第17章 勾股定理 能力提升测试题（含解析）

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第17章 勾股定理 能力提升测试题
考试范围：第17章 勾股定理；考试时间：100分钟；总分：120分
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．若a，b为直角三角形的两直角边，c为斜边，下列选项中不能用来证明勾股定理的是（　　）
A． B． C． D．
2．下列各命题的逆命题成立的是（　　）
A．全等三角形的对应角相等 B．如果两个数相等，那么它们的绝对值相等
C．两直线平行，同位角相等 D．如果两个角都是45°，那么这两个角相等
3．以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是（　　）
A．9，12，15 B．32，42，52 C．6，7，8 D．4，5，6
4．在Rt△ABC中，已知其两边长分别为a，b，且满足（a﹣3）2+|b﹣4|＝0，则该直角三角形的斜边长为（　　）
A．5 B． C．5或 D．5或4
5．如图，正方形OABC的边长为1，OA在数轴上，以原点O为圆心，对角线OB的长为半径画弧，交正半轴于一点，则这个点表示的实数是（　　）
A．1 B．1.5 C． D．
6．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC与BC相交于点D，若BD＝4，CD＝2，则AC的长是（　　）
A．4 B．3 C．2 D．
7．如图，圆柱形杯子底面直径为7cm，高为24cm．将一根长36cm的木棒斜放在杯中，设木棒露在杯子外面的长度为h cm，则h的最小值是（　　）
A．9 B．11 C．12 D．14
8．由于台风的影响，一棵树在离地面6m处折断，树顶落在离树干底部8m处，则这棵树在折断前（不包括树根）长度是（　　）
A．8m B．10m C．16m D．18m
9．如图：长方体的长、宽、高分别是12，8，30，在AB中点C处有一滴蜜糖，一只小虫从E处爬到C处去吃，有无数种走法，则最短路程是（　　）
A．15 B．25 C．35 D．45
10．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝24，BC＝7，点M，N在AB上，且AM＝AC，BN＝BC，则MN的长为（　　）
A．4 B．5 C．6 D．7
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
11．一直角三角形两条直角边长分别为3和4，则该三角形的斜边长为 　 　．
12．某市计划在一块如图所示的三角形空地上种植某种草皮，已知AB＝10米，BC＝15米，∠ABC＝120°，若这种草皮每平方米售价2a元，则购买这种草皮需要 　 　元．
13．如图，四边形ABCD中，∠A＝135°，∠B＝∠D＝90°，BC＝2，AD＝2，则四边形ABCD的面积是　 　
14．把两个同样大小含45°角的三角尺按如图所示的方式放置，其中一个三角尺的锐角顶点与另一个三角尺的直角顶点重合于点A，且另外三个锐角顶点B，C，D在同一直线上，若AB＝4，则CD＝　 　．
15．如图，△ABD和△CED均为等边三角形，AC＝BC，AC⊥BC．若BE，则CD＝　 　．
三．解答题（共8小题，满分75分）
16．（9分）如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，∠BAD＝135°，AB＝3，AC＝3．判断△ACD的形状，并证明你的结论．
17．（9分）“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过70千米/小时，如图，一辆小汽车在一条城市街道上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路面对车速检测仪正前方30米C处，过了2秒后，小汽车行驶到B处，测得小汽车与车速检测仪间距离为50米，
（1）求BC的长；
（2）这辆小汽车超速了吗？
18．（9分）某校七年级（1）班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度CE，他们进行了如下操作：①测得水平距离BD的长为15米；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC的长为25米；③牵线放风筝的小明的身高为1.6米．
（1）求风筝的垂直高度CE；
（2）如果小明想风筝沿CD方向下降12米，则他应该往回收线多少米？
19．（9分）如图，在△ABC中，AB＝9，AC＝12，BC＝15．
（1）直接写出△ABC的形状是 　 　；
（2）若点P为线段AC上一点，连接BP，且BP＝CP，求AP的长．
20．（9分）如图，把长方形纸片ABCD沿EF折叠，使点B落在边AD上的点B'处，点A落在点A'处．
