD上一点，过点P作PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分别为M，N．
（1）求证：∠ADB=∠CDB；
（2）若∠ADC=90°，求证：四边形MPND是正方形．
【答案】（1）证明：∵对角线BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD，
在△ABD和△CBD中，
，
∴△ABD≌△CBD（SAS），
∴∠ADB=∠CDB
（2）证明：∵PM⊥AD，PN⊥CD，
∴∠PMD=∠PND=90°，
∵∠ADC=90°，
∴四边形MPND是矩形，
∵∠ADB=∠CDB，
∴∠ADB=45°
∴PM=MD，
∴四边形MPND是正方形．
【解析】【分析】（1）根据角平分线的性质和全等三角形的判定方法证明△ABD≌△CBD，由全等三角形的性质即可得到：∠ADB=∠CDB；（2）若∠ADC=90°，由（1）中的条件可得四边形MPND是矩形，再根据两边相等的四边形是正方形即可证明四边形MPND是正方形．
27．已知，四边形 是菱形，
（1）若 ，则菱形 的周长 ；
（2）如图①， ， 是对角线，则 与 的位置关系是 ；
（3）如图②，点 ， 分别在 ， 上，且 ， ， ，点 ， 分别在 ， 上， 与 相交于点 ．
求证：四边形 是菱形．
【答案】（1）20
（2）
（3）证明：∵MG∥AD，NF∥AB，
∴四边形AMEN是平行四边形，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD，
∵BM＝DN，
∴AB BM＝AD DN，
∴AM＝AN，
∴四边形AMEN是菱形
【解析】【解答】（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝AD＝5，
∴菱形ABCD的周长＝20；
故答案为：20；（2）∵四边形ABCD是菱形，AC、BD是对角线，
∴AC⊥BD，
∴AC与BD的位置关系是垂直，
故答案为：垂直；
【分析】（1）根据菱形的性质即可得到结论；（2）根据菱形的性质即可得到结论；（3）由MG∥AD，NF∥AB，可证得四边形AMEN是平行四边形，又由四边形ABCD是菱形，BM＝DN，可得AM＝AN，即可证得四边形AMEN是菱形．
28．在中，E，F为上的两点，且，．
（1）求证：；
（2）求证：是矩形；
（3）连接，若是的平分线，，，求四边形的面积．
【答案】（1）证明：四边形是平行四边形，
在和中，
(SSS)
（2）证明：
在平行四边形中，
四边形是矩形
（3）证明：是的平分线
设，
在中，根据勾股定理可得
解得
四边形的面积
【解析】【分析】（1）利用平行四边形的性质得出AB=CD，再结合已知条件BE=CF，得出BF=CE，根据三角形全等的判定定理证明出 ；
（2）根据 得出∠B=∠C，再根据平行四边形的性质得到AB∥CD，得出∠B+∠C-180°，进而得出∠B=90°，证明出结论；
（3）根据AF是∠EAD的平分线以及平行四边形的性质，证明出AE=EF， 设， ，再在 中，根据勾股定理计算出AE和AB的长，进而得到AB和BC的长，计算得出四边形ABCD的面积.
29．如图，在矩形ABCD中，点E在边AB上，，．
（1）尺规作图：在CD的延长线上求作点F，使．（要求：保留作图痕迹，不写作法）
（2）在（1）的条件下：
①求证：CE平分∠BEF；
②求线段CF的长．
【答案】（1）解：作EC的垂直平分线，并交CD的延长线于点F，连接FE、FC即可，
作图如下：
（2）解：设EC的垂直平分线交EC于点M，过E点作EN⊥DC于点N，如图，
①在矩形ABCD中，有，
∵FM是EC的垂直平分线，
∴EF=FC，
∴∠FEC=∠FCE，
∵，
∴∠FCE=∠BEC，
∴∠BEC=∠FEC，
∴EC平分∠BEF；
②∵EN⊥DC，BC=4，BE=2，
∴结合矩形ABCD的性质可知四边形ENCB是矩形，
∴EN=BC=4，BE=CN=2，∠FNE=90°，
∴FN=FC-NC=FC-2，
∵EF=FC，
∴在Rt△EFN中，，
∴，
解得FC=5．
即FC长度为5．
【解析】【分析】（1）作EC的垂直平分线，并交CD的延长线于点F，则点F即为所求；
（2）设EC的垂直平分线交EC于点M，过E点作EN⊥DC于点N，①由矩形的性质可得AB∥CD，由平行线的性质可得∠FCE=∠BEC， 由线段垂直平分线的性质可得EF=FC，利用等边对等角可得∠FEC=∠FCE，即得∠BEC=∠FEC，根据角平分线的定义即得结论；② 易证四边形ENCB是矩形，可得EN=BC=4，BE=CN=2，∠FNE=90°，从而得出FN=FC-NC=FC-2，在Rt△EFN中，与勾股定理可得，即得， 从而求出FC的长.
