第五单元 数学广角 （鸽巢问题） 培优卷 --2024-2025学年人教版六年级数学下册试卷（含解析）
文档属性
| 名称 | 第五单元 数学广角 （鸽巢问题） 培优卷 --2024-2025学年人教版六年级数学下册试卷（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 62.1KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-03-22 17:13:23 | ||
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文档简介
第五单元 数学广角 （鸽巢问题） 培优卷
一、单选题
1．把20个苹果分给6个小朋友，不管怎么分，总有一个小朋友至少分到（ ）个苹果。
A．3 B．4 C．5 D．6
2．六（1）班有42名同学，按照1，2，3，4循环报数。报数完毕，老师随意叫出（ ）名同学，就可以保证有2名同学报的数相同。
A．5 B．6 C．7
3．某幼儿园大班共有30名小朋友，老师最少要准备（ ）件玩具，才能保证有一个小朋友手中至少有3件。
A．60 B．61 C．91 D．101
4．张阿姨给孩子买衣服，有红、黄、白三种颜色，但结果总是至少有两个孩子的颜色一样，她至少有（ ）个孩子。
A．2 B．3 C．4 D．6
5．8月的天气有晴、阴、小雨、多云四种，至少有（ ）天是同一种天气。
A．7 B．8 C．9 D．10
6．李林参加射击比赛，射了10枪，成绩是91环，且每一枪的成绩都是整数环，李林不低于10环的至少有（ ）。
A．1枪 B．2枪 C．4枪 D．6枪
7．试卷上有4道题，每题有3个可供选择的答案，一群学生参加考试结果对于其中任何三人都有一道题目的答案互不相同，参加考试的学生最多有（ ）人。
A．7 B．8 C．9 D．10
8．希望小学绘画兴趣小组同学中，最大的12岁，最小的6岁，最少从中挑选（ ）名学生，就一定能找到两个学生年龄相等．
A．8 B．10 C．13 D．17
9．有12张扑克牌打乱后反扣在桌面上，其中有5张是红桃，7张黑桃，至少要摸出（ ）张扑克牌，才能保证一定能摸到红桃．
A．5 B．7 C．8
10．任意取（ ）个不同的自然数，才能保证至少有两个数的差为9的倍数．
A．9 B．11 C．10 D．13
二、判断题
11．15只鸽子飞进了6个笼子里，总有一个笼子至少飞进了3只鸽子。（ ）
12．判断：把黄、白两种颜色的乒乓球各4个放在同一个箱子里，每次最少取出5个乒乓球，就可以保证一定有不同色的乒乓球。（ ）
13．某地五月份只有晴阴、小雨三种天气，至少有11天是同一种天气。（ ）
14．植树节，有6名同学植了25棵树，有一名同学至少植树5棵。（ ）
15．六（1）班有学生49人，那么至少有5名同学的生日在同一个月。（ ）
三、填空题
16．把红、黄、蓝、白四种颜色的球各6个放到一个抽奖箱里，至少要抽 个球才可以保证抽到两个颜色相同的球；至少要抽 个球才可以保证抽到两个颜色不同的球。
17．有同样大小的红、黄、蓝三种颜色的珠子各10颗，放在一个布袋里，一次摸出10颗，总会有一种颜色的珠子不少于 颗；一次摸出11颗，至少会有 种不同颜色的珠子。
18．把一个正方体的6个面分别涂上红、黄、蓝，则无论如何涂都至少有 个面的颜色相同。
19．一幅扑克牌有54张，至少要取 张牌才能保证取到的牌中有两对对子。
20．口袋里放有足够多的红、白两种颜色的球，由若干个人轮流从袋中取球，每人取3个。若要保证有4人取出的球的颜色完全相同，至少应有 人取球。
21．从 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 和 中至多选出 个数，使得在选出的数中，每一个数都不是另一个数的 倍．
22．盒子里有同样大小的红、蓝、黄、黑四种颜色的球各10个，要想摸出的球一定有4个是相同颜色的，至少要摸出 个球。
23．从1，2，3，4，…，1994这些自然数中，最多可以取 个数，能使这些数中任意两个数的差都不等于9．
24．将9根小棒放入2个杯子中，总有一个杯子里至少放入 根小棒。
25．六年级有189名学生，至少有 名学生的生日在同一个月。
四、解决问题
26． 六一儿童节，李老师拿133个小礼物发给班里的所有学生，如果至少有一名学生拿到了4个小礼物，那么，李老师班里最多有多少名学生？
27．同学们拿着红色、黄色和绿色的小旗列队欢迎来访宾客，每位同学左、右手各拿一面小旗（可以同色也可以不同色）。至少要有多少位同学参加，才能保证有2位同学所拿的小旗不但颜色一样，而且左右顺序也相同
28．六⑶班有50人，每人至少订一份学习刊物，现有A、B、C三种刊物，每人有几种选择方式 这个班订相同刊物的至少有几人
