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《正比例》教学设计
课题 正比例 单元 第四单元 学科 数学 年级 六年级
教材分析 教科书密切联系学生已有的生活经验和学习经验，设计了系列情境，引导学生研究两个变量之间的关系，从变化中看到“不变”，经历从具体情境中抽象出正比例的过程。通过对具体问题的讨论，使学生初步理解正比例的意义，会根据正比例的特征，判断一些变量关系是否成正比例，体会正比例在生活中的广泛存在。
学习 目标 学习目标描述：结合“正方形的周长与边长，正方形的面积与边长，路程、时间与速度”等情境，经历正比例意义的建构过程，能从变化中看到“不变”，认识正比例。 学习内容分析：能根据正比例的意义，判断两个相关联的量是不是成正比例，能举出生活中成正比例的实例，感受正比例在生活中的广泛应用。 学科核心素养分析：经历比较、分析、归纳等数学活动，提高分析比较、归纳概括能力，初步体会函数思想。
重点 经历正比例意义的建构过程，能从变化中看到不变，认识正比例。
难点 能根据正比例的意义，判断两个相关联的量是不是成正比例。
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
导入新课 师：李阿姨驾车去中国最美的乡村——婺源游玩。 他从“小桥流水人家”景区到“卧龙谷”景区行驶的路程和耗油量的情况如下表： 从上表中，你发现耗油量与路程之间的变化关系是怎样的呢？ 学生欣赏美景。 学生观察表格说说他的发现。 利用学生熟悉的生活中的情境，激发学生的学习兴趣和参与动机，让学生体验学习数学的乐趣。
讲授新课 任务一：认识正比例。 课件出示： 师：下面是正方形的周长与边长、面积与边长的变化情况。把表格填写完整，并说说你分别发现了什么？ 小组合作要求： 师：正方形的边长和周长发生变化了吗？它们是怎样变化的？ 师：正方形的边长和面积发生变化了吗？它们是怎样变化的？ 师：从表中你分别发现了什么规律？谁能说说你的发现。 师：正方形的周长与边长的变化规律和正方形的面积与边长之间的变化规律相同吗？你能不能通过计算比值发现它们的规律？ 教师根据学生的回答小结： 师小结：通过计算，我们发现：周长总是边长的4倍，而面积与边长的倍数关系不断发生变化。所以它们的变化规律不同。我们再来看一看汽车在行驶过程中的变量。 师：一辆汽车以90千米/时的速度行驶，行驶的路程与时间如下，请把下表填写完整。谁能说一说你的答案。 师：观察并思考：当时间发生变化时，路程怎样变化？变化有什么规律？ 师：你能计算出路程和时间的比值吗？ 师：同学，你真棒！根据计算的结果，你发现了什么？ 师：根据我们的发现，你能再说说路程和时间的变化规律吗？ 师讲解：根据我们的发现，时间和路程是两个相关联的量： =速度（一定） 像这样，路程和时间两个量，时间变化，所行驶的路程也随着变化，而且路程与时间的比值（也就是速度）一定，我们就说路程和时间成正比例。 师：现在你能判断正方形的周长与边长、面积与边长成正比例吗？ 师：怎样判断两个量能否组成正比例？ 教师根据学生回答小结： 先独立填表格，然后组内交流讨论。 生：正方形的边长和周长都在变化，边长增加，周长随着边长的增加而增加。 生：正方形的边长和面积都在发生变化，面积随着边长的增加而增加。 生：正方形的周长和面积都是随着边长的变化而变化的。 学生自主计算。 生：路程=速度×时间，所以5时的路程是450千米，6时的路程是540千米，7时的路程是630千米，8时的路程是720千米。 生：当时间变化时，路程也随着变化，路程随着时间的增加而增加。 生： 生：路程和时间的比值是一定的，都是90。 生：时间是1，路程是90，时间是2，路程是180，时间是3，路程是270，时间是4，路程是360，可以看出时间扩大，路程随着扩大，时间缩小，路程随着缩小。路程随着时间的变化而变化。 生：正方形的周长与边长的比值一定，它们成正比例；正方形的面积与边长的比值不一定，它们不成正比例。 学生说出自己的想法。 让学生通过独立思考、合作探究这一学习过程理解知识，学会思考，懂得交流，从中获得情感体验，实现了以原有的知识经验为基础，主动地建构知识，获得数学思想方法的过程。