30．已知 ．
（1）化简M；
（2）x是面积为5的正方形边长，求M的值．
【答案】（1）解：
=
= ；
（2）解：由题意得： ，把 代入（1）中 得：
．
【解析】【分析】（1）根据多项式乘多项式以及完全平方公式的性质，化简式子；
（2）根据正方形的面积公式，求出M的值即可。
31．如图，在矩形ABCD中，对角线AC的垂直平分线EF分别交AD、AC、BC于点E、O、F，连接CE和AF.
（1）求证：四边形AECF为菱形；
（2）若AB＝4，BC＝8，求菱形AECF的周长.
【答案】（1）证明：∵EF是AC的垂直平分线，∴AO=OC，∠AOE=∠COF=90°.
∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠EAO=∠FCO.
在△AEO和△CFO中，∵ ，∴△AEO≌△CFO（ASA）；∴OE=OF.
又∵OA=OC，∴四边形AECF是平行四边形.
又∵EF⊥AC，∴平行四边形AECF是菱形；
（2）解：设AF=x.
∵EF是AC的垂直平分线，∴AF=CF=x，BF=8﹣x.在Rt△ABF中，由勾股定理得：AB2+BF2=AF2，∴42+（8﹣x）2=x2，解得：x=5，∴AF=5，∴菱形AECF的周长为20.
【解析】【分析】（1）根据垂直平分线的定义得出OA=OC， ∠AOE=∠COF=90°，然后由平行线的性质得出∠EAO=∠FCO，然后根据ASA证明△AEO≌△CFO ，得出OE=OF，则可判断四边形AECF是平行四边形，结合EF⊥AC，则可证明平行四边形AECF是菱形；
（2）设AF=x，则可得出BF=8﹣x，在Rt△ABF中，根据勾股定理构建方程求解，最后求菱形的周长即可.
32．施工队要修建一个横断面为抛物线的公路隧道，其高度为6米，宽度为12米，现在点为原点，所在直线为轴建立直角坐标系（如图所示）．
（1）求出这条抛物线的函数解析式；
（2）施工队计划在隧道门口搭建一个矩形“脚手架”，使、点在拋物线上，、点在地面上，设的横坐标为，求________，________．（用含的代数式表示）
（3）为了筹备材料，需求出“脚手架”三根木杆、、的长度之和的最大值是多少？
【答案】（1）
（2），
（3）
33．如图，在 ABCD中，∠ABD＝90°，延长AB至点E，使BE＝AB，连接CE．
（1）求证：四边形BECD是矩形；
（2）连接DE交BC于点F，连接AF，若CE＝2，∠DAB＝30°，求AF的长．
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD＝AB，CD∥AB，
∵BE＝AB，
∴BE＝CD，
∴四边形BECD是平行四边形，
∵∠ABD＝90°，
∴∠DBE＝90°．
∴ BECD是矩形
（2）解：如图，取BE中点G，连接FG．
由（1）可知，FB＝FC＝FE，
∴FG＝ CE＝1，FG⊥BE，
∵在 ABCD中，AD∥BC，
∴∠CBE＝∠DAB＝30°．
∴BG＝ ．
∴AB＝BE＝2 ．
∴AG＝3 ，
∴在Rt△AGF中，由勾股定理可求AF
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质得到CD＝AB，CD∥AB，推出四边形BECD是平行四边形，根据矩形的判定定理即可得到结论；（2）取BE中点G，连接FG．由（1）可知，FB＝FC＝FE，得到FG＝ CE＝1，FG⊥BE，解直角三角形即可得到结论．
34．如图，在 ABCD中，点O为对角线BD的中点，EF过点O且分别交AB、DC于点E、F，连接DE、BF.
