人教A版（2019）数学选择必修第三册 6.2.4 组合数 课件（23页ppt）

(共23张PPT)
选择必修三
第六章 计数原理
6.2 排列与组合
6.2.4 组合数
教学目标
学习目标 数学素养
1.通过探索排列与组合的关系得到求组合数的方法. 1.类比归纳的数学素养.
2.能利用组合数公式和性质解决一些简单的组合问题. 2.数学运算素养和逻辑推理素养.
温故知新
1.组合
一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合(combination)．
2.“组合”与“排列”的联系与区别
排列 组合
共同点 不同点
完成这件事情共分几步
从n个不同元素中取出m个元素
元素的顺序有关
元素的顺序无关
第1步、取；第2步、排
仅一步、取
只有元素且顺序也相同的两个排列是相同的；而两个组合只要元素相同，不论元素的顺序如何，都是相同的.
温故知新
⑵阶乘形式：.（，并且）
性质：.我们规定，.
4.排列数公式
⑴乘积形式：.（，并且）
3.排列数
我们把从个不同元素中取出个元素的所有不同排列的个数，叫做从个不同元素中取出个元素的排列数，用符号表示.
知新探究
前面，我们利用“元素相同、顺序不同的两个组合相同”“元素相同、顺序不同的两个排列不同”，以“元素相同”为标准，建立了排列和组合之间的对应关系，并从3个不同元素中取出2个元素的组合数 =3.
类比排列数，我们引进组合数概念：
前面已经提到 , 组合和排列有关系 , 我们能否利用这种关系，由排列数来求组合数呢？
从n个不同元素中取出m (m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号表示.
符号中的C是英文combination（组合）的第一个字母.
例如, 从3个不同元素中取出2个元素的组合数, 表示为, 从4个不同元素中取出3个元素的组合数表示为.
知新探究
前面已经提到 , 组合和排列有关系 , 我们能否利用这种关系，由排列数来求组合数呢？
运用同样的方法, 我们来求从4个不同元素中取出3个元素的组合数.
设这4个元素为a, b, c, d，
组合
a,b,c
a,b,d
a,c,d
b,c,d
abc, acd, bca, bac, cab, cba
abd, adb, bad, bda, dab, dba
acd, adc, cad, cda, dac, dca
bcd, bdc, cbd, cdb, dbc, dcb
排列
那么从中取出3个元素的排列数=24，以“元素相同”为标准将这24个排列分组，一共有4组，如图所示，因此组合数=4.
知新探究
第2步, 将取出的3个元素做全排列, 共有种不同的取法.
第1步, 从4个元素中取出3个元素作为一组 , 共有种不同的取法；
于是，根据分步乘法计数原理有
即 .
同样地, 求“从n个元素中取出m个元素的排列数”可以看作由以下两个步骤得到:
前面已经提到 , 组合和排列有关系 , 我们能否利用这种关系，由排列数来求组合数呢？
观察上图，也可以这样理解求“从4个元素中取出3个元素的排列数”:
第1步, 从n个元素中取出m个元素作为一组 , 共有种不同的取法；
第2步, 将取出的m个元素做全排列, 共有种不同的取法.
知新探究
因此，
于是，根据分步乘法计数原理有
即 .
同样地, 求“从n个元素中取出m个元素的排列数”可以看作由以下两个步骤得到:
前面已经提到 , 组合和排列有关系 , 我们能否利用这种关系，由排列数来求组合数呢？
第1步, 从n个元素中取出m个元素作为一组 , 共有种不同的取法；
第2步, 将取出的m个元素做全排列, 共有种不同的取法.
.
这里n，m∈N*，并且m≤ n. 这个公式叫组合数公式.
知新探究
从n 个不同元中取出m个元素的排列数
另外,我们规定.
.
这里n，m∈N*，并且m≤ n. 这个公式叫组合数公式.
∵.
∴.
上面的组合公式还可以写成
.
.
乘积式
阶乘式
知新探究
【例1】计算：⑴； ⑵； ⑶； ⑷.
解：
⑴；
根据排列组合数公式，可得
⑵；
⑶；
⑷=1.
观察例1的⑴与⑵，⑶与⑷的结果，你有什么发现？ ⑴与⑵分别用了不同形式的组合数公式，你对公式的选择有什么想法？
知新探究
由例1的结果可得，.⑴与⑵分别用了不同形式的组合数公式，可以发现，在计算组合数时，可根据m值，合理选择公式.