29．在一个直径为2m的圆形花坛周围放上7盆花，那么至少有2盆花之间的距离不超过1m，为什么 （通过计算后画图说明）
30．某班学生去买语文书、数学书、外语书。有买一本的、两本的，也有三本的，至少要去几个学生才能保证一定有2个学生买到相同的书(每种书最多买一本)？
31．假设在一个平面上有任意六个点，无三点共线，每两点用红色或蓝色的线段连起来，都连好后，问你能不能找到一个由这些线构成的三角形，使三角形的三边同色？
答案解析部分
解：20÷6=3……2，3+1=4，所以总有一个小朋友至少分到4个苹果。
故答案为：B。
考虑最不利的情况，先给每个小朋友平均分，这样就有剩下的，所以再给小朋友分一个苹果，即总有一个小朋友至少分到3+1=4个苹果。
2．A
解：4+1=5（名）
故答案为：A。
此题主要考查了抽屉原理的应用，由于有4个可能的报数（1、2、3、4），因此，当有4名同学被叫出后，他们分别报出了1、2、3、4中的一个，此时每个可能的报数都至少被一个同学报出，但没有重复，再叫1个人，一定会出现与刚才4人中重复报的数，据此解答。
3．B
解：30×2＋1
＝60＋1
＝61（件）。
故答案为：B。
要保证有一个小朋友手中至少有3件玩具，考虑到最差情况，就是每人都有2件玩具，此时再多1件，无论发给哪个小朋友，都能满足一定有一个小朋友手中至少有3件。
4．C
解：3+1=4，所以她至少有4个孩子。
故答案为：C。
考虑最不利的情况，先让孩子把这三种颜色的衣服各穿一件，那么再加上一个孩子，就有两个孩子的颜色一样。
5．B
解：31÷4=7……3，7+1=8（天）。
故答案为：B。
四种天气就是四个抽屉，8月有31天，从最坏的情况考虑，假如四种天气各有7天，则剩下的几天无论是什么天气，都至少有8天是同一种天气。
6．A
91÷10=9（环）……1（环），
至少：9+1=10（环），至少有1枪是10环.
故答案为：A.
此题主要考查了抽屉原理的应用，假设每枪都是9环，10枪最多打出90环，而李林的成绩是91环，所以至少有1枪是10环，据此解答.
7．C
解：设每题的三个选项分别为a、b、c；
若参加考试的学生有10人，则由第二抽屉原理知，第一题答案分别为a、b、c的三组学生中，必有一组不超过3人.去掉这组学生，在余下的学生中，定有7人对，第一题的答案只有两种.对于这人关于第二题应用第二抽屉原理知，其中必可选出5人，他们关于第二题的答案只有两种可能.对于这5人关于第三题应用第二抽屉原理知，可以选出4人，他们关于第三题的答案只有两种可能.最后，对于这4人关于第四题应用第二抽屉原理知，必可选出3人，他们关于第四题的答案也只有两种.于是，对于这3人来说，没有一道题目的答案是互不相同的，这不符合题目的要求.可见，所求的最多人数不超过9人.另一方面，若9个人的答案如下表所示，则每人都至少有一个问题的答案互不相同.
故答案为：C
也可以这样考虑，公有4×3=12种答案可以选择，要使一个题目的答案互不相同的尽可能多，那就要他们每人做的另外3题都一样，那么不一样的就有12-3=9可供选择，所以最多9人.
8．A
解：12﹣6+1+1
=6+1+1
=7+1
=8（人）；
答：最少从中挑选8名学生，就一定能找到两个学生年龄相同．
故选：A．
最大的12岁，最小的6岁，最差就有12﹣6+1=7名学生是6到12岁年龄不同的学生，只要再有1名学生，就一定有2个学生的年龄相同．据此解答．
9．C
解：根据题干分析可得：7+1=8（张）
答：至少要摸出8张扑克牌，才能保证一定能摸到红桃．
故选：C．
根据题干，从最不利情况分析：假设摸出7张全部是黑桃，此时再摸出1张，必定是红桃，据此即可解答问题．
10．C
解：自然数除以9的余数的所有情况为：0、1、2、3、4、5、6、7、8，因此就把自然数分成了9类，
即：除以9余0、1、2、3、4、5、6、7、8，因此，可以把它看成是9个抽屉，
至少要有10个数，才能必然有一个抽屉里有两个数，而这两个数除以9的余数相同，也就是差是9的倍数，
答：根据上述分析，至少有10个数，就能保证其中必有两个数，它们的差是9的倍数．
故选：C．
因为余数相同的两数之差一定能被除数整除，此题可以先找出除以9的余数的所有情况为：0、1、2、3、4、5、6、7、8，这样就可以把它们看作9个抽屉，利用抽屉原理即可解决问题．
11．正确
解：15÷6=2（只）……3（只）
至少：2+1=3（只），原题说法正确。
故答案为：正确。
根据鸽巢原理的公式：a只鸽子飞进n个笼子里，如果a÷n=b……c，那么有一个笼子至少飞进（b+1）只鸽子，此据此列式解答。
12．正确
解：考虑最不利的情况，前4个球都是同种颜色的，则第5个球一定是不同色的。
故答案为：正确。