求证：
（1）△DOF≌△BOE；
（2）DE=BF.
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，O是BD的中点，
∴AB∥DC，OB=OD，
∴∠OBE=∠ODF.
在△BOE和△DOF中， ，
∴△BOE≌△DOF（ASA）
（2）证明：∵△BOE≌△DOF，
∴EO=FO，
∵OB=OD，
∴四边形BEDF是平行四边形.
∴DE=BF.
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质可得AB∥DC，由中点的概念可得OB=OD，根据平行线的性质可得∠OBE=∠ODF，由对顶角的性质可得∠BOE=∠DOF，然后根据全等三角形的判定定理ASA进行证明；
（2）根据全等三角形的性质可得EO=FO，结合OB=OD可推出四边形BEDF是平行四边形，然后根据平行四边形的性质可得结论.
35．如图：
（1）基础探究：如图①，在正方形ABCD中，点E为AD上一点，DF⊥CE交AB于F，垂足为点O．求证：CE＝DF．
（2）应用拓展：如图②，在正方形ABCD中，点E为AD上一点，FG⊥CE分别交AB、CD于F、G，垂足为点O．若正方形ABCD的边长为12，DE＝5，则四边形EFCG的面积为 ．
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A＝∠ADC＝90°，AD＝DC，
∵DF⊥CE，
∴∠ADF+∠DEC＝∠ADF+∠AFD＝90°，
∴∠AFD＝∠DEC，
∴△ADF≌△DCE（AAS），
∴DF＝CE，即CE＝DF；
（2）
【解析】【解答】解：过作FH⊥CD于点H，如图②，则FH＝BC＝CD，
∴FG⊥CE，
∴∠CGO+∠OCG＝∠CGO+∠HFG＝90°，
∴∠DCE＝∠HFG，
∵∠D＝∠FHG＝90°，
∴△CDE≌△FHG（ASA），
∴CE＝FG，
∵CD＝12，DE＝5，
∴FG＝CE＝
，
∴．
【分析】（1）根据正方形的性质和角的运算可得∠AFD＝∠DEC，再利用“AAS”证明DF＝CE，即CE＝DF即可；
（2）过作FH⊥CD于点H，如图②，则FH＝BC＝CD，先利用“ASA”证明△CDE≌△FHG可得CE＝FG，再利用勾股定理求出FG和CE的长，最后利用
计算即可。
36．已知：如图，在四边形ABCD中，DE⊥AC，BF⊥AC，垂足分别为E，F，延长DE、BF，分别交AB于点H，交BC于点G，若AD∥BC，AE＝CF．
（1）求证：四边形ABCD为平行四边形；
（2）若∠DAH＝∠GBA，GF＝2，CF＝4，求AD的长．
【答案】（1）证明：∵DE⊥AC，BF⊥AC，
∴∠AED=∠CFB=90°，
∵AD∥BC，
∴∠DAE=∠BCF，
在DAE和△BCF中，
，
∴△DAE≌△BCF（ASA），
∴AD=CB，
∵AD∥BC，
∴四边形ABCD为平行四边形；
（2）解： DE⊥AC，BF⊥AC，
，
，
∠DAH＝∠GBA，
，
，
在中，，
，
四边形是平行四边形，
，，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
中，，
，
在中，，，
解得．
【解析】【分析】 (1) 根据ASA证明 △DAE≌△BCF ，得到 AD=CB ，又因为 AD∥BC ，即可证得平行四边形。
(2)勾股定理证得CG，EH，最后在中， 利用勾股定理即可证得。
37．如图，E是 ABCD的边CD的中点，延长AE交BC的延长线于点F．
（1）求证：△ADE≌△FCE．
（2）若∠BAF=90°，BC=5，EF=3，求CD的长．
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AB∥CD，
∴∠DAE=∠F，∠D=∠ECF， ∵E是 ABCD的边CD的中点， ∴DE=CE，
在△ADE和△FCE中， ，∴△ADE≌△FCE（AAS）
（2）解：∵ADE≌△FCE， ∴AE=EF=3， ∵AB∥CD， ∴∠AED=∠BAF=90°，
在 ABCD中，AD=BC=5， ∴DE= = =4， ∴CD=2DE=8
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的对边AD∥BC，可得∠DAE=∠F，∠D=∠ECF， 利用AAS即可判断 △ADE≌△FCE ；（2）由（1）中全等三角形的对应边相等及平行四边形的性质可得 AE=EF=3 ， AD=BC=5 ，在直角△ADE中利用勾股定理求出DE，即可求出CD的长.
