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【50道综合题·专项集训】
北师大版数学八年级下册第三章 图形的平移与旋转
1．如图，AC是正方形ABCD的对角线，△ABC经过旋转后到达△AEF的位置．
（1）指出它的旋转中心；
（2）说出它的旋转方向和旋转角是多少度；
（3）分别写出点A，B，C的对应点．
2．如图，已知点A（﹣4，2），B（﹣1，﹣2），平行四边形ABCD的对角线交于坐标原点O．
（1）请直接写出点C、D的坐标；
（2）写出从线段AB到线段CD的变换过程；
（3）直接写出平行四边形ABCD的面积．
3．如图，将△ABC沿射线AB的方向移动2cm到△DEF的位置．
（1）找出图中所有平行的直线；
（2）找出图中与AD相等的线段，并写出其长度；
（3）若∠ABC＝65°，求∠BCF的度数．
4．如图的平面直角坐标系中，已知△ABC三个顶点的坐标分别是A（4，3），B（3，1），C（1，2）．
（1）将三角形ABC三个顶点的横坐标都减去6，分别得到A1、B1、C1，依次连接A1，B1，C1，各点，请写出A1、B1、C1的坐标并画出△A1B1C1，并判断所得三角形A1B1C1与三角形ABC的大小、形状和位置有什么关系？
（2）将三角形ABC三个顶点的纵坐标都减去5，分别得到A2、B2、C2，依次连接A2，B2，C2，各点，请写出A2、B2、C2的坐标并画出△A2B2C2，并判断所得三角形A2B2C2与三角形ABC的大小、形状和位置有什么关系？
（3）求△A2B2C2的面积．
5．已知点P(3a-15，2-a)．
（1）若点P到x轴的距离是 ，试求出a的值；
（2）在（1）题的条件下，点Q如果是点P向上平移3个单位长度得到的，试求出点Q的坐标；
（3）若点P位于第三象限且横、纵坐标都是整数，试求点P的坐标．
6．如图所示，把一个直角三角尺ACB绕着30°角的顶点B顺时针旋转，使得点A与CB的延长线上的点E重合.
（1）三角尺旋转了 度。
（2）连接CD，试判断△CBD的形状；
（3）求∠BDC的度数。
7．如图，等腰中，，，以C为旋转中心，顺时针旋转到位置，使点A落在BC边的延长线上的E处，连接AD和BD.
（1）求证：≌；
（2）请判断的形状，并证明你的结论.
8．如图，在平面直角坐标系中，，，，.
（1）作出向右平移5个单位，得到的；
（2）作点C绕点D顺时针旋转得到的点E，并写出其坐标；
（3）在y轴上存在点P，使得最大，在y轴上描出点P的位置.
9．已知△ABC绕点A逆时针旋转45°得到△ADE，∠BAC=45°，∠C=40°，AB=3，AC=4；
（1）求∠E和∠EAB的大小；
（2）由旋转的性质得：∠E=∠C=40°， AE=AC=4，旋转角∠EAC=45°，
∴∠EAB=∠EAC+∠BAC=45°+45°=90°；
10．如图，在△ABC和△DEF中，B，E，C，F在同一条直线上，下列给出四个论断：
①AB＝DE；②AC＝DF；③∠ACB＝∠DFE；④BE＝CF．解答下列问题：
（1）任选三个作为已知条件，余下一个作为结论，得到一个真命题．（填入下列横线上）
条件： ，结论： ．（填序号即可）
（2）证明（1）中你选的命题．
（3）若△DEF是由△ABC沿BC方向平移得到的，已知△ABC的周长为m，则平移距离AD＝ 时，四边形ABFD的周长是△ABC周长的两倍．
11．如图，方格纸中每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，已知三角形ABC的顶点在格点上，在建立平面直角坐标系后，A的坐标为（2，－4），B的坐标为（5，－4），C的坐标为（4，－1）．
（1）画出三角形ABC；
（2）求三角形ABC的面积；
（3）若把三角形ABC向上平移2个单位长度，再向左平移4个单位长度得到三角形A′B′C′，在图中画出三角A′B′C′，并写出B′的坐标．
12．三角形ABC与三角形在平面直角坐标系中的位置如图所示，三角形是由三角形ABC平移得到的．
（1）分别写出点、、的坐标；
（2）说明三角形是由三角形ABC经过怎样的平移得到的？
（3）若点是三角形ABC内的一点，则平移后三角形内的对应点为，写出点的坐标．
13．如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中．
（1）把△ABC进行平移，得到△A′B′C′，使点A与A′对应，请在网格中画出△A′B′C′．
（2）若一个格点多边形的面积记为S，其内部格点数记为N，边界上的格点数记为L．则图中格点△ABC对应的N= ，L= ，S= ．
（3）已知格点多边形的面积可表示为S=N+aL+b，且已知当N=1，L=6时，S=3．若某格点多边形对应的N=12，L=8，求S的值．
14．把两块含45°角的直角三角板按图1所示的方式放置，点D在BC上，连结BE、AD，AD的延长线交BE于点F．
（1）如图1，求证：BE=AD，AF⊥BE；
（2）将△ABC绕点C顺时针旋转（如图2），连结BE、AD，AD分别交BE、BC于点F、G，那么（1）中的结论还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
15．如图，在每个小正方形边长为1的网格中，平移三角形ABC，并将三角形ABC的一个顶点A平移到D处.
（1）请你作出平移后的三角形DEF.
（2）请求出三角形DEF的面积.
16．如图，在平面网格中每个小正方形的边长为1.
（1）线段CD是线段AB经过怎样的平移后得到的？
（2）线段AC是线段BD经过怎样的平移后得到的？
17．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点都在格点上，点A的坐标为（2，4），请解答下列问题：
（1）画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，并写出点A1的坐标．
（2）画出△A1B1C1绕原点O旋转180°后得到的△A2B2C2，并写出点A2的坐标．
18．如图，有四张背面完全相同的纸牌A，B，C，D，其正面分别画有四个不同的几何图形，将这四张纸牌背面朝上洗匀.
（1）从中随机摸出一张，求摸出的正面是中心对称图形的纸牌的概率.
（2）小明和小亮约定做一个游戏，其规则为：先由小明随机摸出一张纸牌，不放回，再由小亮从剩下的纸牌中随机摸出一张，若摸出的两张纸牌正面的图形都是轴对称图形，小明获胜；否则，小亮获胜.这个游戏公平吗？请用列表法（或画树状图法）说明理由（纸牌用A，B，C，D表示）
19．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，且AD
（1）指出平移的方向和平移的距离；
（2）试说明AD+BC=BF.
20．如图，直角坐标系中，△ABC的顶点都在网格点上，其中，C点坐标为（1，2）．
（1）写出点A、B的坐标：
A（ ， ）、B（ ， ）
（2）将△ABC先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到△A′B′C′，则A′B′C′的三个顶点坐标分别是A′（ ， ）、B′（ ， ）、C′（ ， ）．
（3）△ABC的面积为 ．
21．已知∠α的顶点在正n边形的中心点O处，∠α绕着顶点O旋转，角的两边与正n边 形的两边分别交于点M、N，∠α与正n边形重叠部分面积为S．
（1）当n=4，边长为2，∠α=90°时，如图（1），请直接写出S的值；
（2）当n=5，∠α=72°时，如图（2），请问在旋转过程中，S是否发生变化？并说明理由；
（3）当n=6，∠α=120°时，如图（3），请猜想S是原正六边形面积的几分之几（不必说明理由）．若∠α的平分线与BC边交于点P，判断四边形OMPN的形状，并说明理由．
22．如图，点 是等边 内一点， ．将 绕点 按顺时针方向旋转 得 ，连接 ．
（1）求证： 是等边三角形；
（2）当 时，试判断 的形状，并说明理由；
（3）探究：当 为多少度时， 是等腰三角形？
23．如图1， 是等边三角形， ， 是一块直角三角板， ， 在 上且等边 可以沿 向右平移（ 只能在 上移动）．当点 与点 重合时，点 恰好落在 的斜边 上．
（1）若点 平移到与点 重合，求等边 平移的距离；
（2）如图2，等边 向右平移后的三角形记为 ， ， 与三角板斜边的交点分别为 ， ，连接 交于 点 ．
①求证： ；
②判断 的长度在等边 平移的过程中是否会发生变化？请说明理由．
24．平面直角坐标系中，三角形ABC的顶点都在网格点上。
（1）平移三角形ABC，使点C与坐标原点O是对应点，请画出平移后的三角形A′B′C′；
（2）写出A、B两点的对应点A′、B′的坐标；
（3）求出三角形ABC的面积。
25．如图，在平面直角坐标系中， ABC的三个顶点坐标分别为A（-4，-2）、B（-2，0）、C（0，-3）， A1B1C是 ABC绕点C顺时针旋转90°后得到的图形.
（1）写出A1，B1的坐标；
（2）在所给的平面直角坐标系中画出 A1B1C；
（3）若点B2与点B1关于原点对称，写出A1B2的长.
26．△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示．将△ABC向右平移5个单位后再向下平移3个单位得到△A1B1C1.
（1）写出经平移后△A1B1C1 点A1、B1.C1的坐标
（2）作出△A1B1C1 .
（3）求△ABC的面积
27．如图，在正方形网络中，△ABC的三个顶点都在格点上，点A、B、C的坐标分别为（﹣2，4）、（﹣2，0）、（﹣4，1），将△ABC绕原点O旋转180度得到△A1B1C1．结合所给的平面直角坐标系解答下列问题：
（1）画出△A1B1C1；
（2）画出一个△A2B2C2，使它分别与△ABC，△A1B1C1轴对轴（其中点A，B，C与点A2，B2，C2对应）；
（3）在（2）的条件下，若过点B的直线平分四边形ACC2A2的面积，请直接写出该直线的函数解析式．
28．如图
（1）如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF＝ ∠BAD．求证：EF＝BE+FD．
小明想到条件∠EAF＝ ∠BAD应用需要转化，将△ADF绕顶点A旋转到△ABG处，此时△ABG≌△ADF，把线段BE、FD集中到一起，进一步可以再证明EF＝EG＝BE+FD．
证明：延长EB到G，使BG＝DF，连接AG．
∵∠ABG＝∠ABC＝∠D＝90°，
AB＝AD
∴△ABG≌△ADF．
小明没有证明结束，请你补齐证明过程．
基本运用：请你用第（1）题的解答问题的思想方法，解答下面的问题
（2）已知如图2，△ABC中，∠CAB＝90°，AB＝AC，E、F为BC上的点，且∠EAF＝45°，
求证：EF2＝BE2+CF2；
拓展延伸
（3）已知如图3，等边△ABC内有一点P，AP＝8，BP＝15，AP＝17，求∠APB的度数．
29．（1）如图，把∠AOB绕着O点按逆时针方向旋转一个角度，得∠A′OB′，指出图中所有相等的角．
（2）如图，BD平分∠ABC，BE分∠ABC分2：5两部分，∠DBE=21°，求∠ABC的度数．
30．如图，在下列的网格中，横、纵坐标均为整数的点叫做格点，例如 、 、 都是格点.