把黄、白两种颜色看作2个抽屉，把黄、白两种颜色的乒乓球各4个看作8个元素。根据抽屉原理，考虑最差情况：摸出所有4个同色乒乓球，那么再任意摸出1个乒乓球，一定可以保证有不同颜色的乒乓球。所以，每次至少摸出5个球，就可以保证一定有不同颜色的球。
13．正确
解：31÷3=10……1，所以至少有11天是同一种天气。
故答案为：正确。
五月份有31天，考虑最比例的情况，用31天除以3，所得的商是10，所以同一种天气至少是10+1=11天。
14．正确
解：25÷6=4（棵）······1（棵）
4＋1=5（棵）。
故答案为：正确。
抽屉原理，至少在同一抽屉里相同物体的个数=物体总个数÷抽屉的个数＋1。
15．正确
49÷12=4（个）……1（个），
至少：4+1=5（个），原题说法正确。
故答案为：正确。
此题主要考查了抽屉原理的应用，把49人看成物体，一年有12个月，12个月看成抽屉，依据抽屉原理的公式：a个物体放入n个抽屉，如果a÷n=b……c，那么有一个抽屉至少放（b+1）个物体，据此解答。
16．5；7
解：把红、黄、蓝、白四种颜色的球各6个放到一个抽奖箱里，至少要抽5个球才可以保证抽到两个颜色相同的球；至少要抽7个球才可以保证抽到两个颜色不同的球。
故答案为：5；7。
第一问：因为有四种颜色，假设前4次各取一种颜色的球，那么第5次无论取什么颜色的球都能保证抽到两个颜色相同的球。
第二问：因为每种颜色有6个，假设前6次取出的球的颜色相同，那么再取第7个无论是什么颜色都能保证取到两个颜色不同的球。
17．4；2
解：3×3=9（颗）
3＋1=4（颗），一次摸出10颗，总会有一种颜色的珠子不少于4颗；
一次摸出11颗，至少会有2种不同颜色的珠子。
故答案为：4；2。
首先，我们需要考虑的是在一次摸出10颗珠子的情况下，如何确保某种颜色的珠子数量最少。根据抽屉原理，如果我们将10颗珠子（可以是任何颜色的）平均分配到3种颜色的“抽屉”中，每个“抽屉”（即每种颜色）理论上最多可以有3颗珠子，因为3×3=9个，这不足以达到10颗。然而，当我们试图放入第10颗珠子时，至少会有一个颜色的“抽屉”中珠子的数量达到4颗，因为前9颗珠子已经尽可能地平均分配到了3个颜色中。因此，无论怎样摸出10颗珠子，总会有一种颜色的珠子不少于4颗。
接下来，考虑一次摸出11颗珠子的情况，根据抽屉原理，最差的情况是摸出的11颗珠子中，有10颗是同一种颜色的，剩下的1颗是另一种颜色的。在这种情况下，至少会有2种不同颜色的珠子，因为即使是摸出的第11颗珠子，也必定与前10颗中的某一种颜色不同，从而保证了至少有两种颜色的珠子存在。
作答：答：一次摸出11颗，至少会有2种不同颜色的珠子。
18．2
解：6÷3=2（个）
故答案为：2。
此题主要考查了鸽巢问题的应用，如果用3种颜色（红、黄、蓝）涂6个面，将这3种颜色看作3个鸽巢，6个面看作6个鸽子，那么根据鸽巢原理，至少会有一个颜色（鸽巢）对应至少2个面（鸽子），即至少有两个面的颜色是相同的。
19．17
解：13+2+2=17张，所以至少要取17张牌才能保证取到的牌中有两对对子。
故答案为：17。
54张扑克牌中有大王和小王，考虑最不利的情况，先把13个数各抽1张，再把两个王抽出来，接着再抽1张就有1个对子，再抽1张就有2个对子，所以保证取到的牌中有两对对子至少取的张数=13+2+2=17张。
20．13
解：4×3+1=13，所以至少应有13人取球。
故答案为：13。
3个球的颜色的种类：红红红、红红白、红白白、白白白，一共有4种，因为要保证有4人取出的球的颜色完全相同，考虑最不利的情况，即每种颜色都有3人取，那么再加上一个人就是至少有的人数。
21．8
解：把这12个数分成6个组：
第1组：1，2，4，8
第2组：3，6，12
第3组：5，10
第4组：7
第5组：9
第6组：11
每组中相邻两数都是2倍关系，不同组中没有2倍关系。
选没有2倍关系的数，第1组最多3个（1，4或2，8或 ，8），第2组最多1个（3，12），第3组只有1个，第4，5，6组都可以取，一共3+1+1+1+1+1=8个。
如果任意取9个数，因为第3，4，5，6组一共5个数中，最多能取4个数，剩下9-4=5个数在前2个组中，根据抽屉原理，至少有3个数是同一组的，必有2个数是同组相邻的数，是2倍关系。
故答案为：8。
本题可以根据2倍关系将12和数分成6个组，即第1组：1，2，4，8；第2组：3，6，12；第3组：5，10；第4组：7；第5组：9；第6组：11。其中不同组中没有2倍关系。然后显出每组中不是2倍关系的个数加起来即可。
22．13
4×3+1
=12+1
=13（个）
故答案为：13.
此题主要考查了抽屉原理的应用，考虑最差情况：摸出4×3=12个球，分别是红、蓝、黄、黑不同的颜色的球各3个，那么再任意摸出1个球，一定可以保证有4个球颜色相同，据此列式解答.