38．如图，正方形 中， 是 上的一点，连接 ，过 点作 ，垂足为点 ，延长 交 于点 ，连接 .
（1）求证： .
（2）若正方形边长是5， ，求 的长.
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC，∠ABE=∠BCF=90°，∴∠BAE+∠AEB=90°，∵BH⊥AE，∴∠BHE=90°，∴∠AEB+∠EBH=90°，
∴∠BAE=∠EBH，
在△ABE和△BCF中，
∴△ABE≌△BCF（ASA），
∴AE=BF
（2）解：∵AB=BC=5，由（1）得：△ABE≌△BCF，∴CF=BE=2，
∴DF=5-2=3，
∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD=5，∠ADF=90°，由勾股定理得：AF=
【解析】【分析】（1）根据正方形的旋转得出AB=BC，∠ABE=∠BCF=90°，根据同角的余角相等得出∠BAE=∠EBH，利用ASA判断出△ABE≌△BCF，根据全等三角形对应边相等得出AE=BF；
（2）根据全等三角形对应边相等 得出CF=BE=2，根据相等的和差得出DF=5-2=3，由勾股定理即可算出答案。
39．如图，菱形ABCD中，E为对角线BD的延长线上一点.
（1）求证：AE=CE；
（2）若BC=6，AE=10，∠BAE=120°，求DE的长.
【答案】（1）证明：∵四边形 是菱形， 为对角线
∴，∠ABE=∠CBE
在 和 中，
∵ ，∠ABE=∠CBE，
∴
∴AE=CE；
（2）作 于 ，
∴ ，
∵ ，∴ ，∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，∴ ，
∴ ，
作 于 ，设 ，
∴∴
∵
∴
∴∴
∴
【解析】【分析】（1）根据菱形的性质得出AB=BC，∠ABE=∠CBE，从而利用SAS证明 ，最后根据全等三角形的对应边相等即可解答；
（2）作 于，先根据含30°直角三角形的边之间的关系得出AF的长，再利用勾股定理得出 BF，BE的长，作 CM⊥BD于点M，设DE=x，DM=BM=y， 根据勾股定理建立方程，求解得出答案.
40．如图，四边形ABCD是菱形，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F．
（1）求证：△ABE≌△ADF；
（2）若AE=4，CF=2，求菱形的边长．
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC=CD=AD（菱形的四条边相等），∠B=∠D（菱形的对角相等），∵AE⊥BC，AF⊥CD，
∴∠AEB=∠AFD=90°（垂直的定义），
在△ABE和△ADF中，，∴△ABE≌△ADF（AAS）；
（2）解：设菱形的边长为x，∴AB=CD=x，CF=2，∴DF=x 2，∵△ABE≌△ADF，∴BE=DF=x 2（全等三角形的对应边相等），在Rt△ABE中，∠AEB=90°，∴AE2+BE2=AB2（勾股定理），∴42+（x 2）2=x2，解得x=5，∴菱形的边长是5．
【解析】【分析】（1）利用全等三角形的判定与性质求解即可；
（2）先求出 DF=x 2， 再求出 AE2+BE2=AB2 ，最后求解即可。
41．如图，在 ABCD中，M为AD的中点，BM＝CM．
求证：
（1）△ABM≌△DCM；
（2）四边形ABCD是矩形．
【答案】（1）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，
∵M为AD的中点，
∴AM＝DM，
在△ABM和△DCM中， ，
∴△ABM≌△DCM（SSS）；
（2）解：∵△ABM≌△DCM，
∴∠A＝∠D，
∵AB∥DC，
∴∠A+∠D＝180°，
∴∠A＝90°，
∴平行四边形ABCD是矩形．
【解析】【分析】（1）已知BM=CM，由M为AD的中点得AM=MD，由平行四边形的对边相等得AB=CD，根据边边边定理即可证明 △ABM≌△DCM；
（2）由题（1）知 △ABM≌△DCM，由全等三角形的对应角得∠A=∠D；又因为AB平行CD，同旁内角互补，∠A+∠D=180°，两者结合推得∠A=90°，证得四边形ABCD是矩形．
42．如图，用一张如图A的正方形硬纸板、三张如图B的长方形硬纸板、两张如图C的正方形硬纸板拼成一个长方形（如图D）.