（1）直接写出 的形状；
（2）要求在上图中仅用无刻度的直尺作图：将 绕点 逆时针旋转得到 ，旋转角 ，请你完成作图；
（3）在网格中找一个格点 ，使得 ，并直接写出 点坐标.
31．如图，将矩形绕着点按顺时针方向旋转得到矩形，使点落在边上的点处，连接交于点，连接．
（1）求证：平分；
（2）取中点，连接，求证：；
32．已知：如图，E点是正方形ABCD的边AB上一点，AB=4，DE=6，△DAE逆时针旋转后能够与△DCF重合．
（1）旋转中心是 ．旋转角为 度．
（2）请你判断△DFE的形状，并说明理由．
（3）求四边形DEBF的周长和面积．
33．如图，△ABC中，AD是中线，将△ACD旋转后与△EBD重合．
（1）旋转中心是点 ，旋转了 度；
（2）如果AB=7，AC=4，求中线AD长的取值范围．
34．如图， 是等边三角形， 旋转后能与 重合.
（1）旋转中心是哪一点？
（2）旋转角度是多少度？
（3）连结 后， 是什么三角形？简单说明理由.
35．在平面直角坐标系中，直线（k是常数，且）与坐标轴分别交于点A，点B，且点B的坐标为．
（1）求点A的坐标；
（2）将线段绕点A顺时针旋转到，作直线交x轴于点C，求直线的解析式；
（3）在（2）的条件下，如果动点P在x轴上运动，当的面积是面积的一半时，求出此时点P的坐标．
36．如图①，点O为直线MN上一点，过点O作直线OC，使∠NOC=60°．将一把直角三角尺的直角顶点放在点O处，一边OA在射线OM上，另一边OB在直线AB的下方，其中∠OBA=30°
（1）将图②中的三角尺沿直线OC翻折至△A′B′O，求∠A′ON的度数；
（2）将图①中的三角尺绕点O按每秒10°的速度沿顺时针方向旋转，旋转角为α（0＜α＜360°），在旋转的过程中，在第几秒时，直线OA恰好平分锐角∠NOC；
（3）将图①中的三角尺绕点O顺时针旋转，当点A点B均在直线MN上方时（如图③所示），请探究∠MOB与∠AOC之间的数量关系，请直接写出结论，不必写出理由．
37．如图，已知A，B，C三点的坐标分别为（－1，3），（2，0），（4，0）
（1）若把三角形ABC向上平移2个单位长度，再向右平移2个单位长度得到三角形 ，在图中画出三角形 ，并直接写出点 ， ， 坐标；
（2）在（1）的条件下，求出三角形 的面积
38．如图，△ABC在直角坐标系中，
（1）请写出△ABC各点的坐标．
（2）若把△ABC向上平移2个单位，再向左平移1个单位得到△A′B′C′，写出 A′、B′、C′的坐标，并在图中画出平移后图形．
（3）求出三角形ABC的面积．
39．有四张反面完全相同的纸牌 ，其正面分别画有四个不同的几何图形，将四张纸牌洗匀正面朝下随机放在桌面上．
（1）从四张纸牌中随机摸出一张，摸出的牌面图形是中心对称图形的概率是 ．
（2）小明和小亮约定做一个游戏，其规则为：先由小明随机摸出一张，不放回．再由小亮从剩下的纸牌中随机摸出一张，若摸出的两张牌面图形既是轴对称图形又是中心对称图形，则小亮获胜，否则小明获胜．这个游戏公平吗？请用列表法（或画树状图）说明理由．（纸牌用 表示）若不公平，请你帮忙修改一下游戏规则，使游戏公平．
40．如图，在12×12正方形网格中建立直角坐标系，每个小正方形的边长为1个单位长度，△ABC的三个顶点的坐标依次为：A（0，2），B（－3，5），C（－2，2）．
（1）将△ABC以点A为旋转中心旋转180°，得到，点B、C的对应点分别为点、，请在网格图中画出．
（2）将△ABC平移至，其中点A、B、C的对应点分别为点、、，且点的坐标为（－2，－4），请在图中画出平移后的．
（3）在第（1）、（2）小题基础上，若将绕某一点旋转可得到，则旋转中心的坐标为 ．（直接写出答案）
41．在△ABC中，∠ABC＝120°，线段AC绕点A逆时针旋转60°得到线段AD，连接CD，BD交AC于P．
（1）若∠BAC＝α，直接写出∠BCD的度数（用含α的代数式表示）；
（2）求AB，BC，BD之间的数量关系；
（3）当α＝30°时，直接写出AC，BD的关系．
42．如图，在小正方形组成的网格中，△ABC和△DEF的顶点都在格点上，根据图形解答下列问题：
（1）将△ABC向左平移4个单位长度，再向下平移2个单位长度，画出平移后的△A1B1C1；
（2）将△DEF绕D点逆时针旋转90°，画出旋转后的△DE1F1．
43．如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为（﹣1，1），B（﹣3，1），C（﹣1，4）．
（1）将△ABC绕点A顺时针旋转90°后得到△AB′C′，请在图中画出△AB′C′．
（2）写出点B′、C′的坐标．
44．△ABC与在平面直角坐标系中的位置如图所示．
（1）分别写出下列各点的坐标： ，B ；
（2）是由△ABC经过怎样的平移得到的？
（3）若点是内部一点，请直接写出△ABC内部的对应点P的坐标；
（4）求△ABC的面积．
45．如图，方格纸中每个小正方形的边长都为1，的顶点都在方格纸的格点上，将经过平移，使点C移到点的位置．
（1）在网格中画出；
（2）连接线段、，这两条线段的关系是 ；
（3）平移过程中，线段扫过的图形的面积为 ．
46．如图，已知点满足．将线段先向上平移2个单位，再向右平移1个单位后得到线段，并连接．
（1）请求出点和点的坐标；
（2）点从点出发，以每秒1个单位的速度向上平移运动．设运动时间为秒，问：是否存在这样的，使得四边形的面积等于8？若存在，请求出的值：若不存在，请说明理由；
（3）在（2）的条件下，点从点出发的同时，点从点出发，以每秒2个单位的速度向左平移运动，设射线交轴于点．设运动时间为秒，问：的值是否会发生变化？若不变，请求出它的值：若变化，请说明理由．
47．点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠AOC=120°，
一直角三角板的直角顶点放在点O处．
（1）如图1，将三角板DOE的一边OD与射线OB重合时，则∠COD= °；
（2）如图2，将图1中的三角板DOE绕点O逆时针旋转一定角度，当OC恰好是∠BOE的角平分线时，求∠COD的度数；
（3）将图1中的三角尺DOE绕点O逆时针旋转旋转 度，OE始终在∠AOC的内部，在旋转的过程中，能否使∠AOE=3∠COD？若能，求出 的度数；若不能，说明理由．
48．如图，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠BOC＝110°．将一直角三角板的直角顶点放在点O处（∠OMN＝30°），一边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方．
（1）将图1中的三角板绕点O逆时针旋转至图2，使一边OM在∠BOC的内部，且恰好平分∠BOC．求∠BON的度数．
（2）将图1中的三角板绕点O以每秒5°的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第t秒时，直线ON恰好平分锐角∠AOC，则t的值为 （直接写出结果）．
（3）将图1中的三角板绕点O顺时针旋转至图3，使ON在∠AOC的内部，请探究∠AOM与∠NOC的数量关系，并说明理由．
49．已知三角形纸片ABC的面积为48，BC的长为8．按下列步骤将三角形纸片ABC进行裁剪和拼图：
第一步：如图1，沿三角形ABC的中位线DE将纸片剪成两部分．在线段DE上任意取一点F，在线段BC上任意取一点H，沿FH将四边形纸片DBCE剪成两部分；
第二步：如图2，将FH左侧纸片绕点D旋转180°，使线段DB与DA重合；将FH右侧纸片绕点E旋转180°，使线段EC与EA重合，再与三角形纸片ADE拼成一个与三角形纸片ABC面积相等的四边形纸片．
图1 图2
（1）当点F，H在如图2所示的位置时，请按照第二步的要求，在图2中补全拼接成的四边形；
（2）在按以上步骤拼成的所有四边形纸片中，其周长的最小值为 ．
50．在矩形内，将两张边长分别为a和b（）的正方形纸片按图1，图2两种方式放置（图1，图2中两张正方形纸片均有部分重叠），矩形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1中阴影部分的周长为，图2中阴影部分的周长为.
（1）当，时，分别求出，的值.（用含a，b的代数式表示，结果需化简）
（2）小明在计算时发现，若，矩形ABCD的面积为那么就能求出矩形的周长，请你帮他完成.
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【50道综合题·专项集训】
北师大版数学八年级下册第三章 图形的平移与旋转
1．如图，AC是正方形ABCD的对角线，△ABC经过旋转后到达△AEF的位置．
（1）指出它的旋转中心；
（2）说出它的旋转方向和旋转角是多少度；
（3）分别写出点A，B，C的对应点．
【答案】（1）解：它的旋转中心为点A
（2）解：它的旋转方向为逆时针方向，旋转角是45度
（3）解：点A，B，C的对应点分别为点A，E，F
【解析】【分析】（1）通过观察发现△ABC绕着点A经过旋转后到达△AEF的位置；
（2）通过观察发现△ABC绕着点A沿逆时针方向旋转45 后到达△AEF的位置；
（3）△ABC绕着点A沿逆时针方向旋转45 后到达△AEF的位置后，点A是旋转中心没有动，故其对应点还是点A，点B转到了点E的位置，点C转到了点F的位置。
2．如图，已知点A（﹣4，2），B（﹣1，﹣2），平行四边形ABCD的对角线交于坐标原点O．
（1）请直接写出点C、D的坐标；
（2）写出从线段AB到线段CD的变换过程；
（3）直接写出平行四边形ABCD的面积．
【答案】（1）解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴四边形ABCD关于O中心对称，
∵A（-4，2）、B（-1，-2），
∴C（4，-2）、D（1，2）；
（2）解：线段AB到线段CD的变换过程是：绕点O旋转180°或线段AB沿x轴方向向右平移5个单位长度得到线段CD
（3）解：由（1）得：A到y轴的距离为4，D到y轴的距离为1，A到x轴的距离为2，B到x轴的距离为2，
∴SABCD可以转化为边长为5和4的矩形面积，∴SABCD=5×4=20.
【解析】【分析】（1）由平行四边形的中心对称性可知点C，D关于原点O的对称点分别为点A，点B，即可写出点C，D的坐标；（2）变换过程有平移与旋转，也可二者结合进行变换；（3）借助点的坐标求得平行四边形的边长及其上的高即可.