23．999
解：方法一：把1994个数依次每18个分成一组，最后14个数也成一组，共分成111组．即1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，15，16，17，18；19，20，21，22，23，24，25，26，27，28，29，30，31，32，33，34，35，36；………1963，1964，…，1979，1980；1981，1982，…，1994。每一组中取前9个数，共取出 9×111=999（个）数，这些数中任两个的差都不等于9．因此，最多可以取999个数。
方法二：构造公差为9的9个数列（除以9的余数）,
{1，10，19，28，…，1990}，共计 222个数；
{2，11，20，29，…，1991}，共计222 个数；
{3，12，21，30，…，1992}，共计222 个数；
{4，13，22，31，…，1993}，共计222个数；
{5，14，23，32，…，1994}，共计222 个数；
{6，15，24，33，…，1986}，共计221个数；
{7，16，25，34，…，1987}，共计 221 个数；
{8，17，26，35，…，1988}，共计 221个数；
{9，18，27，36，…，1989}，共计 221 个数。
每个数列相邻两项的差是9，因此，要使取出的数中，每两个的差不等于9，每个数列中不能取相邻的项．因此，前五个数列只能取出一半，后四个数列最多能取出一半多一个数，所以最多取111×9=999个数。
方法一：把1994个数依次每18个分成一组，最后14个数也成一组，共分成111组，每一组中取前9个数（这些数中任两个的差都不等于9），最后用111乘9即可；
方法二：让任意两个数的差都等于9，构造公差为9的9个数列，其中每个数列相邻两项的差是9，要使取出的数中，每两个的差不等于9，每个数列中不能取相邻的项。因此，前五个数列（222个数）只能取出一半，后四个数列（221个数）最多能取出一半多一个数，最后加起来即可。
24．5
9÷2=4……1
4+1=5（根）
故答案为：5
把9根小棒放入2个杯子里 ，如果每个杯子里平均放4个小棒，那么还剩下1根小棒，剩下的1根小棒无论放在哪个杯子里，总会有一个杯子里放5根小棒。
25．16
189÷12=15（人）……9（人），
15+1=16（名）
根据抽屉原理，至少16名学生的生日在同一个月。
故答案为：16。
根据抽屉原理，分析最坏的情况，用除法即可解答。
26．解：133-1=132（个）
132÷3=44（名）
答：李老师班里最多有44名学生。
根据抽屉原理，从最差的情况考虑，如果每个学生拿到3个小礼物，这时候人数越多越好，当剩余1个礼物时，一定有人可以拿到4个礼物，把剩余的1个礼物给谁，那么这个人的礼物就是4个。
27．解：不同拿旗方式3+3+3=9（种）
9+1=10（位）
答：至少要有10位同学参加，才能保证有2位同学所拿的小旗不但颜色一样，而且左右顺序也相同。
由题意可知，每人共有红红、黄黄、绿绿、红黄、红绿、黄绿、黄红、绿红、绿黄9种不同的拿旗方式，至少有9+1=10（位）同学参加，才能保证有2位同学所拿小旗不但颜色一样，而且顺序也相同。
28．解：3+3+1=7（种）
50÷7=7……1
7+1=8（人）
答：这个班订相同刊物的至少有8人。
根据题意，每人至少订阅一份学习刊物，有A、B、C三种刊物，每人可以选择的方式有A，B，C，AB，AC，BC，ABC共7种，利用除法，根据抽屉原理，用人数除以7种可能，得到恶商再加1即为答案。
29．解：3.14×2=6.28（m）
1×6=6（m）
6.28-6=0.28（m）
因为0.28<1，所以第七盆和第一盆之间的距离小于1，即至少有2盆花的距离不超过1m。
圆的周长=πd，一个直径为m的圆形花坛周长是3.14×2=6.28（m），分析题意，7盆花之间有7段，设其中6段是1m，先求出6段的长度是1×6=6（m）；用圆的周长减去其中6段的长度，求出第一盆到第七盆之间的长度是6.28-6=0.28（m），0.28<1，第七盆和第一盆之间的距离小于1，至少有2盆花的距离不超过1m。
30．解：买书的类型有：
买一本：有语文、数学、外语3种。
买两本：有语文和数学、语文和外语、数学和外语3种。
买三本：有语文、数学和外语1种。
3+3+1=7(种)。
7+1=8（个）
答：至少要去8个学生。
首先考虑买书的几种可能性：买一本、两本、三本共有7种类型。把7种类型看成7个抽屉，去的人数看成元素。要保证至少有一个抽屉里有2个元素，那么去的人数应大于抽屉数，所以元素数至少比抽屉数多1才能保证2个学生买到相同的书。
31．解：从这6个点中随意选取一点 ，从 点引出的5条线段，根据抽屉原理，必有3条的颜色相同，不妨设有3条线段为红色，它们另外一个端点分别为 、 、 ，那么这三点中只要有两点比如说 、 之间的线段是红色，那么 、 、 3点组成红色三角形；如果 、 、 三点之间的线段都不是红色，那么都是蓝色，这样 、 、 3点组成蓝色三角形，也符合条件．所以结论成立．
从任意一点引出5条线段，根据抽屉原理可知至少有三条颜色相同，它们的端点连成的线段，若有一条和前面的颜色相同，则有符合条件的三角形；若没有颜色相同，则这三条线段即可组成同色三角形，结论可证.