（1）请用不同的式子表示图D的面积（写出两种即可）；
（2）根据（1）所得结果，写出一个表示因式分解的等式.
【答案】（1）解：图D的面积可以看做一个长为，宽为的长方形的面积：，也可以看做一个边长为a的正方形，三个长为a宽为b的小长方形，两个边长为b的正方形面积之和：；
（2）解：由（1）得.
【解析】【分析】（1）图D的面积可以看做一个长为a+2b，宽为a+b的长方形的面积，也可以看做一个边长为a的正方形，三个长为a宽为b的小长方形，两个边长为b的正方形面积之和，然后根据长方形、正方形的面积公式进行解答；
（2）根据两种情况下表示出的面积相等可得等式.
43．在正方形中，P是边BC上一动点（不与点B、C重合）连接AP.
（1）如图①，过点B作BQ⊥AP垂足为点O，交CD于点Q，求证：△ABP≌△BCQ；
（2）如图②，E是AP上的一点，过点E作MN⊥AP，分别交AB，CD于点M，N.求证：AP=MN.
【答案】（1）解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=CD，∠ABC=∠BCD=90°
∵BQ⊥AP
∴∠BAP+∠APB=90°，∠CBQ+∠APB=90°，
∴∠CBQ=∠BAP，
∴△ABP≌△BCQ；
（2）解：过点B作BG∥MN，交DC于点G，
∵四边形ABCD是正方形，∴AB∥CD，即MB∥NG
∴四边形MBGN是平行四边形，
∴MN=BG
∵MN⊥AP，∴BG⊥AP
由（1）知△ABP≌△BCG
∴AP=BG
∴AP=MN
【解析】【分析】（1）利用正方形的性质，得到AB=CD，∠ABC=∠BCD=90°，根据 BQ⊥AP，可证得△ABP≌△BCQ；
（2）过点B作BG∥MN，交DC于点G，证得四边形MBGN是平行四边形，因为MN⊥AP，所以BG⊥AP，由（1）知△ABP≌△BCG，即可得到AP=MN.
44．如图 ， 在平行四边形 中， ， 垂直平分 分别交 于点 ．
（1） 判断四边形 是何种特殊四边形？并说明理由．
（2）求四边形 的面积．
【答案】（1）解：四边形 是菱形.
理由：∵EF 垂直平分 ，
∴AO=OC，AE=AF，∠AOF=∠EOC=90°.
∵ 四边形是 平行四边形 ，
∴AD//BC，
∴∠FAO=∠ECO.
∴△AFO≌△CEO（ASA），
∴AF=EC，
又AF//EC，
∴四边形AECF是平行四边形，
又AE=AF，
∴四边形 是菱形.
（2）解：∵AB=3，AC=4，BC=5，
∴AB2+AC2=25=BC2，
∴三角形ABC是直角三角形，
∴AB⊥AC，
∵AC⊥EF，
∴AB//EO，
又AO=OC，
∴EO为中位线，
∴EO=AB=1.5.
∴EF=3.
∴菱形 的面积是 6.
45．如图，在四边形 中， ， .
（1）求证：四边形 为平行四边形.
（2）若 ， ， ，求 的长.
【答案】（1）证明：
又
四边形 是平行四边形
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AE=EC=2，BE=DE，AB=CD=5，
∵ ，
由勾股定理得： BC= ；
BE= ；
.
【解析】【分析】（1）由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可证四边形ABCD是平行四边形；（2）由勾股定理可求出BC的长，再由勾股定理求出BE的长，根据平行四边形的性质即可求解.