3．如图，将△ABC沿射线AB的方向移动2cm到△DEF的位置．
（1）找出图中所有平行的直线；
（2）找出图中与AD相等的线段，并写出其长度；
（3）若∠ABC＝65°，求∠BCF的度数．
【答案】（1）解：∵△ABC沿射线AB的方向移动2cm到△DEF，
∴AE∥CF，AC∥DF，BC∥EF.
（2）解：∵△ABC沿射线AB的方向移动2cm到△DEF，
∴AD＝CF＝BE＝2cm.
（3）解：∵AE∥CF，∠ABC＝65°，
∴∠BCF＝∠ABC＝65°.
【解析】【分析】（1）根据平移性质，对应点连线相互平行，即可得出AE∥CF，AC∥DF，BC∥EF；
（2）根据平移性质，对应点连接的线段为平移距离，即可得出AD＝CF＝BE＝2cm；
（3）根据平行线性质，即两直线平行，内错角相等，即可得出∠BCF＝∠ABC＝65°.
4．如图的平面直角坐标系中，已知△ABC三个顶点的坐标分别是A（4，3），B（3，1），C（1，2）．
（1）将三角形ABC三个顶点的横坐标都减去6，分别得到A1、B1、C1，依次连接A1，B1，C1，各点，请写出A1、B1、C1的坐标并画出△A1B1C1，并判断所得三角形A1B1C1与三角形ABC的大小、形状和位置有什么关系？
（2）将三角形ABC三个顶点的纵坐标都减去5，分别得到A2、B2、C2，依次连接A2，B2，C2，各点，请写出A2、B2、C2的坐标并画出△A2B2C2，并判断所得三角形A2B2C2与三角形ABC的大小、形状和位置有什么关系？
（3）求△A2B2C2的面积．
【答案】（1）解：如图所示：
A1（﹣2，3），B1（﹣3，1），C1（﹣5，2），
所得三角形与原三角形的大小、形状完全相同，所得三角形可看作将原三角形向左平移6个单位长度得到
（2）解：如图所示，A2（4，﹣2），B2（3，﹣4），C2（1，﹣3），所得三角形与原三角形的大小、形状完全相同，所得三角形可看作将原三角形向下平移5个单位长度得到
（3）解：∵A2B22=B2C22=5，A2C22=10，
∴△A2B2C2是等腰直角三角形，
∴S△A2B2C2= × × =
【解析】【分析】（1）在坐标系内画出△ABC与△A1B1C1，再写出A1、B1、C1的坐标即可；（2）画出△A2B2C2，再写出A2、B2、C2的坐标即可；（3）根据三角形的面积公式得出△A2B2C2的面积即可．
5．已知点P(3a-15，2-a)．
（1）若点P到x轴的距离是 ，试求出a的值；
（2）在（1）题的条件下，点Q如果是点P向上平移3个单位长度得到的，试求出点Q的坐标；
（3）若点P位于第三象限且横、纵坐标都是整数，试求点P的坐标．
【答案】（1）解：因为点P（3a－15，2－a），且点P到x轴的距离是 ，
所以 ＝ ，解得：a＝ 或a＝ ；
（2）解：当a＝ 时，点P（ ， ），所以点Q的坐标为（ ， ）；
当a＝ 时，点P（ ， ），所以点Q的坐标为（ ， ）；
所以点Q的坐标为（ ， ）或（ ， ）；
（3）解：因为点P（3a－15，2－a）位于第三象限，所以 ，解得：2＜a＜5．
因为点P的横、纵坐标都是整数，所以a＝3或4；
当a＝3时，点P（ ， ）；
当a＝4时，点P（ ， ）．
所以点P的坐标是（ ， ）或（ ， ）．
【解析】【分析】（1）先求出
＝ ，再解方程即可。
（2）分类讨论，求点的坐标即可；
（3）先求出
，再求出 a＝3或4，最后求点的坐标即可。
6．如图所示，把一个直角三角尺ACB绕着30°角的顶点B顺时针旋转，使得点A与CB的延长线上的点E重合.
（1）三角尺旋转了 度。
（2）连接CD，试判断△CBD的形状；
（3）求∠BDC的度数。
【答案】（1）150°
（2）解：∵图形旋转前后两图形全等，
∴CB=DB，故△CBD为等腰三角形
（3）解：∵三角形CBD中∠DBE为∠CBA旋转以后的角，
∴∠DBE=∠CBA=30°，
故∠DBC=180°-∠DBE=180°-30°=150°，
又∵BC=BD，
∴∠BDC=∠BCD= =15°
【解析】【解答】（1）∵三角尺旋转的度数即为一条边旋转后与原边组成的角，
∴三角尺的斜边AB旋转到EB后AB与BE所组成的角∠ABE=180°-∠ABC=180°-30°=150°.
【分析】（1）由旋转的性质得∠ABE=180°-∠ABC可求解；
（2）由旋转的性质“ 旋转前后两图形全等 ”可得CB=DB，根据等腰三角形的定义可求解；
（3）由旋转的性质“ 旋转前后两图形全等 ”可得∠DBE=∠ABC，由（2）中的等腰三角形的性质和三角形内角和定理可求解.
7．如图，等腰中，，，以C为旋转中心，顺时针旋转到位置，使点A落在BC边的延长线上的E处，连接AD和BD.
（1）求证：≌；
（2）请判断的形状，并证明你的结论.
【答案】（1）证明：∵等腰中，，，
∴，
由旋转可得：≌，
∴，，，
又B、C、E三点共线，
∴，
∵，
∴，
又，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，，，
∴≌.
（2）解：为等腰三角形，
理由为：∵≌，
∴，
又，
∴，即A、D、E三点共线，
又，，
∴，
∴，即为等腰三角形.
【解析】【分析】（1）根据等腰三角形的性质以及内角和定理可得∠ABC=∠ACB=72°，根据旋转的性质得△EDC≌△ABC，则∠DCE=∠ACB=72°，BC=DC，DE=AB=AC，根据邻补角的性质得∠BCD=108°，由等腰三角形的性质以及内角和定理可得∠CBD=∠CDB=36°，推出BD=ED，则BD=CA，然后根据全等三角形的判定定理SAS进行证明；
（2）根据全等三角形的性质可得∠ADC=∠BCD=108°，推出A、D、E三点共线，根据角的和差关系可得∠BAE=∠BAC+∠CAD=72°，则∠BAE=∠ABE，据此判断.
8．如图，在平面直角坐标系中，，，，.
（1）作出向右平移5个单位，得到的；
（2）作点C绕点D顺时针旋转得到的点E，并写出其坐标；
（3）在y轴上存在点P，使得最大，在y轴上描出点P的位置.
【答案】（1）解：如图所示.
（2）解：由图可知，点E的坐标为.
（3）解：根据三角形两边之差小于第三边可得当P、E、C1在同一条直线上时，取得最大值，P点如图所示.
【解析】【分析】（1）根据方格纸的特点及平移的方向及距离，分别将点A、B、C向右平移5个单位长度可得点A1、B1、C1，然后顺次连接即可；
（2）根据方格纸的特点及旋转的方向及角度，找出点C绕点D顺时针旋转90°的对应点E的位置，进而可得点E的坐标；
（3）根据三角形两边之差小于第三边可得当P、E、C1在同一条直线上时，|PC1-PE|取得最大值，连接C1E并延长，与y轴的交点即为点P.
9．已知△ABC绕点A逆时针旋转45°得到△ADE，∠BAC=45°，∠C=40°，AB=3，AC=4；
（1）求∠E和∠EAB的大小；
（2）由旋转的性质得：∠E=∠C=40°， AE=AC=4，旋转角∠EAC=45°，
∴∠EAB=∠EAC+∠BAC=45°+45°=90°；
【答案】（1）解：∠E=40°，∠EAB=90°
（2）解：如图，
∵∠EAB=90°，AB=3，AE=4，
∴BE=.
【解析】【分析】（1）根据旋转的性质得出∠E=∠C=40°， AE=AC=4，旋转角∠EAC=45°，即可得出∠EAB=∠EAC+∠BAC=90°；
（2）利用勾股定理即可得出BE的长.
10．如图，在△ABC和△DEF中，B，E，C，F在同一条直线上，下列给出四个论断：
①AB＝DE；②AC＝DF；③∠ACB＝∠DFE；④BE＝CF．解答下列问题：
（1）任选三个作为已知条件，余下一个作为结论，得到一个真命题．（填入下列横线上）
条件： ，结论： ．（填序号即可）
（2）证明（1）中你选的命题．
（3）若△DEF是由△ABC沿BC方向平移得到的，已知△ABC的周长为m，则平移距离AD＝ 时，四边形ABFD的周长是△ABC周长的两倍．
【答案】（1）②③④；①
（2）解：“SAS”或者“SSS”
（3）
【解析】【解答】解：(1)∵BE=CF，∴BE+EC=CF+EC，即BC=EF，
在△ABC和△DEF中，，
∴△ABC≌△DEF（SAS），
∴AB=DF；
故答案为： ②③④ ， ① （答案不唯一）；
(2)m=AB+BC+AC，四边形ABFD的周长=AB+BC+CF+DF+AD，
∵△DEF是由△ABC平移得到的，
∴AC=DF，AD=CF，
∴四边形ABFD的周长-m=AB+BC+CF+DF+AD-（AB+BC+AC）=AD+CF=2AD，
∴2AD=m，
∴AD=，
故答案为：.
【分析】(1)(2)根据线段间的和差关系求出BC=EF，然后利用SAS证明△ABC≌△DEF，则可得出AB=DF；
(3)由平移的性质得出有关线段相等，然后求出周长差， 根据周长的关系得出AD=，即可解答.
11．如图，方格纸中每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，已知三角形ABC的顶点在格点上，在建立平面直角坐标系后，A的坐标为（2，－4），B的坐标为（5，－4），C的坐标为（4，－1）．
（1）画出三角形ABC；
（2）求三角形ABC的面积；
（3）若把三角形ABC向上平移2个单位长度，再向左平移4个单位长度得到三角形A′B′C′，在图中画出三角A′B′C′，并写出B′的坐标．
【答案】（1）解：如图△ABC即为所求；
（2）解：S三角形ABC＝3×3÷2＝；
（3）解：如图△A′B′C′即为所求，B′（1，－2）．
【解析】【分析】（1）根据点坐标直接画出三角形即可；
（2）根据三角形的面积公式求解即可；
（3）根据平移的性质找出点A、B、C的对应点，再连接并直接写出点B′的坐标即可。
12．三角形ABC与三角形在平面直角坐标系中的位置如图所示，三角形是由三角形ABC平移得到的．
（1）分别写出点、、的坐标；
（2）说明三角形是由三角形ABC经过怎样的平移得到的？
（3）若点是三角形ABC内的一点，则平移后三角形内的对应点为，写出点的坐标．
【答案】（1）解：由图可得：点A'、B'、C'的坐标分别是（-3，1）、（-2，-2）、（-1，-1）.