一、单选题
1．把20个苹果分给6个小朋友，不管怎么分，总有一个小朋友至少分到（ ）个苹果。
A．3 B．4 C．5 D．6
2．六（1）班有42名同学，按照1，2，3，4循环报数。报数完毕，老师随意叫出（ ）名同学，就可以保证有2名同学报的数相同。
A．5 B．6 C．7
3．某幼儿园大班共有30名小朋友，老师最少要准备（ ）件玩具，才能保证有一个小朋友手中至少有3件。
A．60 B．61 C．91 D．101
4．张阿姨给孩子买衣服，有红、黄、白三种颜色，但结果总是至少有两个孩子的颜色一样，她至少有（ ）个孩子。
A．2 B．3 C．4 D．6
5．8月的天气有晴、阴、小雨、多云四种，至少有（ ）天是同一种天气。
A．7 B．8 C．9 D．10
6．李林参加射击比赛，射了10枪，成绩是91环，且每一枪的成绩都是整数环，李林不低于10环的至少有（ ）。
A．1枪 B．2枪 C．4枪 D．6枪
7．试卷上有4道题，每题有3个可供选择的答案，一群学生参加考试结果对于其中任何三人都有一道题目的答案互不相同，参加考试的学生最多有（ ）人。
A．7 B．8 C．9 D．10
8．希望小学绘画兴趣小组同学中，最大的12岁，最小的6岁，最少从中挑选（ ）名学生，就一定能找到两个学生年龄相等．
A．8 B．10 C．13 D．17
9．有12张扑克牌打乱后反扣在桌面上，其中有5张是红桃，7张黑桃，至少要摸出（ ）张扑克牌，才能保证一定能摸到红桃．
A．5 B．7 C．8
10．任意取（ ）个不同的自然数，才能保证至少有两个数的差为9的倍数．
A．9 B．11 C．10 D．13
二、判断题
11．15只鸽子飞进了6个笼子里，总有一个笼子至少飞进了3只鸽子。（ ）
12．判断：把黄、白两种颜色的乒乓球各4个放在同一个箱子里，每次最少取出5个乒乓球，就可以保证一定有不同色的乒乓球。（ ）
13．某地五月份只有晴阴、小雨三种天气，至少有11天是同一种天气。（ ）
14．植树节，有6名同学植了25棵树，有一名同学至少植树5棵。（ ）
15．六（1）班有学生49人，那么至少有5名同学的生日在同一个月。（ ）
三、填空题
16．把红、黄、蓝、白四种颜色的球各6个放到一个抽奖箱里，至少要抽 个球才可以保证抽到两个颜色相同的球；至少要抽 个球才可以保证抽到两个颜色不同的球。
17．有同样大小的红、黄、蓝三种颜色的珠子各10颗，放在一个布袋里，一次摸出10颗，总会有一种颜色的珠子不少于 颗；一次摸出11颗，至少会有 种不同颜色的珠子。
18．把一个正方体的6个面分别涂上红、黄、蓝，则无论如何涂都至少有 个面的颜色相同。
19．一幅扑克牌有54张，至少要取 张牌才能保证取到的牌中有两对对子。
20．口袋里放有足够多的红、白两种颜色的球，由若干个人轮流从袋中取球，每人取3个。若要保证有4人取出的球的颜色完全相同，至少应有 人取球。
21．从 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 和 中至多选出 个数，使得在选出的数中，每一个数都不是另一个数的 倍．
22．盒子里有同样大小的红、蓝、黄、黑四种颜色的球各10个，要想摸出的球一定有4个是相同颜色的，至少要摸出 个球。
23．从1，2，3，4，…，1994这些自然数中，最多可以取 个数，能使这些数中任意两个数的差都不等于9．
24．将9根小棒放入2个杯子中，总有一个杯子里至少放入 根小棒。
25．六年级有189名学生，至少有 名学生的生日在同一个月。
四、解决问题
26． 六一儿童节，李老师拿133个小礼物发给班里的所有学生，如果至少有一名学生拿到了4个小礼物，那么，李老师班里最多有多少名学生？
27．同学们拿着红色、黄色和绿色的小旗列队欢迎来访宾客，每位同学左、右手各拿一面小旗（可以同色也可以不同色）。至少要有多少位同学参加，才能保证有2位同学所拿的小旗不但颜色一样，而且左右顺序也相同
28．六⑶班有50人，每人至少订一份学习刊物，现有A、B、C三种刊物，每人有几种选择方式 这个班订相同刊物的至少有几人
29．在一个直径为2m的圆形花坛周围放上7盆花，那么至少有2盆花之间的距离不超过1m，为什么 （通过计算后画图说明）
30．某班学生去买语文书、数学书、外语书。有买一本的、两本的，也有三本的，至少要去几个学生才能保证一定有2个学生买到相同的书(每种书最多买一本)？
31．假设在一个平面上有任意六个点，无三点共线，每两点用红色或蓝色的线段连起来，都连好后，问你能不能找到一个由这些线构成的三角形，使三角形的三边同色？