由，观察可猜想.
观察例1的⑴与⑵，⑶与⑷的结果，你有什么发现？ ⑴与⑵分别用了不同形式的组合数公式，你对公式的选择有什么想法？
证明：∵,
.
∴.
组合数性质：(m,n∈N,n>m).
初试身手
1.证明：⑴;
⑵.
⑴∵
.
证明：
.
.
∴.
⑵∵
∴.
知新探究
【例2】平面内有12个点，任何3点不在同一直线上,以每3点为顶点画一个三
角形,一共可画多少个三角形
解：
.
由题意得，从平面内有12个点中，任取3个点，都可画出1个三角形，则一共可画的三角形的个数为
初试身手
2.⑴从9名学生中选出3人做值日,有多少种不同的选法
⑵有5本不同的书,某人要从中借2本,有多少种不同的借法
⑴从9名学生中选出3人做值日，不同的选法种数为
=10.
解：
=84.
⑵有5本不同的书,某人要从中借2本,不同的借法种数为
知新探究
【例3】在100件产品中, 有98件合格品 , 2件次品 . 从这100件产品中任意抽出3件.
⑴有多少种不同的抽法？
⑵抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法有多少种？
解：
161700.
⑴所有的不同抽法种数，就是从100件产品中抽出3件的组合数，所以抽法种数为
⑵从2件次品中抽出1件次品的抽法有种，从98件合格品中抽出2件合格品的抽法有种，因此抽出的3件中恰好有1件次品的抽法种数为
=9506.
从2件次品中抽出1件的抽法数可以是吗？
知新探究
【例3】在100件产品中, 有98件合格品 , 2件次品 . 从这100件产品中任意抽出3件.
⑶抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有多少种？
解：
9604.
⑶方法1 从100件产品抽出的3件中至少有1件是次品 , 包括有1件次品和有2件次品的情况, 因此根据分类加法计数原理, 抽出的3件产品中至少有1件是次品的抽法的种数为
方法2 抽出的3件产品中至少有1件是次品的抽法的种数，就是从100件中抽出3件的抽法种数减去3件中都是合格品的抽法的种数，即
=9604.
当n和m取较小数字时，可以通过手算得出.当n和m取较大数字时，可以使用信息技术工具，以使计算更快捷和准确.许多信息计算工具都有计算排列数和组合数的内置函数，输入n和m的值后，便可以直接得到结果.
说明：“至少”“至多”的问题，通常用分类 法或间接法求解.
初试身手
3.从12人中选出5人，
⑴甲、乙、丙三人必须当选，有多少种不同选法
⑵甲必须当选，乙、丙不能当选，有多少种不同选法
⑶甲、乙、丙三人只有一人当选，有多少种不同选法
⑴甲、乙、丙三人必须当选，不同的选法种数为
=126.
解：
=36.
⑵甲必须当选，乙、丙不能当选，不同的选法种数为
⑶甲、乙、丙三人只有一人当选，不同的选法种数为
=378.
初试身手
3.从12人中选出5人，
⑷甲、乙、丙三人至多2人当选，有多少种不同选法
⑸甲、乙、丙三人至少1人当选，有多少种不同选法
⑷方法1 甲、乙、丙三人至多2人当选，包括甲、乙、丙有2人当选、1人当选和都不当选的情况，因此根据分类加法计数原理，不同的选法种数为
=756.
解：
=756.
方法2 甲、乙、丙三人至多2人当选的不同的选法种数，就是从12人种选5人的选法种数中减去甲、乙、丙三人都选的选法种数，即
⑸方法1 甲、乙、丙三人至少1人人当选，包括甲、乙、丙有1人当选、2人当选和3人当选的情况，因此根据分类加法计数原理，不同的选法种数为
=666.
方法2 甲、乙、丙三人至少1人当选，就是从12人种选5人的选法种数中减去甲、乙、丙三人都不选的选法种数，即
=666.
课堂小结
1.组合数
2.组合数公式
从n个不同元素中取出m (m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号表示.
⑴乘积形式：.（，并且）
⑵阶乘形式：.（，并且）
3.组合数性质
规定.
⑴(m,n∈N,n>m).
⑵(m,n∈N,n>m).
作业布置
作业： P25 练习 第3题
P26-27 习题6.2 第6，7,13,14,15题.
尽情享受学习数学的快乐吧！
我们下节课再见！
谢谢
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