（2）解：∵点A（1，3），A'（-3，1），
∴点A坐标向左平移4个单位，再向下平移2个单位可得到A'，
∴△ABC先向左平移4个单位长度，再向下平移2个单位长度得到△A'B'C'（或先向下平移2个单位长度，再向左平移4个单位长度也可以）．
（3）解：∵△ABC先向左平移4个单位长度，再向下平移2个单位长度得到△A'B'C'，
∴点P平移与△ABC平移规律一致，
∵点P（a，b），
∴点P'坐标为（a-4，b-2）.
【解析】【分析】（1）由平面直角坐标系中△A'B'C'各顶点位置确定坐标即可；
（2）根据点的平移规律，即“左减右加看横坐标，上加下减看纵坐标”，可知点A坐标向左平移4个单位，再向下平移2个单位可得到A'，进而知△ABC先向左平移4个单位长度，再向下平移2个单位长度得到△A'B'C'（答案不唯一，先向下平移2个单位长度，再向左平移4个单位长度也可以）；
（3）由于点P是三角形内部点，因此点P平移与△ABC平移规律一致，由（2）可知：△ABC先向左平移4个单位长度，再向下平移2个单位长度得到△A'B'C'，进而可得点P'坐标为（a-4，b-2）.
13．如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中．
（1）把△ABC进行平移，得到△A′B′C′，使点A与A′对应，请在网格中画出△A′B′C′．
（2）若一个格点多边形的面积记为S，其内部格点数记为N，边界上的格点数记为L．则图中格点△ABC对应的N= ，L= ，S= ．
（3）已知格点多边形的面积可表示为S=N+aL+b，且已知当N=1，L=6时，S=3．若某格点多边形对应的N=12，L=8，求S的值．
【答案】（1）解：如图△A B C 即为所求
（2）解：3；3；3.5
（3）解：∵由题意得 ，解得
∴S=N+ L﹣1
∴当N=12，L=8时，S=15．
【解析】【分析】（1）根据图形平移的性质画出△A′B′C′即可；（2）根据△ABC内的格点数可得出L的值，同理得出L的值，利用正方形的面积减去三个顶点上三角形的面积即可得出S的值；（3）求出ab的值，再把N=12，L=8代入进行计算即可．
14．把两块含45°角的直角三角板按图1所示的方式放置，点D在BC上，连结BE、AD，AD的延长线交BE于点F．
（1）如图1，求证：BE=AD，AF⊥BE；
（2）将△ABC绕点C顺时针旋转（如图2），连结BE、AD，AD分别交BE、BC于点F、G，那么（1）中的结论还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
【答案】（1）证明：在△BCE和△ACD中，
，
∴△BCE≌△ACD（SAS），
∴BE=AD，∠EBC=∠CAD，
在Rt△ACD中，
∵∠CDA+∠CAD=90°，∠BDF=∠CDA
∴∠BDF+∠DBF=90°，
即：AF⊥BE
（2）成立，理由如下：
在△BCE和△ACD中，
∵∠BCE=∠ACD=90°，
∴∠DCE+∠DCB=∠ACB+∠BCD，
∴∠BCE=∠ACD，
在△BCE和△ACD中，
，
∴△BCE≌△ACD（SAS），
∴BE=AD，∠EBC=∠CAD，
在Rt△ACG中，
∵∠CGA+∠CAG=90°，∠BGF=∠CGA．
∴∠BGF+∠GBF=90°，
即：AF⊥BE
【解析】【分析】（1）由SAS判定△ECB≌△DCA，根据全等三角形的性质可知：对应边相等AD=BE、对应角相等∠BEC=∠ADC；加上已知条件来求∠AFE=90°即可；（2）成立，利用已知条件可证明△BCE≌△ACD（SAS），由全等三角形的性质以及已知条件证明即可证明BE=AD，AF⊥BE．
15．如图，在每个小正方形边长为1的网格中，平移三角形ABC，并将三角形ABC的一个顶点A平移到D处.
（1）请你作出平移后的三角形DEF.
（2）请求出三角形DEF的面积.
【答案】（1）解：三角形DEF如图所示
（2）解：由图可知，
【解析】【分析】（1）根据点A、D的位置可得平移方式为：先向右平移4个单位长度，再向下平移1个单位长度，据此找出点E、F的位置，然后顺次连接即可；
（2）利用方格纸的特点及割补法，用△DEF外接矩形的面积分别减去周围三个三角形的面积，即可求出△DEF的面积.
16．如图，在平面网格中每个小正方形的边长为1.
（1）线段CD是线段AB经过怎样的平移后得到的？
（2）线段AC是线段BD经过怎样的平移后得到的？
【答案】（1）解：将线段AB向右平移3个小格（向下平移4 个小格），再向下平移4个小格（向右平移3个小格）， 得线段CD
（2）解：将线段BD向左平移3个小格（向下平移1个小格），再向下平移1个小格（向左平移3个小格），得到线段AC
【解析】【分析】在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移相同．平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．
17．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点都在格点上，点A的坐标为（2，4），请解答下列问题：
（1）画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，并写出点A1的坐标．
（2）画出△A1B1C1绕原点O旋转180°后得到的△A2B2C2，并写出点A2的坐标．
【答案】（1）解：如图所示：点A1的坐标（2，﹣4）；
（2）解：如图所示，点A2的坐标（﹣2，4）．
【解析】【分析】（1）分别找出A、B、C三点关于x轴的对称点，再顺次连接，然后根据图形写出A点坐标；（2）将△A1B1C1中的各点A1、B1、C1绕原点O旋转180°后，得到相应的对应点A2、B2、C2，连接各对应点即得△A2B2C2．
18．如图，有四张背面完全相同的纸牌A，B，C，D，其正面分别画有四个不同的几何图形，将这四张纸牌背面朝上洗匀.
（1）从中随机摸出一张，求摸出的正面是中心对称图形的纸牌的概率.
（2）小明和小亮约定做一个游戏，其规则为：先由小明随机摸出一张纸牌，不放回，再由小亮从剩下的纸牌中随机摸出一张，若摸出的两张纸牌正面的图形都是轴对称图形，小明获胜；否则，小亮获胜.这个游戏公平吗？请用列表法（或画树状图法）说明理由（纸牌用A，B，C，D表示）
【答案】（1）解：共有4张牌，正面是中心对称图形的情况有3种，所以摸到正面是中心对称图形的纸牌的概率是.
（2）解： 列表得，
A B C D
A （A，B） （A，C） （A，D）
B （B，A） （B，C） （B，D）
C （C，A） （C，B） （C，D）
D （D，A） （D，B） （D，C）
共产生12种结果，每种结果出现的可能性相同，其中两张牌都是轴对称图形的有6种，
∴P（两张都是轴对称图形）＝，
P(小明)= =P（小亮），
∴游戏公平.
【解析】【分析】（1）这四张背面相同的纸牌正面所画的图形中是中心对称图形有B、C、D三张，从中随机抽取一张，共有4种等可能的结果数，而抽取出的图形是中心对称图形的只有3种等可能的结果数，从而根据概率公式即可得出答案；
（2）此题是抽取不放回类型，列表，求得摸出两张牌面图形都是轴对称图形的情况数，继而求得小明赢与小亮赢的概率，比较概率的大小，即可知这个游戏是否公平．
19．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，且AD（1）指出平移的方向和平移的距离；
（2）试说明AD+BC=BF.
【答案】（1）解：平移的方向是点A到点D的方向，平移的距离是线段AD的长度
（2）解：∵△ABC平移到△DEF的位置，
∴CF＝AD，
∵CF＋BC＝BF，
∴AD＋BC＝BF
【解析】【分析】（1）找到一对对应点，那么从△ABC的对应点到△DEF对应点即为平移的方向，对应点的连线即为平移的距离；（2）根据平移的性质易得AD＝CF，根据BF由BC和EC组成可得AD＋BC＝BF．
20．如图，直角坐标系中，△ABC的顶点都在网格点上，其中，C点坐标为（1，2）．
（1）写出点A、B的坐标：
A（ ， ）、B（ ， ）
（2）将△ABC先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到△A′B′C′，则A′B′C′的三个顶点坐标分别是A′（ ， ）、B′（ ， ）、C′（ ， ）．
（3）△ABC的面积为 ．
【答案】（1）2；1；4；3
（2）0；0；2；4；-1；3
（3）5
【解析】【解答】解：（1）写出点A、B的坐标：A（2，﹣1）、B（4，3）；（2）将△ABC先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到△A′B′C′，则A′B′C′的三个顶点坐标分别是A′（0，0）、B′（2，4）、C′（﹣1，3）；（3）△ABC的面积=3×4﹣2× ×1×3﹣ ×2×4=5．
【分析】（1）A在第四象限，横坐标为正，纵坐标为负；B的第一象限，横纵坐标均为正；（2）让三个点的横坐标减2，纵坐标加1即为平移后的坐标；（3）△ABC的面积等于边长为3，4的长方形的面积减去2个边长为1，3和一个边长为2，4的直角三角形的面积，把相关数值代入即可求解．
21．已知∠α的顶点在正n边形的中心点O处，∠α绕着顶点O旋转，角的两边与正n边 形的两边分别交于点M、N，∠α与正n边形重叠部分面积为S．
（1）当n=4，边长为2，∠α=90°时，如图（1），请直接写出S的值；
（2）当n=5，∠α=72°时，如图（2），请问在旋转过程中，S是否发生变化？并说明理由；
（3）当n=6，∠α=120°时，如图（3），请猜想S是原正六边形面积的几分之几（不必说明理由）．若∠α的平分线与BC边交于点P，判断四边形OMPN的形状，并说明理由．
【答案】（1）解：如图1，连接OA、OB，
当n=4时，四边形ABCD是正方形，
∴OA=OB，AO⊥BO，
∴∠AOB=90°，
∴∠AON+∠BON=90°，
∵∠MON=∠α=90°，
∴∠AON+∠AOM=90°，
∴∠BON=∠AOM，
∵O是正方形ABCD的中心，
∴∠OAM=∠ABO=45°，
在△AOM和△BON中，
∵ ，
∴△AOM≌△BON（ASA），
∴S△AOM=S△BON，
∴S△AOM+S△AON=S△BON+S△AON，
即S四边形ANDM=S△ABO=S，
∵正方形ABCD的边长为2，
∴S正方形ABCD=2×2=4，
∴S=S△ABO= S正方形ABCD= ×4=1
（2）解：如图2，在旋转过程中，∠α与正n边形重叠部分的面积S不变，
理由如下：连接OA、OB，
则OA=OB=OC，∠AOB=∠MON=72°，
∴∠AOM=∠BON，且∠OAB=∠OBC=54°，
∴△OAM≌△OBN，
∴四边形OMBN的面积：S=S△OBN+S△OBM=S△OAM+S△OBM=S△OAB，
故S的大小不变
（3）解：猜想：S是原正六边形面积的 ，理由是：
如图3，连接OB、OD，
同理得△BOM≌△DON，
∴S=S△BOM+S四边形OBCN=S△DON+S四边形OBCN=S四边形OBCD= S六边形ABCDEF；
四边形OMPN是菱形，
理由如下：
如图4，作∠α的平分线与BC边交于点P，
连接OA、OB、OC、OD、PM、PN，
∵OA=OB=OC=OD，∠AOB=∠BOC=∠COD=∠MOP=∠PON=60°，
∴∠OAM=∠OBP=∠OCN=60°，∠AOM=∠BOP=∠CON，
∴△OAM≌△OBP≌△OCN，
∴OM=OP=ON，
∴△OMP和△OPN都是等边三角形，
∴OM=PM=OP=ON=PN，
∴四边形OMPN是菱形．
【解析】【分析】（1）如图1，连接对角线OA、OB，证明△AOM≌△BON（ASA），则S△AOM=S△BON，所以S=S△ABO= S正方形ABCD= ×4=1；（2）如图2，在旋转过程中，∠α与正n边形重叠部分的面积S不变，连接OA、OB，同理证明△OAM≌△OBN，则S=S△OBN+S△OBM=S△OAM+S△OBM=S△OAB，故S的大小不变；（3）如图3，120°相当于两个中心角，可以理解为一个中心角连续旋转两次，由前两问的推理得，旋转一个中心角时重叠部分的面积是原来正n边形面积的 ，则S是原正六边形面积的 ；也可以类比（1）（2）证明△OAM≌△OBN，利用割补法求出结论；
四边形OMPN是菱形，
理由如下：如图4，作∠α的平分线与BC边交于点P，作辅助线构建全等三角形，同理证明△OAM≌△OBP≌△OCN，得△OMP和△OPN都是等边三角形，则OM=PM=OP=ON=PN，根据四边相等的四边是菱形可得：四边形OMPN是菱形．
22．如图，点 是等边 内一点， ．将 绕点 按顺时针方向旋转 得 ，连接 ．
（1）求证： 是等边三角形；
（2）当 时，试判断 的形状，并说明理由；
（3）探究：当 为多少度时， 是等腰三角形？
【答案】（1）证明：∵△BOC绕点C旋转得到△ADC，∴△BOC≌△ADC，∴OC=DC，∵△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得到△ADC，
∴∠OCD=60°，
∴△COD是等边三角形.