答案解析部分
解：20÷6=3……2，3+1=4，所以总有一个小朋友至少分到4个苹果。
故答案为：B。
考虑最不利的情况，先给每个小朋友平均分，这样就有剩下的，所以再给小朋友分一个苹果，即总有一个小朋友至少分到3+1=4个苹果。
2．A
解：4+1=5（名）
故答案为：A。
此题主要考查了抽屉原理的应用，由于有4个可能的报数（1、2、3、4），因此，当有4名同学被叫出后，他们分别报出了1、2、3、4中的一个，此时每个可能的报数都至少被一个同学报出，但没有重复，再叫1个人，一定会出现与刚才4人中重复报的数，据此解答。
3．B
解：30×2＋1
＝60＋1
＝61（件）。
故答案为：B。
要保证有一个小朋友手中至少有3件玩具，考虑到最差情况，就是每人都有2件玩具，此时再多1件，无论发给哪个小朋友，都能满足一定有一个小朋友手中至少有3件。
4．C
解：3+1=4，所以她至少有4个孩子。
故答案为：C。
考虑最不利的情况，先让孩子把这三种颜色的衣服各穿一件，那么再加上一个孩子，就有两个孩子的颜色一样。
5．B
解：31÷4=7……3，7+1=8（天）。
故答案为：B。
四种天气就是四个抽屉，8月有31天，从最坏的情况考虑，假如四种天气各有7天，则剩下的几天无论是什么天气，都至少有8天是同一种天气。
6．A
91÷10=9（环）……1（环），
至少：9+1=10（环），至少有1枪是10环.
故答案为：A.
此题主要考查了抽屉原理的应用，假设每枪都是9环，10枪最多打出90环，而李林的成绩是91环，所以至少有1枪是10环，据此解答.
7．C
解：设每题的三个选项分别为a、b、c；
若参加考试的学生有10人，则由第二抽屉原理知，第一题答案分别为a、b、c的三组学生中，必有一组不超过3人.去掉这组学生，在余下的学生中，定有7人对，第一题的答案只有两种.对于这人关于第二题应用第二抽屉原理知，其中必可选出5人，他们关于第二题的答案只有两种可能.对于这5人关于第三题应用第二抽屉原理知，可以选出4人，他们关于第三题的答案只有两种可能.最后，对于这4人关于第四题应用第二抽屉原理知，必可选出3人，他们关于第四题的答案也只有两种.于是，对于这3人来说，没有一道题目的答案是互不相同的，这不符合题目的要求.可见，所求的最多人数不超过9人.另一方面，若9个人的答案如下表所示，则每人都至少有一个问题的答案互不相同.
故答案为：C
也可以这样考虑，公有4×3=12种答案可以选择，要使一个题目的答案互不相同的尽可能多，那就要他们每人做的另外3题都一样，那么不一样的就有12-3=9可供选择，所以最多9人.
8．A
解：12﹣6+1+1
=6+1+1
=7+1
=8（人）；
答：最少从中挑选8名学生，就一定能找到两个学生年龄相同．
故选：A．
最大的12岁，最小的6岁，最差就有12﹣6+1=7名学生是6到12岁年龄不同的学生，只要再有1名学生，就一定有2个学生的年龄相同．据此解答．
9．C
解：根据题干分析可得：7+1=8（张）
答：至少要摸出8张扑克牌，才能保证一定能摸到红桃．
故选：C．
根据题干，从最不利情况分析：假设摸出7张全部是黑桃，此时再摸出1张，必定是红桃，据此即可解答问题．
10．C
解：自然数除以9的余数的所有情况为：0、1、2、3、4、5、6、7、8，因此就把自然数分成了9类，
即：除以9余0、1、2、3、4、5、6、7、8，因此，可以把它看成是9个抽屉，
至少要有10个数，才能必然有一个抽屉里有两个数，而这两个数除以9的余数相同，也就是差是9的倍数，
答：根据上述分析，至少有10个数，就能保证其中必有两个数，它们的差是9的倍数．
故选：C．
因为余数相同的两数之差一定能被除数整除，此题可以先找出除以9的余数的所有情况为：0、1、2、3、4、5、6、7、8，这样就可以把它们看作9个抽屉，利用抽屉原理即可解决问题．
11．正确
解：15÷6=2（只）……3（只）
至少：2+1=3（只），原题说法正确。
故答案为：正确。
根据鸽巢原理的公式：a只鸽子飞进n个笼子里，如果a÷n=b……c，那么有一个笼子至少飞进（b+1）只鸽子，此据此列式解答。
12．正确
解：考虑最不利的情况，前4个球都是同种颜色的，则第5个球一定是不同色的。
故答案为：正确。
把黄、白两种颜色看作2个抽屉，把黄、白两种颜色的乒乓球各4个看作8个元素。根据抽屉原理，考虑最差情况：摸出所有4个同色乒乓球，那么再任意摸出1个乒乓球，一定可以保证有不同颜色的乒乓球。所以，每次至少摸出5个球，就可以保证一定有不同颜色的球。
13．正确