（1）试说明B'E＝BF；
（2）设AE＝a，AB＝b，BF＝c，试猜想a，b，c之间的关系，并说明理由．
21．（9分）如图，直角三角形ACB，直角顶点C在直线l上，分别过点A、B作直线l的垂线，垂足分别为点D和点E．
（1）求证：∠DAC＝∠BCE；
（2）如果AC＝BC．
①求证：CD＝BE；
②若设△ADC的三边分别为a、b、c，试用此图证明勾股定理．
22．（10分）如图，铁路MN和铁路PO在P点处交汇，点A处是第九十四中学，AP＝160米，点A到铁路MN的距离为80米，假使火车行驶时，周围100米以内会受到噪音影响，火车在铁路MN上沿PN方向行驶时．
（1）学校是否会受到影响？请说明理由；
（2）如果受到影响，已知火车的速度是50米/秒那么学校受到影响的时间是多久？
23．（11分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝6，点D为AC边上的动点，点D从点C出发，沿边CA向点A运动，当运动到点A时停止，若设点D运动的时间为t秒．点D运动的速度为每秒1个单位长度．
（1）当t＝2时，CD＝　 　，AD＝　 　；
（2）求当t为何值时，△CBD是直角三角形，说明理由；
（3）求当t为何值时，△CBD是以BD或CD为底的等腰三角形？并说明理由．
参考答案
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．解：选项A不能用来证明勾股定理，符合题意；
选项B，正方形的面积＝4ab+（b﹣a）2＝+2ab+a2+b2﹣2ab＝a2+b2＝c2，不符合题意；
选项C，正方形的面积＝（a+b）2＝4ab+c2，
化简得，a2+b2＝c2，不符合题意；
选项D，梯形的面积（a+b）（a+b）＝2abc2，
化简得，a2+b2＝c2，不符合题意；
选：A．
2．解：A、逆命题是三个角对应相等的两个三角形全等，错误；
B、绝对值相等的两个数相等，错误；
C、同位角相等，两条直线平行，正确；
D、相等的两个角都是45°，错误．
选：C．
3．解：A、92+122＝225＝152，A能构成直角三角形，符合题意；
B、（32）2+（42）2＝337≠（52）2，B不能构成直角三角形，不符合题意；
C、62+72＝85≠82，C不能构成直角三角形，不符合题意；
D、42+52＝41≠62，D不能构成直角三角形，不符合题意；
选：A．
4．解：由（a﹣3）2+|b﹣4|＝0得，a＝3，b＝4；
①若a，b是直角边，则斜边长为5，
②∵b＞a，
∴若b是斜边，则斜边长为4．
综上，该直角三角形的斜边长为5或4．
选：D．
5．解：∵正方形OABC的边长为1，OA在数轴上，
∴OA＝AB＝1，∠OAB＝90°，
在直角三角形AOB中，由勾股定理得：，
∴这个点表示的实数是，
选：D．
6．解：作DE⊥AB于E，
∵AD是∠BAC的平分线，∠ACB＝90°，DE⊥AB，
∴DE＝DC＝2，
在Rt△ACD和Rt△AED中，
，
∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），
∴AC＝AE，
由勾股定理得BE2，
设AC＝AE＝x，
由勾股定理得x2+62＝（x+2）2，
解得x＝2．
选：C．
7．解：∵将一根长为36cm的筷子，置于底面直径为7cm，高为24cm的圆柱形水杯中，
∴在杯子中筷子最短是等于杯子的高，最长是等于杯子斜边长度，
∴当杯子中筷子最短是等于杯子的高时，h＝36﹣24＝12（cm），
最长时等于杯子斜边长度是：，
此时h＝36﹣25＝11，
∴h的取值范围是：11≤h≤12，
即h的最小值是11．
选：B．
8．解：由题意得BC＝8m，AC＝6m，
在直角三角形ABC中，根据勾股定理得：AB10米．
所以大树的高度是10+6＝16米．
选：C．
9．解：如图展开，连接EC，则线段EC的长就是小虫爬的最短路线，
在Rt△EBC中，BE＝12+8＝20，BCAB＝15，由勾股定理得：EC25．
选：B．
10．解：∵在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝24，CB＝7，
∴根据勾股定理得：AB25，
又AM＝AC，BN＝BC，
则MN＝AM+BN﹣AB＝AC+BC﹣AB＝24+7﹣25＝6．
选：C．
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
11．解：这个直角三角形的斜边长5，
答案为：5．
12．解：如图，作BA边的高CD，设与AB的延长线交于点D，
∵∠ABC＝120°，
∴∠DBC＝60°，
∴∠BCD＝30°，
∴BDBC米，
∴CD米，
∵AB＝10米，
∴S△ABCAB CD10（平方米），
∵每平方米售价2a元，
∴购买这种草皮至少为 2a＝75a（元），
答案为：75a．
13．解：延长BA、CD交于点E，
∵∠BAD＝135°，
∴∠EAD＝45°，