（2）解：△AOD是两个锐角分别为40°和50°的直角三角形. 理由如下.∵△COD是等边三角形，∴∠COD=∠ODC=60°，∵△BOC≌△ADC，又∵α=150°，
∴∠BOC=∠ADC=α=150°.
∴∠ADO=∠ADC-∠ODC=150°-60°=90°，
∴△AOD是直角三角形.
∵∠AOB+∠BOC+∠COD+∠AOD=360°又∵∠AOB=110°，∠BOC=α=150°，∠COD=60°，
∴∠AOD=360°-∠AOB-∠BOC-∠COD=360°-110°-150°-60°=40°，
∴在Rt△AOD中，∠OAD=90°-∠AOD=90°-40°=50°.
∴△AOD是两个锐角分别为40°和50°的直角三角形.
（3）解：∵△COD是等边三角形，
∴∠COD=∠CDO=60°.
∵∠AOB=110°，∠COD=60°，
∴∠AOD=360°-∠AOB-∠BOC-∠COD=360°-110°-α-60°=190°-α.
∵∠BOC=∠ADC=α，
∴∠ADO=∠ADC-∠CDO=α-60°.
∴在△AOD中，∠OAD=180°-∠AOD-∠ADO=180°-(190°-α)-(α-60°)=50°.
根据题意，△AOD的三个内角两两相等均可以使△AOD为等腰三角形，
故应该对下面三种情况分别进行讨论.
①若∠ADO=∠AOD，即α-60°=190°-α，∴α=125°.
②若∠ADO=∠OAD，即α-60°=50°，∴α=110°.
③若∠OAD=∠AOD，即50°=190°-α，∴α=140°.
综上所述，当α为125°或110°或140°时，△AOD是等腰三角形.
【解析】【分析】（1）根据旋转的性质得出OC=DC，∠OCD=60°，根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形即可得出△COD是等边三角形；
（2）△AOD是两个锐角分别为40°和50°的直角三角形. 理由如下.根据等边三角形的性质得出∠COD=∠ODC=60°，根据全等三角形的性质得出∠BOC=∠ADC=α=150°，根据角的和差得出∠ADO=90°，△AOD是直角三角形，根据周角的定义得出∠AOD=40°，根据三角形的内角和得出∠OAD=50°，故△AOD是两个锐角分别为40°和50°的直角三角形；
（3）根据等边三角形的性质得出∠COD=∠CDO=60°，根据周角的定义得出∠AOD=190°-α，根据全等三角形的性质得出∠BOC=∠ADC=α，根据角的和差得出∠ADO=α-60°，利用三角形的内角和得出∠OAD=50°.根据题意，△AOD的三个内角两两相等均可以使△AOD为等腰三角形，故需要分三种情况：①若∠ADO=∠AOD，②若∠ADO=∠OAD，③若∠OAD=∠AOD，一一列出方程，求解即可得出答案。
23．如图1， 是等边三角形， ， 是一块直角三角板， ， 在 上且等边 可以沿 向右平移（ 只能在 上移动）．当点 与点 重合时，点 恰好落在 的斜边 上．
（1）若点 平移到与点 重合，求等边 平移的距离；
（2）如图2，等边 向右平移后的三角形记为 ， ， 与三角板斜边的交点分别为 ， ，连接 交于 点 ．
①求证： ；
②判断 的长度在等边 平移的过程中是否会发生变化？请说明理由．
【答案】（1）解：∵ ，
∴
∴
∴等边 平移的距离是8.
（2）解：①如图，连接 ，由平移的性质，得到四边形 为平行四边形．
∴ ，
∴
由（1）知，
∴
∴ ．
②∵ ，
∴
又∵
∴点 为 的中点
∵
∴ 为 的中位线
∴
∴ 的长度在等边 平移的过程中始终保持不变．
【解析】【解答】（1）解：∵ ，
∴
∴
∴等边 平移的距离是8.
（2） 解：①如图，连接 ，由平移的性质，得到四边形 为平行四边形．
∴ ，
∴
由（1）知，
∴
∴ ．
②∵ ，
∴
又∵
∴点 为 的中点
∵
∴ 为 的中位线
∴
∴ 的长度在等边 平移的过程中始终保持不变．
【分析】（1）分析题意，求得是CF的长度，关键在于找到AB与CF的关系
（2）①如何利用平移后得到的平行四边形，是本问的关键
②关键在于得到A'G为三角形A'AH的中线，从而得到G为AH对的中点
24．平面直角坐标系中，三角形ABC的顶点都在网格点上。
（1）平移三角形ABC，使点C与坐标原点O是对应点，请画出平移后的三角形A′B′C′；
（2）写出A、B两点的对应点A′、B′的坐标；
（3）求出三角形ABC的面积。
【答案】（1）解：如图所示，△A′B′C′即为所求作的三角形；
（2）解：点A′、B′的坐标分别为A′（1，-3）、B′（3，1）
（3）解：S△ABC=3×4- ×3×1- ×2×4- ×1×3，
=12- -4- ，
=12-7，
=5．
【解析】【分析】（1）根据平移后C点与O点对应可知，三角形ABC向下平移了2个单位，向左平移了1个单位，找出A、B、C平移后的对应点A′、B′、C′，连接A′、B′、O画出平移后的三角形△A′B′C′；（2）直接根据（1）的作图写出A′、B′两点的坐标；（3）找出一个长方形刚好圈住三角形ABC，再运用割补法求出三角形ABC的面积为5.
25．如图，在平面直角坐标系中， ABC的三个顶点坐标分别为A（-4，-2）、B（-2，0）、C（0，-3）， A1B1C是 ABC绕点C顺时针旋转90°后得到的图形.
（1）写出A1，B1的坐标；
（2）在所给的平面直角坐标系中画出 A1B1C；
（3）若点B2与点B1关于原点对称，写出A1B2的长.
【答案】（1）解：由旋转可知：
（2）解：如下图： 即为所求.
（3）解：据题意，作图如下：
∵点B2与点B1关于原点对称，且
∴ ，
∴ 、 在平行于x轴的直线上
∴
【解析】【分析】（1）利用网格特点和旋转的性质画出A，B的对应A1，B1，从而得到它们的坐标；
（2）由（1）可确定△A1B1C；
（3）根据关于原点对称的点的坐标变化特征“横纵坐标都变为原来的相反数”可得对称点的坐标，再根据两点间的距离公式计算即可求解.
26．△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示．将△ABC向右平移5个单位后再向下平移3个单位得到△A1B1C1.
（1）写出经平移后△A1B1C1 点A1、B1.C1的坐标
（2）作出△A1B1C1 .
（3）求△ABC的面积
【答案】（1）解：A1（3，0），B1（2，-1），C1（4，-2）
（2）解：如图所示；
（3）解：S△ABC=2×2- ×2×1×2- ×1×1=1.5.
【解析】【分析】（1）按照平移的规律即可写出点平移后的坐标；规律：左减右加，上加下减.
（2）按要求画出图形即可；
（3）利用割补法即可得到.