46．如图，平行四边形ABCD中，AB=4cm，BC=6cm，∠B=60°，G是CD的中点，E是边AD上的动点，EG的延长线与BC的延长线交于点F，连接CE，DF．
（1）求证：四边形CEDF是平行四边形；
（2）请直接写出当AE为何值时，四边形CEDF是菱形（不用证明）．
（3）当AE＝4时，请证明：四边形CEDF是矩形．
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BF，
∴∠DEF=∠CFE，∠EDC=∠FCD，
∵G是CD的中点，
∴GD=GC，
∴△GED≌△GFC，
∴DE=CF，而DE∥CF，
∴四边形CEDF是平行四边形；
（2）解：当AE=2时，四边形CEDF是菱形
（3）证明：作AP⊥BC于P，
∵AB=4cm，∠B=60°，
∴BP=2cm，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠CDE=∠B=60°，DC=AB=4cm，AD=BC=6cm，
∵AE=4cm，
∴DE=2cm=BP，
∴△ABP≌△CDE(SAS)，
∴∠CED=∠APB=90°，
∴平行四边形CEDF是矩形，
∴当AE=4cm时，四边形CEDF是矩形．
【解析】【解答】（2）当AE=2时，四边形CEDF是菱形．
理由：∵AE=2cm，AD=6cm，
∴DE=4cm，
∵DC=AB=4cm，∠CDE=∠B=60°，
∴△CDE是等边三角形，
∴DE=CE，
∴平行四边形CEDF是菱形，
故当AE=2时，四边形CEDF是菱形；
【分析】（1）证出△GED≌△GFC，推出DE=CF，而DE∥CF， 根据平行四边形的判定推出即可；
（2）先得出△CDE是等边三角形，推出DE=CE，由此得出四边形CEDF是菱形；
（3）作AP⊥BC于P，先求出BP=2cm，再根据四边形ABCD是平行四边形，求证出△ABP≌△CDE(SAS)，∠CED=∠APB=90°，得出平行四边形CEDF是矩形，即可得出结论。
47．如图，在△ABC中，点D是边BC的中点，点E在△ABC内，AE平分∠BAC，CE⊥AE，点F在边AB上，EFBC．
（1）求证：四边形BDEF是平行四边形；
（2）线段BF、AB、AC的数量之间具有怎样的关系？证明你所得到的结论．
【答案】（1）证明：延长CE交AB于点G，
∵AE⊥CE，
∴∠AEG＝∠AEC＝90°，
在△AEG和△AEC中，
∴△AGE≌△ACE（ASA）．
∴GE＝EC．
∵BD＝CD，
∴DE为△CGB的中位线，
∴DE∥AB．
∵EF∥BC，
∴四边形BDEF是平行四边形．
（2）解：BF＝（AB-AC）．
理由如下：
∵四边形BDEF是平行四边形，
∴BF＝DE．
∵D、E分别是BC、GC的中点，
∴BF＝DE＝BG．
∵△AGE≌△ACE，
∴AG＝AC，
∴BF＝（AB-AG）＝（AB-AC）．
【解析】【分析】 (1) 掌握平行四边形的判定定理，由中位线定理找到需要的条件；
(2) 由(1)的结论出发，根据平行四边形性质、中位线定理、全等带来的等量关系转化，找到和差倍半的关系式。
48．我们把依次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫做中点四边形．如图，E、F、G、H分别是四边形各边的中点．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）如果我们对四边形的对角线与添加一定的条件，则可使四边形成为特殊的平行四边形，请你经过探究后直接填写答案：
①当时，四边形为 ；
②当 时，四边形为矩形；
③当且时，四边形为 ．
【答案】（1）证明：∵E、F、G、H分别是四边形各边的中点，EH、FG分别是△ABD和△CBD的中位线；∴GH、EF、EH、FG分别是△ACD、△ACB、△ABD，△CBD的中位线；∴∴∴四边形是平行四边形．
（2）菱形；AC⊥BD；正方形
【解析】【解答】解：（2）①由（1）可得： GH、EF、EH、FG分别是△ACD、△ACB△ABD，△CBD的中位线；∴GH=EF=， EH=GF=；∵AC=BD，∴GH=EF= EH=GF，∵四边形是平行四边形，∴四边形是菱形；②