任务二：判断两个量是否成正比例的方法。 师：圆的面积与半径成正比例吗？你是怎么想的？与同伴交流。 教师根据学生的回答小结： 师：乐乐和爸爸的年龄变化情况如下，把表填写完整。 师：他们的年龄成正比例吗？为什么？ 教师根据学生的回答小结： 师：两个变量是否成正比例，关键是它们的比值是否一定。 师：你能分别举一个成正比例和一个不成正比例的例子，与同伴交流。 师：同学，你知道怎样判断两个变量成正比例了吗？ 学生组内交流讨论。 生：乐乐8岁，爸爸34岁；乐乐9岁，爸爸35岁；乐乐10岁，爸爸36岁；乐乐11岁，爸爸37岁。 生：圆的半径与周长成正比例。因为圆的周长：半径=π，比值一定。 一本书看的页数与未看的页数不成正比例，因为看的页数+未看的页数=书的总页数。 生：比值一定时，两个变量成正比例。 生：我们通常用列表的方法来判断。用列表的方法要分三步：一是通过列举并用表格表示相关的两个变量之间的数值对应关系，二是计算两个变量每一对数值的比值，三是根据上述比值是否不变来判断这两个变量是否成正比例。 在思考中，学生根据正比例的意义，判断两个量是否成正比例，使学生感受到知识之间的相互联系，提高学生学习数学的兴趣。
课堂练习 基础题： 1.学校科学小组在同一时间、同一地点进行观察实验，测得竹竿的高与竿影的长如下表。 （1）说一说竿影的长与竹竿的高的变化关系。 （2）写出竿影的长与竹竿的高的比，你有什么发现？ （3）竹竿的高与竿影的长是不是成正比例？说明理由。 2.根据下表中底是6cm的平行四边形的面积与高相对应的数据，判断它们是不是成正比例，并说明理由。 学生独立完成，然后组内交流讨论。 习题设计有针对性，有层次性，不仅能巩固本节课所学知识，还能提高学生解决问题的能力。
提高题： 3.判断下面各题中的两个量是否成正比例，并说明理由。 每袋大米的质量一定，大米的总质量和袋数。 一个人的身高和年龄。 宽不变，长方形的周长与长。
拓展题 4. 买邮票的数量/枚应付金额/元10.821.6345678
把表填完整，你从中发现了什么？应付金额与所买邮票的数量成正比例吗？
课堂小结 通过本节课的学习，你们有什么收获？ 学生自由说说。 课堂小结可以帮助学生理清所学知识的层次结构，掌握其外在的形式和内在联系，形成知识系列及一定的结构框架。
板书 正比例 路程÷时间=单价（一定） 正方形的周长÷边长=4（一定） 两种相关联的量，以重量扩大（或缩小），另一种量也随着扩大（或缩小），并且这两种量的比值（也就是商）一定，这两种量就成正比例。 利用简洁的文字呈现本节课的重难点，可以帮助学生理解掌握知识，形成完整的知识体系。
作业设计 【知识技能类作业】 1.赵阿姨购买苹果的质量和应付的钱数如下表。 （1）赵阿姨应付的钱数随着购买苹果的质量的增加而( ）。 （2）计算比值：14:2=( ), 21:3=( )，28:4=( ), 35:5=( )，42:6=( )。 发现：应付的钱数和购买苹果的质量的比值( )一定，所以它们成( )比例。 2.判断下面各题中的两个量是否成正比例，并说明理由。 （1）车轮的周长一定，所行路程与车轮转的圈数。 （2）两个数的和一定，加数和另一个加数
【综合实践类作业】 3.下面是一根木料锯的次数、锯成的段数与所需的时间之间的关系分析表 （1）表中的哪两个量成正比例？说明理由。 （2）若将这根木料锯成8段，需要多少分？
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《正比例与反比例》单元整体设计
一、单元主题解读
（一）课程标准要求分析
《正比例与反比例 》单元是数与代数第三学段“数与代数”中的重要内容。
《课程标准》在“内容要求”提出了：
通过具体情境，认识成正比的量(如=5)；能探索规律或变化趋势(如y=5x)。
《课程标准》在“学业要求”中指出：
能在具体情境中描述成正比的量 =(k≠0)，能找出生活中成正比的量的实例；能根据给出的成正比关系的数据在方格纸上画图了解y=kx(k≠0)的形式，能根据其中一个量的值计算另一个量的值。
单元教材内容分析
主要包含正比例和反比例的相关知识。
学生认知情况
本单元是在学生已经学习了比和比例等知识的基础上进行学习的。
二、单元目标拟定
1.结合具体情境，体会生活中存在着大量互相依赖的变量，体会数学与生活的联系；在具体情境中，尝试用自己的语言描述两个变量之间的关系，知道列表或画图都是表示变量之间关系常用的方法。
2.结合丰富的实例，经历正比例、反比例意义的建构过程，能从变化中看到“不变”从而认识正比例和反比例；能根据正比例和反比例的意义，判断两个相关联的量是不是成正比例或反比例；能举出生活中成正比例和成反比例量的实例。