27．如图，在正方形网络中，△ABC的三个顶点都在格点上，点A、B、C的坐标分别为（﹣2，4）、（﹣2，0）、（﹣4，1），将△ABC绕原点O旋转180度得到△A1B1C1．结合所给的平面直角坐标系解答下列问题：
（1）画出△A1B1C1；
（2）画出一个△A2B2C2，使它分别与△ABC，△A1B1C1轴对轴（其中点A，B，C与点A2，B2，C2对应）；
（3）在（2）的条件下，若过点B的直线平分四边形ACC2A2的面积，请直接写出该直线的函数解析式．
【答案】（1）解：如图1所示：
（2）解：如图1所示：直线解解析式为y=0；
如图2所示：
（3）解：经过点B和（0，2.5）的直线平分四边形ACC2A2的面积，
设直线的解析式为y=kx+b，
将（﹣2，0）和（0，2.5）代入得： ，
解得：
直线的解析式为y= ．
综上所述：直线的解析式为y=0或y= ．
【解析】【分析】（1）首先由旋转的性质求得对应点的坐标，然后画出图形即可；（2）由轴对称图形的性质找出对应点的坐标，然后画出图形即可；（3）分别画出三角形关于x轴对称和关于y轴对称的图形，然后再找出过点B平分四边形面积的直线，最后求得解析式即可．
28．如图
（1）如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF＝ ∠BAD．求证：EF＝BE+FD．
小明想到条件∠EAF＝ ∠BAD应用需要转化，将△ADF绕顶点A旋转到△ABG处，此时△ABG≌△ADF，把线段BE、FD集中到一起，进一步可以再证明EF＝EG＝BE+FD．
证明：延长EB到G，使BG＝DF，连接AG．
∵∠ABG＝∠ABC＝∠D＝90°，
AB＝AD
∴△ABG≌△ADF．
小明没有证明结束，请你补齐证明过程．
基本运用：请你用第（1）题的解答问题的思想方法，解答下面的问题
（2）已知如图2，△ABC中，∠CAB＝90°，AB＝AC，E、F为BC上的点，且∠EAF＝45°，
求证：EF2＝BE2+CF2；
拓展延伸
（3）已知如图3，等边△ABC内有一点P，AP＝8，BP＝15，AP＝17，求∠APB的度数．
【答案】（1）解：证明：延长EB到G，使BG＝DF，连接AG．
∵∠ABG＝∠ABC＝∠D＝90°，
AB＝AD
∴△ABG≌△ADF（ASA），
∴AG＝AF，∠1＝∠2．
∴∠1+∠3＝∠2+∠3＝∠EAF＝ ∠BAD．
∴∠GAE＝∠EAF，
在△AEG与△AEF中 ，
∴△AEG≌△AEF（SAS），
∴EG＝EF．
∵EG＝BE+BG．
∴EF＝BE+FD
（2）解：如图2，把△ABE绕着点A逆时针旋转90°得到△ACE′，
则AE′＝AE，CE′＝CE，∠CAE′＝∠BAE，
∵∠BAC＝90°，∠EAF＝45°，
∴∠BAE+∠CAF＝∠CAF+∠CAE′＝∠FAE′＝45°，
∴∠EAF＝∠E′AF，
在△AEF与△AE′F中 ，
∴△AEF≌△AE′F（SAS），
∴EF＝E′F，∵∠B+∠ACB＝90°，
∴∠ACB+∠ACE′＝90°，
∴∠FCE′＝90°，
∴E′F2＝CF2+CE′2，
∴EF2＝BE2+CF2
（3）解：如图3，将△APB绕着点A逆时针旋转60°得到△ACP′，
∴△ACP′≌△ABP，
∴AP′＝AP＝8、CP′＝BP＝15、∠AP′C＝∠APB，
由题意知旋转角∠PA P′＝60°，
∴△AP P′为等边三角形，
∴P P′＝AP＝8，∠A P′P＝60°，
∵PP′2+P′C2＝82+152＝172＝PC2，
∴∠PP′C＝90°，
∴∠APB＝∠AP′C＝∠A P′P+∠P P′C＝60°+90°＝150°．
【解析】【分析】（1）延长EB到G，使BG＝DF，连接AG． 利用ASA证明△ABG≌△ADF，利用全等三角形的性质，可证得AG＝AF，∠1＝∠2，再证明∠GAE＝∠EAF，再利用SAS证明△AEG≌△AEF，利用全等三角形的性质，可证得EG＝EF，然后由EG＝BE+BG，可证得结论。
（2） 利用旋转的性质，由△ABE绕着点A逆时针旋转90°得到△ACE′，可证得AE′＝AE，CE′＝CE，∠CAE′＝∠BAE，∠EAF＝∠E′AF，利用SAS证明△AEF≌△AE′F，再利用全等三角形的性质，可证得EF＝E′F，然后证明∠FCE′＝90°，利用勾股定理可证得结论。
（3） 如图3，将△APB绕着点A逆时针旋转60°得到△ACP′，可证得△ACP′≌△ABP，利用全等三角形的性质，易证AP′＝AP，CP′＝BP，∠AP′C＝∠APB，再证明△AP P′为等边三角形，然后利用勾股定理的逆定理证明∠PP′C＝90°，就可求出∠APB的度数。
29．（1）如图，把∠AOB绕着O点按逆时针方向旋转一个角度，得∠A′OB′，指出图中所有相等的角．
（2）如图，BD平分∠ABC，BE分∠ABC分2：5两部分，∠DBE=21°，求∠ABC的度数．
【答案】（1）解：∵∠A′OB′是由∠AOB旋转得到的．∴∠AOB=∠A′OB′，∵∠AOB=∠A′OB′，∴∠AOB-∠A′OB=∠A′OB′-∠A′OB，∴∠AOA′=∠BOB′
（2）解：设∠ABE=2x°，得2x+21=5x-21，解得x=14，∴∠ABC=14°×7=98°，∴∠ABC的度数是98°
（2）根据
【解析】【分析】（1）根据旋转的性质得出∠AOB=∠A′OB′，然后根据等式的性质得出∠AOB-∠A′OB=∠A′OB′-∠A′OB，从而得出∠AOA′=∠BOB′ ；
（2）根据BE分∠ABC分2：5两部分 ，设∠ABE=2x° ，则∠EBC=5x° ，根据角平分线的定义得出∠ABD=∠CBD ，从而得出方程2x+21=5x-21 ，解方程求出x的值 ，进一步就可以求出∠ABC的度数 。
30．如图，在下列的网格中，横、纵坐标均为整数的点叫做格点，例如 、 、 都是格点.
（1）直接写出 的形状；
（2）要求在上图中仅用无刻度的直尺作图：将 绕点 逆时针旋转得到 ，旋转角 ，请你完成作图；
（3）在网格中找一个格点 ，使得 ，并直接写出 点坐标.
【答案】（1）解：根据勾股定理，得 = ， = ， = ，
∴ = + ，
∴ 的形状为直角三角形
（2）解：如图所示，在点B所在直线的右侧取格点 ，使得B =5，连接C ，
则 = ，
∴ = + ，
∴∠BC =90°，
∴A，C， 三点共线，
∴△ABC≌△ BC，
∴∠ABC=∠ BC ，
∴∠ BA=2∠ABC，
取格点 ，使得 =CA，
连接B 即可
（3）解：如图，过点 作 D⊥y轴，垂足为D，
则 D=4，OD=6，将点D向下平移3个单位到点G，此时点G（0，3），连接 G，则 G= =5，
∴DG=OA=3，D =OB=4，G =AB=5，
∴△OAB≌△D G ，
∴∠OBA=∠D G，
∵∠DG +∠D G=90°，
∴∠DG +∠OBA =90°，
∴ ，
故点G的坐标为（0，3）
【解析】【分析】（1）根据勾股定理分别求AB2 ，AC2 ， BC2，根据勾股定理的逆定理判断；
（2）在点B所在直线的右侧取格点A1，使得BA1=5，利用全等证明旋转角满足条件，取格点C1，使得C1A1=CA即可；
（3）过点C1作C1D⊥y轴，垂足为D，则C1D=4，OD=6，将点D向下平移3个单位到点G，此时点G（0，3），连接 C1G即可.
31．如图，将矩形绕着点按顺时针方向旋转得到矩形，使点落在边上的点处，连接交于点，连接．
（1）求证：平分；
（2）取中点，连接，求证：；
【答案】（1）证明：∵矩形绕着点按顺时针方向旋转得到矩形，
，
，
又，
，
，
平分
（2）证明：过点作的垂线，如图：
平分，，，
，
，
，，，
≌，
，即点是中点，
又点是中点，
．
【解析】【分析】（1）根据等边对等角的性质可得，再利用平行线的性质可得，证出，即可证出平分；
（2）过点作的垂线，利用“AAS”证出≌， 可得 ，即点是中点， 再结合点是中点，即可得到。
32．已知：如图，E点是正方形ABCD的边AB上一点，AB=4，DE=6，△DAE逆时针旋转后能够与△DCF重合．
（1）旋转中心是 ．旋转角为 度．
（2）请你判断△DFE的形状，并说明理由．
（3）求四边形DEBF的周长和面积．
【答案】（1）点D；90
（2）解：根据旋转的性质可得：△DAE≌△DCF，则DE=DF，∠EDF=∠ADC=90°，
则△DFE的形状是等腰直角三角形．
（3）解：四边形DEBF的周长是BE+BC+CF+DF+DE=AB+BC+DE+DF=20；
面积等于正方形ABCD的面积=16．
【解析】【解答】解：（1）旋转中心是点D．旋转角为90度．
【分析】（1） 由题意可得：旋转中心是点D．旋转角为90度；
（2）由旋转的性质“旋转前后的图形全等”可得 △DAE≌△DCF ，再根据全等三角形的性质和等腰直角三角形的判定可判断 △DFE的形状是等腰直角三角形 ；
（3）由四边形的周长等于四边之和可求解四边形DEBF的周长；由割补法可知 四边形DEBF的面积=正方形ABCD的面积=边长的平方可求解。
33．如图，△ABC中，AD是中线，将△ACD旋转后与△EBD重合．
（1）旋转中心是点 ，旋转了 度；
（2）如果AB=7，AC=4，求中线AD长的取值范围．
【答案】（1）D；180
（2）解：由(1)得△ACD≌△EBD
∴AD=ED，BE=AC=4，
在△ABE中，AB-BE∴7-4<2AD<7+4，
∴ ．
【解析】【解答】（1）∵将△ACD旋转后能与△EBD重合，
∴旋转中心是点D，旋转了180度；
故答案为：D，180；
【分析】（1）根据旋转的性质求解即可；
（2）先求出 AD=ED，BE=AC=4， 再求出 7-4<2AD<7+4， 最后计算求解即可。
34．如图， 是等边三角形， 旋转后能与 重合.
（1）旋转中心是哪一点？
（2）旋转角度是多少度？
（3）连结 后， 是什么三角形？简单说明理由.