解：31÷3=10……1，所以至少有11天是同一种天气。
故答案为：正确。
五月份有31天，考虑最比例的情况，用31天除以3，所得的商是10，所以同一种天气至少是10+1=11天。
14．正确
解：25÷6=4（棵）······1（棵）
4＋1=5（棵）。
故答案为：正确。
抽屉原理，至少在同一抽屉里相同物体的个数=物体总个数÷抽屉的个数＋1。
15．正确
49÷12=4（个）……1（个），
至少：4+1=5（个），原题说法正确。
故答案为：正确。
此题主要考查了抽屉原理的应用，把49人看成物体，一年有12个月，12个月看成抽屉，依据抽屉原理的公式：a个物体放入n个抽屉，如果a÷n=b……c，那么有一个抽屉至少放（b+1）个物体，据此解答。
16．5；7
解：把红、黄、蓝、白四种颜色的球各6个放到一个抽奖箱里，至少要抽5个球才可以保证抽到两个颜色相同的球；至少要抽7个球才可以保证抽到两个颜色不同的球。
故答案为：5；7。
第一问：因为有四种颜色，假设前4次各取一种颜色的球，那么第5次无论取什么颜色的球都能保证抽到两个颜色相同的球。
第二问：因为每种颜色有6个，假设前6次取出的球的颜色相同，那么再取第7个无论是什么颜色都能保证取到两个颜色不同的球。
17．4；2
解：3×3=9（颗）
3＋1=4（颗），一次摸出10颗，总会有一种颜色的珠子不少于4颗；
一次摸出11颗，至少会有2种不同颜色的珠子。
故答案为：4；2。
首先，我们需要考虑的是在一次摸出10颗珠子的情况下，如何确保某种颜色的珠子数量最少。根据抽屉原理，如果我们将10颗珠子（可以是任何颜色的）平均分配到3种颜色的“抽屉”中，每个“抽屉”（即每种颜色）理论上最多可以有3颗珠子，因为3×3=9个，这不足以达到10颗。然而，当我们试图放入第10颗珠子时，至少会有一个颜色的“抽屉”中珠子的数量达到4颗，因为前9颗珠子已经尽可能地平均分配到了3个颜色中。因此，无论怎样摸出10颗珠子，总会有一种颜色的珠子不少于4颗。
接下来，考虑一次摸出11颗珠子的情况，根据抽屉原理，最差的情况是摸出的11颗珠子中，有10颗是同一种颜色的，剩下的1颗是另一种颜色的。在这种情况下，至少会有2种不同颜色的珠子，因为即使是摸出的第11颗珠子，也必定与前10颗中的某一种颜色不同，从而保证了至少有两种颜色的珠子存在。
作答：答：一次摸出11颗，至少会有2种不同颜色的珠子。
18．2
解：6÷3=2（个）
故答案为：2。
此题主要考查了鸽巢问题的应用，如果用3种颜色（红、黄、蓝）涂6个面，将这3种颜色看作3个鸽巢，6个面看作6个鸽子，那么根据鸽巢原理，至少会有一个颜色（鸽巢）对应至少2个面（鸽子），即至少有两个面的颜色是相同的。
19．17
解：13+2+2=17张，所以至少要取17张牌才能保证取到的牌中有两对对子。
故答案为：17。
54张扑克牌中有大王和小王，考虑最不利的情况，先把13个数各抽1张，再把两个王抽出来，接着再抽1张就有1个对子，再抽1张就有2个对子，所以保证取到的牌中有两对对子至少取的张数=13+2+2=17张。
20．13
解：4×3+1=13，所以至少应有13人取球。
故答案为：13。
3个球的颜色的种类：红红红、红红白、红白白、白白白，一共有4种，因为要保证有4人取出的球的颜色完全相同，考虑最不利的情况，即每种颜色都有3人取，那么再加上一个人就是至少有的人数。
21．8
解：把这12个数分成6个组：
第1组：1，2，4，8
第2组：3，6，12
第3组：5，10
第4组：7
第5组：9
第6组：11
每组中相邻两数都是2倍关系，不同组中没有2倍关系。
选没有2倍关系的数，第1组最多3个（1，4或2，8或 ，8），第2组最多1个（3，12），第3组只有1个，第4，5，6组都可以取，一共3+1+1+1+1+1=8个。
如果任意取9个数，因为第3，4，5，6组一共5个数中，最多能取4个数，剩下9-4=5个数在前2个组中，根据抽屉原理，至少有3个数是同一组的，必有2个数是同组相邻的数，是2倍关系。
故答案为：8。
本题可以根据2倍关系将12和数分成6个组，即第1组：1，2，4，8；第2组：3，6，12；第3组：5，10；第4组：7；第5组：9；第6组：11。其中不同组中没有2倍关系。然后显出每组中不是2倍关系的个数加起来即可。
22．13
4×3+1
=12+1
=13（个）
故答案为：13.
此题主要考查了抽屉原理的应用，考虑最差情况：摸出4×3=12个球，分别是红、蓝、黄、黑不同的颜色的球各3个，那么再任意摸出1个球，一定可以保证有4个球颜色相同，据此列式解答.