3.初步了解正比例的图象是一条直线，能利用给出的具有正比例关系的数据在方格纸上画出相应的图象。
三、关键内容确定
（一）教学重点
理解正、反比例的意义，初步了解正比例的图像是一条直线，能利用给出的具有正比例关系的数据在方格纸上画出相应的图
教学难点
会判断两种量是否成正、反比例关系；会利用正比例关系图象解决简单的问题；能用多种方法解决有关正、反比例的实际问题。
四、单元整合框架及说明
整合指导思想定位：
会用数学的眼光观察现实世界
会用数学的思维思考现实世界
会用数学的语言表达现实世界
这是数学课程的核心素养内涵。运用正比例与反比例的相关知识，分析、解决实际问题，并在经历问题解决的过程中，积累和丰富解决问题的经验策略，提高解决问题的能力。体会正比例反比例与其他知识之间的联系，综合运用多种知识，灵活解决实际问题。
从具体编排来说，
本单元教科书编写的基本思路主要体现在以下几个方面：
1.提供具体情境，引导学生体会生活中存在大量互相依存的变量，拓宽知识学习的背景。函数是刻画变量之间相互关系的重要模型，体会函数思想需要丰富的情境，学生需要结合具体的情境感受生活中存在着很多变量，并体会到有的变量之间是存在一定关系的，如一个变量随另一个变量的变化而变化等。
2.经历知识的形成过程，引导学生从变化中看到“不变”，理解正比例和反比例的意义；正比例和反比例在生活中有着广泛应用，但是对于六年级的小学生来说很难自己从生活现象中抽象出数学关系。
3.充分利用直观图象，数形结合，帮助学生进一步认识正比例。教科书安排了“画一画”的活动，让学生先填表判断“看电影的人数与所付票费”是否成正比例，再将这组数据用“描点法”画在方格纸上，引导学生发现描出的点正好在一条直线上，了解正比例图象的特点。然后，引导学生读懂图，理解正比例图象上的点所表示的实际意义，并利用直线上的点的特征进行分析推断，借助图象直观进一步认识成正比例的两个量的变化规律。
五、单元课时规划
单元划分依据 □课程标准 教材章节 □知识结构
课程内容模块 数与代数 □图形与几何 统计与概率 □综合与实践
单元数量 4
单元主题 单元名称 主要内容 课时
数与代数 正比例与反比例 变化的量 1
正比例 1
画一画 1
反比列 1
重点渗透的数学思想方法 抽象 符号化 分类 集合 对应 演绎 归纳 类比 转化 数形结合 □极限 模型 □方程 函数 □统计 分析 综合 比较 □假设 □其他
课时 学习目标 评价形式 评价标准
变化的量 目标：结合具体的数学情境认识“变化的量”，并通过描述活动，了解其中一个变量是怎样随着另一个变量而变化的，知道列表与画图都是表示变量关系的常用的方法，积累表征变量的数学活动经验。 任务一：学习相关联的量。 1.通过学习活动认识“变化的量”，并通过描述活动，了解其中一个变量是怎样随着另一个变量而变化的，知道列表与画图都是表示变量关系的常用的方法，积累表征变量的数学活动经验。
正比例 目标：结合“正方形的周长与边长，正方形的面积与边长，路程、时间与速度”等情境，经历正比例意义的建构过程，能从变化中看到“不变”，认识正比例。 能根据正比例的意义，判断两个相关联的量是不是成正比例，能举出生活中成正比例的实例，感受正比例在生活中的广泛应用。 任务一：认识正比例。 任务二：判断两个量是否成正比例的方法。 1.通过小组合作探究活动建构正比例意义，能从变化中看到“不变”，认识正比例。 2.通过学习活动能根据正比例的意义，判断两个相关联的量是不是成正比例。
画一画 目标：初步认识正比例图象，体会“正比例图象是一条直线”的特点，深化对正比例的认识。 会在方格纸上描出成正比例的量所对应的点，理解正比例图象上的点所表示的意义。 任务一：正比例图像。 1.通过小组合作探究活动，初步认识正比例图象，体会“正比例图象是一条直线”的特点，会在方格纸上描出成正比例的量所对应的点，理解正比例图象上的点所表示的意义。
反比例 目标：经历反比例意义的建构过程，能从变化中看到“不变”认识反比例。能根据反比例的意义，判断两个相关联的量是不是成反比例，能举出生活中成反比例的实例，感受反比例在生活中的广泛应用。 任务一：反比例的意义。 任务二：判断两个量是否成反比例的方法。 1.通过学习活动，建构反比例意义，能从变化中看到“不变”认识反比例。 1.通过学习活动，能根据反比例的意义，判断两个相关联的量是不是成反比例，能举出生活中成反比例的实例。
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