【答案】（1）解：∵△ABP旋转后能与△P′BC重合，点B是对应点，没有改变，
∴点B是旋转中心；
（2）解：AB与BC是旋转前后对应边，
旋转角=∠ABC，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=60 ，
∴旋转角是60 ；
（3）解： 是等边三角形
由旋转的性质可得：
∵
∴ 为等边三角形
【解析】【分析】（1）根据图形旋转后点B的位置没有改变可知点B是旋转中心；
（2）由题意可知旋转前后AB与BC是对应边，所以AB与BC的夹角等于旋转角度的度数，再根据等边三角形的性质即可求解；
（3）根据旋转的性质结合等边三角形的判定方法即可求解．
35．在平面直角坐标系中，直线（k是常数，且）与坐标轴分别交于点A，点B，且点B的坐标为．
（1）求点A的坐标；
（2）将线段绕点A顺时针旋转到，作直线交x轴于点C，求直线的解析式；
（3）在（2）的条件下，如果动点P在x轴上运动，当的面积是面积的一半时，求出此时点P的坐标．
【答案】（1）解：将点B的坐标代入解析式，得，
解得，
∴，
当时，，
解得，
∴点A的坐标为；
（2）过点D作轴于点E，，
由旋转可知，，
∴，
又∵，
∴，
在和中
，
∴，
∴，
∴，
∴，
设直线的解析式为，
，
解得，
∴直线的解析式为；
（3）在中，，∵，
∴，
∴，
对于，
当时，，
∴，
则点C的坐标是，
设点P的坐标为，则，
则，
∵的面积是面积的一半，
∴，
∴，或，
∴点P的坐标为或．
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求直线解析式，然后求出点A的坐标即可；
（2）过点D作轴于点E，即可得到，进而求得，然后得到点，再利用待定系数法求出直线的解析式解题；
（3）利用勾股定理得到AB长，即可得到和点C的坐标是，设点P的坐标为，即可得到，然后根据的面积是面积的一半得到方程求出m值即可解题．
（1）解：将点B的坐标代入解析式，
得，
解得，
∴，
当时，，
解得，
∴点A的坐标为；
（2）过点D作轴于点E，，
由旋转可知，，
∴，
又∵，
∴，
在和中
，
∴，
∴，
∴，
∴，
设直线的解析式为，
，
解得，
∴直线的解析式为；
（3）在中，，
∵，
∴，
∴，
对于，
当时，，
∴，
则点C的坐标是，
设点P的坐标为，则，
则，
∵的面积是面积的一半，
∴，
∴，或，
∴点P的坐标为或．
36．如图①，点O为直线MN上一点，过点O作直线OC，使∠NOC=60°．将一把直角三角尺的直角顶点放在点O处，一边OA在射线OM上，另一边OB在直线AB的下方，其中∠OBA=30°
（1）将图②中的三角尺沿直线OC翻折至△A′B′O，求∠A′ON的度数；
（2）将图①中的三角尺绕点O按每秒10°的速度沿顺时针方向旋转，旋转角为α（0＜α＜360°），在旋转的过程中，在第几秒时，直线OA恰好平分锐角∠NOC；
（3）将图①中的三角尺绕点O顺时针旋转，当点A点B均在直线MN上方时（如图③所示），请探究∠MOB与∠AOC之间的数量关系，请直接写出结论，不必写出理由．
【答案】（1）解：如图②中，延长CO到C′． ∵三角尺沿直线OC翻折至△A′B′O，
∴∠A′OC′=∠AOC′=∠CON=60°，
∴∠A′ON=180°-60°-60°=60°．
（2）解：设t秒时，直线OA恰好平分锐角∠NOC．
由题意10t=150或10t=330，
解得t=15或33s，
答：第15或秒时，直线OA恰好平分锐角∠NOC；
（3）解：①当OB，OA在OC的两旁时，∵∠AOB=90°， ∴120°-∠MOB+∠AOC=90°，
∴∠MOB-∠AOC=30°．
②当OB，OA在OC的同侧时，∠MOB+∠AOC=120°-90°=30°．
【解析】【分析】解决本题的关键是理解题意，学会利用参数构建方程解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题：（1）如图②中，延长CO到C′．利用翻折不变性求出∠A′O′C′即可解决问题；
（2）设t秒时，直线OA恰好平分锐角∠NOC．构建方程即可解决问题；
（3）分两种情形分别求解即可解决问题.
37．如图，已知A，B，C三点的坐标分别为（－1，3），（2，0），（4，0）
（1）若把三角形ABC向上平移2个单位长度，再向右平移2个单位长度得到三角形 ，在图中画出三角形 ，并直接写出点 ， ， 坐标；
（2）在（1）的条件下，求出三角形 的面积
【答案】（1）解： 、 、
画出画出三角形 如下图：
（2）解：三角形 的面积
【解析】【分析】（1）利用点的坐标平移规律：上加下减，左减右加，把三角形ABC向上平移2个单位长度，再向右平移2个单位长度，分别可得到点A1，B1，C1的位置，然后画出△A1B1C1，写出点A1，B1，C1的坐标.
（2）利用△△A1BC1的面积=矩形的面积-三个直角三角形的面积，列式计算可求解.
38．如图，△ABC在直角坐标系中，
（1）请写出△ABC各点的坐标．
（2）若把△ABC向上平移2个单位，再向左平移1个单位得到△A′B′C′，写出 A′、B′、C′的坐标，并在图中画出平移后图形．
（3）求出三角形ABC的面积．
【答案】（1）解：A（﹣2，﹣2），B（3，1），C（0，2）
（2）解：△A′B′C′如图所示，
A′（﹣3，0），B′（2，3），C′（﹣1，4）
（3）解：△ABC的面积=5×4﹣ ×2×4﹣ ×5×3﹣ ×1×3，
=20﹣4﹣7.5﹣1.5，
=20﹣13，
=7
【解析】【分析】（1）根据平面直角坐标系写出各点的坐标即可；（2）根据网格结构找出点A、B、C平移后的对应点A′、B′、C′的位置，然后顺次连接即可，再根据平面直角坐标系写出点A′、B′、C′的坐标；（3）利用△ABC所在的矩形的面积减去四周三个直角三角形的面积，列式计算即可得解．
39．有四张反面完全相同的纸牌 ，其正面分别画有四个不同的几何图形，将四张纸牌洗匀正面朝下随机放在桌面上．
（1）从四张纸牌中随机摸出一张，摸出的牌面图形是中心对称图形的概率是 ．
（2）小明和小亮约定做一个游戏，其规则为：先由小明随机摸出一张，不放回．再由小亮从剩下的纸牌中随机摸出一张，若摸出的两张牌面图形既是轴对称图形又是中心对称图形，则小亮获胜，否则小明获胜．这个游戏公平吗？请用列表法（或画树状图）说明理由．（纸牌用 表示）若不公平，请你帮忙修改一下游戏规则，使游戏公平．
【答案】（1）
（2）解：游戏不公平，理由如下：
列表得：
共有12种结果，每种结果出现的可能性相同，摸出的两张牌面图形既是轴对称图形又是中心对称图形的结果有2种，即
∴ （两张牌面图形既是轴对称图形又是中心对称图形） ，
∴游戏不公平．
修改规则：若抽到的两张牌面图形都是中心对称图形（或若抽到的两张牌面图形都是轴对称图形），则小明获胜，否则小亮获胜
【解析】【解答】解：（1）共有4张牌，正面是中心对称图形的情况有3种，
从四张纸牌中随机摸出一张，摸出的牌面图形是中心对称图形的概率是 ；
故答案为： ；
【分析】（1）中心对称图形：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，旋转后的图形与原来图形重合，这个图形叫做中心对称图形。简单事件求概率问题。
（2）将所有情况列出，列出概率公式，得到P=，故不公平。本着两种情况发生概率一样的原则，修改。
40．如图，在12×12正方形网格中建立直角坐标系，每个小正方形的边长为1个单位长度，△ABC的三个顶点的坐标依次为：A（0，2），B（－3，5），C（－2，2）．
（1）将△ABC以点A为旋转中心旋转180°，得到，点B、C的对应点分别为点、，请在网格图中画出．
（2）将△ABC平移至，其中点A、B、C的对应点分别为点、、，且点的坐标为（－2，－4），请在图中画出平移后的．
（3）在第（1）、（2）小题基础上，若将绕某一点旋转可得到，则旋转中心的坐标为 ．（直接写出答案）
【答案】（1）解：作图如下：
（2）解：作图如下：
（3）(0，-1)
【解析】【解答】解：(3)根据上述图形可知C1坐标为(2，2)，
∵C1(2，2)和C2(-2，-4)，且C1(2，2)和C2(-2，-4)关于某点中心对称，
∴对称中点的坐标为：，即为：，
故答案为：．
【分析】（1）根据旋转的性质求解即可；
（2）根据平移的性质作图即可；
（3）先求出对称中点的坐标为：，再求点的坐标即可。
41．在△ABC中，∠ABC＝120°，线段AC绕点A逆时针旋转60°得到线段AD，连接CD，BD交AC于P．
（1）若∠BAC＝α，直接写出∠BCD的度数（用含α的代数式表示）；
（2）求AB，BC，BD之间的数量关系；
（3）当α＝30°时，直接写出AC，BD的关系．
【答案】（1）∠BCD＝120°﹣α
（2）解：BD＝AB+BC．
如图1，延长BA使AE＝BC，连接DE．
由（1）知△ADC是等边三角形，
∴AD＝CD．
∵∠DAB+∠DCB＝∠DAB+∠DAE＝180°，
∴∠DCB＝∠DAE．
∴△ADE≌△CDB（SAS）．
∴BD＝BE．
∴BD＝AB+BC．
（3）AC＝
【解析】【解答】解：（1）∵线段AC绕点A逆时针旋转60°得到线段AD，
∴△ACD是等边三角形，
∴∠ACD＝60°，
∵∠ABC＝120°，
∴∠BAC+∠BCA＝60°，
∴∠BCD＝∠ACD+∠BCA＝60°+60°﹣α＝120°﹣α，
即∠BCD＝120°﹣α．
位置关系是：AC⊥BD于点P．理由如下：
∵∠BAC＝30°，∠ABC＝120°，
∴∠ACB＝30°，
∴AB＝BC，
∵AD＝DC，
∴BD垂直平分AC，
∴∠ABD＝60°，∠DAB＝90°，
∴ ，
∴ ．
【分析】（1）证△ACD是等边三角形，由三角形内角和可得出结论；（2）如图1，延长BA使AE＝BC，连接DE．可证△ADE≌△CDB，得出BD＝AB+BC；（3）如图2，当α＝30°时，AB＝BC，AD＝CD，则BD垂直平分AC，可得AC＝ ．
42．如图，在小正方形组成的网格中，△ABC和△DEF的顶点都在格点上，根据图形解答下列问题：
（1）将△ABC向左平移4个单位长度，再向下平移2个单位长度，画出平移后的△A1B1C1；
（2）将△DEF绕D点逆时针旋转90°，画出旋转后的△DE1F1．
【答案】（1）解：如图所示：△A1B1C1即为所求；
（2）解：如图所示：△DE1F1即为所求；
【解析】【分析】（1）根据图形平移的性质画出平移后的△A1B1C1即可；（2）根据图形旋转的性质画出旋转后的△DE1F1即可．
43．如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为（﹣1，1），B（﹣3，1），C（﹣1，4）．
（1）将△ABC绕点A顺时针旋转90°后得到△AB′C′，请在图中画出△AB′C′．
（2）写出点B′、C′的坐标．
【答案】（1）解：如图，△AB′C′为所求；
（2）解：B′（﹣1，3）、C′（2，1）
【解析】【分析】旋转的性质：旋转不会改变图形的大小和形状，并且对应点到旋转中心的距离都相等，对应点与旋转中心连线所成的角度都等于旋转的角度。根据旋转的性质，将B'，C'坐标表示出来，连接即可。
44．△ABC与在平面直角坐标系中的位置如图所示．
（1）分别写出下列各点的坐标： ，B ；
（2）是由△ABC经过怎样的平移得到的？
（3）若点是内部一点，请直接写出△ABC内部的对应点P的坐标；
（4）求△ABC的面积．
【答案】（1）；
（2）解：由图像可知：△ABC向左平移4个单位长度，再向下平移2个单位长度得到．
（3）解：由（2）可得：向右平移4个单位长度，再向上平移2个单位长度得到△ABC，
∴．
（4）解：．
【解析】【分析】（1）根据平面直角坐标系写出各点的坐标即可；
（2）根据对应点A、A1的变化写出平移方法即可；
（3）根据平移规律逆向写出点P1的坐标；
（4）利用△ABC所在的矩形的面积减去四周三个小直角三角形的面积，列式计算即可得解．
45．如图，方格纸中每个小正方形的边长都为1，的顶点都在方格纸的格点上，将经过平移，使点C移到点的位置．
（1）在网格中画出；
（2）连接线段、，这两条线段的关系是 ；
（3）平移过程中，线段扫过的图形的面积为 ．
【答案】（1）解：如图，即为所求；
；
（2）
（3）12
【解析】【解答】 解：（1）如图， 即为所求；
；
（2）根据平移前后对应点的连线平行（或在同一条直线上）且相等，则 ，
故答案为： ；
（3）线段 扫过的图形平行四边形 的面积 ．
故答案为：12．
【分析】（1）根据题意画出平移后的图形即可求解；
（2）根据平移的性质结合题意即可求解；
（3）根据平行四边形的面积公式结合题意即可求解。
46．如图，已知点满足．将线段先向上平移2个单位，再向右平移1个单位后得到线段，并连接．
（1）请求出点和点的坐标；
（2）点从点出发，以每秒1个单位的速度向上平移运动．设运动时间为秒，问：是否存在这样的，使得四边形的面积等于8？若存在，请求出的值：若不存在，请说明理由；
（3）在（2）的条件下，点从点出发的同时，点从点出发，以每秒2个单位的速度向左平移运动，设射线交轴于点．设运动时间为秒，问：的值是否会发生变化？若不变，请求出它的值：若变化，请说明理由．
【答案】（1）解：∵
∴3a+b=0，b-3=0，即a=-1，b=3
∴点和点的坐标分别为（-1，0）和（3，0）
（2）解：存在；
过D作DH⊥OB的延长线，垂足为H.