23．999
解：方法一：把1994个数依次每18个分成一组，最后14个数也成一组，共分成111组．即1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，15，16，17，18；19，20，21，22，23，24，25，26，27，28，29，30，31，32，33，34，35，36；………1963，1964，…，1979，1980；1981，1982，…，1994。每一组中取前9个数，共取出 9×111=999（个）数，这些数中任两个的差都不等于9．因此，最多可以取999个数。
方法二：构造公差为9的9个数列（除以9的余数）,
{1，10，19，28，…，1990}，共计 222个数；
{2，11，20，29，…，1991}，共计222 个数；
{3，12，21，30，…，1992}，共计222 个数；
{4，13，22，31，…，1993}，共计222个数；
{5，14，23，32，…，1994}，共计222 个数；
{6，15，24，33，…，1986}，共计221个数；
{7，16，25，34，…，1987}，共计 221 个数；
{8，17，26，35，…，1988}，共计 221个数；
{9，18，27，36，…，1989}，共计 221 个数。
每个数列相邻两项的差是9，因此，要使取出的数中，每两个的差不等于9，每个数列中不能取相邻的项．因此，前五个数列只能取出一半，后四个数列最多能取出一半多一个数，所以最多取111×9=999个数。
方法一：把1994个数依次每18个分成一组，最后14个数也成一组，共分成111组，每一组中取前9个数（这些数中任两个的差都不等于9），最后用111乘9即可；
方法二：让任意两个数的差都等于9，构造公差为9的9个数列，其中每个数列相邻两项的差是9，要使取出的数中，每两个的差不等于9，每个数列中不能取相邻的项。因此，前五个数列（222个数）只能取出一半，后四个数列（221个数）最多能取出一半多一个数，最后加起来即可。
24．5
9÷2=4……1
4+1=5（根）
故答案为：5
把9根小棒放入2个杯子里 ，如果每个杯子里平均放4个小棒，那么还剩下1根小棒，剩下的1根小棒无论放在哪个杯子里，总会有一个杯子里放5根小棒。
25．16
189÷12=15（人）……9（人），
15+1=16（名）
根据抽屉原理，至少16名学生的生日在同一个月。
故答案为：16。
根据抽屉原理，分析最坏的情况，用除法即可解答。
26．解：133-1=132（个）
132÷3=44（名）
答：李老师班里最多有44名学生。
根据抽屉原理，从最差的情况考虑，如果每个学生拿到3个小礼物，这时候人数越多越好，当剩余1个礼物时，一定有人可以拿到4个礼物，把剩余的1个礼物给谁，那么这个人的礼物就是4个。
27．解：不同拿旗方式3+3+3=9（种）
9+1=10（位）
答：至少要有10位同学参加，才能保证有2位同学所拿的小旗不但颜色一样，而且左右顺序也相同。
由题意可知，每人共有红红、黄黄、绿绿、红黄、红绿、黄绿、黄红、绿红、绿黄9种不同的拿旗方式，至少有9+1=10（位）同学参加，才能保证有2位同学所拿小旗不但颜色一样，而且顺序也相同。
28．解：3+3+1=7（种）
50÷7=7……1
7+1=8（人）
答：这个班订相同刊物的至少有8人。
根据题意，每人至少订阅一份学习刊物，有A、B、C三种刊物，每人可以选择的方式有A，B，C，AB，AC，BC，ABC共7种，利用除法，根据抽屉原理，用人数除以7种可能，得到恶商再加1即为答案。
29．解：3.14×2=6.28（m）
1×6=6（m）
6.28-6=0.28（m）
因为0.28<1，所以第七盆和第一盆之间的距离小于1，即至少有2盆花的距离不超过1m。
圆的周长=πd，一个直径为m的圆形花坛周长是3.14×2=6.28（m），分析题意，7盆花之间有7段，设其中6段是1m，先求出6段的长度是1×6=6（m）；用圆的周长减去其中6段的长度，求出第一盆到第七盆之间的长度是6.28-6=0.28（m），0.28<1，第七盆和第一盆之间的距离小于1，至少有2盆花的距离不超过1m。
30．解：买书的类型有：
买一本：有语文、数学、外语3种。
买两本：有语文和数学、语文和外语、数学和外语3种。
买三本：有语文、数学和外语1种。
3+3+1=7(种)。
7+1=8（个）
答：至少要去8个学生。
首先考虑买书的几种可能性：买一本、两本、三本共有7种类型。把7种类型看成7个抽屉，去的人数看成元素。要保证至少有一个抽屉里有2个元素，那么去的人数应大于抽屉数，所以元素数至少比抽屉数多1才能保证2个学生买到相同的书。
31．解：从这6个点中随意选取一点 ，从 点引出的5条线段，根据抽屉原理，必有3条的颜色相同，不妨设有3条线段为红色，它们另外一个端点分别为 、 、 ，那么这三点中只要有两点比如说 、 之间的线段是红色，那么 、 、 3点组成红色三角形；如果 、 、 三点之间的线段都不是红色，那么都是蓝色，这样 、 、 3点组成蓝色三角形，也符合条件．所以结论成立．
从任意一点引出5条线段，根据抽屉原理可知至少有三条颜色相同，它们的端点连成的线段，若有一条和前面的颜色相同，则有符合条件的三角形；若没有颜色相同，则这三条线段即可组成同色三角形，结论可证.