∴ED＝AD＝2，EB＝BC＝2，
∴四边形ABCD的面积222×2＝4，
答案为：4．
14．解：如图，过点A作AF⊥BC于F，
在Rt△ABC中，∠B＝45°，
∴BCAB＝4，FC＝BF＝AFAB＝2，
∵两个同样大小的含45°角的三角尺，
∴AD＝BC＝4，
在Rt△ADF中，根据勾股定理得，DF2，
∴CD＝DF﹣FC＝22，
答案为：22．
15．解：延长DC交AB于F．
∵CA＝CB，DA＝DB
∴CD均在线段AB的垂直平分线上，即DF⊥AB，且∠CDB＝30°
∴BD为等边△CDE中∠CDE的角平分线，∠CDB＝∠EDB
在△CDB和△EDB中，
∴△CDB≌△EDB（SAS），
∴BE＝BC．
∵AC⊥BC，
∴∠ACB＝90°，
∵AC＝BC，
∴AB2，且DF，
且CF＝BF＝1，
∴CD的长为DF﹣CF1．
答案为1．
三．解答题（共8小题，满分75分）
16．证明：Rt△ABC中，∵∠ABC＝90°，AB＝3，AC＝3，
∴BC2＝（3）2﹣32＝9，
∴BC＝3，
∴BC＝AB，
∴∠BCA＝∠BAC＝45°，
又∵∠BAD＝135°，
∴∠CAD＝135﹣45°＝90°，
∴△ACD是直角三角形．
17．解：（1）在直角△ABC中，已知AC＝30米，AB＝50米，
且AB为斜边，则BC40米．
答：小汽车在2秒内行驶的距离BC为40米；
（2）小汽车在2秒内行驶了40米，所以平均速度为20米/秒，
20米/秒＝72千米/时，
因为72＞70，
所以这辆小汽车超速了．
答：这辆小汽车的平均速度大于70千米/时，这辆小汽车超速了．
18．解：（1）在Rt△CDB中，BC＝25米，BD＝15米，
由勾股定理得：CD20（米），
∴CE＝CD+DE＝20+1.6＝21.6（米），
答：风筝的垂直高度CE为21.6 米；
（2）如图，设下降到M，连接BM，
由题意可知，CM＝12米，
∴DM＝CD﹣CM＝20﹣12＝8（米），
∴BM17（米），
∴BC﹣BM＝25﹣17＝8（米），
答：他应该往回收线8米．
19．解（1）在△ABC中，AB＝9，AC＝12，BC＝15，
∴AB2+AC2＝92+122＝225，BC2＝152＝225，
∴AB2+AC2＝BC2，
∴△ABC是直角三角形．
答案为：直角三角形；
（2）依题意有：92+AP2＝（12﹣AP）2，
解得AP＝2.625．
AP的长是2.625．
20．（1）证明：由折叠的性质得：B'F＝BF，∠B'FE＝∠BFE，
在长方形纸片ABCD中，AD∥BC，
∴∠B'EF＝∠BFE，
∴∠B'FE＝∠B'EF，
∴B'F＝B'E，
∴B'E＝BF．
（2）解：a，b，c之间的关系是a2+b2＝c2．理由如下：
由（1）知B'E＝BF＝c，
由折叠的性质得：∠A'＝∠A＝90°，A'E＝AE＝a，A'B'＝AB＝b．
在△A'B'E中，∵∠A'＝90°，
∴A'E2+A'B'2＝B'E2，
∴a2+b2＝c2．
21．证明：（1）∵∠ACB＝90°，AD⊥DE于点D，
∴∠DAC+∠ACD＝90°，∠ACD+∠BCE＝90°，
∴∠DAC＝∠BCE；
（2）①∵AD⊥DE于点D，BE⊥DE于点E，
∴∠ADC＝∠CEB＝90°，
由（1）知：∠DAC＝∠BCE，
在△ADC和△CEB中，
，
∴△ADC≌△CEB（AAS），
∴CD＝BE；
②由图可知：
S梯形ADEB＝S△ADC+S△ACB+S△CEB，
∴，
化简，得：a2+b2＝c2．
22．解：（1）会受到影响，理由如下：
过点A作AE⊥MN于点E，
∵点A到铁路MN的距离为80米，
∴AE＝80m，
∵周围100米以内会受到噪音影响，80＜100，
∴学校会受到影响；
（2）以点A为圆心，100米为半径画圆，交直线MN于BC两点，连接AB，AC，则AB＝AC＝100m，
在Rt△ABE中，
∵AB＝100m，AE＝80m，
∴，
∴BC＝2BE＝120m，
∴．
答：学校受到影响的时间是2.4秒．
23．解：（1）t＝2时，CD＝2×1＝2，
∵∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝6，
∴AC10，
AD＝AC﹣CD＝10﹣2＝8；
答案为：2；8．
（2）①∠CDB＝90°时，S△ABCAC BDAB BC，
即10 BD8×6，
解得BD＝4.8，
∴CD3.6，
t＝3.6÷1＝3.6秒；
②∠CBD＝90°时，点D和点A重合，
t＝10÷1＝10秒，
综上所述，t＝3.6或10秒；
答案为：（1）2，8；（2）3.6或10秒；
（3）①CD＝BC时，CD＝6，t＝6÷1＝6；
②BD＝BC时，如图，过点B作BF⊥AC于F，
则CF＝3.6，
CD＝2CF＝3.6×2＝7.2，
∴t＝7.2÷1＝7.2，
综上所述，t＝6秒或7.2秒时，△CBD是以BD或CD为底的等腰三角形．
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