由题意得点C和点D的坐标分别为（0，2）和（4，2）
∴CD=4，DH=2，OB=3
设D点坐标为（0，t），连接MD、OD，
∴OM=t
∵S四边形OMDB=S△OBD+S△OMD=8，
∴，即，解得t= ；
（3）解：不变，理由如下：
如图：当运动时间为秒，OM=t，ON=3-2t，
过D作DH⊥OB的延长线，垂足为H，连接OM，OD
∵=S四边形OMDN，S四边形OMDN= S△OND+S△OMD
∴
= S△OND+S△OMD
=
=
=3-2t+2t
=3
∴的值不会变化
【解析】【分析】（1）根据绝对值及偶次幂的非负性可求出a、b的值，即得A、B的坐标；
（2）存在. 过D作DH⊥OB的延长线，垂足为H. 先求出 C、D的坐标分别为（0，2）和（4，2） ， 从而求出CD=4，DH=2，OB=3 ， 设D点坐标为（0，t），连接MD、OD， 可得OM=t，根据S四边形OMDB=S△OBD+S△OMD=8， 建立关于t的方程求解即可；
（3） 不变，理由 ：当运动时间为 秒，OM=t，ON=3-2t，过D作DH⊥OB的延长线，垂足为H，连接OM，OD，由于 =S四边形OMDN= S△OND+S△OMD ，利用三角形的面积公式分别代入相应数据，求出结果即可判断.
47．点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠AOC=120°，
一直角三角板的直角顶点放在点O处．
（1）如图1，将三角板DOE的一边OD与射线OB重合时，则∠COD= °；
（2）如图2，将图1中的三角板DOE绕点O逆时针旋转一定角度，当OC恰好是∠BOE的角平分线时，求∠COD的度数；
（3）将图1中的三角尺DOE绕点O逆时针旋转旋转 度，OE始终在∠AOC的内部，在旋转的过程中，能否使∠AOE=3∠COD？若能，求出 的度数；若不能，说明理由．
【答案】（1）60
（2）解：∵OC平分∠BOE，
∴∠COE=∠BOC，
∵∠BOC=180°-∠AOC=180°-120°=60°，
∴∠COE=60°，
∵∠DOE=90°，
∴∠COD=90°-∠COE=30°；
（3）解：能，理由如下：
根据题意，得∠BOD= ，
由（2）知∠BOC=60°，
①如下图，
∵∠AOC=120°，∴∠COD=∠BOC-∠BOD=60°- ，
∵∠AOE=3∠COD，
∴∠AOE=3（60°- ），
∵∠DOE=90°，∠AOE+∠DOE+∠BOD=180°，
∴∠AOE+∠BOD=90°，即3（60°- ）+ =90°，
解得 =45°．
②如下图，
∠COD=∠BOD-∠BOC= -60°，
∵∠AOE=3∠COD，
∴∠AOE=3（ -60°），
∵∠DOE=90°，∠AOE+∠DOE+∠BOD=180°，
∴∠AOE+∠BOD=90°，即3（ -60°）+ =90°，
解得 =67.5°，
综上可得， 为45°或67.5°．
【解析】【解答】（1）∵∠AOC=120°，三角板DOE的一边OD与射线OB重合，
∴∠COD=180°-120°=60°；
故答案为：60．
【分析】（1）由∠AOC=120°，三角板DOE的一边OD与射线OB重合，即可得出答案；
（2）由角平分线的定义得出 ∠COE=∠BOC，∠BOC=180°-∠AOC=180°-120°=60°，∠DOE=90°， 即可得出答案；
（3）由题意分两种情况讨论：作出图形，根据余角和补角的性质得出答案。
48．如图，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠BOC＝110°．将一直角三角板的直角顶点放在点O处（∠OMN＝30°），一边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方．
（1）将图1中的三角板绕点O逆时针旋转至图2，使一边OM在∠BOC的内部，且恰好平分∠BOC．求∠BON的度数．
（2）将图1中的三角板绕点O以每秒5°的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第t秒时，直线ON恰好平分锐角∠AOC，则t的值为 （直接写出结果）．
（3）将图1中的三角板绕点O顺时针旋转至图3，使ON在∠AOC的内部，请探究∠AOM与∠NOC的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）解：如图 2，∵OM 平分∠BOC，
∴∠MOC＝∠MOB，
又∵∠BOC＝110°，
∴∠MOB＝55°，
∵∠MON＝90°，
∴∠BON＝∠MON﹣∠MOB＝35°；
（2）11或47
（3）解：∠AOM﹣∠NOC＝20°．
理由：∵∠MON＝90°，
∠AOC＝70°，
∴∠AOM＝90°﹣∠AON，∠NOC＝70°﹣∠AON，
∴∠AOM﹣∠NOC＝（90°﹣∠AON）﹣（70°﹣∠AON）＝20°，
∴∠AOM 与∠NOC 的数量关系为：∠AOM﹣∠NOC＝20°．
【解析】【解答】解：（2）分两种情况：
①如图 2，∵∠BOC＝110°
∴∠AOC＝70°，
当直线 ON恰好平分锐角∠AOC 时，
∠AOD＝∠COD＝35°，
∴∠BON＝35°，∠BOM＝55°，
即逆时针旋转的角度为 55°，
由题意得，5t＝55° 第 10页（共 10页） 解得 t＝11；
②如图3，
当NO平分∠AOC时，
∠NOA＝35°，
∴∠AOM＝55°，
即逆时针旋转的角度为：180°+55°＝235°，
由题意得，5t＝235°， 解得 t＝47，
综上所述，t＝11s 或 47s 时，直线 ON 恰好平分锐角∠AOC；
故答案为：11 或 47；
【分析】（1）根据角平分线的定义，结合直角的定义，求出∠BON的度数即可；
（2）分两种情况：①当直线 ON恰好平分锐角∠AOC 时，②当NO平分∠AOC时，分别根据角平分线的定义，结合角的和差关系进行计算即可；
（3）根据∠MON=90°， ∠AOC=70°，分别求得∠AOM=90°-∠AON，∠NOC=70°-∠AON，代入∠AOM-∠NOC进行计算化简，即可得出∠AOM与∠NOC的数量关系.
49．已知三角形纸片ABC的面积为48，BC的长为8．按下列步骤将三角形纸片ABC进行裁剪和拼图：
第一步：如图1，沿三角形ABC的中位线DE将纸片剪成两部分．在线段DE上任意取一点F，在线段BC上任意取一点H，沿FH将四边形纸片DBCE剪成两部分；
第二步：如图2，将FH左侧纸片绕点D旋转180°，使线段DB与DA重合；将FH右侧纸片绕点E旋转180°，使线段EC与EA重合，再与三角形纸片ADE拼成一个与三角形纸片ABC面积相等的四边形纸片．
图1 图2
（1）当点F，H在如图2所示的位置时，请按照第二步的要求，在图2中补全拼接成的四边形；
（2）在按以上步骤拼成的所有四边形纸片中，其周长的最小值为 ．
【答案】（1）解：∵DE是△ABC的中位线，
∴四边形BDFH绕点D顺时针旋转，点B和点A重合，
四边形CEFH绕点E逆时针旋转，点C和点A重合，
∴补全图形如图1所示，
（2）28
【解析】【解答】解：（2）∵△ABC的面积是48，BC=8，
∴点A到BC的距离为12，
∵DE是△ABC的中位线，
∴平行线DE与BC间的距离为6，
由旋转知，∠DAH''=∠B，∠CAH'=∠C，
∴∠DAH''+∠BAC+∠CAH'=180°，
∴点H''，A，H'在同一条直线上，
由旋转知，∠AEF'=∠CEF，
∴∠AEF'+∠CEF'=∠CEF+∠CEF'=180°，
∴点F，E，F'在同一条直线上，
同理：点F，D，F''在同一条直线上，
即：点F'，F''在直线DE上，
由旋转知，AH''=BH，AH'=CH，DF''=DF，EF'=EF，F''H''=FH=F'H'，
∴F'F''=2DE=BC=H'H''，
∴四边形F'H'H''F''是平行四边形，
∴ F'H'H''F''的周长为2F'F''+2F'H'=4DE+2FH=2BC+2FH=16+2FH，
∵拼成的所有四边形纸片中，其周长的最小时，FH最小，
即：FH⊥BC，
∴FH=6，
∴周长的最小值为16+2×6=28，
故答案为28．
【分析】（1）利用旋转即可做出图形；（2）先求出△ABC的边长边上的高为12，进而求出DE与BC见的距离为6，再判断出FH最小时，拼成的四边形的周长最小，即可得出结论。
50．在矩形内，将两张边长分别为a和b（）的正方形纸片按图1，图2两种方式放置（图1，图2中两张正方形纸片均有部分重叠），矩形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1中阴影部分的周长为，图2中阴影部分的周长为.
（1）当，时，分别求出，的值.（用含a，b的代数式表示，结果需化简）
（2）小明在计算时发现，若，矩形ABCD的面积为那么就能求出矩形的周长，请你帮他完成.
【答案】（1）解：由题意可得：，
（2）解：∵，
∴
∴，
∴，
∴矩形的周长为12.
【解析】【分析】（1）根据平移的性质及周长的定义可得 ， ；
（2） 由于AD-AB=3，矩形ABCD的面积为AD·AB=，从而求出（AD+AB)2=（AD-AB)2+4AD·AB=36，即得AD+AB=6，根据矩形的周长公式即可求解.
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