∵四边形是矩形，∴∠GHE=90°，由（1）可得∴∠HMC=∠GHE=90°，∵，∴∠DNC=∠HMC=90°，即：AC⊥BD，∴当AC⊥BD时，四边形为矩形．③当时，由①得四边形是菱形；当时，四边形是矩形；∴四边形是正方形；
【分析】（1）根据三角形中位线的性质可得GH∥AC，EF∥AC，EH∥BD，GF∥BD，再根据两组对边分别平行，可证四边形是平行四边形；
（2）①对角线互相垂直的平行四边形是菱形，据此判断即可；
②对角线相等的平行四边形是矩形，据此判断即可；
③对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，据此判断即可；
49．如图，矩形AOBC，点A、B分别在x、y轴上，对角线AB、OC交于点D，点C（ ，1），点M是射线OC上一动点．
（1）求证：△ACD是等边三角形；
（2）若△OAM是等腰三角形，求点M的坐标；
（3）若N是OA上的动点，则MA+MN是否存在最小值？若存在，请求出这个最小值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）证明：∵C（ ，1），
∴AC=1，OA= ，
∴OC=2，
∴∠COA=30°，∠OCA=60°，
∵矩形AOBC，
∴AD＝CD=OD
且∠OCA=60°
∴△ACD是等边三角形
（2）解：△OAM是等腰三角形，
当OM=MA时，此时点M与点D重合，
∵C（ ，1），点D为OC中点，
∴M（ ， ）．
当OM1=OA时，做M1E⊥OA，垂足为E，如下图：
∴OM1=OA= ，
由（1）知∠M1OA=30°，
∴M1E= ，OE= ，
∴M1（ ， ）．
当OA=OM2时，做M2F⊥OA，垂足为F，如上图：
AM2= ，
由（1）知∠COA=∠AM2O=30°，
∴∠M2AF=60°，
∴AF= ，M2F= ，
M2（ ， ）．
综上所述：点M坐标为M（ ， ）、（ ， ）、（ ， ）
（3）解：存在，做点A关于直线OC对称点为G，如下图：
则AG⊥OC，且∠GOA=60°OG=OA= ，
∴ON= ，GN= ，
∵点A、G关于直线OC对称，
∴MG=MA，
∴MA+MN=MG+MN，
∵N是OA上的动点，
∴当GN⊥x轴时，MA+MN最小，
∴存在MA+MN存在最小值，最小值为 ．
【解析】【分析】（1）利用点C(3，1)，即可求出相应角度为30°，则∠OCA=60°，根据矩形的性质和直角三角形中斜边的中线等于斜边的一半，则得出了有两边相等，且有一个角是60°，即可证明三角形是等边三角形；
（2）此问结合了分类讨论的思想，由等腰三角形性质，对三角形OAM三边关系进行讨论，分别求出三种情况讨论，三种情况都是转换不同的边为底边，另外两边相等，然后根据不同的情况求出点M的坐标即可；
（3）根据最短路径探究，做点A关于直线OC对称点，利用对称性可以求出最小值。
50．如图，点P是∠AOB内的一点，过点P作PC∥OB，PD∥OA，分别交OA、OB于点C、D，且PE⊥OA，PF⊥OB，垂足分别为点E、F．
（1）求证：OC CE=OD DF；
（2）当点P位于∠AOB的什么位置时，四边形CODP是菱形并证明你的结论．
【答案】（1）证明：（1）∵PC∥OB，PD∥OA，
∴四边形OCPD是平行四边形，且∠ECP=∠O，∠FDP=∠O．
∴PC=OD，PD=OC，∠ECP=∠FDP．
∵PE⊥OA，PF⊥OB，
∴∠PEC=∠PFD=90°．
∴△PCE∽△PDF．
∴．
即得．
∴OC CE=OD DF．
（2）当点P在∠AOB的平分线上时，四边形CODP是菱形．
∵当点P在∠AOB的平分线上时，由PE⊥OA，PF⊥OB，得PE=PF，
∴由△PCE∽△PDF，得，即得PC=PD．
∵四边形CODP是平行四边形，
∴四边形CODP是菱形．
当点P不在∠AOB的平分线上时，可得PE≠PF．即得PC≠PD．
∴当点P不在∠AOB的平分线上时，四边形CODP不是菱形．
【解析】【分析】（1）欲证OC CE=OD DF，可证△PCE∽△PDF；
（2）通过一组邻边相等的平行四边形是菱形（菱形定义）可知点P在∠AOB的位置．
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